Modèles macroscopiques de la circulation - A - Hamzeh Alizadeh, Ph.D. Coordonateur - Données mobilité et modélisation - Moodle ...

Modèles macroscopiques de
 la circulation – A
 Hamzeh Alizadeh, Ph.D.
 Coordonateur – Données mobilité et modélisation
 exo

Alizadeh H. (2021) École Polytechnique de Montréal– CIV6705 Automne 2021 1

Introduction
 ➢ Tel que discuté précédemment, il existe deux types de relations entre les
 caractéristiques des flux de trafic: :
 1. La relation débit-vitesse-densité ou la relation d'identité:
 = × 
 • Une identité est une égalité qui est vraie quelles que soient les valeurs choisies
 pour ses variables. Ils sont souvent utilisés pour simplifier ou réorganiser des
 expressions algébriques: + 2 = 2 + 2 + 2 .

 • Il est spécifique à l'emplacement et au même moment: ( , ) = ( , ) ×
 ( , ) et au temps, c'est-à-dire que le débit, la vitesse et la densité
 doivent se référer au même endroit

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Introduction
 ➢ Tel que discuté précédemment, il existe deux types de relations entre les
 caractéristiques de flux de trafic:
 2. Relations par paires ou modèles d'équilibre:

 Ces relations:
 • Définissent le diagramme fundamental.
 • Ils sont spécifiques à un emplacement, c'est-à-dire que différents
 emplacements et routes peuvent avoir différents diagrammes fondamentaux.
 • Ce sont des modèles d'équilibre, c'est-à-dire qu'ils décrivent un ➔
 comportement en régime permanent à long terme et ne sont donc pas
 spécifiques à un moment particulier.
 • De telles relations n'ont qu'une signification statistique; c'est-à-dire que les
 signes égaux ne sont pas strictement valables dans le monde réel.

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Théorie de la circulation- Objectif
 ➢ Le principal objectif de la formulation d'une théorie de la circulation est d'aider à mieux
 comprendre l’état de la circulation et, par l'application de ces connaissances, de contrôler le
 trafic pour des opérations plus sûres et plus efficaces.
 ➢ Donc, une bonne théorie devrait pouvoir aider à répondre aux questions suivantes:
 • Compte tenu des conditions de circulation existantes sur une route et des arrivées futures, comment
 les conditions de circulation routière évoluent-elles dans le temps?
 • Où sont les goulots d'étranglement, le cas échéant?
 • En cas de congestion, combien de temps dure-t-elle et jusqu'où les files d'attente se propagent?
 • En cas d'incident, quelle est la meilleure stratégie pour minimiser l'impact sur la circulation?
 ➢ Les réponses à ces questions impliquent l'analyse de l'évolution dynamique des états de la
 circulation dans le temps et dans l'espace.
 ➢ Les modèles d'équilibre ne sont capables que de décrire ces états et ne fournissent pas de
 mécanisme pour analyser comment ils évoluent.
 ➢ Ce chapitre présente des modèles dynamiques pour répondre à ces questions.

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L'équation de continuité
 ➢ La dérivation d'une équation dynamique commence par l'examen d'un petit volume
 de trafic routier en tant qu’un flux continu.

 ➢ On considère le flux de trafic comme un fluide compressible unidimensionnel,
 comme un gaz.

 ➢ Les lois de conservation s'appliquent à ce type de fluide.

 ➢ La forme de conservation de premier ordre est la conservation de masse,
 également connue sous le nom d'équation de continuité.

 ➢ Nous introduisons 3 perspectives différentes pour dériver les équations de
 continuité:
 • Dérivation 1 - Différence finie,
 • Dérivation 2 - Dynamique des fluides,
 • Dérivation 3 - Représentation tridimensionnelle du flux de trafic.

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Dérivation 1 - Différence finie
 ➢ Supposons qu'une section d'autoroute soit délimitée par deux stations d'observation à
 1 et 2 .
 ➢ Soit ∆ = 2 − 1 la longueur de la section.
 ➢ Pendant l'intervalle de temps ∆ = 2 − 1 , 1 véhicules ont dépassé 1 et 2 véhicules
 ont dépassé 2 . Par conséquent, les débits à ces endroits sont:

 ,

 ➢ Le changement du nombre de véhicules dans la section est:

 Section de route pour obtenir
 l'équation de continuité

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Dérivation 1 - Différence finie
 ➢ Supposons que les densités de trafic dans la section au moments 1 et 2 soient respectivement 1 et 2 .
 ➢ Par conséquent, il y a 1 = 1 ∆ véhicules dans la section au temps 1 et 2 = 2 ∆ véhicules dans la
 section au temps 2 .
 ➢ Le changement du nombre de véhicules dans la section peut être exprimé comme:

 ➢ Puisque les véhicules ne peuvent pas être créés ou détruits à
 l'intérieur de la section, le changement du nombre de véhicules
 doit être le même dans la même section pendant le même
 intervalle de temps. Par conséquent, ∆ = ∆ — c'est-à-dire:
 ➔

 ➢ En divisant les deux côtés par ∆ ∆ , nous obtenons:
 ∆ → 0 Section de route pour obtenir
 ➔ ➔
 ∆ → 0 l'équation de continuité

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Dérivation 2 - Dynamique des fluides
 ➢ La figure illustre un petit cube fluide de taille × × 
 ➢ La vitesse du fluide et la densité de deux côtés du cube sont aussi indiquées.
 ➢ Le débit de masse entrant dans le cube est de .
 ➢ Le débit de masse sortant du cube est de:

 ➢ La masse stockée dans le cube équivaut à la masse qui
 entre moins la masse qui en sort:

 Petit cube de fluide pour dériver
 l'équation de continuité

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Dérivation 2 - Dynamique des fluides
 ➢ Si nous ignorons le terme d'ordre supérieur, nous obtenons:

 ➢ Un traitement similaire s'applique aux deux autres directions du cube, donc la
 masse totale stockée dans le cube est:

 ➢ La masse stockée dans le cube doit être équilibrée par le
 changement de masse entrant et sortant le cube:

 ➢ La loi de la conservation de masse exige que:

 ➔ Petit cube de fluide pour dériver
 l'équation de continuité

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Dérivation 2 - Dynamique des fluides
 ➢ Le trafic routier constitue un cas particulier de la situation
 ci-dessus avec une seule dimension:

 ➢ Notez que = . Donc:

 Petit cube de fluide pour dériver
 l'équation de continuité

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Dérivation 3: Représentation tridimensionnelle
 ➢ Comme discuté précédemment, la surface qui représente le nombre
 cumulé de véhicules, , peut être exprimée en fonction du temps et
 de l'espace — c'est-à-dire, = ( , ).

 ➢ La densité d’un point espace-temps ( , ) est la première dérivée
 partielle de ( , ) par rapport à , mais prend une valeur négative:

 ➢ Le débit en ( , ) est la première dérivée partielle de ( , ) par
 rapport à :

 Fonction du nombre cumulé de
 véhicule ( , )
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Dérivation 3: Représentation tridimensionnelle
 ➢ Si le débit et la densité ont des dérivés du premier ordre:

 ➔

 ➢ Donc:

 Fonction du nombre cumulé de
 véhicule ( , )
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Modèle dynamique de premier ordre
 ➢ L'évolution de la circulation est le processus de changement des états de la circulation (par
 exemple, débit , vitesse et densité ) au fil du temps et de l'espace en considérant
 certaines conditions initiales (par exemple, 0 = (0, )) et les conditions aux limites (par
 exemple, ( ) = ( , 0 )).
 ➢ On reconnaît que le temps et l'espace sont des variables indépendantes et les états de la
 circulation sont des variables dépendantes, c'est-à-dire que ce sont des fonctions du temps
 et de l'espace ( = ( , ), = ( , ), = ( , )).
 ➢ Les équations de continuité dérivées avant relient dynamiquement le changement de débit
 au changement de densité 

 ➢ Cette équation contient deux variables inconnues ( , ) et ( , ). Puisque le nombre de
 variables inconnues est supérieur au nombre d'équations, le problème est sous-spécifié.
 Pour cette raison, une autre équation simultanée est nécessaire.
 ➢ La fonction d'identité devient pratique:
 ( , ) = ( , ) × ( , )
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Modèle dynamique de premier ordre
 ➢ En ajoutant cette nouvelle équation, nous introduisons une troisième variable inconnue — la
 vitesse ( , ).
 ➢ Par conséquent, une troisième équation simultanée est nécessaire.
 ➢ Nous sommes incapables de trouver une troisième équation gouvernante qui soit valable pour
 n'importe quel conditions de temps et espace.
 ➢ Par conséquent, nous devons accepter l'option (moins qu'idéale) en examinant les modèles
 d'équilibre (par exemple, le modèle Greenshields), qui ne sont valides que statistiquement. Un tel
 modèle prend la forme de:
 ➢ En mettant tout ensemble, on obtient un système de trois équations impliquant trois variables
 inconnues:
 ➢ Si les conditions initiales et aux limites sont fournies, le système d'équations ci-dessus peut être
 résolu.
 ➢ On peut déterminer l'état de la circulation à un point arbitraire de l'espace-temps ( , )—c'est-à-
 dire, ( , ), ( , ), et ( , ), et répondre aux questions posées au début de cette section.
 ➢ Cependant, résoudre un tel système d'équations n'est pas facile!

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Phénomène des ondes
 ➢ Les ondes sont partout dans le monde réel.
 • Sur un lac
 • Un stade de soccer
 • En secouant une corde
 ➢ Une onde est la propagation d'une perturbation dans un milieu dans le temps et
 dans l'espace.

 ➢ Si nous appliquons la notion à un peloton de véhicules sur une autoroute, lorsque
 l'un des véhicules freine brusquement puis reprend sa vitesse d'origine, les
 véhicules suivants seront affectés successivement.

 ➢ La propagation d'une telle perturbation est une onde et la circulation est le milieu.

 Les vagues de circulation sur une autoroute Vagues

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Représentation mathématique
 ➢ Les ondes sont décrites par des équations aux dérivées partielles (EDP). Exemple:

 ➢ Notez que:
 • Si une variable dépendante est fonction de variables indépendantes et , on
 écrit = ( , ) et on note ses dérivées partielles par rapport à et comme
 suit:

 • Une EDP pour ( , ) est une équation qui implique une ou plusieurs dérivées
 partielles de par rapport à et , par exemple:

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Représentation mathématique
 ➢ Les EDP peuvent être classés en fonction de leur ordre, de leur homogénéité et de leur linéarité.
 Ordre
 ➢ L'ordre d'une EDP est l'ordre de la dérivée partielle la plus élevée de l'équation.
 Par exemple:

 ➢ Une EDP de premier ordre peut être exprimée sous la forme générale suivante:

 • Où , et sont des coefficients, et ils peuvent être des fonctions de , et .

 Homogénéité
 ➢ Une EDP du premier ordre ( , , ) + ( , , ) = ( , , ) est
 • homogène si ( , , ) = 0;
 • non homogène si ( , , ) ≠ 0.

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Représentation mathématique
 Linéarité
 ➢ Dans l'EDP générale du premier ordre ci-dessus, si et sont tous deux indépendants de ,
 c'est-à-dire = , , = , , et
 • Si est également indépendant de — c'est-à-dire, = ( , ) — alors l’EDP est strictement
 linéaire. Par exemple, 2 + 3 = 5 .
 • Si dépend linéairement de — c'est-à-dire, = ( , , ) — alors l’EDP est linéaire. Par
 exemple, 2 + 3 = 5 + 3.
 • Si dépend de de manière non linéaire, alors l’EDP est semi-linéaire. Par exemple,
 2 + 3 = .

 ➢ Si ou dépend de , ou si et dépendent tous les deux de , c'est-à-dire = ( , , ), =
 ( , , ), et = ( , , ), alors la PDE est quasilinéaire. Par exemple,
 + (3 + 2) = 0.

 ➢ Une EDP est non linéaire si elle implique des termes croisés de et de ses dérivés, par exemple,
 + = 2.

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Ondes progressives

 ➢ De nombreux EDP ont des solutions sous forme d’une onde
 progressive: , = − 
 ➢ La figure illustre deux exemples d'onde progressive, ( − 0 ) et
 ( − 1 ).
 ➢ Notez que:
 1. L'onde progressive conserve sa forme
 2. L'onde au temps 1 est simplement une translation horizontale
 de son profil initial au temps 0
 ➢ Si est une constante positive, l'onde ( , ) = ( − ) se
 déplace vers la droite au fil du temps, tandis que l'onde ( , ) = Une onde progressive
 ( + ) se déplace vers la gauche.

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Solutions des ondes progressives
 ➢ Pour résoudre l'équation d'onde suivante où est une constante:
 ➢ Supposons qu'une solution prenne une forme progressive ( , ) = ( − ).
 Soit − = . Donc:

 ➢ De même:

 ➢ En mettant les résultats obtenus dans l'équation d'onde, on obtient:

 ➢ Le partie gauche de l’équation peut être égal à 0 de deux manières:
 1. Si 2 − = 0, alors ( , ) = ( ± ), où peut prendre n'importe
 quelle forme fonctionnelle.
 2. Si ′′ = 0, alors ( , ) = + ( − ), où et sont des constantes
 arbitraires.

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Front d'onde et impulsion
 ➢ Une onde progressive est appelée un front d'onde si:

 ➢ Une onde progressive est appelée une impulsion si 1 = 2

 Un front d'onde

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Solution générale aux équations d'onde
 ➢ Comme mentionné précédemment, l'équation d'onde dans une dimension est
 exprimée par:

 ➢ De nombreuses équations d'onde ont une solution générale sous forme de
 superposition d'ondes progressives:

 ➢ Notez que même si chacun des termes sur la partie droite est une onde progressive,
 leur superposition ne l'est pas nécessairement.

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Solution générale aux équations d'onde
 Méthode de changement de variables:
 Définissez
 2 2 
 = 2 ➔ = ➔ deux nouvelles = + , = − 
 2 2 coordonnées

 Conversion des 2 2 2 2 2 2 2 2 
 dérivées partielles = + = + ➔ 2 = 2 + + + 2 = 2 + 2 + 2
 
en t et x en dérivées➔ ➔
 partielles en r et s 2 2 2 2 2 
 = + = − ➔ = 2 + − − 2
en utilisant la règle 2 
 de la chaîne.
 Appliquez à nouveau la règle
 de la chaîne pour trouver les
 2 
 2 2
 2 2
 2 
 = − 2 + 
 secondes dérivées 2 2

 Mettre dans 2 2 2 2 2 2 2 2 
 
 l'équation ➔ 2 2 − 2 2 + 2 2 = 2 +2 + ➔ 4 2 =0 ➔ =0
 d'onde: 2 2 

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Solution générale aux équations d'onde
 Méthode de changement de variables: f est une fonction
 L'anti-dérivé
 pure de r
 de h (s)
 Intégrer Intégrer
 = + ( )
 2 
 =0 par ➔ = ℎ( ) ➔ par ➔
 rapport à r rapport à s Nous avions
 h est une également: = + , = − 

 ➔
 fonction
 pure de s
 La solution générale de
 l'équation des ondes , = + + ( − )

 Onde progressive
 temps Ainsi, à mesure que le Puisque f (0) a une En fait, tous les autres
 Supposons que vers l'arrière
 temps augmente, la valeur fixe, un point de points tels que f (1), f (-1),
nous choisissions un + = 0 ➔ = − position horizontale de ➔ valeur fixe recule dans ➔ etc. reculent également à ➔ + 
point fixe f(0) sur la Vitesse de la même vitesse
 f (0) recule l'espace
 fonction f. l’onde

 ➔ La solution générale à l'équation de l'onde est une onde
 Avec la même logique ➔ ( − ) progressive vers l'arrière superposée par une onde progressive
 Onde progressive
 vers l'avant vers l'avant

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Solution de d'Alembert à l'équation des ondes
 Pas de conditions
 Solution dans un domaine unidimensionnel infini −∞ < < +∞, > 0 explicites aux limites
 Un certain
 2 2 , 0 = 0 ( )
 = 2 ➔ = déplacement initial
 2 2 
 ቤ = 0 ( ) Une certaine vitesse
 =0 initiale

 Solution Remplacez les
 f et g sont des inconnues conditions initiales
 La solution
 (1)
 générale de , = + + ( − ) ➔ , 0 = + 0 + − 0 = + ( )
 l'équation des
 ondes 
 
 (2)
 ➔ = ’ + + ’( − )(− ) ➔ ቤ = 0 = ’ − ’( )
 =0
 : = ’( ( )) ’( )
 
 Variable d'intégration fictive
 Intégrer de න 0 = − ( 0 ) − − ( 0 )
 0 à 0

 1 
 ➔ න + 0 + 0 = − ( )
 0 0

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Solution de d'Alembert à l'équation des ondes
 Solution dans un domaine unidimensionnel infini
 + ( )
 ➔ 1 1 + 0 − 0
 Et remplacez x par x + ct + = 0 + + න 0 +
 2 2 0 2
pour obtenir une expression
 de l'onde progressive vers
 l'arrière

 − ( )
 ➔ 1 1 − 0 − 0
 Et remplacez x par x-ct pour − = 0 − − න 0 +
 2 2 0 2
 obtenir une expression de
l'onde progressive vers l'avant

 La solution 1 1 + 
 générale de , = + + − = 0 + + 0 − + න 
 l'équation des 2 2 − 0
 ondes
 1 1 + Solution de d'Alembert à
 , = 0 + + 0 − + න l'équation des vagues
 2 2 − 0

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Caractéristiques
 ➢ Donc, il a été démontré que si:
 La solution prend la forme suivante:

 ➢ En appliquant la conclusion ci-dessus, on remarque que la
 solution à un point arbitraire de l'espace-temps ( ∗ , ∗) est:

 ➢ L'équation ci-dessus suggère que la solution en un point
 arbitraire ( ∗ , ∗ ) peut être déterminée par
 ➢ La condition initiale aux points (0, ∗ − ∗ ) et (0, ∗ + ∗ )
 ➢ Et, l'intervalle délimité par les deux points (inclusive) — c'est-
 à-dire, = [ ∗ − ∗ , ∗ + ∗ ].
 ➢ Ceci est illustré dans la partie gauche de la figure. Par
 conséquent, l'intervalle est appelé le domaine de
 dépendance du point ( ∗ , ∗ ).
 Caractéristiques
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Caractéristiques
 ➢ Notez que dans la partie gauche de la figure, les ➢ Le terme « zone d'influence » se réfère à un
 deux lignes venant du point ( ∗ , ∗ ) croisant l'axe ensemble de points spatio-temporels dont
 des en (0, ∗ − ∗ ) et (0, ∗ + ∗ ) ont des les solutions sont influencées en tout ou en
 pentes et − . Ces deux lignes sont appelées partie par le domaine de dépendance ; voir
 lignes des caractéristiques ou simplement la zone hachurée dans la partie droite de la
 caractéristiques. figure.
 ➢ Quand: , ➔ la solution de l'équation d'onde
 se réduit à:

 ➢ Cela montre que la valeur de en ( , ) ne dépend que des
 valeurs initiales de en deux points, 1 = − et 2 =
 + .
 ➢ Une fois les valeurs initiales (0, − ) et (0, + )
 sont identifiées, on construit la solution en ( , ) en
 prenant la moyenne de (0, 1 ) and (0, 2 ).
 Caractéristiques
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Caractéristiques
 Exemple
 ➢ Utilisez les caractéristiques pour résoudre l'équation d'onde
 suivante:

 Solution
 ➢ Dans cette équation, la vitesse de l'onde progressive est = ±2 — c'est-
 à-dire, ( , ) = ( ± 2 ).
 ➢ Tout d'abord, construire un diagramme − .
 ➢ Localiser les points 0 et 1 sur l'axe des x.
 ➢ Dessiner ensuite deux caractéristiques (leurs pentes sont de ± 2) à partir de
 chacun des deux points.
 ➢ Les quatre caractéristiques divisent le plan − en six régions comme
 indiqué sur la figure. Solution utilisant la méthode des caractéristiques
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Caractéristiques
 Example
 ➢ Utilisez les caractéristiques pour résoudre l'équation d'onde
 suivante:

 Solution
 ➢ Prenons un point arbitraire ( 0 , 0 ).
 ➢ La solution à ce stade est trouvée en tirant deux caractéristiques de ce
 point.
 ➢ Trouvez ensuite les intersections des deux caractéristiques sur l’axe des .
 ➢ Ensuite, trouvez les valeurs aux deux intersections. Dans ce cas, les
 valeurs sont 1 et 0.
 ➢ Alors la solution au point ( 0 , 0 ) est la moyenne des valeurs aux deux
 intersections, c'est-à-dire, 0 , 0 = 1/2. Solution utilisant la méthode des caractéristiques
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Caractéristiques
 Example
 ➢ Utilisez les caractéristiques pour résoudre l'équation d'onde
 suivante:

 Solution
 ➢ Avec l'utilisation d'une technique similaire, la solution dans d'autres
 régions peut être déterminée.

 Solution utilisant la méthode des caractéristiques
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Méthode des caractéristiques
 ➢ Considérons une EDP très simple dérivée de la loi de conservation avec une condition
 initiale:

 ➢ Si l'on suppose = , où est une constante, alors = , et le EDP peut être
 défini comme suit:
 ( )

 ➢ Le but est de trouver une solution à cette EDP ➔ Cela équivaut à trouver la valeur de
 à un point arbitraire de l'espace-temps, ( , ).
 ➢ Plutôt que de travailler sur un point arbitraire dans tout le diagramme espace-temps,
 on commence par un cas plus simple en travaillant sur un point sur une courbe
 spécifique dans le diagramme.
 ➢ Pour ce faire, supposons une courbe = ( ).

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Méthode des caractéristiques
 ➢ Donc, l’objectif est de trouver la valeur de en un point arbitraire ( , ( )) sur la courbe —
 c'est-à-dire, , , et d'examiner comment change le long de la courbe = ( ).

 ➢ Le taux de changement de avec le temps est la première dérivée de par rapport au
 temps ; c-à-d :
 ( )

 ➢ En comparant ( ) et ( ), nous avons:
 ➔

 ➢ Cela signifie que la dérivée temporelle totale de le long de la courbe = ( ) est nulle ➔
 La valeur de est constante le long de la courbe.

 ➢ Cela implique que la courbe = ( ) doit être dessinée de telle sorte que ce soit une
 droite avec une pente de .

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Méthode des caractéristiques
 ➢ Pour trouver l'équation de la droite, nous devons résoudre l'équation différentielle
 ordinaire suivante: Intégrer par
 rapport à t

 ➢ Au temps = 0, cette droite croise l'axe en 0 .
 ➢ Puisque reste constant le long de cette droite, la solution en tout point de cette
 droite, ( , ( )), est la même que (0, 0 ) = ( 0 ), qui est donnée par la
 condition l'initiale.
 ➢ Par conséquent, nous avons trouvé la solution pour tous les points de cette ligne.
 Une telle ligne est appelée une caractéristique.
 C'est la même chose que les caractéristiques précédemment expliquées, où il s'agit
 d'une ligne tracée à partir d'un point de l'espace-temps avec la pente , qui est la
 vitesse de l'onde progressive ( − ).
 ➢ Puisqu'une caractéristique désigne un ensemble de points de l'espace-temps sur
 lesquels la solution de reste constante, peut être multivaluée à l'intersection de
 deux caractéristiques. Un tel événement est appelé une catastrophe de gradient.
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Méthode des caractéristiques
 Résumé
 ➢ La méthode des caractéristiques a été discutée comme un moyen de résoudre
 l'équation de continuité (la loi de conservation) avec une condition initiale:

 ➢ Où = ( ) est une fonction de :

 ➢ Pour trouver la solution de en un point arbitraire de l'espace-temps ( ∗ , ∗ ),
 ( ∗ , ∗ ), on construit simplement une caractéristique = + 0 qui part de
 ( ∗ , ∗ ) et se prolonge vers l'axe des à l'intersection (0, ∗ − ∗ ).

 ➢ Puisque ((0, ∗ − ∗ )) = 0 ( ∗ − ∗ ) est donné dans la condition initiale et 
 reste constant le long de la caractéristique, la solution est:

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Catastrophe de gradient
 ➢ Dans cette solution, si est constant, les caractéristiques tirées de deux
 points différents de l'espace-temps restent des lignes droites et
 parallèles.
 • Alors, tout point de l'espace-temps se trouve sur une et une seule
 caractéristique, et la solution à ce point est à valeur unique.

 Catastrophe de gradient
 ➢ Cependant, si est une fonction de , = ( ), et ne dépend pas
 explicitement de ou , deux caractéristiques différentes tirées de deux
 points de l'espace-temps sont toujours des lignes droites mais elles ne
 sont pas nécessairement parallèles (elles peuvent se croiser).

 ➢ La solution à cette intersection peut avoir plusieurs valeurs.

 Profil de solution illustrant
 la catastrophe de gradient
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Catastrophe de gradient
 ➢ Au fur et à mesure que les deux caractéristiques se rapprochent, la
 pente du profil de la solution (courbes rouges au-dessus des
 caractéristiques) devient de plus en plus abrupte.
 ➢ A l'intersection de deux caractéristiques (point ), le profil de solution
 aura un gradient infini en ce point.
 Catastrophe de gradient
 ➢ La formation d'un tel gradient infini s'appelle une catastrophe de
 gradient.
 ➢ Le moment où se produit un gradient infini est appelé le temps de
 rupture (break time) .
 ➢ Après ce point, le profil de solution cesse d'être une fonction valide et la
 solution au-delà du temps de rupture sera problématique.
 ➢ Dans cette section, nous essayons de résoudre un tel problème.
 Profil de solution illustrant
 la catastrophe de gradient
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Catastrophe de gradient
 ➢ L'exemple ci-dessus (gauche) illustre une famille de caractéristiques se rapprochant de
 plus en plus au fil du temps, de sorte qu'elles forment une onde de compression.

 ➢ Le cas contraire est une famille de caractéristiques s'éloignant de plus en plus les unes
 des autres sans aucune intersection; une telle onde est appelée une onde d'expansion.

 Onde de compression Onde d'expansion

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Ondes de choc la solution a
 plusieurs valeurs
 ➢ si deux caractéristiques se croisent, la solution à l'intersection aura plusieurs
 valeurs.
 ➢ Cependant, si l'on autorise la discontinuité à l'intersection, il est possible de
 construire une solution lisse par morceaux.
 ➢ La figure illustre une telle solution où la courbe ( ) dans le plan
 − est une collection d'intersections de caractéristiques.
 ➢ La solution reste constante le long de chaque caractéristique et se
 termine à leur intersection.
 ➢ Par conséquent, la courbe divise l'espace de solution en deux parties
 − et + et, par conséquent, sépare la solution en deux parties
 lisses − and + .
 ➢ La chute ou discontinuité de à la courbe dénote un changement
 brusque de qui crée une onde de choc.
 ➢ Une telle solution lisse par morceaux (piecewise smooth solution) de
 l'équation différentielle partielle (EDP) est appelée solution d'onde
 Solution par morceaux - Onde de choc
 de choc.
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Ondes de choc
 ➢ Une étape critique dans la solution de l'onde de choc est de
 trouver la courbe ( ) qui relie les intersections de
 caractéristiques.
 ➢ Puisque la courbe représente les emplacements auxquels une
 onde de choc se forme, une telle courbe est appelée le chemin
 des ondes de choc (shock path). Solution par morceaux - Onde de choc

 ➢ Dans la figure, deux familles de caractéristiques sont illustrées
 où une caractéristique peut avoir plusieurs intersections.
 ➢ Par conséquent, de nombreuses courbes peuvent être
 dessinées en connectant différents ensembles d'intersections
 et donc, ➔ l'onde de choc peut emprunter des chemins
 différents.

 Chemin des ondes de choc (shock path).

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Ondes de choc
 ➢ Heureusement, la loi de conservation sous-jacente garantit qu'un
 seul chemin de choc est valide, et un tel chemin de choc doit
 satisfaire une condition physique appelée condition de saut
 Rankine-Hugonoit (Rankine-Hugonoit jump condition):

 Solution par morceaux - Onde de choc

 Où :
 • / est la pente du chemin de choc,
 • = ( ) tel que défini dans la loi de conservation,
 • ( , − ) prend la valeur du côté − ,
 • ( , + ) prend la valeur du côté + ,
 • et une notation similaire s'applique à ( , − ) et ( , + ).

 ➢ Par conséquent, si une ou plusieurs intersections sur la courbe
 ( ) sont connues, on peut construire le chemin du choc en
 partant des points connus et en suivant la pente définie ci-dessus. Chemin des ondes de choc (shock path).

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Ondes de choc
 Exemple
 ➢ Résoudre la loi de conservation avec la condition initiale suivante en utilisant la
 méthode des ondes de choc:

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Ondes de choc
 Problème:
 Solution
 ➢ La pente des caractéristiques est = / = 
 ➢ Par conséquent, les caractéristiques tracées en dessous de x = 0 sont des
 droites parallèles avec une pente = = 1 ➔ = 1/2 2 = 1/2
 ➢ De même, les caractéristiques tracées au-dessus de = 0 sont des
 lignes horizontales avec une pente = 0. Elles portent = 0, et donc
 = 0.
 ➢ L'origine est un point connu sur la trajectoire du choc. Selon la condition
 de saut de Rankine-Hugonoit, la pente du chemin du choc est:

 ➢ Par conséquent, la trajectoire du choc est une ligne droite qui part de
 l'origine avec une pente constante 1/2—c'est-à-dire:

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Ondes de choc
 Solution
 ➢ Par conséquent, la solution est:

 ➢ La solution est illustrée sur la figure.
 ➢ Certains concepts abordés précédemment sont illustrés:
 ➢ Une caractéristique est une ligne le long de laquelle la
 solution reste constante;
 ➢ Une onde cinématique est une famille de caractéristiques
 droites et parallèles, et une onde de choc sépare deux
 ondes cinématiques avec un changement brusque de la
 valeur ;
 ➢ Un chemin de choc est la projection des emplacements de
 choc sur le diagramme − . Illustration de la solution

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Ondes de raréfaction
 ➢ Si la condition initiale de l'exemple ci-dessus est inversée, les
 deux familles de caractéristiques s'éloignent de plus en plus,
 laissant une zone vide entre les deux familles.
 ➢ Les caractéristiques de cette EDP sont représentées sur la
 figure.
 ➢ Puisqu'une caractéristique porte une solution constante, les
 zones remplies par les caractéristiques auront des solutions.
 ➢ Une zone vide dans l'espace de solution signifie qu'il n'y a pas
 de solution dans cette zone.
 ➢ Pour résoudre ce problème, il devrait y avoir un moyen de
 remplir la zone vide avec des caractéristiques.

 Caractéristiques sans intersection

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Ondes de raréfaction
 Caractéristiques
 ➢ Si l’on relax la fonction échelon de la condition initiale en supposant que 0 sans intersection

 varie progressivement de 0 à 1 sur une petite distance ∆ , les pentes des
 caractéristiques dessinées en ∆ augmenteront progressivement de 0 à 1
 de sorte que tout point de l'espace de solution est rempli par une et une
 seule caractéristique.
 Remplir une zone
 vide avec des
 ➢ Pour revenir à la fonction échelon de la condition initiale, on prend la limite caractéristiques

 ∆ → 0.

 ➢ Maintenant, la zone vide est remplie d'un éventail de caractéristiques
 tirées de l'origine. Si l'on coupe l'espace de solution avec quelques lignes
 = 0 , 1 , 2 , …, avec 0 passant l'origine et d'autres plans par conséquent Une onde de
 raréfaction
 à des instants ultérieurs, on obtient un développement temporel de la
 solution comme le montre la figure. Notez que le profil de la solution se
 raréfie au fil du temps. Par conséquent, cet éventail de caractéristiques
 représente une onde de raréfaction.

Alizadeh H. (2021) École Polytechnique de Montréal– CIV6705 Automne 2021 46

Références
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 ➢ Gartner, N. H., Messer, C. J., & Rathi, A. (2002). Traffic flow theory-A state-of-the-art
 report: revised monograph on traffic flow theory.
 ➢ Ni, D. (2015). Traffic flow theory: Characteristics, experimental methods, and
 numerical techniques. Butterworth-Heinemann.
 ➢ Kessels, F., Kessels, R., & Rauscher. (2019). Traffic flow modelling. Springer
 International Publishing.
 ➢ Treiber, M., & Kesting, A. (2013). Traffic flow dynamics. Traffic Flow Dynamics: Data,
 Models and Simulation, Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
 ➢ Garber, N. J., & Hoel, L. A. (2014). Traffic and highway engineering. Cengage Learning.
 ➢ Elefteriadou, L. (2014). An introduction to traffic flow theory (Vol. 84). New York:
 Springer.
 ➢ Victor L. Knoop (2017), Introduction to Traffic Flow Theory, Second edition
 ➢ Serge P. Hoogendoorn, Traffic Flow Theory and Simulation
 ➢ Nicolas Saunier, Course notes for “Traffic Flow Theory – CIV6705”
 ➢ Mannering, F., Kilareski, W., & Washburn, S. (2007). Principles of highway engineering
 and traffic analysis. John Wiley & Sons.
 ➢ Haight, F. A. (1963). Mathematical theories of traffic flow (No. 519.1 h3).

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