Evolution des premiers modes d'instabilité dans le système de Taylor-Dean en solution viscoélastique
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55 Laghouati et al., Rhéologie, Vol. 7, 55-60 (2005)
Evolution des premiers modes d’instabilité dans le système
de Taylor-Dean en solution viscoélastique
Y. Laghouati1, A. Bouabdallah2 et I. Mutabazi3
(1) Département de Physique, Faculté des Sciences, USTO-MB, BP 1505, El M’naouar, 31000 Oran, Algérie.
(2) Laboratoire de Thermodynamique et Systèmes Energétiques, Faculté de Physique, USTHB
BP 32, El Alia, Bab Ezzouar, 16111 Alger, Algérie.
(3) Laboratoire de Mécanique, Physique et Géosciences, Université du Havre, BP 540, 76058 Le Havre Cedex
Reçu le 16 mars 2004 - Version finale acceptée le 11 février 2005
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Résumé : Ce travail expérimental concerne l’étude des premiers modes d’instabilité dans l’écoulement de Taylor-Dean
dans le cas d’un fluide viscoélastique. On s’intéresse particulièrement à l’effet de la concentration du polymère PEO
WSR 303 sur l’apparition des deux modes de structure, à savoir les modes primaire (rouleaux propagatifs inclinés) et
triplet (modulation des rouleaux propagatifs). Les conditions d’essais correspondent au système d’écoulement de type
Taylor-Dean, constitué par deux cylindres coaxiaux définissant un jeu radial δ = 0.878 (petit espace annulaire) et de
rapport d’aspect Γ = 90. Le paramètre de contrôle est la vitesse de rotation imposée par un moteur asservi par un micro-
ordinateur, fonctionnant en mode quasi-statique. Les solutions correspondent à un fluide viscoélastique obtenu par
addition de polymère PEO dans de l’eau, défini par une concentration c variant dans la plage de 50 à 500 ppm. Le
nombre de Reynolds est défini avec la viscosité du solvant. Nos résultats, obtenus par visualisation à partir d’un
traitement d’images, confirment le phénomène de retard à l’apparition des instabilités. En particulier, il a été observé
que les valeurs critiques associées Rec et Rem des modes primaire et triplet augmentent avec la concentration c, mais
l’écart relatif entre les deux nombres de Reynolds caractéristiques a tendance à diminuer nettement, mettant en évidence
le comportement asymptotique ou linéairement croissant de Re en fonction de c au voisinage de 500 ppm.
Mots clés : Système deTaylor-Dean, viscoélasticité, concentration, mode primaire et triplet.
[Abridged english version on last page]
1. Introduction Dans les liquides non-newtoniens plus proches de la
réalité industrielle dans laquelle le système de
Le système d’écoulement de type Taylor-Dean a fait Taylor-Dean apparaît (fabrication des pâtes de
l’objet d’importants travaux de recherches en raison papier, par exemple), il existe très peu d’études
de la simplicité de la géométrie, des propriétés de expérimentales. Joo and Shaqfey [4] ont fait une
symétrie et de la diversité des modes d’instabilité étude numérique du fluide de Boger dans la
qu’il présente. Parmi les travaux expérimentaux géométrie de Taylor-Dean, dans laquelle ils ont mis
relatifs à l’écoulement de type Taylor-Dean dans le en évidence l’importance de l’élasticité. Les
cas d’un fluide newtonien, on se bornera à citer les différentes études antérieures menées avec des
contributions de Mutabazi et al. [1, 2] et Bot et al. solutions viscoélastiques ont montré l’existence des
[3], qui concernent l’étude de la transition de modes inertio-élastiques ou des modes élastiques,
l’écoulement vers le chaos. selon la concentration et la nature des
Ces investigations restent peu nombreuses et se macromolécules [5]. Ainsi, Larson [5] a fait une
concentrent sur la caractérisation du premier mode synthèse des travaux théoriques et expérimentaux
de structure, avec des rouleaux propagatifs inclinés, relatifs aux écoulements viscoélastiques en régime
ainsi que du deuxième mode qui est associé à la transitoire. Les instabilités en modes inertio-
modulation des rouleaux propagatifs inclinés élastiques ont suscité de nouveau l’intérêt des
(triplet). chercheurs. Groisman et Steinberg [6, 7] ont
caractérisé la transition entre le régime inertiel, où la
force centrifuge a un effet déstabilisant, et le régime56 Laghouati et al., Rhéologie, Vol. 7, 55-60 (2005)
purement élastique dans le système de Taylor- extérieur est en verre Duran et a pour rayon b = 5.08
Couette. Récemment, Crumeyrolle et al. [8, 9] ont cm. L’espace annulaire entre les deux cylindres est d
étudié les premiers modes d’instabilité dans = 0.62 cm et a pour longueur L = 55 cm, de sorte
l’écoulement de Taylor-Couette avec des solutions que le jeu radial a pour valeur δ = a/b = 0.878 et le
de polyoxyéthylène (POE). Trois types de rapport d’aspect Γ = L/d = 90.
macromolécules POE de masse moléculaire
différente ont été utilisés (WSR 301, WSR 303 et
Aldrich).
Les phénomènes observés sur les différentes
structures de l’écoulement sont attribués au caractère
intrinsèque des propriétés viscoélastiques du fluide
et à l’influence des forces visqueuses par rapport aux
forces d’inertie de type centrifuge. Néanmoins, les
quelques observations phénoménologiques
disponibles demeurent insuffisantes pour expliquer
le mécanisme des effets du champ de concentration
sur la nature et la structure du mouvement ou pour
décrire finement les circonstances de l’apparition Figure 1. Système d’écoulement de Taylor-Dean.
des instabilités. Le cylindre intérieur est actionné par un servomoteur
Dans ce travail, nous présentons les résultats d’une tandis que le cylindre extérieur est maintenu fixe,
étude expérimentale des premiers modes définissant ainsi la configuration d’écoulement
d’instabilité de l’écoulement de type Taylor-Dean, globalement instable de type Taylor-Dean. Le
en présence de différentes solutions aqueuses de paramètre de contrôle régissant l’écoulement est le
polyoxyéthylène (PEO WSR 303). A cet effet, nous Ωad
nombre de Reynolds, Re = , où Ω désigne la
avons utilisé un dispositif d’essai permettant la ν
visualisation de l’écoulement, doté de techniques vitesse angulaire du cylindre intérieur et ν la
d’analyse et de traitement des données par imagerie. viscosité cinématique du fluide. Les précisions sur
Préalablement, nous avons choisi un protocole les dimensions géométriques et la vitesse de rotation
expérimental quant aux conditions de mise en sont inférieures à 0.5 %. L’erreur commise sur la
régime des vitesses et avons déterminé le viscosité ν est de l’ordre de 1 %.
comportement rhéologique des solutions préparées à
base de POE WSR 303. L’étude de l’évolution des 2.2. Méthode de visualisation
nombres de Reynolds critiques, associés aux
Concernant la visualisation de l’écoulement, on
premiers modes d’instabilité, en fonction de la
ajoute aux solutions 1 % en volume de Kalliroscope
concentration nous a permis de mettre en lumière
AQ 1000, permettant de procéder en mode de
l’influence structurelle de la concentration. Nous
réflexion optique. Une caméra CCD linéaire à 1024
discuterons cette dépendance et conclurons sur la
pixels est placée parallèlement à l’axe des cylindres,
propriété essentielle obtenue avant de donner une
enregistrant la lumière réfléchie. Les lignes
perspective à ce travail.
enregistrées pour des intervalle de temps égaux
fournissent un diagramme spatio-temporel de
2. Conditions expérimentales l’intensité lumineuse I(x, t), à partir duquel les
propriétés spatiales et temporelles des structures de
Elles concernent le système d’écoulement, les
l’écoulement sont extraites par traitement du signal.
techniques d’acquisition et de traitement des images
La longueur et la fréquence d’acquisition sont
obtenues par visualisation en mode de réflexion
respectivement fixées à La = 35 cm et fa = 10 Hz,
optique.
donnant ainsi une bonne reproductibilité des
2.1. Cellule de Taylor-Dean mesures.
Le système de Taylor-Dean est constitué de deux
2.3. Traitement du signal
cylindres coaxiaux d’axe horizontal, rempli
partiellement par une solution de POE préparée avec La technique de démodulation du signal, par la
de l’eau permutée (Figure 1). Le cylindre intérieur transformée inverse de Hilbert, permet l’accès aux
de rayon a = 4.46 cm est en Delrin noir. Le cylindre valeurs de la fréquence et du nombre d’onde. Le57 Laghouati et al., Rhéologie, Vol. 7, 55-60 (2005)
signal lumineux I(x, t) est transformé en une L’allure des courbes ainsi obtenues présente une
expression complexe équivalente : évolution de rhéofluidification (Fig. 2) : la viscosité
{
I ( x, t ) = R A(x, t ) e i Φ ( x ,t ) } (1)
dynamique η est constante jusqu’à un certain taux
de cisaillement γ& (plateau newtonien), puis elle
où A(x, t) représente l’amplitude et Φ(x, t) la phase décroît pour des taux de cisaillements plus élevés.
totale. La fréquence et le nombre d’onde, locaux et Ce comportement peut être formulé selon le modèle
instantanés, sont déterminés par les gradients spatial de Carreau :
et temporel de la phase Φ :
[
η = η 0 1 + (λγ& ) 2 ]
−n
(3)
∂Φ 1 æ ∂Φ ö
k ( x, t ) = et f ( x, t ) = ç ÷ (2) où η0 est la viscosité du plateau newtonien, λ un
∂x 2π è ∂t ø
temps caractéristique de la solution et n l’exposant
de rhéofluidification.
2.4 Comportement rhéologique
Le polyoxyéthylène utilisé (WSR 303) est un 2.5 Condition de mise en régime des vitesses
polymère flexible neutre de masse molaire M = 7 107 On a d’abord travaillé avec une solution d’eau pure à
g/mole (selon les indications du fournisseur, Union
25 ± 0.5°C, pour vérifier les seuils d’apparition des
Carbide). Il se présente sous forme de poudre
deux premiers modes d’instabilité. On a procédé
blanche. Le protocole de dissolution du WSR 303
ensuite aux expériences avec des solutions préparées
est lent. Les solutions sont réalisées en dispersant la
à 25 ± 0.5°C. Chaque essai utilisant une solution de
poudre progressivement dans un volume de 800 mL
concentration c donnée est conduit en augmentant
d’eau. Pour assurer une bonne stabilisation de la
progressivement la vitesse de rotation, tout en
solution, le récipient est fermé et conservé dans un
respectant des paliers de stabilisation de
réfrigérateur à 8 °C durant 3 jours. Les solutions
l’écoulement d’une durée de 15 minutes, temps
sont homogénéisées avant utilisation à l’aide d’un
largement supérieur au temps de dissipation
agitateur magnétique pendant 10 minutes. La
concentration des échantillons utilisés varie de 50 à visqueuse τν = d2/ν = 42,7 s. En procédant en mode
1000 ppm. quasi-statique, on ne perturbe pas l’écoulement, de
sorte que l’on garantit ainsi une bonne
reproductibilité des mesures. Le nombre de
Reynolds est calculé en utilisant la viscosité du
solvant.
3. Résultats et discussions
3.1. Etude du premier mode d’instabilité
Pour un solvant newtonien (eau pure), à 25 ± 0.5°C,
la valeur du paramètre de contrôle relative à
l’apparition des rouleaux propagatifs inclinés est Rec
= 260 ± 2. Le diagramme spatio-temporel
correspondant (Fig. 3) est formé par des bandes
Figure 2. Evolution de la viscosité η en fonction du taux claires inclinées, qui alternent avec des bandes
de cisaillement pour des solutions de WSR 303 à 25°C; sombres. Les bandes se déplacent avec la même
à gauche, de bas en haut : eau, 50, 100, 150, 200, 250,
300, 350 et 400 ppm. vitesse de dérive. Les bandes claires représentent les
à droite, de bas en haut : 500, 600, 700, 800, 900 rouleaux et les bandes sombres leurs frontières.
et 1000 ppm. A partir du spectre temporel et spatial, on détermine
L’étude des lois de comportement de la solution de la fréquence f et le nombre d’onde k. A ce stade, on
WSR 303 à la température de 25°C a été effectuée à évalue les valeurs critiques de la fréquence (fc =
l’aide d’un viscosimètre de Couette, de type "low 0.478 ± 0.01 Hz) et du nombre d’onde (kc = 0.131 ±
shear 30" de Contraves. Pour une vitesse de rotation 0.01 mm-1). Ces résultats concordent de façons
Ω donnée, on impose un taux de cisaillement γ& égal satisfaisantes avec ceux obtenus par Bot et al. [3].
à Ω a/d et l’on mesure la valeur correspondante de la En modifiant la concentration c en PEO, pour des
concentrations c inférieures à 500 ppm, le premier
viscosité.
mode d’instabilité observé est le même que pour une58 Laghouati et al., Rhéologie, Vol. 7, 55-60 (2005)
solution newtonienne. On observe systématiquement Les Figures 4 et 5 représentent les valeurs en
que le seuil critique croît avec la concentration c. moyenne de la fréquence f et du nombre d’onde k
pour Re croissant, à une concentration c fixée de la
solution. Le paramètre de contrôle Re varie jusqu’à
une valeur de l’ordre de 500, où le taux de
cisaillement γ& est de l’ordre de 12.5 s-1 (plateau
newtonien).
(a)
1
0,95
0,9
0,85
f (Hz)
0,8 cc 300 ppm
0,75
0,7
0,65
0,6
485 490 495 500 505 510
Figure 3. Diagramme spatio-temporel
correspondant au mode primaire. Re
(b)
On note que pour les valeurs de c inférieures à 400 0,2
ppm, le taux de cisaillement imposé γ& c relatif à 0,18
l’apparition du premier mode de structure varie entre k (1/mm) 0,16
cc 300 ppm
6.51 et 15 s-1. Dans cet intervalle, la viscosité 0,14
dynamique est presque constante (plateau 0,12
newtonien). 0,1
480 485 490 495 500 505 510
Pour c = 500 ppm, le taux de cisaillement critique
est γ& c = 20.5 s-1 (effet de rhéofluidification) et le Re
nombre de Reynolds critique atteint une valeur Figure 5. Evolution de la fréquence (a) et du nombre
importante : Rec = 823.9 ± 2. d’onde (b) en fonction de Re pour une concentration
Pour c supérieur à 500 ppm, l’effet de c = 300 ppm.
rhéofluidification est efficace et il est difficile
d’observer distinctement les deux premiers modes, Pour la concentration c = 200 ppm, on constate que
vu les défauts et dislocations qui viennent s’ajouter la fréquence absolue f ne varie pas lorsque Re croît.
Dans l’intervalle 380 ≤ Re ≤ 420 , f est sensiblement
au phénomène.
constante autour de la valeur 0.675 Hz. En revanche,
(a)
0,74
on observe une légère diminution relative du nombre
0,72 d’onde k qui passe de 0.160 à 0.138 mm-1 dans le
0,7 même intervalle de valeurs de Re.
f (Hz)
0,68 cc 200 ppm
0,66
0,64
Pour la concentration c = 300 ppm, correspondant au
0,62 domaine 485 ≤ Re ≤ 510 , on note que la fréquence f
0,6
370 390 410 430
croît de 0.75 Hz pour atteindre une limite constante
Re
qui se situe autour de 0.94 Hz. Parallèlement, le
(b) nombre d’onde n’est pas affecté par le nombre de
0,2 Reynolds Re puisqu’il reste sensiblement constant
0,18 autour de la valeur k = 0.145 mm-1.
k (1/mm)
0,16
cc 200 ppm
0,14 3.2 Etude du deuxième mode d’instabilité
0,12
0,1
On procède de la même façon que précédemment,
370 390 410 430 d’abord avec un fluide newtonien (eau à 25 ±
Re 0.5°C), afin d’identifier la deuxième instabilité, qui
s’établit à la valeur critique Rem = 292.6 ± 2. Ce type
Figure 4. Evolution de la fréquence (a) et du nombre
d’onde (b) en fonction de Re pour une concentration
de perturbation correspond à une instabilité
c = 200 ppm. caractérisée par des rouleaux propagatifs inclinés,
accompagnés d’une modulation de longueur de59 Laghouati et al., Rhéologie, Vol. 7, 55-60 (2005)
l'ordre de presque trois fois la longueur d’onde du - Deuxième mode :
motif primaire (Fig. 6). Dès lors, on note les valeurs
critiques associées à la fréquence et au nombre Rem = 270 + e β c , c2 = 1/β = 149,3 ppm (5)
d’onde, telles que fm = 0.03 ± 0.005 Hz et km = 0.04
850
± 0.005 mm-1. Ces valeurs concordent avec celles
Nombre de Reynolds critique
Premier mode
mesurées par Bot et al. [3]. 750
Deuxième mode
650
Asymptote
Rec,m
(Rel=2c-170)
550
450
350
250
0 100 200 300 400 500 600
Concentration c (ppm)
Figure 7. Evolution des valeurs critiques du nombre de
Reynolds valable pour les deux modes d’instabilité en
Figure 6. Diagramme spatio-temporel du second fonction de la concentration c en PEO.
mode avec modulation (triplet).
Les valeurs c1 et c2 sont du même ordre de grandeur
On confirme également l’augmentation de Rem avec
l’accroissement de la concentration c dans le que la concentration c* qui indique la frontière entre
domaine c ≤ 400 ppm. Le taux de cisaillement le régime des solutions diluées et celui des solutions
imposé γ& m relatif à l’apparition du deuxième mode semi-diluées [9]. Ces deux relations mettent en
évidence les conditions d’apparition des deux
de structure varie entre 7.3 et 16 s-1. Dans cette zone,
instabilités en l’absence du polymère (c = 0, η = η0),
la viscosité est sensiblement constante. Pour c = 500
ppm, sous l’effet de la rhéofluidification, l’écart correspondant aux valeurs : Rec (c = 0) = 275 et
entre les deux premiers seuils diminue. Le nombre Rem (c = 0) = 305 .
de Reynolds critique atteint une valeur limite Rem = De même que l’on a noté plus haut, elles mettent en
835.7 ± 2, qui sera justifiée plus loin. La Figure 7 relief le caractère asymptotique des évolutions
met en évidence les évolutions parallèles de Rec et associées aux nombres de Reynolds Rec et Rem (Fig.
Rem, qui sont d’allure comparable. On remarque 7) vers un comportement linéaire commun tel que
qu’elles ont tendance à se confondre si la Rel = 2c − 170 , faisant apparaître ainsi les valeurs
concentration c s’accroît considérablement. En effet,
limites du domaine de variations de la concentration
les valeurs de Rec = 823.9 ± 2 et Rem =835.7 ± 2
c, suggérant une "saturation dynamique" de la
diffèrent de 1.4 % lorsqu’on atteint la concentration
c = 500 ppm. Dès lors, on note une saturation de réponse de l’écoulement.
l’écoulement pour la concentration c qui ne permet
plus de distinguer la structure des deux phénomènes 4. Conclusion
d’instabilité considérés, puisque l’écart Rem - Rec
L’étude expérimentale des deux premiers modes
tend vers zéro.
d’instabilité dans le système Taylor-Dean, en
L’exploitation de ces résultats a permis de formuler solution viscoélastique, a permis de déterminer leurs
une loi de comportement phénoménologique des seuils Rec et Rem et de les comparer à ceux d’une
variations des valeurs critiques Rec et Rem en solution newtonienne.
fonction de la concentration c. L’allure des courbes
correspondantes (Fig. 7) suggère de proposer une loi Pour des concentrations de POE telles que c ≤ 500
exponentielle, tenant compte des variations rapides ppm, on observe les mêmes modes de structure mais
de Re en fonction de c, de caractère très général avec un seuil retardé. Le taux de cisaillement imposé
( 0 ≤ c ≤ 500 ) : pour les deux seuils correspond au plateau
newtonien. Le retard dans l’apparition des
- Premier mode : instabilités est dû à l’augmentation de la viscosité
en fonction de la concentration c en PEO. On note
Rec = 250 + eα c , c1 = 1/α = 131,6 ppm (4) cependant que l’écart relatif entre Rec et Rem tend à
diminuer lorsque la concentration c augmente. Dès60 Laghouati et al., Rhéologie, Vol. 7, 55-60 (2005)
lors, pour des grandes concentrations, l’effet de horizontal corotating cylinders with a partially filled gap,
rhéofluidification devient prépondérant. Il se produit Phys. Rev. A, 39, 763-771 (1989).
alors un phénomène de "saturation de l’écoulement" [3] Bot, P., Cadot, O., Mutabazi, I., Secondary instability
qui reste globalement instable mais devient mode of a roll pattern and transition to spatiotemporal
indiscernable quant à la nature des structures encore chaos in the Taylor-Dean system, Phys. Rev. E, 58, 3089-
présentes. La loi de croissance de type exponentielle, 3097 (1998).
associée aux paramètres critiques Rec et Rem, tend à [4] Joo, Y.L., Shaqfeh, E.S.G., Observations of purely
s’amenuiser et converge vers une loi limite au elastic instabilities in the Taylor-Dean flow of a Boger
voisinage de c ≈ 500 ppm. Ainsi, malgré fluid, J. Fluid Mech., 262, 27-73 (1994).
l’importance des forces centrifuges qui sont
[5] Larson, R.G., Instabilities in viscoelastic flows, Rheol.
considérables à ce stade, le caractère rhéofluidifiant Acta, 31, 213-263 (1992).
de l’écoulement s’y oppose pour des concentrations
élevées. On peut conclure que, pour ces grandes [6] Groisman, A., Steinberg, V., Couette-Taylor flow in a
concentrations, l’élasticité des solutions entre en jeu dilute polymer solution, Phys. Rev. Lett., 77,1480-1483
(1996).
(l’effet Weissenberg associé à l’apparition des forces
normales aux plans de cisaillement) et serait à [7] Steinberg, V. Groisman, A., Elastic versus inertial
l’origine de cette observation fondamentale, laquelle instability in Couette-Taylor flow of a polymer solution:
mérite d’être étudiée de façon plus approfondie. review, Phil. Mag. B 78, 253-263 (1998).
[8] Crumeyrolle, O., Mutabazi, I., Grisel, M.,
5. Références Experimental study of inertioelastic Couette-Taylor
instability modes in dilute and semi-dilute polymer
[1] Mutabazi, I., Hegseth, J.J., Andereck, C.D., Wesfreid, solutions, Phys. Fluids, 14, 1681-1688 (2002).
J.E., Spatiotemporal pattern modulations in the Taylor-
[9] Crumeyrolle, O., Latrache, N., Ezersky, A., Mutabazi,
Dean system, Phys. Rev. Lett., 64, 1729-1732 (1990).
I., Modes d'instabilités observés dans un écoulement de
[2] Mutabazi, I., Normand, C., Peerhossaini, H., Couette-Taylor viscoélastique, Mécanique & Industrie, 4,
Wesfreid, J.E., Oscillatory modes in the flow between two 379 (2003).
[Abridged English Version]
This work concerns the first two instability modes of Taylor-Dean system for a viscoelastic fluid. Especially, we
were interested by the effect of polymer concentration on the primary travelling inclined rolls and the triplet
pattern. The considered Taylor-Dean system consists of two coaxial cylinders of radius ratio δ = 0.878 (small
gap) and aspect ratio Γ = 90, with a partially filled gap. The inner cylinder is rotating while the outer cylinder
remains fixed. The different regimes are parameterized by the Reynolds number Re defined using solvent
viscosity. The viscoelastic solutions are made from water and WSR 303 polyethyleneoxide. We have
performed experiments with several concentrations ranging from 50 ppm to 500 ppm. These results confirm
the delay of instability onset. In particular, we have observed that the critical values of Reynolds number for
each structure increases with the concentration of the POE, while the difference between them decreases.Vous pouvez aussi lire
