ETUDES PRELIMINAIRES DE PRCEDES SUR LA BASE DE BILANS EN REGIME PERMANENT
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ETUDES PRELIMINAIRES DE PRCEDES SUR LA
BASE DE BILANS EN REGIME PERMANENT
1________________________________________________________________________________
1 - POSITION DU PROBLEME ET CONTEXTE THEORIQUE.............................................. 3
2 - ANALYSE D'UN PROCEDE ..................................................................................................... 3
2.1 - Analyse globale du procédé.................................................................................................... 4
2.2 - Analyse appareil par appareil ................................................................................................. 5
3 - INFLUENCE DE L'ARCHITECTURE DU PROCEDE......................................................... 6
4 - A PROPOS DU ROLE DES BILANS DANS LA CONCEPTION D'UNE UNITE .............. 6
5 - CAS D'UNE ARCHITECTURE DE TYPE LINEAIRE ......................................................... 7
6 - RECYCLAGES ET PURGES .................................................................................................. 11
6.1 - Traitement des schémas élémentaires................................................................................... 12
6.2 - Traitement d'unité avec recyclage ........................................................................................ 15
6.3 - Exemple d'unité avec recyclage............................................................................................ 17
6.4- Unité avec recyclage et purge................................................................................................ 20
2________________________________________________________________________________
1 - POSITION DU PROBLEME ET CONTEXTE THEORIQUE
L
e coût des matières premières et des utilités (catalyseurs, stabilisateurs, antimoussants,
etc…), d’une part et, d’autre part, celui de l’énergie thermique constituent, presque
toujours, des postes déterminants dans l'évaluation du prix des produits que fabriquent
les industries chimiques, agroalimentaires, pharmaceutiques, etc…
Voilà pourquoi il est essentiel de déterminer, avec le maximum de précision possible, toutes
les consommations correspondantes. On donne, traditionnellement, à cette comptabilité le nom de
bilans matière et thermique.
Nous pouvons ajouter que ces évaluations doivent être effectuées dans deux circonstances
différentes.
Les consommations doivent, d’abord, être calculées, de manière prévisionnelle, pendant la
phase de conception de toute unité qu’on envisage de construire ; les résultats sont, en effet,
indispensables pour juger de la rentabilité potentielle de l’investissement nécessaire. Il s’agit, là,
d’appliquer, systématiquement, les équations globales de continuité, de bilan par espèce et de bilan
enthalpique sur l’ensemble de l’unité puis, appareil par appareil en émettant des hypothèses
raisonnables sur les rendements et sélectivités des réactions chimiques mises en jeu et en effectuant
de premières évaluations des performances des appareils principaux. Nous parlerons, ici, d’études
préliminaires des procédés.
Ensuite, une fois l’unité construite et équipée des dispositifs de mesure nécessaires, ces
mêmes consommations doivent être surveillées avec attention. Une utilisation systématique des
équations de bilans globaux permet, cette fois, de vérifier le bon fonctionnement de l’ensemble des
équipements. Toute anomalie constitue l’indice soit d’un dysfonctionnement d’un appareil de
mesure, soit, plus rarement, de l’existence d’une fuite qui n’a pas encore été directement repérée.
Si effectuer des bilans matière et énergie constitue, au niveau des principes, un exercice
facile, la pratique devient vite fastidieuse dès que le nombre d’appareils et de constituants mis en
jeu croit. Voilà pourquoi des sociétés spécialisées ont développé et mettent en vente des logiciels
qui apportent une aide très efficace pour effectuer ces travaux de manière systématique.
Ce chapitre constitue une introduction à ce sujet extrêmement classique du génie des
procédés. Nous y traitons du cas d'unités de production fonctionnant en régime permanent ; les
régimes transitoires seront abordés au cours de la seconde année.
2 - ANALYSE D'UN PROCEDE
La première démarche à réaliser, avant d'entreprendre l'analyse d'un procédé, consiste à
schématiser l'ensemble des opérations, représenter les entrées et les sorties afin de préciser les
limites du procédé et les échanges avec le milieu extérieur. Il est nécessaire de choisir une base de
bilan en fixant l'horizon de temps (généralement une heure, un jour ou une année de
fonctionnement) et en indiquant les unités pour les compositions et les débits (% molaire ou
massique, Kmol.h-1 ou Kg.h-1).
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On note ensuite sur le schéma toutes les données provenant des essais en laboratoire
(compositions, taux de conversion, rapports de débits…) ainsi que les flux connus ou les capacités
de production. Cette étape permet de s'assurer que le système est bien défini par l'ensemble des
conditions et des hypothèses de fonctionnement et que la variance est nulle.
On dénombre enfin toutes les inconnues pour lesquelles l'écriture d'un nombre équivalent
d'équations indépendantes, linéaires ou non linéaires et leur résolution conduiront à la solution du
problème.
Le type et l'architecture des procédés que le spécialiste est amené à étudier peuvent varier
très largement. Chaque cas nécessite, donc, une analyse spécifique, fonction de ses caractéristiques.
On peut, cependant, dégager un certain nombre de règles générales qui guideront le
praticien dans la résolution de chaque cas particulier.
2.1 - Analyse globale du procédé
Dans ce cas, le système considéré est le procédé dans son ensemble. Si le procédé comporte
n entrées et m sorties, le problème met déjà en jeu n+m débits massiques (ou molaires). Si le
procédé utilise p espèces chimiques différentes, éventuellement présentes dans les n-entrées et les
m-sorties, le problème consiste à déterminer les (n+m) p débits partiels correspondants.
* Dans le cas où il n'y a pas de réaction chimique, les équations de conservation de chacune
des espèces (bilan massique ou molaire) fournissent plusieurs relations indépendantes. Le problème
est d'autant plus ouvert que le nombre d'entrées et de sorties est élevé et le praticien devra, donc,
trouver :
p (n + m – 1)
relations supplémentaires.
* Si l'unité étudiée comporte un ou plusieurs réacteurs, on ne peut écrire la conservation des
réactifs qui sont transformés par chacune des réactions. On peut cependant écrire le bilan de masse
global qui ne fournit qu'une seule équation, généralement utilisée pour valider les résultats.
Dans ce cas, on peut écrire les équations qui traduisent la conservation des éléments
chimiques présents, dans tous les produits (on entend par élément chimique, tous les atomes tels
que H, C, O, N, etc….). Si l'ensemble des constituants (réactifs, produits, impuretés, solvants…)
met en jeu q éléments chimiques, le nombre d'équations indépendantes est égal à q-1. Le nombre de
relations supplémentaires devient maintenant :
p (n + m) – q + 1
Chercher ces relations supplémentaires constitue, à chaque fois, un problème particulier. On
peut, cependant, indiquer que :
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- la composition de certains courants peut être connue (par exemple, on sait qu'une matière
première est pure) ou bien doit être imposée (par exemple, tel produit n'est commercialisable que
s'il satisfait certaines spécifications),
- certaines performances globales doivent être connues. Par exemple, on doit pouvoir
évaluer, d'une manière ou d'une autre, les consommations de certaines espèces et les productions
d'autres par les réactions chimiques mises en jeu. On doit, également, pouvoir fixer les taux de
partage de certaines espèces que les dispositifs de séparation et de purification vont permettre
d'atteindre.
Par exemple, dans une première analyse grossière, on pourra supposer que les rendements et
sélectivités chimiques mesurés au laboratoire vont être atteints à l'échelle industrielle. Pour les
séparations, on fera souvent l'hypothèse qu'elles sont tranchées, c'est-à-dire que chaque produit se
retrouve dans un seul courant précis et parfois à l'état pur. Il est utile de préciser, ici, que tant que le
spécialiste ne dispose pas du nombre de relations nécessaire, résoudre le bilan matière global
s'avère tout simplement impossible. La seule solution consiste à poursuivre le raisonnement pour
établir les relations manquantes. Ce travail peut imposer d'effectuer des mesures, en particulier sur
les efficacités des transformations chimiques.(taux de conversion, sélectivité,…)
Au niveau des bilans énergétiques, le problème comporte (n+m) températures inconnues et
un flux global d'échange avec le milieu extérieur, soit (n+m+1) inconnues. Au départ, le spécialiste
dispose d'une seule équation, celle de bilan enthalpique global. Il doit, donc, trouver (n+m)
équations supplémentaires pour fermer le problème. Très souvent, il connaîtra ou fixera
arbitrairement les températures de chaque courant et calculera le flux global d'échange.
2.2 - Analyse appareil par appareil
Si l'analyse globale d'un procédé fournit déjà des informations utiles, par exemple sur les
flux de matières premières, les flux de produits, le flux global d'énergie thermique à échanger avec
l'extérieur, elle est loin de donner toutes les informations nécessaires. Le design de chacun des
appareils qui constituent l'unité ne devient possible, en effet, que lorsque les débits entrant et
sortant, les températures et les compositions des courants correspondants sont connus.
Le nombre d'inconnus devient beaucoup plus élevé que précédemment puisqu'il faut
déterminer, outre les débits, températures et compositions des entrées et sorties dans l'unité et le
flux global échangé avec l'extérieur, toutes les caractéristiques des courants entre appareils et les
flux de chaleur échangés avec l'extérieur appareil par appareil.Heureusement, le nombre
d'équations croît aussi puisqu'on peut ajouter aux bilans matière et enthalpie globaux, ces mêmes
bilans appareils par appareils. Il n'en reste pas moins vrai que, si on se limitait à ces relations, le
problème resterait ouvert. Il faut donc ajouter un grand nombre d'équations supplémentaires
correspondant, soit au comportement chimique et physique global de l'unité, soit maintenant à ces
mêmes comportements mais appareil par appareil.
Comme nous l'avons fait dans le paragraphe précédent, nous voulons préciser que les bilans
ne deviennent solubles qu'à partir du moment où on a réuni suffisamment d'informations sur les
performances de chaque appareil pour fermer le problème. Ajoutons que la précision des calculs de
bilan s'améliore au fur et à mesure qu'on affine les caractéristiques du fonctionnement de chaque
appareil.
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3 - INFLUENCE DE L'ARCHITECTURE DU PROCEDE
Les architectures de procédé peuvent varier très largement. Mais, on peut les classer en
deux grandes catégories : 1) les unités à écoulement unidirectionnel, dans lesquelles la matière
circule toujours de l'amont vers l'aval, soit de manière linéaire, soit avec des dérivations et 2) les
unités avec recyclage, dans lesquelles un ou plusieurs courants sont ramenés de l'aval vers l'amont ;
le bon fonctionnement du recyclage peut nécessiter la mise en place d'un courant de purge, dont
l'importance sera analysée plus loin.
Organiser un recyclage est indispensable chaque fois que le ou l'ensemble de réacteurs que
l'unité comporte ne peut transformer qu'une fraction de la matière première, par exemple parce que
la ou les réactions sont équilibrées. Le courant de sortie du réacteur comprend, donc, encore, une
fraction non négligeable de matières premières qui n'ont pas réagi. Après un train de séparations
convenable, qui isole ces matières premières des produits de la réaction, il devient possible de les
renvoyer vers l'entrée du réacteur.
Il faut réaliser, ici, que le train de séparations que nous avons évoqué ne donne que rarement
la matière première dans l'état où on en disposait à l'origine. On y laisse souvent des sous-produits
qui sont peu gênants. On y laisse aussi, parfois, des produits qu'il serait très difficile de séparer et
qui, eux, peuvent s'avérer plus gênants. Un cas relativement fréquent est celui où on ne peut enlever
totalement une espèce qui ne réagit pas -ou peu- dans le réacteur et qui va, donc, progressivement
s'accumuler dans la boucle de recyclage.
Pour éviter que la concentration de cette espèce n'augmente trop, on met alors en place un
courant de purge qui enlève une fraction de la matière qui tourne dans la boucle de recyclage. Cette
sortie permet de stabiliser la concentration de l'impureté inerte ; la contrepartie est que cette sortie
fait perdre une partie de la matière réactive utile. Il s'avère donc fondamental de choisir, avec le
maximum de soin, la concentration dans le courant de recyclage et le débit de purge.
La mise en place d'un recyclage introduit immédiatement des inconnues supplémentaires
dans le problème de bilan matière et énergie. La résolution devient beaucoup plus complexe dans la
mesure où les variables d'entrée dépendent de celles de sorties. Les inconnues ne sont plus
indépendantes et sont liées par les équations de mélange en amont de l'appareil sur lequel on place
un recyclage. La procédure à mettre en œuvre dans ce cas est présentée au paragraphe 6.
4 - A PROPOS DU ROLE DES BILANS DANS LA CONCEPTION D'UNE
UNITE
La procédure qui permet de passer de l’idée de lancer la fabrication d’un produit nouveau à
la réalisation est longue et complexe ; discuter les stratégies correspondantes dépasserait largement
le cadre de ce cours.
Nous nous limitons à indiquer, très schématiquement, qu’il faut faire choix d’un principe de
procédé, en analyser les phases principales, déterminer les consommations matière et énergie et,
enfin, concevoir, jusqu’au plus petit détail utile, chacun des équipements nécessaires. Précisons que
cette démarche conduit, nécessairement, à élaborer plusieurs jeux de bilans matière et énergie, une
première version avec des hypothèses relativement grossières sur les performances de chaque
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appareil, au début, quand on connaît encore mal le fonctionnement de l'unité, puis avec des
hypothèses de plus en plus fines au fur et à mesure qu’on avance dans le travail de conception de
détail.
Dans toute la suite du chapitre, nous allons illustrer les informations générales que nous
allons donner en présentant quelques exemples simples, correspondant plutôt à une première
formulation des bilans matière et énergie, lorsque les hypothèses de travail restent encore très
rudimentaires. Avant de rentrer dans le vif du sujet, nous voulons insister sur deux commentaires :
- même avec des hypothèses de travail encore grossières, les bilans fournissent des
informations utiles et permettent, souvent très tôt, de montrer qu’un projet n’offre pas les
conditions de rentabilité nécessaires et doit être arrêté,
- la partie du travail la plus difficile est celle qui correspond au bilan matière. Lorsque les
débits d’entrée et de sortie de l’unité et de chaque appareil sont connus, le bilan enthalpique permet
de calculer les flux de chaleur qu’il faut échanger avec le milieu extérieur, sans problème
particulier. Il existe, cependant, un certain nombre de cas pour lesquels la rentabilité de l’unité est
étroitement liée à son organisation thermique. Alors, il faut traiter les deux bilans simultanément.
Si les conditions opératoires ont déjà été arrêtées, effectuer les bilans constitue un exercice
relativement simple ; nous nous limiterons à évoquer très sommairement, les difficultés
particulières que soulèvent la mise en place de boucles de recyclage ou de purges. Par contre, la
question devient beaucoup plus complexe dès que les conditions opératoires ne sont pas fixées.
Alors, l’utilisation systématique des bilans permet de déterminer comment les consommations de
matières premières, les productions de sous-produits et les consommations énergétiques évoluent
en fonction de ces conditions opératoires. Nous présentons ci-après un exercice simple qui donne
un exemple des résultats qu’on peut ainsi obtenir.
5 - CAS D'UNE ARCHITECTURE DE TYPE LINEAIRE
Sur un plan très général, fabriquer par réaction chimique un produit particulier demande
d'exécuter successivement plusieurs types d'opérations, d'abord pour préparer les matières
premières, ensuite pour conduire la ou les réactions utiles et, enfin pour séparer les produits de la
ou des réactions et raffiner chaque courant. Dans une unité qui fonctionne en régime permanent,
ces opérations sont effectuées, les unes après les autres, en faisant circuler la matière à travers une
série d'appareils conçus pour former une séquence convenable.
Dans le cas le plus simple, l'architecture de l'unité est de type linéaire ; les matières
premières y pénètrent à une extrêmité et le produit désiré sort à l'autre bout. Le flux d'informations
nécessaire pour déterminer les courants de matière et d'énergie dans l'unité est aussi linéaire. La
résolution des équations correspondantes peut être effectuée assez simplement, en partant du point
où le maximum d'informations est disponible et en déterminant les performances de chaque
équipement. Au début de l'analyse, ces performances sont évaluées de manière grossière en
adoptant des hypothèses simples et en consentant une marge d'erreur assez forte : beaucoup
d'appareils, les échangeurs de chaleur ou les séparateurs par exemple sont supposés fonctionner de
manière idéale. On considère souvent les séparations comme tranchées, ce qui signifie que chaque
constituant se retrouve totalement et en état parfaitement pur à la sortie de l'appareil dont le rôle est
de le récupérer.
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La tâche est plus délicate avec les réacteurs. Pour ces appareils complexes, la première
analyse considère souvent que les performances qui ont été obtenues à l'échelle du laboratoire vont
être conservées à l'échelle de la production industrielle. Au fur et à mesure que l'étude progresse et
que les performances de chaque appareil sont déterminées avec plus de précision, soit par le calcul,
soit par analyse expérimentale, les bilans sont affinés.
Sans davantage développer les éléments méthodologiques que nous venons d'évoquer, nous
présentons un premier exemple de résolution de bilans sur une unité de production d'alcool
éthylique dont l'architecture est de type linéaire.
5.1- Exemple
Enoncé
Les unités industrielles de production d’alcool éthylique à partir d’éthylène et d’eau
peuvent, dans le cas d'une architecture de type linéaire, être représentées par le schéma de principe
de la figure 1.
C2H4 3
C2H5OH
2 S
1 5
Réacteur 1
C2H4
H2O
S
2
6
4
H2O
Figure 1 : Schéma de principe de production d’alcool éthylique
L'hydratation de l'éthylène a lieu en phase vapeur (sous pression) et on suppose ici qu'il n'y
a pas de réaction secondaire ni de sous-produits et que les deux séparations S1 et S2 sont tranchées
et permettent ainsi d'obtenir les produits purs.
La réaction considérée est la suivante :
C2 H4 + H2O → C2H5OH
La nature du catalyseur utilisé dans le réacteur et les conditions opératoires sont telles que la
réaction n'est pas totale.
Dans la suite, nous désignerons les produits par les indices suivants :
i = 1 pour C2H4
8________________________________________________________________________________
i = 2 pour H2O
i = 3 pour C2H5OH
Nous noterons Nij le flux molaire de l'espèce i au point j (voir figure 1).
L'analyse du procédé dans son ensemble (maille générale) fait apparaître quatre courants
(N1, N3, N5 et N6). On doit donc déterminer quatre débits partiels pour chacun des trois produits,
soit au total 12 inconnues.
Les bilans de masse par produit fournissent deux relations indépendantes. On notera qu'elles
sont équivalentes à l'écriture de conservation de deux éléments chimiques parmi les trois qui
interviennent (C, H, O). Il est donc nécessaire de trouver 10 relations supplémentaires. Les sept
premières traduisent la nature des courants d'entrée et de sortie :
N31 = 0 N23 = 0 N33 = 0 N15 = 0 N25 = 0 N16 = 0 N36 = 0
Les 3 autres équations traduisent les conditions de fonctionnement :
N 21
- on note a le rapport (la réaction s'effectue avec un excès d'eau)
N 11
- on fixe la quantité d'alcool à produire : N35 = b
- on suppose connaître le taux de conversion τ de l'éthylène dans le réacteur, défini par le
rapport entre le nombre de moles de C2H4 converties dans le réacteur et le nombre de moles de
N 2
C2H4 à l'entrée du réacteur, soit τ = 1 - 1 1 .
N1
Calcul littéral
Au départ, l'information dont on dispose est le flux de production qu'on souhaite obtenir (et
que des études de marché ont permis de fixer). Le calcul doit, donc, démarrer de la sortie de l'unité
et remonter de proche en proche jusqu'à l'entrée pour fixer les débits de matières premières
nécessaires. Les bilans sur les séparations tranchées S2 puis S1 permettent, compte tenu des
hypothèses et de la stoechiométrie de la réaction, d'établir aisément la série d'équations suivantes :
b
N35 = N32 = τ N11 = b d'où N11 =
τ
ab
N21 = a N11 =
τ
b
N13 = N12 = (1 - τ) N11 = (1 - τ)
τ
ab a
N26 = N22 = N21 – N35 = - b = b ( - 1)
τ τ
Application numérique
Les conditions de fonctionnement du ou des réacteurs qui équipent une unité industrielle
sont souvent difficiles à fixer. Elles devraient idéalement résulter de calculs d’optimisation menés
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en exploitant les résultats d’essais, réalisés au laboratoire. Imaginons que de premières expériences
aient montré que, pour a = 2 (deux foix plus d’eau que d’éthylène dans l’alimentation), le taux de
conversion vaut 0,2. Pour une première analyse, on se contentera souvent d'admettre que ces
résultats vont pouvoir être reproduits à l'échelle industrielle. Alors, les relations générales que nous
avons établies permettent de déterminer tous les débits, soit :
pour a = 2 et b = 1000 Kmol.h-1 soit une production d’environ 400.000 tonnes/an
N11 = 5000 Kmol.h-1 N 22 = 9000 Kmol.h-1
N12 = 10000 Kmol.h-1 N 32 = 1000 Kmol.h-1
N12 = 4000 Kmol.h-1 N13 = 4000 Kmol.h-1
N 62 = 9000 Kmol.h-1
Analyse de sensibilité
Une fois ce premier résultat établi, il est intéressant d'examiner quelles pourraient être les
conséquences de variations des performances d'un quelconque des appareils qui constituent l'unité.
A titre d'exemple, nous avons décidé de fixer notre attention sur le réacteur, qui constitue toujours
un des éléments essentiels de l'unité. Nous proposons, donc, de reprendre les bilans en conservant
les mêmes débits d'alimentation, mais en supposant que le taux de conversion dans le réacteur a
baissé et est devenu τ - ε. Comme ce sont, maintenant, les débits d'alimentation qui sont connus, les
bilans doivent être effectués en partant de l'entrée dans l'unité et en allant vers la sortie.
Cette fois, les calculs doivent être conduits dans le sens direct. Pour les valeurs établies ci-
dessus de N11 et N12 et pour un taux de conversion τ - ε, il vient :
N12 = (1− τ + ε ) N11 = N13
N 22 = N12 − ( τ − ε ) N11 = N 62
N 32 = ( τ − ε ) N11 = N 53
Application numérique : pour ε = 0,01, on calcule aisément :
N12 = N13 = 4050 Kmol.h-1
N 22 = N 62 = 9050 Kmol.h-1
N 32 = N 36 = 950 Kmol.h-1
On constate une diminution de la production de C2H5OH de 5%.
Interprétation
Nous venons de montrer que, en conception de procédé, les calculs doivent, d'abord, être
menés de l’aval vers l’amont pour une contrainte de production fixée. Ensuite, pour évaluer
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l'influence des conditions de fonctionnement, on doit reprendre les bilans de manière séquentielle
depuis l’amont vers l’aval.
Cet exemple académique met aussi en évidence que lorsque le taux de conversion dans le
réacteur est faible, une forte fraction des matières premières (ici l'éthylène) se retrouve à la sortie
du procédé. Pour des raisons évidentes d’économie de matière, il s'avère nécessaire de recycler ces
courants en amont du réacteur ce qui permet de diminuer fortement l’alimentation en produit frais.
La méthodologie à mettre en œuvre pour effectuer les bilans devient différente et sa présentation
fait l’objet du paragraphe suivant.
Si nous jetons, maintenant, un œil critique sur l'ensemble des résultats que nous venons
d'obtenir, nous observons que, avec l'architecture linéaire que nous avons sélectionnée, les
consommations de matières premières sont très élevées, alors que de grosses quantités de ces
espèces se retrouvent à la sortie sans avoir réagi. L'idée vient alors, tout naturellement, de renvoyer
ces courants de matières premières non utilisées en amont du réacteur, économisant ainsi des
quantités considérables de produits frais.
La boucle de retour vers l'amont du réacteur que nous venons d'évoquer est appelée un
recyclage.
6 - RECYCLAGES ET PURGES
Les caractéristiques d’une boucle de recyclage et, en particulier, le débit de réactif recyclé,
résultent toujours de la recherche d’un compromis, si possible optimum, entre le coût du réacteur
(qui augmente quand on veut faire croître le taux de conversion) et le coût du recyclage lui-même
et, en particulier, celui de l’indispensable recompression des gaz (qui augmente quand le taux de
conversion diminue).
Lorsque l’alimentation d’un réacteur comporte un constituant inerte ou une impureté qui ne
réagit pas et qu'il n'est pas possible d'éliminer au niveau des séparations situées en aval mais avant
le recyclage, il devient nécessaire de placer une purge sur la boucle de recyclage afin de limiter
l'accumulation dans le circuit.
De manière générale, effectuer des bilans de masse et d’énergie sur des installations
complexes comportant recyclages et purges soulève quelques difficultés car le traitement séquentiel
classique devient impossible, les variables (ou inconnues) en amont et en aval n’étant plus
indépendantes.
Toute installation classique dont les opérations ne sont pas positionnées de manière
séquentielle peut être représentée par décomposition en deux motifs (ou schémas) élémentaires.
a) Schéma Recyclage
Ce schéma comporte un ensemble d'équipements U, une boucle de recyclage R vers l’amont
et deux nœuds M et D. Le nœud amont M est un nœud de mélange (ou mélangeur). Le nœud aval D
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est un nœud de dérivation (ou séparation). L’ensemble U peut lui-même mettre en jeu plusieurs
opérations en série ou n'importe quel schéma plus complexe qu’il sera nécessaire de traiter
isolément et antérieurement. En général, dans ce type de motif, l'ensemble U comporte au moins un
réacteur (voir Figure 2).
M D
U
Figure 2 : Boucle de recyclage
b) Schéma Recyclage et Purge
Les caractéristiques sont très similaires à celles du motif précédent. Cependant, le schéma
comporte un troisième nœud P situé sur la boucle de recyclage R. Le nœud P est une dérivation à
partir de laquelle le courant de purge est dirigé vers l’extérieur du procédé, évitant ainsi
l’accumulation d’un constituant non réactif (voir Figure 3).
M U D
P
Purge
Figure 3 : Boucle de recyclage avec purge
Nous allons maintenant étudier les équations qui permettent d'effectuer les bilans de matière
pour ces deux schémas fondamentaux.
6.1 - Traitement des schémas élémentaires
12________________________________________________________________________________
Il s'agit de connaître les débits molaires partiels N ij de chaque constituant i en tout point j
du procédé ; on notera Nj le débit molaire total, Nj = ∑ N ij et x ij les fractions molaires (il serait
i
possible, également, d'opérer avec des débits et des fractions massiques).
1. Equations indépendantes sur les nœuds
Les nœuds, mélange ou dérivation, ne font pas intervenir de réaction chimique. Il suffit
donc d’écrire la conservation de chacun des n constituants présents.
a) Le nœud de mélange
Si le courant de matière comprend n constituants, on peut écrire soit n équations
indépendantes exprimant la conservation de chaque constituant, soit n-1 équations de bilans partiels
et l’équation de bilan global (voir Figure 4).
3
1 M
2
Figure 4 : Nœud de mélange
Ainsi, on écrira :
N1i + N i2 = N 3i pour i = 1 à n
ou
N1i + N i2 = N 3i pour i = 1 à n-1
et
N1 + N 2 = N 3 (bilan global)
b) Nœud de dérivation
Les équations de conservation s’écrivent (voir Figure 5) :
N1i = N i2 + N 3i pour i = 1 à n
ou
N1i = N i2 + N 3i pour i = 1 à n-1
et
N1 = N 2 + N 3 (bilan global)
13________________________________________________________________________________
3
1 D
2
Figure 5 : Nœud de dérivation
Remarque importante : pour un nœud de dérivation, comme par exemple le nœud P de purge, les
compositions des courants restent inchangées et donc :
x 1i = x i2 = x 3i pour i = 1 à n
2. Equations indépendantes sur les ensembles U
Si U est un ensemble d'architecture linéaire, il est traité avec les méthodes que nous avons
présentées dans le paragraphe précédent, avec des modes de traitement de chaque appareil plus ou
moins perfectionnés selon le niveau de connaissances auquel on est parvenu (voir Figure 6).
2
1 U
Figure 6 : Une maille U
Si U est une opération dans laquelle n'intervient aucune réaction chimique, on écrira la
conservation de tous les constituants entre les entrées et les sorties.
Si U comporte un ou plusieurs réacteurs, il n'est plus possible d'écrire la conservation des
produits réactifs. On s'attachera, en utilisant les équations stoechiométriques des réactions ou en
écrivant la conservation des éléments chimiques entre l'entrée et la sortie, à exprimer les débits
molaires Ni2 de sortie en fonction des débits molaires d'entrée Nj1. Quelle que soit la complexité de
l'architecture de U, quel que soit la nature des opérations physico-chimiques mises en jeu, l’objectif
est d’aboutir à des relations qui permettent d’exprimer les courants de sortie en fonction de ceux à
l’entrée, sou la forme d'une série d'équations du type :
Ni2 = f (N11, N21, …, Nj1 …)
Pour chaque constituant de sortie, chacune de ces relations est fonction de la température,
de la pression, du taux de conversion….
14________________________________________________________________________________
6.2 - Traitement d'unité avec recyclage
Dans le cas général, n'importe quel changement sur les flux (ou la composition) à l'entrée
provoque des variations des flux (ou de la composition) à la sortie, donc, dans la boucle de
recyclage, donc à l'entrée de l'ensemble U. Dans cette situation où les conditions de fonctionnement
en amont et en aval sont liées, il devient nécessaire d'effectuer un calcul itératif pour déterminer le
point d'équilibre au niveau duquel vont se stabiliser ces flux et compositions. Il existe, cependant,
un certain nombre de cas où il n'est plus nécessaire d'itérer et où le calcul devient plus facile.
Il s'agit, par exemple, des unités dans lesquelles les appareils de séparation permettent de
récupérer le courant de recyclage à composition fixe et indépendante du taux de recyclage. Alors la
composition à l'entrée et les compositions et débits en n'importe quel point à l'intérieur ou à la
sortie de l'unité deviennent indépendants du pourcentage de réactif recyclé.
Il faut noter que si cette situation correspond rarement au comportement d'unités réelles, elle
constitue cependant une hypothèse excellente pour un premier calcul.
Alors deux approches peuvent être utilisées.
1) Méthode directe
La méthode directe, ou approche équation-orientée, consiste à résoudre globalement le
système algébrique d'équations faisant intervenir l'ensemble de toutes les grandeurs inconnues.
On peut aisément dénombrer toutes les inconnues qui correspondent aux débits molaires
partiels de tous les produits en tous les points de l'installation.
Les équations de bilan sont écrites pour tous les constituants présents au nœud amont de
mélange M, au nœud aval de dérivation D et sur l'ensemble U où l'on exprime les flux de sortie en
fonction des flux d'entrée. Généralement, le nombre d'équations de bilan est inférieur à celui des
inconnues et il est nécessaire de rajouter des relations supplémentaires qui résultent de l'analyse du
procédé dans son ensemble ou des conditions de fonctionnement des appareils, enfin de la
connaissance de certains courants ou de certaines compositions imposées par les essais en
laboratoire.
La résolution globale du système algébrique (linéaire ou non-linéaire) ainsi obtenu, fournit
tous les débits partiels. On peut alors déterminer les débits globaux ainsi que les compositions en
tous les points du procédé.
2) Méthode inverse
Cette procédure s'appuie sur les concepts de modélisation inverse qui consiste à déterminer,
pour une unité quelle qu'elle soit, les entrées en fonction des sorties souhaitées, ou calculées à partir
d'un modèle de simulation établi antérieurement et dans lequel les sorties dépendent évidemment
des entrées et des conditions opératoires.
Lorsque le problème s'avère plus complexe, c'est-à-dire pour un nombre important
d'inconnues, une approche plus réaliste conduit à s'appuyer sur les informations fournies ou les
données expérimentales collectées afin d'obtenir successivement et localement les valeurs de
grandeurs inconnues qui sont fondamentalement nécessaires pour la résolution du problème.
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A partir des données et des informations expérimentales les plus pertinentes, qui sont en
général disponibles au niveau de tout ou partie des sorties du procédé ou des opérations les plus
importantes (par exemple la capacité de production imposée, le taux de conversion ou les
compositions à la sortie d'un réacteur, les taux de répartition des produits dans les opérations de
séparation), on écrira, pour tous les constituants présents, les équations qui permettent de calculer,
pour un appareil donné, les flux de sortie en fonction des courants d'entrée. Cette méthodologie
permet d'exprimer de proche en proche, et de manière cyclique et inverse à l'écoulement naturel des
flux (c'est-à-dire de l'aval vers l'amont), les inconnues considérées successivement de l'aval vers
l'amont en fonction des inconnues des courants situés en amont.
Cette série de relations, traitées par substitution des variables inconnues, conduit
généralement à une équation de fermeture au niveau du nœud amont M de mélange du flux de
recyclage avec l'entrée des matières premières qui vont alimenter le réacteur.
Dans la plupart des cas, l'équation de fermeture est linéaire et ne pose donc aucun problème
de résolution. L'alimentation du réacteur étant alors connue, tous les autres courants situés en aval
du réacteur peuvent être déterminés, en particulier le débit de recyclage ou la quantité de matières
premières entrant dans le procédé. On peut aisément, s'il y a des réactions chimiques secondaires
déterminer les quantités de sous-produits fabriqués.
Cette approche inverse, contrairement à la méthode directe, permet de déterminer,
rapidement et sans trop de calculs, le débit de recyclage dont on a antérieurement souligné
l'importance au plan technico-économique et ainsi de juger des performances du réacteur.
- Exemple n°1
L'ensemble U ne comprend qu'un réacteur dans lequel s’effectue la réaction A → B. Dans
l’hypothèse où la réaction est monomoléculaire et en désignant par τ le taux de conversion rapporté
au réactif A, il vient, si le produit A est pur en entrée :
N 2A = (1− τ ) N1A
N 2B = τ N1A
- Exemple n°2
L’entrée de l'ensemble U comporte 3 réactifs A, B et C et les études chimiques au
laboratoire ont suggéré que les conditions optimales de réaction correspondent à une composition
d’entrée bien précise, par exemple la condition de fonctionnement x 1A = a. Cette contrainte,
indépendante de toutes les équations de bilan matière, devra se traduire par :
N1A N1A
x 1A = = = a
N1A + N1B + N1C N1
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6.3 - Exemple d'unité avec recyclage
Considérons le procédé de craquage catalytique du propane afin de produire du propylène.
Le mélange gazeux sortant du réacteur comporte du propane (1) qui n’a pas réagi, le propylène (2)
et des sous-produits tels que l’hydrogène (3), le méthane (4) et l’éthylène (5), par exemple.
Si des essais de laboratoire ont permis de mesurer des compositions du mélange gazeux à la
sortie d’un réacteur d’essai de petite taille, on peut effectuer une première série de bilans, en
supposant que ces valeurs seront conservées lorsqu’on passera à l’échelle industrielle. Pour obtenir
une meilleure idée de l’installation future, on peut, de plus, supposer qu’on installe derrière le
réacteur un ensemble d’appareils de séparation qui va permettre de fournir chacun des constituants
du mélange à l’état pur, le propane non consommé qui est recyclé en amont du réacteur, le
propylène dont la production P est fixée, enfin les trois autres sous-produits suivant le schéma
suivant (Figure 7).
H2,CH4,
6 C2H4
5
1 2 3 S C3H6
M Réacteur
C3H8
4
C3H8
Figure 7 : Schéma de principe du procédé
Avec les hypothèses grossières qui viennent d'être présentées, on peut effectuer une
première série de bilans pour déterminer tous les débits molaires partiels et, en particulier,
l’alimentation N11 en propane frais et le débit de recyclage N14.
Le problème comporte 12 inconnues (les débits molaires partiels non nuls en tous les points
de l’installation) si on ne fixe aucune donnée : N11, N12, N14, N13, N23, N3 3, N43, N53, N25, N46, N36,
N56.
Le nœud de mélange, en amont M du réacteur, fournit une équation (un seul constituant, le
propane), le nœud aval (correspondant à la séparation S) conduit à cinq équations qui
correspondent à la conservation des cinq constituants, enfin le réacteur permet d’écrire une
septième équation indépendante (la conservation de l’élément C ou H) puisque l'on ne connait pas
la stoechiométrie des réactions qui se produisent. Le degré de liberté est donc de cinq et l'on doit
fournir cinq relations supplémentaires pour fermer le système. On a choisi de fixer tout
naturellement la capacité de production de propylène P et les compositions à la sortie du réacteur
fournies par les essais en laboratoire.
Approche de résolution directe
Cette méthodologie consiste à écrire les 12 équations indépendantes en fonction des 12
inconnues et à résoudre le système algébrique ainsi obtenu.
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Avec les notations indiquées au début, il vient :
a) nœud amont (un seul constituant, le propane)
2 1 4
N1 = N1 + N1 (1)
b) nœud aval (séparations tranchées avec 5 constituants)
N13 = N 14 (2)
N 32 = N 52 (3)
N 33 = N 36 (4)
N 34 = N 64 (5)
N 35 = N 56 (6)
c) réacteur (conservation de l’élément H)
8 N 1 2 = 8 N 13 + 6 N 32 + 2 N 33 + 4 N 34 + 4 N 35 (7)
Remarque : on aurait pu écrire, de manière équivalente à l’équation (7) la conservation de l’élément
C qui aurait fourni :
3 N 1 2 = 3 N 13 + 3 N 32 + N 34 + 2 N 35 (7bis)
ou encore l'équation de bilan matière global sur le réacteur ou sur le procédé dans son ensemble :
44 N12 = 44 N13 + 42 N23 + 2 N33 + 16 N43 + 28 N53
ou
44 N11 = 42 N25 + 2 N36 + 16 N46 + 28 N56
Enfin, les cinq dernières équations traduisent les conditions de fonctionnement
(compositions xi3 à la sortie du réacteur qui sont fournies par les résultats des essais expérimentaux)
et la production de propylène :
N 52 = P (8)
en posant, pour alléger l’écriture :
N 3 = N13 + N 32 + N 33 + N 34 + N 35
il vient :
18________________________________________________________________________________
N 13
3
= x 13 (9)
N
N 32
3
= x 32 (10)
N
N 33
3
= x 33 (11)
N
N 34
3
= x 34 (12)
N
La résolution du système algébrique linéaire fournit sans trop de difficultés ici les valeurs
des 12 inconnues.
Méthode inverse
Il s’agit, dans cette approche, d’écrire tout d’abord les équations sur des éléments du
procédé où l’on possède un maximum d’informations (on n’écrira pas d’équation au nœud amont
puisque N 11 , N 14 , N 12 sont inconnus). Cette approche, qui consiste donc à rechercher dans tout le
procédé, des possibilités de résolution locale afin de déterminer des inconnues importantes conduit
ici à se préoccuper du nœud aval de séparation S dont on connaît la sortie 5 et la composition de
l’entrée 3. Ainsi :
- les équations (2), (8) et (10) fournissent N3 et donc tous les débits molaires partiels en 3
(équations 9, 11 et 12),
- les équations (2) à (6) fournissent le débit de recyclage N 14 et les débits molaires partiels
en 6,
- la relation (7) permet de calculer N 12 ,
- enfin l’équation (1) fournit N 11 , le débit de propane frais entrant dans le procédé de
craquage catalytique. Cette dernière équation, correspondant au nœud amont, est alors désignée par
le vocable d’équation de fermeture.
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6.4- Unité avec recyclage et purge
Rappelons que, lorsque l’alimentation contient un constituant qui ne réagit pas (impureté ou
inerte), et que le système de séparations ne permet pas d'éliminer et qui va, donc, obligatoirement
s’accumuler dans le circuit de recyclage, il est nécessaire de placer une purge ; en régime
permanent la purge doit évacuer une quantité de ce constituant égale à celle qui entre dans
l’installation (Figure 8).
En désignant par x FI la fraction molaire du constituant à éliminer dans l’alimentation F, par
x PI cette même fraction molaire dans la purge P, l’équation fondamentale de purge, indépendante
de toutes les autres équations s’écrit :
F . x FI = P . x PI
soit en débit molaire partiel N FI = N PI
Remarque : la purge correspond à une simple dérivation de courants et donc x PI = x RI .
La procédure de résolution est analogue à celle d'une unité avec recyclage (méthode directe
ou méthode inverse). Cependant, l'installation comporte une sortie supplémentaire, le courant de
purge dont il faut tenir compte dans l'analyse globale du procédé dans son ensemble (bilan matière
global, bilan de conservation des éléments chimiques) et qui nécessite dans tous les cas l'écriture de
l'équation fondamentale de purge NIF = NIP traduisant l'évacuation d'une quantité d'inerte égale à
celle qui entre dans l'installation.
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