L'activité mathématique et la résolution de problèmes du cycle 1 au cycle 3
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Chalon sur Saône
17 octobre 2012
L’activité mathématique et
la résolution de problèmes
du cycle 1 au cycle 3
Marie-Lise PELTIER
Maître de conférences en didactique des mathématiques
Laboratoire de didactique André Revuz
Université Paris 7 Denis Diderot
Collection Euro Maths
et Mosaïque Calcul mental (Ed. Hatier)
Équipe EuroMaths • Marie-Lise Peltier, IUFM, Laboratoire LDAR Université Paris Diderot • Joël Briand, IUFM, laboratoire DAEST Université Bordeaux 2 • Bernadette Ngono, IUFM, Laboratoire CIVIIC Université Rouen • Danielle Vergnes, IUFM, Laboratoire LDAR Université Paris Diderot ML PELTIER 2 Chalon 17 octobre 2012
En guise d’introduction
Du problème à la situation
Un exemple :
Introduction de la division
Un énoncé au tableau
Un fermier vend les œufs de ses poules sur les
marchés.
Jeudi, il veut présenter 275 œufs dans des boîtes de 24
œufs.
Quel est le nombre de boîtes nécessaires?
Trois scénarios…
ML PELTIER 4
Chalon 17 octobre 2012Scénario 1 : Élaboration collective de la solution à partir
des écritures multiplicatives
Scénario 2 : Dans la classe 275 objets, des boîtes à œufs
pouvant contenir 24 oeufs
Consigne : « Vous devez prévoir par le calcul le nombre de
boîtes nécessaires. Une fois vos prévisions effectuées, nous
vérifierons en utilisant les objets et les boîtes ».
Recensement des prévisions.
Organisation du remplissage des boîtes pour vérifier
Recherche des raisons qui conduisent au résultat juste
Scénario 3 : Par groupe, chaque groupe dispose du matériel
Consigne: Vous devez trouver le nombre de boîtes
nécessaires pour présenter les oeufs.
Les élèves manipulent. Recensement des résultats trouvés
Synthèse collective (cf. scénario1)
ML PELTIER 5
Chalon 17 octobre 2012Un objectif commun
L’introduction de la division euclidienne :
a = b × q + r avec r < b
Ce qui est à comparer
- Les rôles respectifs du professeur et des élèves
- Le rôle du matériel et de la manipulation
- La distinction entre :
Quelle est la « bonne » réponse?
Pourquoi cette réponse est « la bonne »?
ML PELTIER 6
Chalon 17 octobre 2012Ce qui détermine l’activité mathématique des
élèves n’est pas seulement le choix du problème,
mais aussi sa « mise en scène » et les places
respectives de la réflexion et de la manipulation
ML PELTIER 7
Chalon 17 octobre 2012C’est ce couple problème/dispositif
que nous appellerons situation d’apprentissage
La présence du
matériel permet
l’appropriation du La nécessité de
problème prévoir ou d’anticiper
permet le
développement d’une
activité mentale et
oblige la construction
Le retour à la
de procédures de
manipulation permet la
résolution
validation des prévisions
ML PELTIER 8
Chalon 17 octobre 2012• Mathématiser c’est construire un modèle en vue
d’exercer un contrôle sur un milieu (souvent
matériel en début de scolarité).
La présence d’un milieu matériel n’implique pas
réduction de l’activité à une simple manipulation
prévoir ≠ illustrer.
• Notre métier consiste à rendre compatible cette
activité intellectuelle formatrice (faire des maths)
avec l’acquisition des savoirs des programmes
de l’école (apprendre des maths).
ML PELTIER 9
Chalon 17 octobre 2012Faire des mathématiques
c’est :
– résoudre des problèmes,
• anticiper le résultat d'une action,
• prévoir un résultat
• penser pour prendre des décisions
• et donc
– émettre des hypothèses,
– faire des essais, les contrôler
– les valider ou les invalider,
– trouver les mots pour dire…
– s'entraîner
– apprendre et retenir
ML PELTIER 10
Chalon 17 octobre 2012Cadre théorique de cette intervention
Approche socio constructiviste de l’apprentissage
(Piaget, Gréco, Vygotski, Doise, Mugny, Bruner)
Approche didactique des relations entre
enseignement et apprentissage (Brousseau,
Chevallard, Vergnaud, Julo…)
- Apprentissage par adaptation
- En milieu scolaire (rôle des pairs et de
l’enseignant)
ML PELTIER 11
Chalon 17 octobre 2012Qu’est-ce qu’un problème?
« Un problème est généralement défini comme une
situation initiale, avec un but à atteindre, demandant
au sujet d’élaborer une suite d’actions ou
d’opérations pour atteindre ce but.
Il n’y a problème que dans un rapport
sujet/situation où la solution n’est pas disponible
d’emblée, mais possible à construire.
C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné
peut ne pas être un problème pour un autre sujet,
en fonction de leur niveau de développement
intellectuel par exemple. »
BRUN Jean, Math-Ecole n° 141.
ML PELTIER 12
Chalon 17 octobre 2012Des objectifs différents pour les problèmes Problèmes dont la résolution vise la construction d’une nouvelle connaissance Problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer Problèmes plus complexes dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances Problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher. En général, pour résoudre ces problèmes, la solution experte n’est pas à la portée des élèves, elle n’est en aucun cas le but recherché. ML PELTIER 13 Chalon 17 octobre 2012
Des exemples de problèmes
dans différents domaines
et à différents niveaux
ML PELTIER 14
Chalon 17 octobre 2012• Pré numérique
PS
Le tri de graines
Une activité connue... :
trier des objets
• Deux connaissances (faiblement) convoquées :
collection et énumération : elles sont constitutives
du savoir « tri »
• Connaissances contrôlées à l’insu des élèves par
le dispositif matériel.
• Ce n’est pas un « problème »
ML PELTIER 15
Chalon 17 octobre 2012Comment modifier le milieu pour
« problématiser » la situation?
Trier avec des boîtes…
« tirelires »
• Cette fois pour « gagner », les connaissances
sont nécessaires.
Le décalage entre l’intention et la validation
de l’action est construit et permet
l’apprentissage
• Mais l’activité avec les boîtes ouvertes est
préalablement indispensable pour
comprendre la règle du jeu
16• Numérique
CP
Il faut ranger 20 images dans 4 enveloppes.
Les enveloppes doivent contenir le même nombre d’images.
Prévois le nombre d’images à mettre dans chaque
enveloppe.
CM1
Au jeu du rétro saut,
Leila tire le nombre 51 et doit faire des sauts 11.
Théo a tiré le nombre 60 et doit faire des sauts de 9.
Prévois par le calcul qui va arriver le plus près de zéro.
ML PELTIER 17
Chalon 17 octobre 2012• Géométrie
CE2
Sans utiliser ton équerre mais en utilisant les points du
réseau et ta règle, construis :
un carré rouge, un carré bleu, un carré vert.
Pour chacun d’eux un côté est déjà tracé.
ML PELTIER 18
Chalon 17 octobre 2012• Géométrie
CM2
Construis la figure semblable au modèle, le
quadrilatère est déjà tracé
ML PELTIER 19
Chalon 17 octobre 2012• Grandeurs et mesure
CM2
Où placer le point M pour que les circuits
ABMA et CBMC soient de même longueur?
A
B C
ML PELTIER 20
Chalon 17 octobre 2012Problèmes dont la résolution vise la
construction d’une nouvelle connaissance
Comment construire des situations
d’apprentissage par adaptation ?
Quelles questions se poser ?- L’utilisation de la connaissance dont l’apprentissage est visé est-elle nécessaire pour parvenir à la solution du problème posé aux élèves ? - La question est-elle consistante ? - Les élèves peuvent-ils comprendre la question et s’engager dans la résolution avec leurs connaissances antérieures ? - Comment voient-ils qu’ils ont réussi ou échoué ; sont-ils entièrement dépendant de l’adulte ou la situation comporte-t-elle des rétroactions ? - La vérification du résultat peut-elle donner des informations sur la façon de réussir ? Peuvent-ils recommencer en modifiant leur procédure ?
Quelques points à surveiller
• Pour les élèves, « chercher » implique du temps,
de la confiance, une forme de « sécurité »
• Pour le professeur, « laisser les élèves chercher »
demande une posture difficile et une attention
soutenue, pour certains un effort important :
- il faut soutenir les élèves mais ne pas trop en dire,
- il faut faire « vivre la question » sans la « tuer »,
- il faut observer, prendre des informations,
- il faut apporter une aide adaptée à certains,
Et il ne faut pas …donner la réponse !
… ni dire à ceux qui l’ont trouvée que c’est la bonne!Des problèmes dans le domaine numérique
Différentes formes pour un énoncé de problème
Un texte Une image
Un épisode La simulation
de vie de la classe d’une action
Un jeu
ML PELTIER 24
Chalon 17 octobre 2012Les problèmes à énoncé textuel
Quelques résultats de recherche (J. Julo)
* Dans l’activité de résolution d’un problème
imbrication très forte, et non antériorité, entre
- compréhension de l’énoncé
- construction d’une stratégie de résolution
* La construction du sens d’un problème s’appuie
sur le passage
d’une représentation de la situation
à une représentation du problème
ML PELTIER 25
Chalon 17 octobre 2012Comprendre un problème donné sous
forme d’un énoncé, c’est comprendre que :
• Le texte relate une situation généralement
fictive
• Certaines données sont déjà des réponses à
des questions qu’aurait pu se poser un
personnage fictif dans la situation évoquée
• Cet énoncé doit conduire à une action
mentale impliquant réflexion et prises de
décisions
• Le problème posé est prétexte à mettre en
œuvre des connaissances mathématiques
ML PELTIER 26
Chalon 17 octobre 2012Différents modes de représentations
Les modes de représentations
- figuratives non opératoires
- figuratives opératoires
- analogiques
Les modes de représentations symboliques
- schémas
- écritures arithmétiques
ML PELTIER 27
Chalon 17 octobre 2012… Et des représentations langagières associées
Ayant pour fonction d’aider à
• désigner et identifier les éléments de la
situation et leurs relations
• anticiper les effets et les buts
• raisonner
• planifier
• contrôler
ML PELTIER 28
Chalon 17 octobre 2012Des procédures de résolution personnelles
liées aux modes de représentation construits
• Simulation de la situation (matériel, dessins)
et action effective sur ces représentations
figuratives ou analogiques
• Construction de procédures s’appuyant sur
des schémas ou des calculs en concordance
avec la situation évoquée (proche de l’action)
• Mise en œuvre de procédures de calcul plus
ou moins éloignées de la simulation de
l’action après reconnaissance de la structure
du problème (cas de discordance en
particulier)
ML PELTIER 29
Chalon 17 octobre 2012Un exemple
Un poney se déplace sur une piste numérique.
Il se trouve sur la case 37,
il avance et se trouve alors sur la case 54.
De combien de cases a-t-il avancé?
Procédures possibles
• Dessin de la piste et dénombrement des cases
• Schéma en s’appuyant sur les dizaines
+10 +4
+3
37 40 50 54
• Calcul en concordance avec la situation
37 + …. = 54
• Calcul après reconnaissance de l’opération
54 - 37 = …..
ML PELTIER 30
Chalon 17 octobre 2012Comment faire évoluer les procédures des élèves ?
• Différer le recours au matériel ou aux dessins
• Accepter les procédures proposées, les
mutualiser en les verbalisant, les dépersonnaliser,
puis les analyser, les valider ou les corriger si
nécessaire
• Faire noter à chacun celle qui lui « parle » le plus
• Modifier les valeurs numériques pour « bloquer »
les procédures les plus primitives
ML PELTIER 31
Chalon 17 octobre 2012Des difficultés possibles aux différentes étapes
Lire
Prendre des informations
Construire Envisager
une représentation une procédure
de la situation de résolution
Comprendre et
interpréter les données Raisonner à partir de ses
propres connaissances
La mettre en œuvre
Interpréter Élaborer des schémas
gérer des calculs
les résultats obtenus
Revenir au sens de la question
pour interpréter les calculs Exprimer la réponse
et en contrôler la pertinence Trouver les mots pour
dire ou écrire
ML PELTIER
Chalon 17 octobre 2012
et pouvoir justifier 32• Mais, il n’est ni souhaitable ni efficace
de vouloir travailler séparément ces
différents points car ce sont les allers
retours permanents entre les différentes
tâches qui conduisent à la construction
d’une représentation adéquat du
problème permettant la mise en œuvre
de procédures de résolution
ML PELTIER 33
Chalon 17 octobre 2012Parfois des difficultés plus globales liées à la
conception que les élèves se font de ce de la
résolution de problème
• Deviner la réponse
• Penser que c’est la réponse à la question qui
importe au professeur et en inventer une
• Résoudre la question de manière pragmatique
• Ne pas faire le lien entre les tâches demandées
et l’activité cognitive qui les sous-tend
• Ne pas voir dans la résolution d’un problème
une occasion d’apprendre
• Préférer les tâches techniques et les algorithmes
ML PELTIER 34
Chalon 17 octobre 2012Les problèmes arithmétiques construction du sens des opérations aide à la construction de procédures
Les paramètres à prendre en compte
- La structure du problème
Champ conceptuel concerné, catégorie, fonction de
l’élément à chercher, concordance/discordance
entre représentation du problème et représentation
de la solution
- Les valeurs numériques
Nature, caractéristique, taille, taille relative
- Le texte en tant qu’écrit
Vocabulaire, syntaxe, organisation de l’énoncé
- Le contexte
Lien avec les domaines d’expériences des élèves,
avec d’autres disciplines, énoncés «transparents »
ML PELTIER 36
Chalon 17 octobre 2012Rapport dialectique entre calcul et construction du sens des opérations Historiquement des mouvements contradictoires - en premier le calcul puis les problèmes - en premier les problèmes puis le calcul Actuellement avancée simultanée du travail sur les problèmes et du travail sur les procédures de calcul.
Notion de champ conceptuel
(G. Vergnaud)
- ensemble des situations qui donnent du sens
au concept,
- ensemble des invariants qui permettent de
les analyser du point de vue mathématique,
- ensemble des signifiants, représentations
symboliques et langage nécessaires au
travail de conceptualisation.
ML PELTIER 38
Chalon 17 octobre 2012A l’école
• Le champ conceptuel des structures additives
Situations relavant de l’addition ou de la
soustraction
• Le champ conceptuel des structures
multiplicatives
Situations relevant de la multiplication ou de la
division
ML PELTIER 39
Chalon 17 octobre 2012Ce point de vue à la fois didactique et
psychologique permet
- de cerner
• les filiations entre situations d’un même champ
• les obstacles
- d’élaborer des progressions en les prenant
en compte
- de mieux identifier les erreurs des élèves.
ML PELTIER 40
Chalon 17 octobre 2012Maîtriser une « opération »
c’est construire les liens entre
Les problèmes
Les représentations Les procédures
symboliques de calcul
et le langageEt donc savoir « calculer »
- C’est être capable de rendre les situations
calculables, c’est à dire les « modéliser
- C’est être capable de traiter les calculs en
utilisant des méthodes automatisées,
réfléchies ou instrumentées en fonction des
nombres en jeu, pour aboutir à un résultat
exact ou approché
- C’est être capable d’interpréter les résultats
en fonction de la situation et de les communiquer
ML PELTIER 42
Chalon 17 octobre 2012Les principales relations additives
addition soustraction
A. Transformation d’états B. Composition
}
C. Comparaison additive D.Composition de transformations
De plus /de moins
!
ML PELTIER 43
Chalon 17 octobre 2012Des difficultés inégales pour les problèmes
notamment liées à la concordance ou à la
discordance entre les procédures de calcul
expertes et le sens apparent de la situation
• La
D’où la nécessité d’apprendre
- l’équivalence entre l’addition à trou et la
soustraction.
- l’équivalence entre l’ addition réitérée et la
multiplication
Pour pouvoir « se libérer » du contexte!
ML PELTIER 44
Chalon 17 octobre 2012exemples
Énoncé
Un objet coûte 3€, quel est le prix de 27 objets ?
Evolution des procédures:
3+3+3+………+3 (27 termes)
3x27=27x3
27+27+27
Énoncé
Pour mettre le couvert à la cantine pour 72 élèves, Laure
a déjà pris 56 assiettes, Combien doit-elle encore en
prendre?
Évolution des procédures
56 + ….= 72
ML PELTIER
72 - 56 =….
45
Chalon 17 octobre 2012Quelle progression pour apprendre
une opération?
ML PELTIER 46
Chalon 17 octobre 2012• Premier temps : travail sur des problèmes
Résolution par des méthodes personnelles
empiriques
• Deuxième temps : prise en compte de
ces différentes procédures par l’enseignant
pour
-les identifier
-les « mutualiser »
-les rendre opératoires
-les faire évoluer en jouant sur les
variables didactiques de la situation
ML PELTIER 47
Chalon 17 octobre 2012• Troisième temps : deux chantiers
– Un travail sur de nouveaux énoncés pour
permettre aux élèves de construire des
classes de problèmes qui peuvent être
résolus par des procédures similaires
– Un travail décontextualisé de construction
progressive de méthodes expertes
de calcul réfléchi
de calcul automatisé
ML PELTIER 48
Chalon 17 octobre 2012• Quatrième temps : retour aux problèmes
pour
enrichir le sens des opérations étudiées
investir les méthodes construites, les
faire fonctionner, se les approprier de
manière à les rendre automatisées, sans
pour autant viser la virtuosité
Entraînement constant au calcul réfléchi
ML PELTIER 49
Chalon 17 octobre 2012Des comportements observés lors de la
résolution de problèmes arithmétiques
• Utiliser l’opération qui vient d’être étudiée
• Donner une réponse analogue à celle du
problème précédent
• Chercher les indices de surface et les mots
inducteurs pour choisir l’opération
• Choisir une opération au hasard et la
contrôler ou non par l’ordre de grandeur de
la réponse
ML PELTIER 50
Chalon 17 octobre 2012Des réponses qui risquent de renforcer les difficultés
Aplanir les difficultés
Problèmes de niveau n-1 (ou n-2)
Par le choix des variables numériques
« Pour le goûter d’anniversaire de Kévin, maman a acheté
18 gâteaux. Il y a 4 enfants. Combien de gâteaux aura
chaque enfant? »
L’opération dont on vise l’apprentissage n’est pas
nécessaire pour résoudre le problème
Problèmes où il y a toujours concordance entre
représentation du problème et opération
Illusion de la facilité
Certains problèmes ne sont jamais rencontrés
ML PELTIER 51
Chalon 17 octobre 2012Des réponses qui risquent de renforcer les difficultés
Choisir des contextes familiers
« La facture du garagiste s’élève à 357€, Valentin
demande à la payer en 3 fois. Quelle somme va-t-il
donner à chaque versement?
Traitement des questions par les élèves dans
la logique du quotidien et non dans celui de la
rationalité scolaire
Confusion pour les élèves entre l’enjeu
cognitif du travail et la réponse pragmatique à
une question
ML PELTIER 52
Chalon 17 octobre 2012Des réponses qui risquent de renforcer les difficultés
Résoudre collectivement le problème en laissant
aux élèves la tâche d’effectuer les calculs
Calculer la différence de longueur entre la frontière la
plus longue (6431 km entre les USA et le Canada) et
la frontière la plus petite (1258 m entre l'Espagne et
Gibraltar)
Et aussi
Aider en résolvant soi-même le problème
effet de leurre
Individualiser le travail et abandonner les
problèmes pour certains élèves
perte de sens de l’activité mathématique
ML PELTIER 53
Chalon 17 octobre 2012Comment aider les élèves à progresser ?
• Du côté des mathématiques
- Choix des variables et des « aides »
Même problème, mais des variables didactiques
adaptées aux compétences repérées et des aides
qui « ne tuent » pas le problème
- Importance des mises en commun
• Rôle du langage
• Lien entre différentes procédures
- Importance des phases de synthèse
• Rappel du but mathématique de l’activité
• Production d’un écrit0 passagers, 5 adultes n apparence
différentes
ML PELTIER 54
Chalon 17 octobre 2012Comment aider les élèves à progresser ?
• Du côté des dispositifs
– Le choix des contextes (motivation)
– La place donnée à la manipulation
– Les interactions entre élèves
–…
• Du côté de la vie de la classe
– Le rôle et la place des activités différenciées
– la confiance accordée au potentiel
d’apprentissage de chacun
– …mentale différentes
ML PELTIER 55
Chalon 17 octobre 2012Conclusion
Rappelons que si notre rôle en tant
qu’enseignant est de permettre aux élèves
- d’acquérir des compétences,
- de s’approprier des savoirs
Il est aussi de développer leur capacité
à penser,
à anticiper,
à raisonner
de manière à ce qu’ils puissent
- mobiliser leurs connaissances et utiliser
leurs compétences dans un milieu non
didactique.
- acquérir des attitudes nécessaires à
tout citoyenMerci de m’avoir écoutée!
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