MATHEMATIQUES - QUATRIEME Premier Cycle - Samabac
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MATHEMATIQUES
Premier Cycle
QUATRIEME
Programme de Mathématiques du Premier Cycle – Classe de Quatrième – Année 2006
53INTRODUCTION
Les activités numériques visent à étendre les notions et techniques
vues antérieurement dans d’autres domaines comme l’ensemble des
nombres rationnels, le calcul littéral, la résolution des équations et la
statistique.
A ce niveau, l’enseignant s’emploiera à initier l’élève à l’utilisation de
l’outil mathématique dans la résolution des problèmes concrets, à faire
le lien entre les mathématiques et la vie.
Programme de Mathématiques du Premier Cycle – Classe de Quatrième – Année 2006
54PROGRESSION DE LA CLASSE DE 4ème
ACTIVITES ACTIVITES
SEMAINES DIVERS
GEOMETRIQUES NUMERIQUES
1 Nombres rationnels
2
3 Distance
4 Droites des milieux Devoir
5 Droites remarquables
6 dans un triangle
7
Calcul Algébrique
8 Devoir
Triangle Rectangle
9
10 N O E L
11
Equations à une inconnue
12
Inéq et Systèmes de 2
13
inéquat à une inconnue
14 Translations et Devoir
15 Vecteurs
16 Rotations Polygones Composition
17 Réguliers
18 Devoir Nombres Décimaux
19 Relatifs
20 Projection Orthogonale Devoir
21 dans le plan
22 P A Q U E S
23
statistique
24 Géométrie dans
25 l'Espace Devoir
26
27 Composition
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55ACTIVITÉS NUMÉRIQUES
Contenus Commentaires Compétences exigibles
I-NOMBRES RATIONNELS
1) Définitions : • Reconnaître un nombre
Un nombre rationnel est un rationnel.
nombre qui peut s'écrire sous
a
la forme : b avec a ∈ Z et
b ∈ Z*
(b ≠ 0) a et b sont les termes.
L'ensemble des nombres
rationnels est noté Q .
IN ⊂ Z ⊂ ID⊂ Q.
2) Différentes écritures d'un • Écrire un nombre
nombre rationnel : rationnel sous plusieurs
a) Multiplication des termes formes.
d'un nombre rationnel par un
entier relatif non nul
b) Simplification
3)Opérations dans • On fera remarquer qu'on
l'ensemble Q peut étendre à Q les
propriétés de l'addition et de
la multiplication étudiées
dans ID.
• Amener l’élève à présenter
ses résultats sous forme
irréductible.
• Ce chapitre donnera
l’occasion d’utiliser la
calculatrice.
a) Addition – Soustraction : • Connaître l'opposé d'un
Réduction au même nombre rationnel.
dénominateur, opposé,
somme et différence. • Additionner et
soustraire des nombres
rationnels.
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56Contenus Commentaires Compétences exigibles
b) Multiplication - Division : • Calculer le produit de
Produit de deux nombres nombres rationnels.
rationnels, inverse d'un nombre • Déterminer l'inverse
rationnel non nul, quotient d'un nombre rationnel non
d’un nombre rationnel par un nul.
nombre rationnel non nul. • Calculer le quotient d'un
nombre rationnel par un
nombre rationnel non nul.
c) Puissance d'un nombre • Les exposants • Calculer la puissance
rationnel appartiennent à Z. entière d'un nombre
rationnel.
4) Valeur absolue d'un
nombre rationnel :
a) Définition
b) Propriétés • Connaître et utiliser les
- Si a = 0 alors |a| = 0 • Seules ces propriétés sont propriétés de la valeur
- Si |a| = 0 alors a = 0 au programme. absolue d'un nombre
- Si a = b ou a = - b alors rationnel.
|a| = |b
- Si |a| = |b| alors a = b
ou a = - b
5) Comparaison de deux • Connaître et utiliser la
nombres rationnels condition d'égalité de
a) Condition d'égalité de deux deux nombres rationnels.
nombres rationnels
a c
Si ad = bc alors b = d
a c
et réciproquement si b = d
alors ad = bc • Connaître et utiliser la
avec b ≠ 0 et d ≠ 0. compatibilité de l'addition
b) Opérations et égalité et de l'égalité des
nombres rationnels.
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57Contenus Commentaires Compétences exigibles
c) Inégalité de deux nombres
rationnels
Si a > b alors a - b > 0
Si a - b > 0 alors a > b
d) Opérations et inégalités • Connaître et utiliser la
compatibilité de la
multiplication et de
l'inégalité des nombres
rationnels.
e) Valeur exacte, valeur • La notion d'approximation • Trouver une
approchée décimale sera utilisée pour approximation décimale
le calcul de valeurs d'un nombre rationnel au
approchées. dixième, au centième, ou
au millième par défaut
ou par excès.
II CALCUL ALGÉBRIQUE
• Les objectifs de cette partie sont un ensemble de savoir-faire que l'élève devra
maîtriser au travers d'exemples multiples et variés.
• L'élève devra savoir appliquer aux expressions littérales les propriétés des opérations
et les techniques de calcul étudiées dans l'ensemble Q.
• On l'habituera à présenter les résultats sous une forme simple.
1) Développement et • Développer et réduire
réduction d'expressions une expression littérale.
littérales
a) Utilisation de la
distributivité par rapport à
l’addition et à la soustraction
b) Egalités usuelles • Les égalités usuelles • Connaître et utiliser les
2 2 2
(a + b) = a + 2ab + b pourront être utilisées dans égalités usuelles pour
2 2 2 le calcul mental. développer et réduire une
(a - b) = a - 2ab + b
2 2 expression littérale.
(a - b) (a + b) = a - b
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58Contenus Commentaires Compétences exigibles
2) Factorisation
a) Mise en évidence d'un • A travers des exemples • Connaître et utiliser la
facteur commun simples, le professeur devra distributivité pour
amener les élèves à factoriser une
comprendre ce qu'est un expression littérale .
facteur commun, à le
retrouver et à l’utiliser.
b) Utilisation des égalités • Il est important de faire • Connaître et utiliser
usuelles comprendre à l'élève que les les égalités usuelles
égalités usuelles pour factoriser une
fonctionnent dans les "deux expression littérale.
sens".
c) Combinaison des deux
méthodes
3) Calcul de la valeur • Calculer une valeur
numérique d'une numérique d'une
expression littérale expression littérale.
connaissant la valeur • Choisir une forme
de chaque lettre factorisée ou une forme
développée d'une
expression littérale
pour des calculs.
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59Contenus Commentaires Compétences exigibles
III ÉQUATIONS À UNE INCONNUE
• On introduira les équations à travers des exemples concrets. Aucune théorie générale
n'est au programme.
• On étudiera des problèmes concrets dont la résolution fait appel à des équations.
1) Equations se ramenant • On utilisera l'inverse pour • Mettre en équation une
à la forme : trouver x lorsque a ≠ 0. situation simple
ax + b = 0 • Utiliser l’inverse pour
résoudre dans Q des
équations du type
ax + b = 0.
• Résoudre dans Q des
équations à une
inconnue du type :
(ax + b)(cx + d) = 0 ;
a = b ; a = b avec
x x c
c ≠ 0, x ≠ 0.
• Résoudre des
problèmes utilisant ces
équations
2) Equation de la forme • On utilisera la • Vérifier qu’un nombre
(ax + b)(cx + d) = 0 et factorisation pour se rationnel est solution
Equations se ramenant à ramener à la forme : d’une équation.
cette forme (ax + b) (cx + d) = 0 en se
limitant à des cas simples.
3) Equations du type
a=b; a=b
x x c
avec c ≠ 0 ; x ≠ 0
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60Contenus Commentaires Compétences exigibles
IV- INÉQUATIONS ET SYSTÈME DE DEUX INÉQUATIONS
À UNE INCONNUE
• On insistera sur le sens des inégalités lorsqu'on aura à multiplier les termes d'une
inéquation par l'inverse d'un rationnel non nul.
• L' ensemble des solutions sera représenté graphiquement sur la droite graduée et pourra
être donné sous forme d'intervalle(s) ou sous forme de phrase.
• La notation " ∞ " pourra être utilisée pour l'infini.
1) Inéquations à une • On étudiera les • Mettre en inéquation ou en
inconnue de la forme : inéquations et les système d'inéquations une
ax + b ≤ 0, ax + b > 0 et systèmes de deux situation simple.
Inéquation à une inconnue inéquations en utilisant les • Résoudre dans Q des
se ramenant à ces formes. signes >,Contenus Commentaires Compétences exigibles
• Interpréter graphiquement les
solutions d'une inéquation ou
d'un système de deux
inéquations à une inconnue.
• Donner les solutions d'une
inéquation ou d'un système de
deux inéquations à une
inconnue sous forme
d'intervalle(s) ou sous forme de
phrase.
• Vérifier qu’un nombre
rationnel est solution d’une
inéquation ou d’un système
d’inéquations à une inconnue.
V- APPLICATIONS LINEAIRES
• Les applications linéaires ne sont pas étudiées pour elles-mêmes .
• Le professeur utilisera les situations de proportionnalité pour introduire la notion
d'application linéaire: par exemple.
3 f
2 x
3
6 3x x x3 x f(x)
• On pourra étudier la réciproque d'une application linéaire à l'occasion de quelques
exemples en se servant d'un tableau de proportionnalité.
1) Exemples et définitions • Déterminer l'expression
a) Image littérale
b) Antécédent f(x) = ax d'une application
linéaire à partir d'un
2) Propriétés de la linéarité • Par des exemples concrets tableau de proportionnalité.
on amènera les élèves à
• Connaître et différencier
f(x + y) = f(x) + f(y) s’approprier ces propriétés
les notations f, f(x) et le
que l’on démontrera.
schéma : x a f(x)
f(ax) = af(x)
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62Contenus Commentaires Compétences exigibles
3) Représentation • On pourra faire une
•Résoudre des problèmes
graphique. représentation graphique
pratiques faisant intervenir la
Définition et tracé point par point à partir
proportionnalité.
d'un tableau de
proportionnalité. •Utiliser la linéarité pour
• On fera remarquer que la compléter un tableau de
représentation graphique proportionnalité.
est une droite qui passe par
• A partir de l’expression
l'origine du repère.
littérale d’une application
linéaire déterminer des valeurs
numériques et établir un
tableau de proportionnalité.
•Représenter graphiquement
des applications linéaires.
VI_STATISTIQUE
1) Exemples et • Introduire le vocabulaire à • Connaître le vocabulaire
vocabulaire : partir d'exemples de la vie suivant : population, individu,
Population, individu, courante. échantillon, caractère qualitatif,
échantillon caractère • On étudiera uniquement caractère quantitatif, variable,
qualitatif, caractère les caractères quantitatifs valeur du caractère(modalité),
quantitatif, variables discrets. effectif, mode, moyenne,
fréquence, pourcentage.
2) Classement des don • Des activités d'enquêtes au
statistiques : niveau de la classe(notes,
âge , taille des élèves, ...)
fourniront des séries
statistiques qui pourront
être exploitées dans la suite
du chapitre.
a) Séries statistiques • On a l’habitude d’ordonner • Ordonner une série statistique.
brutes les séries dans l’ordre • Etablir le tableau des effectifs.
b) Séries statistiques croissant. • Déterminer le mode d’une
ordonnées • Il faudra attirer l’attention série statistique.
Effectif, mode, des élèves sur l’intérêt de • Calculer la fréquence et le
moyenne, fréquence ces différentes notions dans pourcentage d'une valeur du
et pourcentage. la vie courante. caractère et la moyenne d'une
série statistique.
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63Contenus Commentaires Compétences exigibles
3) Représentations • On s'intéressera surtout à • Représenter une série
Diagramme en l'aspect comparatif de ces statistique par un diagramme en
bâtons, diagramme à différents diagrammes. bâtons, par un diagramme à
bandes, diagramme • L’interprétation consiste à bandes, par un diagramme
circulaire, diagramme donner un avis argumenté à circulaire, par un diagramme
semi-circulaire. partir des résultats obtenus. semi-circulaire.
• Déterminer à l'aide d'un
diagramme les valeurs d'un
caractère.
• Déterminer, à l'aide d'un
diagramme, les effectifs d'une
série statistique.
• Interpréter des données
statistiques.
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64ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES
Les activités géométriques occuperont un temps au moins équivalent à celui des
activités numériques. Ces activités seront menées conjointement. Le travail
effectué doit permettre à l'élève de parfaire l'usage des instruments de mesure et
de dessin, et aussi de s'entraîner au raisonnement déductif.
Contenus Commentaires Compétences exigibles
I. DISTANCE
1) Positions relatives de • On comparera la • Connaître le critère
deux cercles distance des centres à la d’existence d’un triangle
somme et à la différence à partir de trois nombres
des rayons des deux donnés.
cercles.
• On étudiera les • Connaître les
différents cas possibles. configurations
• On dégagera le critère d’intersection de deux
de construction de trois cercles.
points connaissant les • Reconnaître que deux
trois distances associées. cercles sont sécants,
tangents intérieurement,
tangents extérieurement,
disjoints.
2) Régionnement du plan et • On pourra utiliser les • Connaître et utiliser les
reconnaissance d'un demi- logiciels de Géométrie propriétés de la
plan dynamique pour illustrer médiatrice pour effectuer
Soit (D) la médiatrice d'un ces propriétés (CABRI- un régionnement du plan.
segment [AB] et M un point GEOMETRE,
du plan. Géoplan…)
a) - Si M ∈ (D) alors
MA = MB.
- Si MA = MB alors
M ∈ (D).
b) - Si M est du même côté
que A par rapport à (D) alors
MA < MB.
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65Contenus Commentaires Compétences exigibles
- Si MA < MB alors M est du
même côté que A par rapport
à (D).
c) - Si M est du même côté
que B par rapport à (D) alors
MA > MB.
- Si MA > MB alors M est du
même côté que B par rapport
à (D).
3) Distance d'un point à une • On montrera en activité • Connaître et utiliser la
droite : Définition que par un point A pris distance d'un point à
hors d'une droite (D) le une droite.
point H de (D) le plus •Trouver la distance
proche de A est le pied de d'un point à une droite.
la perpendiculaire à (D)
passant par A.
5) Propriétés de la • Connaître et utiliser la
bissectrice d'un angle: reconnaissance de la
a) - Si un point est sur la bissectrice pour justifier
bissectrice d'un angle alors il une égalité de distances
est équidistant des côtés de ou l'appartenance d'un
cet angle. point à la bissectrice
b) - Si un point est d'un angle.
équidistant des côtés
d'un angle alors il est sur la
bissectrice de cet angle.
6) Positions relatives d'une • On comparera le rayon du • Connaître les
droite et d'un cercle cercle et la distance de son configurations
centre à la droite. d’intersection d'un
cercle et d'une droite.
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66Contenus Commentaires Compétences exigibles
• On remarquera que la • Démontrer qu'une
figure formée par un cercle droite et un cercle sont
de centre O et une droite sécants, tangents,
(D), admet la disjoints.
perpendiculaire à (D) • Construire une tangente
passant par O comme axe à un cercle donné passant
de symétrie. par un point donné
extérieur au cercle.
II. DROITES DES MILIEUX
Théorèmes : • On démontrera ces • Connaître et utiliser les
1) La droite qui passe par théorèmes. propriétés et les
les milieux de deux côtés configurations au
d'un triangle est parallèle programme relatives à la
au troisième côté. droite des milieux pour :
2) Le segment qui joint les - démontrer le
milieux de deux côtés d'un parallélisme de droites ;
triangle a pour longueur la - calculer ou comparer
moitié de la longueur du des longueurs ;
troisième côté. - démontrer qu'un point
3) Si une droite est parallèle à est milieu d'un segment.
un côté d'un triangle et passe
par le milieu d'un autre côté
alors elle coupe le troisième
côté en son milieu.
4) Si trois droites parallèles
découpent sur une sécante
deux segments consécutifs de
même longueur, alors elles
découpent sur toute autre
sécante deux segments
consécutifs de même
longueur (parallèles
équidistantes).
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67Contenus Commentaires Compétences exigibles
III. DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE :
Bissectrices, Médianes
1) Bissectrices
- Les trois bissectrices d’un • La démonstration • Connaître la propriété : les
triangle sont est une application de trois bissectrices d’un triangle
concourantes. la distance d’un point sont concourantes.
à une droite.
b) Cercle inscrit dans un • Connaître le vocabulaire :
triangle cercle inscrit.
• Construire le cercle inscrit
dans un triangle.
2) Médianes
- Les trois médianes d’un • La démonstration • Connaître la propriété : les
triangle sont est une application de trois médianes d’un triangle
concourantes. la droite des milieux. sont concourantes.
b) Centre de gravité dans un • Connaître le vocabulaire :
triangle. centre de gravité.
c) Le centre de gravité d’un • Démontrer qu’un point est le
triangle est situé aux deux centre de gravité d’un triangle.
tiers de chaque médiane à • Placer le centre de gravité
partir du sommet. d’un triangle connaissant une
médiane.
- Reconnaissances d’un • On fera remarquer • Utiliser les droites
triangle isocèle que si dans un remarquables pour démontrer
Si dans un triangle une triangle deux droites que :
hauteur est en même temps remarquables sont - trois points sont alignés,
bissectrice alors ce triangle est confondues alors ce - trois droites sont
isocèle. triangle est isocèle. concourantes,
Si dans un triangle une - un point est milieu d’un
médiane est en même temps segment.
bissectrice alors ce triangle est
isocèle. • Montrer qu’un triangle est
Si dans un triangle une isocèle à partir des propriétés
médiatrice est en même temps des ses droites remarquables.
bissectrice alors ce triangle est
isocèle.
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68Contenus Commentaires Compétences exigibles
IV. TRIANGLE RECTANGLE
1) Propriétés • On pourra partir d'activités
sur les aires de carrés construits
sur les différents côtés d'un
triangle ABC rectangle en A,
on montrera que :
2 2 2
BA + AC = BC .
a) Théorème de Pythagore • Le symbole sera introduit • Connaître et utiliser
Si un triangle ABC est ème
en classe de 3 ; on fera le Théorème de
rectangle en A attention au choix des nombres Pythagore pour des
2 2 2
alors BA + AC = BC . pour ne pas avoir de problème calculs de longueurs
d’extraction de racine carrée ou ou d'aires.
de calcul de racine carrée.
• On pourra utiliser la
calculatrice pour obtenir une
racine carrée.
b) Si un triangle ABC est • La démonstration peut utiliser • Connaître et utiliser
rectangle en A et si H est le le calcul d'aire du triangle pour des calculs de
pied de la hauteur issue de A rectangle. longueurs ou d'aires
alors • On pourra montrer dans des la relation :
AB × AC = AH × BC exercices que : AB × AC = AH ×
2
B AH = BH × CH BC.
2
H AB = BH × BC
2
AC = CB × CH
A C
2) Reconnaissances • Connaître et utiliser
a) Soit un triangle ABC et H les reconnaissances
le pied de la hauteur issue de pour démontrer qu'un
A triangle est rectangle.
Si AB x AC = AH x BC,
alors le triangle ABC est
rectangle en A.
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69Contenus Commentaires Compétences exigibles
b) Réciproque du Théorème
de Pythagore :
2 2 2
Si BA + AC = BC , alors le
triangle ABC est rectangle en
A.
V. TRANSLATIONS ET VECTEURS
1) Droites de même • Définition d'une
direction translation à partir du
Sens sur une direction parallélogramme.
2) Translation : définition • La translation est • Construire l'image par
et procédure de introduite par des activités une translation:
construction de construction. - d'un point ;
• On pourra la présenter - d'une droite ;
comme une application du - d'une demi-droite,
plan dans lui-même. d'un angle ;
• On veillera à présenter des - d'un segment, d'un
constructions avec plusieurs triangle ;
points et leurs images pour - d'un cercle.
aider progressivement à • Reconnaître une
percevoir la translation translation dans une
comme une transformation configuration.
ou un déplacement.
3) Propriétés d'une • Ces propriétés pourront
translation : être dégagées à partir
d'activités de construction.
- Dans une translation
l'image d'un segment est • Connaître et utiliser
un segment qui lui est les propriétés d'une
parallèle et de même translation pour justifier
longueur. l'alignement de 3 points.
- Dans une translation,
l'image d'une droite est
une droite qui lui est
parallèle.
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70Contenus Commentaires Compétences exigibles
c) - Dans une translation • Connaître et utiliser
l'image d'une demi-droite est les propriétés d'une
une demi-droite parallèle et translation pour justifier
de même sens. une égalité de distances,
d) - Dans une translation, une égalité d'angles, le
l'image d'un cercle est un parallélisme de droites,
cercle de même rayon, son la perpendicularité de
centre est l'image du centre. droites.
e) - Une translation conserve
l'alignement, les longueurs,
les angles, les aires, le
parallélisme et
l'orthogonalité.
f) Direction, sens et • On ne fera pas une
longueur d'un vecteur. présentation théorique des
Notation. Vecteur nul vecteurs utilisant la notion
(vecteur de longueur nulle , de relation d'équivalence.
pas de direction pas de sens) • On mettra en évidence la
direction, le sens et la
longueur.
g) Vecteurs égaux : deux • Utiliser l'égalité de
vecteurs sont égaux s'ils ont deux vecteurs pour
même direction, même sens justifier :
et même longueur. - une égalité de
distances
- le parallélisme de
droites.
h) Étant donnés un vecteur • Étant donnés un
u et un point A du plan, il vecteur u et un point
existe un point B unique du A, construire le point B
plan tel que : AB = u tel que AB = u
5) Parallélogramme et • On utilisera ces propriétés • Utiliser l'égalité de
Vecteur pour entraîner les élèves à deux vecteurs pour
a) - Si ABCD est un faire des démonstrations. montrer qu' un
parallélogramme, alors quadrilatère est un
AB = DC parallélogramme.
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71Contenus Commentaires Compétences exigibles
b) - Si AB = DC et
A, B, C, D non alignés, alors
ABCD est un
parallélogramme.
• Utiliser l'égalité de
deux vecteurs pour
6) Milieu d'un segment et
justifier qu'un point est
Vecteur
le milieu d'un segment.
a) - Si un point I est le
milieu d'un segment [AB]
alors AI = IB
b) - Si des points I, A et B
sont tels que :
AI = IB alors I est le
milieu du segment [AB].
VI ROTATIONS - POLYGONES RÉGULIERS
1) Angle au centre-Arc • On pourra utiliser la • Reconnaître un angle
intercepté règle de trois pour établir au centre
- Définitions-Présentations cette formule. • Reconnaître l'arc
- Longueur d'un arc de cercle 2 πr α intercepté par un angle
l=
Propriété : La longueur de 360° au centre.
l'arc intercepté est • Trouver la longueur
R
proportionnelle à l'angle au α l d'un arc de cercle
centre qui l'intercepte. connaissant le rayon et
la mesure de l'angle au
centre qui l'intercepte.
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72Contenus Commentaires Compétences exigibles
2) Rotation • On introduira la notion • Déterminer une
a) Définition d'angle de rotation. rotation dans des cas
Soient O, A et A' trois points • On entraînera l'élève à simples (triangle
distincts du plan tels que : utiliser les deux sens de isocèle, triangle
OA = OA'. rotation. équilatéral, carré...).
Dire qu'un point B' est • On insistera sur les
l'image d'un point B par la caractéristiques d'une
rotation de centre O qui rotation.
transforme A en A' signifie
que :
- OB = OB',
- BOB' = AOA' ,
- le sens de déplacement
de B vers B' est celui de
A vers A'.
b) Construction de l'image • On utilisera la méthode de • Construire l'image
d'un point par une rotation reproduction d'un angle au d'un point par une
moyen du compas. rotation.
c) Propriétés • On justifiera les propriétés • Connaître et utiliser les
- Une rotation conserve les à partir d'exemples variés. propriétés de la rotation
longueurs. pour :
- Une rotation conserve - comparer des
l’alignement : l’image d’une longueurs,
droite est une droite. - démontrer
- Dans une rotation l'image l'alignement de 3 points.
d'une demi-droite est une
demi-droite.
- Dans une rotation l'image
d'un segment est un segment
de même longueur.
- Dans une rotation l'image • Connaître et utiliser les
d'un cercle est un cercle de propriétés de la rotation
même rayon. pour comparer des
- Une rotation conserve les angles, des aires.
angles et les aires.
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73Contenus Commentaires Compétences exigibles
- Une rotation conserve le • Connaître et utiliser
parallélisme et les propriétés de la
l'orthogonalité. rotation pour démontrer
le parallélisme et
l'orthogonalité de
droites.
3) Polygones réguliers
a) Définition
Un polygone est dit régulier • On n'étudiera que les • Reconnaître un
s'il a tous ses angles égaux et polygones convexes. polygone régulier.
tous ses côtés égaux.
b) Exemples : Le triangle
équilatéral, le carré, le
pentagone régulier,
l'hexagone régulier,.....
c) Construction de polygones • On entraînera les élèves à • Construire un
réguliers: construire des polygones polygone régulier à
réguliers : l'aide de la règle, du
1) en utilisant la règle, le rapporteur et du
rapporteur et le compas, compas.
2) en étudiant les cas • Utiliser une rotation
particuliers du triangle de centre O et d'angle
équilatéral et de l'hexagone. 360°
n pour construire un
polygone régulier de
centre O à n côtés.
- Propriétés : • On ne démontrera pas ces • Caractériser le cercle
propriétés mais on les fera inscrit dans un polygone
- Tout polygone régulier
constater. régulier.
admet un cercle circonscrit.
• On précisera la notion de
• Caractériser le cercle
- Chaque médiatrice d'un figure globalement
circonscrit à un
côté d'un polygone régulier invariante dans une
polygone régulier.
est un axe de symétrie de ce transformation.
polygone.
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74Contenus Commentaires Compétences exigibles
• Connaître les éléments
de symétrie d'un
polygone régulier.
VII. PROJECTION ORTHOGONALE DANS LE PLAN
1) Définition
Soit (D) une droite du plan et • Construire l'image par
M un point du plan. La M une projection
perpendiculaire à (D) passant orthogonale d'un point,
par M coupe (D) en un point. d'un segment.
Ce point est appelé projeté
orthogonal de M sur (D). (D) M’
• On entraînera les élèves à
construire le projeté
orthogonal d'un point donné.
2) Propriétés
• On démontrera ces • Utiliser la propriété de
propriétés. conservation du milieu
dans la résolution de
problèmes.
a) - Le projeté d'un segment
est un segment qui peut être
réduit à un point.
b) - Le milieu d'un segment
se projette au milieu du
segment image.
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75Contenus Commentaires Compétences exigibles
a) - Coordonnées du • Déterminer les
milieu d'un segment coordonnées du milieu
d'un segment connaissant
celles de ses extrémités
dans un repère
orthonormal.
b) - Carré de la distance
de deux points
• On fera remarquer à l'élève • Utiliser dans un repère
2
AB = que l'abscisse d'un point M orthonormal la formule
2
2 2 peut être notée xM et son
(xB - xA) + (yB - yA) . AB =
ordonnée yM. 2 2
(xB - xA) + (yB - yA)
• On n'introduira pas le
pour :
symbole " , " en 4ème - calculer des carrés de
• On utilisera la réciproque du longueurs et des
théorème de Pythagore pour longueurs,
démontrer qu'un triangle est - démontrer qu'un triangle
rectangle connaissant les est rectangle.
coordonnées de ses trois
sommets.
VIII. GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
1) Positions relatives de • On observera des droites non • Connaître le vocabulaire
deux droites dans coplanaires dans des situations : droites coplanaires,
l'espace : droites simples. droites non coplanaires
coplanaires, droites non • Coder un angle droit
coplanaires. dans l’espace.
• Reconnaître deux
droites orthogonales.
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76Contenus Commentaires Compétences exigibles
2) Position relative Les autres positions relatives de • Reconnaître sur des
d'une droite et d'un droite et plan seront vues en solides simples une
plan dans l'espace : classe de seconde. droite perpendiculaire à
droite et plan un plan.
perpendiculaires Pour la représentation de droite
Définition : Une droite et plan perpendiculaires, on • Représenter une droite
est perpendiculaire à un insistera sur le codage. perpendiculaire à un
plan lorsqu'elle est plan.
perpendiculaire à deux
droites sécantes de ce
plan.
3) Positions relatives • Reconnaître sur des
de plans dans l'espace solides simples deux
: plans parallèles plans parallèles.
Deux plans sont • Représenter deux
parallèles lorsqu'ils sont plans parallèles.
perpendiculaires à une
même droite.
4) Section d'une
sphère par un plan
a) La section d'une • On pourra faire l'expérience • Calculer le rayon du
sphère par un plan est avec un fruit de forme sphérique. cercle intersection d'une
toujours un cercle. sphère et d'un plan.
b) La section d'une • On pourra démontrer que la
sphère par un plan qui section d'une sphère par un plan
passe par le centre de la est un cercle en utilisant le
sphère est appelée un théorème de Pythagore.
grand cercle.
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