Enseigner la géométrie au cycle 3
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Neuilly Plaisance
12 décembre 2012
Enseigner la géométrie
au cycle 3
Marie-Lise PELTIER
Maître de conférences en didactique des mathématiques
Laboratoire de didactique André Revuz
Université Paris 7 Denis Diderot
Collection Euro Maths
et Mosaïque Calcul mental (Ed. Hatier)
En guise d’introduction…
trois scénarios presque pareils
et pourtant différents
un exemple en CM2
ML Peltier 2
Neuilly Plaisance 12/12/2012
1. Le professeur montre au tableau comment on construit un
triangle à l’aide de la règle et du compas, puis les élèves
s’entraînent en construisant plusieurs triangles.
2. Le professeur a préparé deux triangles qu’il a découpés
dans du papier cartonné, en plusieurs exemplaires. Les
élèves travaillent par groupes associés 2 à 2. Chaque groupe
doit rédiger un message pour que le groupe partenaire
construise un triangle superposable au modèle. Après
échange, les élèves construisent le triangle puis les deux
groupes associés vérifient les constructions effectuées à l’aide
des modèles en carton, le professeur énonce les raisons des
difficultés rencontrées et relance la recherche
3. Le professeur distribue à chaque groupe une feuille sur
laquelle est dessinée un triangle (2 modèles). Même
organisation que dans le scénario 2. Chaque groupe doit
rédiger un message pour que le groupe partenaire prépare
par découpage des bandelettes de papier qui seront les côtés
du triangle à construire. La vérification se fera par
superposition avec le modèle.
ML Peltier 3
Neuilly Plaisance 12/12/2012
Objectif commun
Apprendre à construire un triangle connaissant la
longueur de ses côtés
Ce qui est à comparer
- Les rôles respectifs du professeur et des élèves
- La problématisation de la question posée
- Le rôle de la manipulation
- La prise en compte des conceptions initiales
ML Peltier 4
Neuilly Plaisance 12/12/2012
Quelques remarques sur le scénario 2
Des triangles « en carton » pour éviter aux élèves d’être
confrontés au problème du retournement lors de la
validation
ML Peltier 5
Neuilly Plaisance 12/12/2012
Exemples de discussions (par messages)
entre groupes d’élèves
ML Peltier 6
Neuilly Plaisance 12/12/2012 6
Acquérir des connaissances spatiales et/ou
géométriques
c’est, tout au long de la scolarité,
être confronté à des situations « problématiques »
dans lesquelles le milieu « résiste » rendant
nécessaire la mobilisation d’une nouvelle
connaissance, ce qui conduit à
- Faire des prévisions
- Anticiper le résultat d’une action
- Emettre des hypothèses, faire des essais, les
valider, les invalider
- Trouver des mots pour dire…
ML Peltier 7
Neuilly Plaisance 12/12/2012
1. Apprendre en résolvant
des problèmes…
ML Peltier 8
Neuilly Plaisance 12/12/2012
Qu’est-ce qu’un problème?
« Un problème est généralement défini comme
une situation initiale, avec un but à atteindre,
demandant au sujet d’élaborer une suite
d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but.
Il n’y a problème que dans un rapport
sujet/situation où la solution n’est pas disponible
d’emblée, mais possible à construire.
C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet
donné peut ne pas être un problème pour un
autre sujet, en fonction de leur niveau de
développement intellectuel par exemple. »
BRUN Jean, Math-Ecole n° 141.
ML Peltier 9
Neuilly Plaisance 12/12/2012
En géométrie,
est-ce possible?…
ML Peltier 10
Neuilly Plaisance 12/12/2012Deux exemples de « problèmes »
Reproduire un napperon par pliage, découpage
(CM2)
« Dans un carré de papier
réaliser un « napperon »
ressemblant* à celui-ci
par pliage et découpage »
*critères:
Même nombre de découpes
Mêmes formes
Mêmes positions relatives
Mêmes orientations relatives
ML Peltier 11
Neuilly Plaisance 12/12/2012Chercher les relations d’adjacence sur un patron
de polyèdre (CM2)
Voici un patron de cube
Quels segments vont coïncider au montage pour
former une arête et quels points vont coïncider pour
former un sommet ?
ML Peltier 12
Neuilly Plaisance 12/12/2012ML Peltier 13 Neuilly Plaisance 12/12/2012
L’espace et la géométrie
A l’école primaire la géométrie est la modélisation de
l’espace
L’intérêt de ce domaine pour les élèves est multiple:
– La géométrie constitue un outil pour répondre à des
problèmes de l’espace physique, posés dans le
cadre de pratiques sociales, culturelles et plus tard
professionnelles
– La géométrie établit des « ponts » entre plusieurs
disciplines: mathématiques, géographie, EPS, arts
plastiques…
– La géométrie est un lieu privilégié de l’initiation au
raisonnement
ML Peltier 14
Neuilly Plaisance 12/12/2012Trois types d’espaces (G Brousseau)
- le micro-espace, le sujet est en dehors de cet
espace, il le contrôle intégralement par la vue
- le méso-espace, espace dans lequel le sujet
se trouve et se déplace, plusieurs « vues » sont
souvent nécessaires pour l’appréhender
- le macro-espace dont on ne peut avoir que
des visions locales, et dont la visualisation
globale ne peut être que le fait d’une
construction mentale.
ML Peltier 15
Neuilly Plaisance 12/12/2012Trois problématiques (Salin-Berthelot)
- La problématique pratique
- La problématique de modélisation
- La problématique de la géométrie
Chacune de ces trois problématiques se
caractérise de fait par des rapports avec des
milieux (considérés comme systèmes
antagonistes du sujet) de nature différente,
régulés par des modes différents :
- milieu de la vie courante
- milieu scientifique
- milieu mathématique.
ML Peltier 16
Neuilly Plaisance 12/12/2012Et un cadre… pour penser l’enseignement de
la géométrie (Houdement Kuzniak Parsysz)
• 4 niveaux déterminés en fonction :
- des objets
• physiques
• graphiques
• théoriques
- des modes de validation qui
appartiennent à différents registres
• la perception globale
• la perception instrumentée
• le raisonnement (déductif)
ML Peltier 17
Neuilly Plaisance 12/12/2012Et donc… plusieurs « géométries » ML Peltier 18 Neuilly Plaisance 12/12/2012
2. Des problèmes pour
introduire des notions
et ponctuer leur étude
ML Peltier 19
Neuilly Plaisance 12/12/2012Pour plusieurs notions, notamment celles
- d’alignement
- de distance, de milieu
- d’orthogonalité, de parallélisme, d’angle droit
- de symétrie axiale…
des aller-retour entre des problèmes posés
dans l’espace environnant
dans l’espace de la feuille de papier
permettent de mieux prendre en charge le
passage de la connaissance de l’espace à la
géométrie.
ML Peltier 20
Neuilly Plaisance 12/12/2012Trois temps
Émergence des connaissances spatiales à partir de
jeux, de manipulations, de résolution de problèmes
spatiaux
Passage de ce qui est vécu dans le « méso-
espace » à ce qui est représenté sur la feuille de
papier, importance du langage
Étude instrumentée des relations géométriques
dans le « micro-espace », mise en place du
langage spécifique
ML Peltier 21
Neuilly Plaisance 12/12/2012Quelques exemples ML Peltier 22 Neuilly Plaisance 12/12/2012
A. L’alignement
La droite : solution géométrique des problèmes d’alignement
Du « méso » au « micro »
Dans la cour : jeu de cache cache
En classe : placer sur le plan des croix à des endroits où se
cacher, puis délimiter toutes les zones où se cacher
ML Peltier 23
Neuilly Plaisance 12/12/2012Et reprendre la question, en se décentrant ML Peltier 24 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Puis la recherche d’alignements devient un outil
d’analyse pour reproduire des figures
ML Peltier 25
Neuilly Plaisance 12/12/2012B. Le « milieu » d’un segment
du « méso » au « micro »
CE2:
Du jeu du béret dans la cour aux propriétés du milieu
d’un segment dans le micro-espace
ML Peltier 26
Neuilly Plaisance 12/12/2012CM : dans la cour, deux corbeilles symbolisent deux
panneaux de basket, recherche de l’emplacement du
ballon pour l’engagement
En classe
« Pour quelles raisons chacun des points A, B, C,
D ne peut-il pas être le milieu du segment [EF] ? »
ML Peltier 27
Neuilly Plaisance 12/12/2012C. orthogonalité et parallélisme
La perpendicularité comme solution experte de la recherche
de la plus courte distance d’un point à une droite
ML Peltier 28
Neuilly Plaisance 12/12/2012A
dDe la situation spatiale évoquée à sa représentation
sur le plan
ML Peltier 30
Neuilly Plaisance 12/12/2012Droites parallèles
Deux points de vue :
1. Deux droites perpendiculaires à une même
droite sont parallèles
Le triple pliage
ML Peltier 31
Neuilly Plaisance 12/12/20122. Droite parallèle à une droite : solution experte de la
recherche de l’ensemble des points à même distance
de cette droite
ML Peltier 32
Neuilly Plaisance 12/12/2012D’où deux procédés de construction ML Peltier 33 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Plus tard…
Les situations de reproduction de figures mettent en jeu
les notions à travailler : alignements, milieux,
orthogonalité, parallélisme
ML Peltier 34
Neuilly Plaisance 12/12/2012D. La symétrie axiale
L’importance de l’anticipation
Symétrie axiale et reflets
Jeu du miroir
ML Peltier 35
Neuilly Plaisance 12/12/2012ML Peltier 36 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Symétrie axiale et pliages : du CE2 au CM2 ML Peltier 37 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Et on s’entraîne….
On connaît le pliage et les découpes
on cherche le résultat
1 axe
ML Peltier 38
Neuilly Plaisance 12/12/20122 axes ML Peltier 39 Neuilly Plaisance 12/12/2012
4 axes ML Peltier 40 Neuilly Plaisance 12/12/2012
On connaît le modèle,
on cherche
le pliage et les découpes
ML Peltier 41
Neuilly Plaisance 12/12/2012Vers la recherche des axes de symétrie des figures usuelles ML Peltier 42 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Un autre point de vue sur la symétrie
Symétrie axiale et retournement
ML Peltier 43
Neuilly Plaisance 12/12/2012Recherche des propriétés de figures symétriques par rapport à un axe ML Peltier 44 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Puis des assortiments d’exercices
Construire par symétrie
Sur quadrillage
un axe
ML Peltier 45
Neuilly Plaisance 12/12/2012Sur quadrillage
Sur quadrillage
Deux axes
un axe oblique
Sur papier uni
Un axe quelconque
ML Peltier 46
Neuilly Plaisance 12/12/20123. Etude longitudinale d’un thème
Un exemple : les figures planes
Le thème « figures planes » est présent dans
tous les niveaux de l’école primaire
Comment en concevoir l’étude?
travail de l’équipe de cycle
ML Peltier 47
Neuilly Plaisance 12/12/2012forme
Figures planes convexité
objets d’un espace métrique
Alignement
(droite)
Perception visuelle
objet
physique polygone
Perception
kinesthésique
dessin
dénombrement
Reconnaissance
instrumentée figure Longueur
(égalité)
Connaissance Orthogonalité
abstraite ( propriétés) (angle droit)
ML Peltier milieu parallélisme
48
Neuilly Plaisance 12/12/2012Au cycle 3 :
Des dessins aux figures
Notions convoquées :
convexité, polygone, dénombrement, alignement, milieu,
égalité de longueurs, angles droits, orthogonalité,
parallélisme
Types de tâches
Reconnaissance, identification, description, classement,
reproduction, construction instrumentée
Activités
Recherche de propriétés
Problèmes de reproduction ou de complétion
Problèmes de construction sur papier quadrillé, sur papier
uni avec la règle et l’équerre
ML Peltier 49
Neuilly Plaisance 12/12/2012Reconnaissance et identification
Juxtaposition ou superposition?
Deux visions complémentaires
ML Peltier 50
Neuilly Plaisance 12/12/2012Et là?….
4 figures?
2 figures?
ML Peltier 51
Neuilly Plaisance 12/12/2012Vers la notion de « propriété » d’une figure
Classements mais aussi recherche des critères d’un
classement réalisé
Alice a mis ensemble les polygones E, N, O car
ML Peltier ils ont une propriété commune. Laquelle? 52
Neuilly Plaisance 12/12/2012Utiliser les propriétés pour reconnaître un quadrilatère
Apprendre à argumenter
ML Peltier 53
Neuilly Plaisance 12/12/2012Utiliser les propriétés pour construire des figures
usuelles sur divers supports
Construire un carré rouge, un carré vert, un carré bleu,
dans chaque cas, un côté est déjà tracé
ML Peltier 54
Neuilly Plaisance 12/12/2012Construire un carré rouge, un carré vert, un carré bleu,
dans chaque cas, un côté est déjà tracé
ML Peltier 55
Neuilly Plaisance 12/12/2012Construire un losange rouge, un losange bleu,
dans chaque cas, deux côtés sont déjà tracés
ML Peltier 56
Neuilly Plaisance 12/12/2012Pour une étude plus approfondie des figures usuelles en CM2, par quelle figure commencer? Travail avec des enseignants du même niveau ML Peltier 57 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Cercle comme ensemble de points situés à une
distance donnée d ’un point fixé
Triangles, comme figures entièrement caractérisées
par la donnée de trois nombres (longueurs des côtés)
sous certaines conditions
Quadrilatères, comme figures déformables et donc
non caractérisées par la longueurs de ses côtés : d’où
la nécessité de penser un autre élément pour les
caractériser
Polygones comme pouvant être reproduits par
triangulation…
ML Peltier 58
Neuilly Plaisance 12/12/2012Le cercle
Ensemble des points situés
à une distance donnée
d’un point fixe
Dans le « méso-espace » :
placer 18 palets à 3m d’un piquet
Dans le « micro-espace »:
placer 18 points à 3cm d’un point A
ML Peltier 59
Neuilly Plaisance 12/12/2012Le triangle
Le triangle est le seul polygone entièrement
déterminé par les longueurs de ses côtés :
C’est le seul polygone « rigide »
Puis recherche de la condition d’existence d’un
triangle
ML Peltier 60
Neuilly Plaisance 12/12/2012Les quadrilatères
Comment identifier un quadrilatère
parmi plusieurs lorsque tous ont des côtés
de même longueur ?
ML Peltier 61
Neuilly Plaisance 12/12/2012La donnée de la mesure
d’une diagonale ou d’un angle
est la solution du problème
ML Peltier 62
Neuilly Plaisance 12/12/2012Puis des problèmes
mettant en jeu les
propriétés
Décrire des figures…
ML Peltier 63
Neuilly Plaisance 12/12/2012… Pour les
reproduire
ML Peltier 64
Neuilly Plaisance 12/12/2012Envisager les quadrilatères à partir de leurs diagonales Exemple 1: construire un quadrilatère ayant des diagonales de même longueur Exemple 2: ML Peltier 65 Neuilly Plaisance 12/12/2012
ML Peltier 66 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Construire des figures à partir de schémas ML Peltier 67 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Les dessins à main levés
supports pour le raisonnement
ML Peltier 68
Neuilly Plaisance 12/12/2012Figures et programmes de construction
1 figure, 3 programmes
Quel est le bon?
ML Peltier 69
Neuilly Plaisance 12/12/20121 programme, 3 figures
Quelle est la bonne?
ML Peltier 70
Neuilly Plaisance 12/12/2012Pour chaque type de tâches :
variation grâce aux variables didactiques
Par exemple: reproduire une figure
Du côté du modèle :
- le modèle est affiché ? à disposition de chaque
élève ?
- le modèle est sur papier uni ? sur quadrillage ?
- une analyse des propriétés est nécessaire car
certains éléments ont été effacés ? cette analyse
met en jeu une (des) notion(s), lesquelles ?
Celle(s) dont l’apprentissage est visé ? d’autres?
ML Peltier 71
Neuilly Plaisance 12/12/2012Du côté de la reproduction
La reproduction est demandée
- en utilisant un gabarit ? un papier calque ?
- avec les instruments ?
- sur papier quadrillé ? sur papier uni ?
- à la même taille ? à une taille différente ?
- La validation se fait à l’œil ? par l’approbation
du professeur ? à l’aide d’un transparent ?
- il est possible de recommencer ?
ML Peltier 72
Neuilly Plaisance 12/12/2012Lien entre mesure de longueur et figures planes
Le périmètre d’une figure peut-il apparaître
comme solution à un problème?
ML Peltier 73
Neuilly Plaisance 12/12/2012Partager le polygone A pour obtenir
deux polygones de même
périmètre.
Faire de même pour le polygone B
A
ML Peltier
B 74
Neuilly Plaisance 12/12/20124. L’institutionnalisation
un processus indispensable
ML Peltier 75
Neuilly Plaisance 12/12/2012Situations de rappel ;
construction d’une histoire commune
- Distanciation par rapport à l’action
Décontextualisation
Débats entre élèves
- Savoirs de référence communs
- Cahier mémoire de la classe et document
individuel
Le processus didactique ne peut pas aboutir en
l’absence de phases d’institutionnalisation
ML Peltier 76
Neuilly Plaisance 12/12/2012Un exemple: construction progressive de ce qu’il faut
savoir sur le carré
A. des propriétés
- Un carré est un quadrilatère
- Il a 4 côtés de même longueur
- Il a 4 angles droits
B. Comment construire un carré
- quand on connaît la longueur d’un côté?
- quand on connaît la longueur d’une
diagonale?
ML Peltier 77
Neuilly Plaisance 12/12/20125. Créer des liens avec d’autres
disciplines
Un exemple : les arts plastiques
ML Peltier 78
Neuilly Plaisance 12/12/2012Tracés à main levée ML Peltier 79 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Tracés à la règle ML Peltier 80 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Angle droit ML Peltier 81 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Parallèles et perpendiculaires
Mondrian
ML Peltier 82
Neuilly Plaisance 12/12/2012Le cercle Kenneth Noland Mysteries: Excavate the past 2001 ML Peltier 83 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Carrés et rectangles ML Peltier Van der Leck 84 Neuilly Plaisance 12/12/2012
Le carré
F. Morellet
Négatif 11
D’après Steel life n°11
ML Peltier 85
Neuilly Plaisance 12/12/2012Les diagonales du carré
Théo Van Doesburg
Composition arithmétique 1930
ML Peltier 86
Neuilly Plaisance 12/12/2012Arcs de cercles et rectangles
Max Bill
Chronographie magique
ML Peltier 87
Neuilly Plaisance 12/12/2012Conclusion
Le but premier de l’enseignement de la
géométrie est de permettre aux élèves de
construire des « savoirs » en étant confrontés
à des situations qui leur donnent du sens.
• C’est dans les temps de prévision et
d’anticipation que s’élaborent les concepts
géométriques, essentiellement sous forme
d’images mentales au C3.
• Un travail trop centré sur le maniement des
instruments rend opaque ce qui caractérise les
mathématiques c’est à dire « la pensée », ce
travail est nécessaire, et même indispensable,
mais il ne peut se substituer à la réflexion sur
ML Peltier les concepts et les objets de la géométrie. 89
Neuilly Plaisance 12/12/2012Je souhaite vous avoir donné envie de faire
faire de la géométrie à vos élèves, c’est un
domaine passionnant qui permet de mêler
intuition, imagination, réflexion,
raisonnement, rigueur et précision!
Merci
de votre attention
ML Peltier 90
Neuilly Plaisance 12/12/2012Vous pouvez aussi lire
