Introduction à la théorie des jeux - T. Pénard Faculté de Sciences Économiques Université de Rennes 1 2007-2008

Introduction à la théorie des
            jeux
                T. Pénard
    Faculté de Sciences Économiques
         Université de Rennes 1
                2007-2008

A l’origine de la théorie des jeux
• Les fondateurs
  – Morgenstern et Von Neumann (1944) Theory of
    Games and Economic Behavior, Princeton.
  – Nash quatre articles fondamentaux durant sa thèse
     • " Equilibrium points in N-Person Games", 1950.
     • "The Bargaining Problem", 1950, Econometrica.
     • "Non-Cooperative Games", 1951, Annals of
       Mathematics.
     • "Two-Person Cooperative Games", 1953,
       Econometrica
  – Kuhn et Tucker (1950, 1953),
• Mais plusieurs français précurseurs, dont
  Cournot, puis Borel et Ville.

Une théorie récompensée par
  plusieurs prix Nobel d’économie
• 1994
  – Nash
  – Selten (1965) : équilibre de sous-jeux parfaits
  – Harsanyi (1967-68) : jeu à information incomplète
• 2005
  – Schelling (1960) Strategy of Conflict
     • Jeu de coordination et point focal
  – Aumann (1981): théorie des jeux répétés
• De futurs nobélisables ?
  – Fudenberg et Tirole (1991)
  – Kreps (1982),

Qu’est ce qu’un jeu ?
• Un jeu stratégique se caractérise par un
  ensemble de règles de jeu spécifiant :
  – les joueurs
  – les espaces de stratégies (actions ou décisions)
  – la séquence des décisions
  – les gains ou l’utilité des joueurs (fonction des
    décisions des joueurs)
  – l’information à la disposition des joueurs (complète/
    parfaite)

Typologie des jeux
• Jeux coopératifs / non coopératifs
  – Binding agreement ? Cheap talk ?
• Jeux avec décisions simultanées /
  séquentielles
• Jeux statiques/répétés (en horizon fini
  ou infini)
• Jeux à information parfaite/imparfaite
• Jeux à information complète/incomplète

Définitions
• Une stratégie en théorie des jeux : un plan
  d'action complet spécifiant ce que le joueur fera
  à chaque étape de décision et face à chacune
  des situations pouvant survenir au cours du jeu.

• Hypothèse forte sur la rationalité des joueurs
  – Rationalité parfaite=capacité de compréhension du
    jeu, de calcul et de raisonnement par induction à
    rebours (backward induction)
  – Connaissance commune du jeu= je comprends le jeu,
    et je sais que les autres comprennent aussi le jeu et
    je sais qu'ils savent que je comprends le jeu et je sais
    qu'ils savent que je sais qu'ils comprennent aussi le
    jeu, etc …
     • Voir la fable des maris trompés

Comment représenter un jeu ?
• Sous forme d'arbre ou extensive
  – Adapté pour des jeux avec décisions
    séquentielles
• Sous forme matricielle ou normale
  – Adapté pour des jeux (statiques) avec
    décisions simultanées
• Exemple d'un jeu à deux joueurs 1 et 2
  ayant chacun deux décisions possibles
  (A1, B1) et (A2; B2).

Notion d’équilibre de Nash
• Un équilibre de Nash est un état dans lequel
  aucun joueur ne souhaite modifier sa
  stratégie étant donné les stratégies adoptées
  par les autres joueurs.
  – Chaque stratégie est une meilleure réponse aux
    stratégies des autres joueurs.
• Une situation attendue ou probable lorsque
  les joueurs interagissent de manière
  stratégique

Stratégies dominantes
• Une stratégie dominante pour un joueur est
  une stratégie qui lui donne toujours un gain
  supérieur ou égal au gain qu’il peut attendre
  de toutes ses autres stratégies (quelles que
  soient les stratégies des autres joueurs)
  – Une stratégie dominante domine toutes les autres
    stratégies
  – si chacun des joueurs possède une stratégie
    dominante, alors il existe au moins un équilibre de
    Nash consistant pour les joueurs à choisir leur
    stratégie dominante
     • un équilibre en stratégies dominantes est un équilibre de
       Nash (réciproque non vérifiée)

Stratégies dominées
• Une stratégie dominée pour un joueur est
  une stratégie qui lui donne toujours un gain
  inférieur à celui d’au moins une des autres
  stratégies à sa disposition (quelles que
  soient les stratégies des autres joueurs).
  – Une stratégie peut n'être dominée que par une seule
    stratégie
• Une stratégie dominée n’est jamais jouée
  – Recherche des équilibres de Nash par élimination
    des stratégies dominées

Application expérimentale de
  Schotter, Weigelt, Wilson (1993)
• Expérience sur des étudiants
• Jeu sous forme normale
  – rôle du joueur 1 =57% de choix a
  – rôle du joueur 2 =20% de choix B (stratégie
    dominée)
• Jeu sous forme extensive
  – rôle du joueur 1 =9% de choix a
• Interprétation : la manière de présenter un
  jeu est importante => Framing

Les jeux statiques classiques
• Dilemme du prisonnier :
  – E Nash sous-optimal (A1,A2) avec a1d1
    et a2>c2 et b2>d2
• Jeu de coordination :
  – Deux équilibres de Nash (A1,A2) et (B1,B2)
    avec un qui domine l’autre a1c2, a1>b1 et d1>c1

Les jeux statiques classiques
• Bataille des sexes :
  – deux équilibres de Nash (B1,A2) et (A1,B2),
    chacun étant plus favorable à l’un des joueurs
  – b1>c1 et b2d2 et a1d1 et c2>a2
• Jeu du chicken game
  – Équivalent à la guerre des sexes, sauf que la
    situation optimale est (A1,A2)
  – (a1+a2) supérieur à (b1+b2), (c1+c2) et (d1+d2)

Engagement et crédibilité
• Commitment : un engagement sur une décision
  ou une action future en réponse aux décisions
  des autres joueurs
• Deux types de commitment :
  – Menaces : punir ceux qui ne joueraient pas l’action
    attendue
  – Promesses : récompenser ceux qui joueraient l’action
    attendue
• Engagement crédible (aux yeux des autres
  joueurs) uniquement si son auteur a bien intérêt
  à le faire le moment venu
  – Si non crédible, sans aucune valeur pour les autres

Engagement et crédibilité
• Un équilibre de sous-jeu parfait est un équilibre
  reposant sur des stratégies de menace et/ou de
  promesse crédibles
  – Une stratégie comme un ensemble de règles de
    décision conditionnelles aux décisions (passées) des
    autres joueurs
• Commitment comme moyen de modifier à son
  avantage l’issue d’un jeu stratégique
• Comment crédibiliser un commitment ?
  – « Burn bridges behind you » ou « cutting-off
    communication »
     • Cortès et la conquête du Mexique en 1519
  – Réputation
  – Mise en place d’institutions publiques ou privées
    comme les contrats, les intermédiaires, …

Enjeux autour du futur standard
•
                           DVD
    DVD : quel standard pour la future génération haute définition
     – Plus de capacité de stockage
     – Plus de sécurité contre le piratage
• Opposition entre Sony et Toshiba
     – Format HD-DVD soutenu par Toshiba, Nec, Sanyo, TDK, …
     – Format Blu-Ray soutenu par Sony et les principaux acteurs de
       l’électronique grand public (Matsushita, Samsung, Panasonic, Philips,
       Sharp, Hitachi, …) et des acteurs de l’informatique (Acer, HP, Dell) …
     – LG et Thomson ont adhéré aux deux
• Une opposition par le biais d’annonces
     – « Un standard unique est meilleur pour le consommateur, mais
       naturellement nous allons continuer à promouvoir le Blu-ray »
     – Le format HD-DVD « a été reconnu comme le seul format DVD de
       nouvelle génération par le DVD forum ».

Enjeux autour du futur standard
            DVD
  – Annonce de soutien et de ralliement des éditeurs de
    contenu
     • Conversion du catalogue de Sony au format Blu-ray
     • Walt Disney, Fox, Universal, rallié à Blu-ray
     • Time Warner à HD-DVD
  – Ou des fournisseurs de composants
     • Soutien de HP, Microsoft et Intel au format HD-DVD
         – Une majorité des PC vendus équipés d’un lecteur HD-DVD
• Analyse en termes de théorie des jeux
  – Une guerre des sexes avec deux groupes d’acteur
    ayant comme stratégie :
     • Rallier le standard concurrent
     • Maintenir son standard
  – Risque d’échec de coordination

Enjeux autour du futur standard
              DVD
• Comment imposer son standard ?
  – Par une stratégie de commitment
     • À travers les Annonces des acteurs, mais pas toujours crédible
         – Facile de changer de coalition
       « Sony n’est plus l’unique alternative sur le marché. Nous
       devons être continuellement compétitifs et agressifs. Nous
       devons être comme les Russes défendant Moscou face à
       Napoléon. Nous devons nous battre comme les guerriers de
       Sony que nous sommes » M. Stringer, PDG Sony
         – des annonces qui peuvent modifier les anticipations des futurs
           clients => Blu-Ray représente désormais « une part de plus de
           90% à la fois en termes de matériels et de films » D. Walstra,
           président de la Blu-Ray Disc Association
     • A travers des investissements irrécupérables
         – Commercialisation des premiers lecteurs Blu-Ray au Japon

Equilibre en stratégie mixte

• Une stratégie mixte pour un joueur est une
  distribution de probabilité sur l’ensemble de ses
  stratégies pures
  – Si m stratégies pures possibles, stratégie  mixte (p1,
    p2, …,ps,…, pm-1, pm ) tel que ∑s =1 ps = 1 où ps est la
                                        m

    probabilité de jouer la sième stratégie

  – Dans un équilibre en stratégies mixtes, chacun
    des joueurs est indifférent entre jouer sa stratégie
    mixte ou jouer l’une de ses stratégies pures support
    de sa stratégie mixte
     • Même gain attendu

Equilibre en stratégie mixte dans
   un jeu de standardisation
                     Standard 1 Standard 2

       Standard 1       (2,1)         (0,0)

       Standard 2       (0,0)         (1,2)

•Deux équilibres en stratégies pures : (S1,S1) et (S2,S2)
•Un équilibre en stratégie mixte : (2/3,1/3) pour 1 et
(1/3,2/3) pour 2
•Gain espéré en stratégie mixte=2/3

Équilibre corrélé
• Notion d’équilibre plus faible que l’équilibre de
  nash
   – Rôle d’un médiateur en présence d’équilibres
     multiples ou d’équilibres en stratégie mixte
   – Aumann

• Equilibre corrélé dans le jeu de standardisation
   – Pile ou face sur S1 et S2
      • Gain espéré=3/2