Modélisation expérimentale de la dynamique d'un mini drone par approche à erreur de sortie
←
→
Transcription du contenu de la page
Si votre navigateur ne rend pas la page correctement, lisez s'il vous plaît le contenu de la page ci-dessous
Modélisation expérimentale de la dynamique d’un
mini drone par approche à erreur de sortie
Elie Tohme1 , Guillaume Mercère1 , Régis Ouvrard1 , Thierry Poinot1 et Alain Farcy2
1
Université de Poitiers, Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle
40 avenue du Recteur Pineau, 86022 Poitiers Cedex, France
2
Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques
SP2MI - Téléport 2, Boulevard Marie et Pierre Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil
Cedex, France
prenom.nom@univ-poitiers.fr, nom@ensma.fr
Résumé— Le problème d’identification des relations entrée- nique (ENSMA) de Poitiers associés à plusieurs chercheurs
sortie reliant respectivement le braquage des élevons à l’as- du Laboratoire d’Études Aérodynamique (LEA) et du La-
siette longitudinale et la commande des ailerons au roulis
d’un mini drone est considéré. Ce système deux entrées deux boratoire d’Informatique Scientifique et Industrielle (LISI)
sorties présente la particularité de posséder des modes lon- de Poitiers. AMADO a conduit à la réalisation d’un aé-
gitudinaux et latéraux découplés et un mode de rotation ronef miniature de 55 cm d’envergure et d’un poids d’en-
autour de l’axe de roulis instable. Bien que non linéaires, la
démarche considérée au sein de cet article est d’approcher
viron 930 grammes (cf. Fig. 1). Ce dernier est muni de
ces relations à l’aide de modèles linéaires à temps continu. capteurs et d’actionneurs, ainsi que de composants de cal-
Des algorithmes de type erreur de sortie sont employés pour cul, lui permettant d’effectuer des vols de façon autonome.
atteindre cet objectif. Les difficultés liées à l’initialisation de A ce prototype s’ajoute un simulateur développé à par-
ce type l’algorithme sont atténuées à l’aide d’un nouvel algo-
rithme dénommé algorithme à pseudo-erreur de sortie. Ce tir d’un modèle physique mis au point par des experts de
dernier présente l’avantage de n’avoir qu’un optimum global la mécanique du vol. Ce simulateur est interfacé avec la
lorsqu’une condition de passivité particulière est vérifiée. station sol et conduit à envisager des situations de vol réa-
Mots-clés— Identification, mini drone, approche à temps listes. Cet ensemble drone+simulateur ouvre des perspec-
continu, méthode à erreur de sortie.
I. Introduction
Depuis une dizaine d’années, les projets de recherche
concernant les véhicules aériens autonomes (communément
appelés « drones ») se multiplient de manière considérable,
en particulier dans les communautés automaticiennes et
roboticiennes. En témoignent le nombre d’équipes de la-
boratoires français travaillant sur ce type de système ainsi
que la création, début 2008, d’un groupe de travail « Vé-
hicules aériens autonomes » au sein du GdR MACS. Cette
motivation résulte, entre autres, du large champ applica- Fig. 1. Drone du projet AMADO.
tif militaire de ce processus. Plus récemment, de nouvelles
applications dans le secteur civil (surveillance du trafic, ins- tives très encourageantes et a permis de mettre en évidence
pection de bâtiments, détection de danger...) ont vu le jour. un ensemble de verrous technologiques. Parmi ceux-ci, la
Cette problématique intéresse évidemment les chercheurs détermination de modèles paramétriques fiables pour le cal-
et les industriels mais également les étudiants des univer- cul de lois de commande appropriées est fondamentale. Le
sités et écoles d’ingénieurs françaises. Le concours « Inter- problème considéré au sein de cet article concerne plus par-
national Universities MINI UAV Competition », lancé par ticulièrement la modélisation expérimentale des relations
l’ONERA et la DGA en 2002, a ainsi conduit au finance- entrée-sortie reliant respectivement le braquage des élevons
ment de dix projets universitaires sur une durée de trois à l’assiette longitudinale et la commande des ailerons au
ans. L’un des lauréats est le projet « Aéronef Miniature roulis. Ce type de système présente les particularités sui-
Automatisé de Détection et d’Observation » (AMADO), vantes :
projet porté principalement par les élèves ingénieurs de – le mode longitudinal (relation « élevons / assiette lon-
l’École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotech- gitudinale ») est stable,
– le mode de rotation autour de l’axe de roulis (relation
Ce travail est en partie financé par l’Université de Poitiers via l’ac-
tion incitative « Identification et optimisation des lois de commande « ailerons / roulis ») est instable. Une identification en
d’un mini drone ». boucle fermée devra donc être envisagée,– les modes longitudinaux et latéraux peuvent être gence globale [8]. Parmi ceux-ci, la méthode dénommée al-
considérés, en première approximation, comme décou- gorithme à pseudo-erreur de sortie (PES) est considérée au
plés. sein de cette communication. Il est inspiré des algorithmes
Ce travail d’identification est réalisé en s’appuyant exclu- récursifs asymptotiquement convergents de I. Landau [9] et
sivement sur le simulateur de vol du drone. Ce dernier, présente l’avantage de n’avoir qu’un optimum global lors-
réalisé à partir des équations de la mécanique du vol, met qu’une condition de passivité particulière est vérifiée. Une
en jeu des équations non linéaires. Cependant, afin d’avoir version simplifiée de l’algorithme PES a également été dé-
accès aux paramètres physiques du système et faciliter la veloppée. Ce dernier conduit à une condition de passivité
conception des correcteurs, les modèles recherchés sont des moins contraignante. Ainsi, la solution fournie par ces algo-
modèles à temps continu présentés sous forme de fonc- rithmes à pseudo-erreur de sortie permet d’initialiser l’al-
tions de transfert. Pour atteindre cet objectif, plusieurs gorithme ES au voisinage de l’optimum et de garantir sa
approches sont proposées au sein de la littérature. La pre- convergence vers l’optimum global.
mière, qualifiée d’indirecte, consiste à déterminer un mo- Le plan de cet article est le suivant. La Section II présente
dèle à temps discret à l’aide de techniques conventionnelles le simulateur et les conditions expérimentales rencontrées.
telles que, par exemple, les méthodes d’erreur de prédic- La Section III propose un rappel de l’approche classique
tion [1], puis de convertir ce dernier en un modèle à temps d’erreur de sortie et introduit les notations. L’algorithme
continu. Les propriétés statistiques de ces méthodes d’es- à pseudo-erreur de sortie est quant à lui exposé au sein
timation de modèles discrets (biais, variance, convergence, de la Section IV. Le problème de paramétrisation de cet
etc.) sont bien connues et expliquent en grande partie l’at- algorithme ainsi que les contraintes à vérifier pour assurer
trait pour cette stratégie. En contrepartie, cette approche une convergence globale y sont plus particulièrement énon-
indirecte souffre d’un certain nombre de limitations dont cés. La version simplifiée de l’algorithme à pseudo-erreur
les principales concernent [2] de sortie est expliquée Section V. L’identification du drone
– le choix délicat de la période d’échantillonnage pour est finalement considérée Section VI.
identifier un modèle à temps discret lorsque le système
possède des modes éloignés, II. Description du simulateur
– la conversion modèle à temps discret/modèle à temps
continu nécessite de calculer le logarithme d’une ma-
δelv
trice pouvant déboucher sur des résultats complexes et Modèle
donner alors lieu à d’importantes erreurs numériques, δail
des efforts
– certains zéros stables du modèle à temps continu δmot
peuvent devenir instables dans le modèle à temps dis-
cret [3].
Résultante
Moment
Param.
du mvt
Ces limitations peuvent être palliées avec l’approche di-
recte qui consiste à identifier un modèle à temps continu
directement à partir des données échantillonnées [4]. Deux
grandes familles de méthodes sont suggérées pour estimer
directement des modèles à temps continu : α
Équations
– les méthodes d’erreur d’équation (EE) [1] qui pré- ψ
sentent l’avantage d’une solution immédiate mais gé- du mvt ~ ~z0
W =V
néralement biaisée,
– les approches à erreur de sortie (ES) [1], [5] qui uti-
lisent une programmation non linéaire itérative plus Fig. 2. Représentation schématique du simulateur.
lourde à implémenter mais dont la solution est asymp-
totiquement non biaisée [6]. Le simulateur employé pour cette étude est schématisé
Malgré une charge de calcul plus importante, c’est un al- Figure 2. Il a pour but de reproduire la réponse dynamique
gorithme ES qui est retenu pour cette application. Dans du drone aux commandes suivantes
cet article, seuls des modèles linéaires à temps continu de – le braquage des élevons (δelv ),
type boite noire sont identifiés. Ces modèles permettront – le braquage des ailerons (δail ),
ainsi de se substituer au simulateur. Néanmoins, un des – la commande moteur (δmot ).
objectifs à plus long terme est d’accéder aux paramètres Dans la suite de cet article, la commande moteur sera consi-
physiques du drone via des modèles de connaissance, d’où dérée comme constante et fixée à 10m/s.
l’utilisation des algorithmes ES particulièrement bien adap- La position angulaire est repérée par les angles d’Euler
tés pour l’identification de modèles non linéaires à temps entre le repère lié au drone (~x, ~y , ~z) et le repère terrestre
continu. Ces algorithmes sont basés sur une minimisation (~x0 , ~y0 , ~z0 ). Ces angles d’Euler sont classiquement l’angle
par programmation non linéaire d’un critère quadratique, de roulis ψ, l’assiette longitudinale α et l’azimuth γ.
ayant généralement pour conséquence la non unicité de Le simulateur comporte deux parties :
l’optimum [7]. Une solution pour éviter les optima secon- – Un module d’estimation des efforts à partir des com-
daires est d’initialiser la recherche de l’algorithme ES à par- mandes et des paramètres du mouvement. Il repose
tir d’une estimation proche de l’optimum global. Des tra- plus particulièrement sur une linéarisation des coeffi-
vaux récents menés au LAII ont permis de définir de nou- cients aérodynamiques.
veaux algorithmes de type ES qui garantissent la conver- – Un module de résolution des équations du mouvement.Il est important de noter que tous les coefficients inter- de manière générique par
venant au sein de ce simulateur ont été évalués à partir
d’essai en soufflerie sur une maquette du drone à l’échelle B̂(s)
Ĥ(s) =
1. De plus, les données d’entrée et de sortie du simulateur Â(s)
ne sont sujettes à aucune perturbation.
Â(s) = 1 + â1 s + · · · + ân sn
Comme précisé au sein de l’introduction, le mode longi-
tudinal, c’est-à-dire le transfert reliant δelv à α, est stable. B̂(s) = b̂0 + b̂1 s + · · · + b̂m sm , m < n.
Il s’agit en fait d’une stabilité aérodynamique propre du
drone. Cette propriété intrinsèque résulte du fait qu’en vol Soit T
θ̂T = â1
en palier, un moment de rappel naturel est présent de par ··· ân b̂0 ··· b̂m
la définition géométrique et le centrage du drone, moment le vecteur des paramètres à estimer et yM (t, θ̂) la réponse
conduisant à une stabilité statique autour de l’axe y. Cette du modèle à l’excitation u(t). Le critère à minimiser s’écrit
condition de stabilité n’existe malheureusement pas pour le alors
mode autour de l’axe de roulis pour une aile sans drièdre.
Un correcteur assurant la stabilisation de ce mode asso- N
X N
X
cié à une procédure de type identification en boucle fermée J(θ̂) = (y(t) − yM (t, θ̂))2 = εM (t, θ̂)2 . (2)
doivent donc être envisagés pour identifier le transfert re- t=1 t=1
liant δail à ψ. Le découplage des transferts δelv → α et Puisque cette fonction coût est non linéaire en les para-
δail → ψ peut quant à lui se justifier de la façon suivante. mètres, son optimisation nécessite d’appliquer une procé-
L’examen des relations définissant les efforts montre que la dure itérative d’optimisation non linéaire. L’algorithme de
commande δelv n’a d’influence que sur les résultantes selon Marquardt défini comme suit
x et z ainsi que le moment en y. Une trajectoire dans un
plan vertical va donc le rester et il n’y aura pas de variation σ(t, θ̂i ) = ∂yM (t,θ̂)
de l’angle de roulis. De même, la commande δelv n’influe ∂ θ̂i
N
que sur le moment selon x qui contrôle directement l’angle ∂J P
Jθ̂′ = ∂ θ̂
=− σ(t, θ̂i )εM (t, θ̂i )
de roulis. Le braquage des ailerons n’aura donc que peu t=1
N (3)
d’influence sur le mode longitudinal. Jθ̂′′ = ∂2 J
≈ σ(t, θ̂i )σ T (t, θ̂i )
P
∂ θ̂∂ θ̂ T
ht=1
i−1
III. Algorithme à erreur de sortie θ̂i+1 = θ̂i − Jθ̂′′ + µi I Jθ̂′
θ̂=θ̂i
Dans ce travail, nous nous attachons à modéliser les dy-
namiques reliant respectivement le braquage des élevons permet de réaliser cette optimisation. µi est un paramètre
à l’assiette longitudinale et la commande des ailerons au de contrôle permettant à l’algorithme de passer de la mé-
roulis. Bien que non linéaires, la démarche considérée au thode du gradient, réputée stable, lorsque θ̂i est loin de
sein de cet article est d’approcher ces relations à l’aide de l’optimum (ou que l’estimation tend à diverger) et la mé-
modèles linéaires à temps continu. Le système considéré thode de Gauss Newton, intéressante pour sa rapidité de
présente deux caractéristiques importantes : convergence au voisinage de l’optimum.
– le mode de rotation autour de l’axe de roulis (relation Cette méthode, et plus généralement l’approche de type
« ailerons / roulis ») est instable, erreur de sortie, permet théoriquement d’obtenir une esti-
– les modes longitudinaux et latéraux sont découplés. mation asymptotiquement non biaisée. Néanmoins, elle ne
La première propriété demande d’appliquer une identifica- peut pas garantir la convergence vers l’optimum global. De
tion en boucle fermée. Les données étant obtenues à l’aide récents travaux menés au LAII [8] ont conduit au déve-
du simulateur qui, par construction, ne présente aucune loppement de nouveaux algorithmes appartenant à la fa-
perturbation, l’estimation du modèle de transfert instable mille des méthodes d’erreur de sortie, nommés algorithmes
est réalisable en considérant simplement la relation sui- à pseudo-erreur de sortie (PES), qui assurent la conver-
vante gence vers un attracteur unique. Les estimées données par
ces algorithmes peuvent être biaisées, mais sont proches de
C(s)G(s) HBF (s) l’optimum global du critère (2). Cette estimation est alors
HBF (s) = ⇒ G(s) = utilisée pour initialiser l’algorithme de Marquardt.
1 + C(s)G(s) (1 − HBF (s)) C(s)
(1) IV. Algorithme à pseudo-erreur de sortie
où G(s) est la transmittance instable reliant δail à ψ, C(s)
la fonction de transfert du correcteur et HBF (s) la trans- A. Description de l’algorithme
mittance du système bouclé par retour unitaire. Cepen- L’algorithme à pseudo-erreur de sortie tient son ori-
dant, il est à noter que le degré de McMillan du modèle gine des études comparatives, présentées dans [11], [12],
Ĝ(s) augmente. Il est égal à la somme des degrés de Mc- des techniques ES hors ligne et des algorithmes ES récur-
Millan de HBF (s) et de C(s) [10]. Une étape de réduction sifs développés par I. Landau [9]. L’originalité des algo-
de modèle est donc nécessaire. La propriété de découplage rithmes ES proposés par I. Landau réside dans l’utilisation
permet de gérer les deux problèmes d’identification séparé- d’un filtre stationnaire sur les résidus. Ces algorithmes pré-
ment. sentent la propriété d’être globalement asymptotiquement
Considérons donc que les transmittances du processus stables sous certaines hypothèses de passivité. L’idée suggé-
stable en boucle ouverte et du procédé bouclé sont définies rée dans [11], [12] est de modifier les fonctions de sensibilitédéfinies dans le cas de l’algorithme à erreur de sortie. Plus B. Convergence de l’algorithme
particulièrement les fonctions de sensibilité de l’algorithme La convergence de l’algorithme PES a été étudiée en
(3)peuvent s’écrire dans le domaine de Laplace comme suit utilisant la technique de l’ODE proposée par L. Ljung
[13], [14]. Les détails de cette étude sont donnés dans [8].
∂ −sj B̂(s) −sj
YM (s, θ̂) = U (s) = YM (s, θ̂) Pour assurer la convergence globale de l’algorithme PES,
∂âj Â(s) Â(s) Â(s) la condition de passivité suivante doit être satisfaite
∂ sj
D(jω) 1
YM (s, θ̂) = U (s). Re − > 0. (8)
∂ b̂j Â(s) A(jω) 2
La transformée de Laplace σ(s, θ̂) du vecteur des fonctions Notons que cette condition dépend du polynôme dénomi-
nateur de la fonction de transfert du système réel qui est,
de sensibilité σ(t, θ̂) peut donc être mise sous la forme
par définition, inconnu. Il est donc nécessaire de proposer
1 une procédure particulière pour choisir le filtre stationnaire
σ(s, θ̂) = ΦM (s, θ̂) (4) D(s).
Â(s)
avec C. Choix du filtre stationnaire 1/D(s)
Le filtre stationnaire idéal pour assurer une convergence
ΦM (s, θ̂) = −YM (s, θ̂) · · · globale est un filtre ayant les paramètres exacts du système
T réel D(s) = A(s). Seulement, ces paramètres sont inconnus
−sn−1 YM (s, θ̂) U (s) · · · sm U (s) .
puisqu’on cherche à les identifier. Généralement, il est pos-
La modification proposée consiste alors à remplacer le sible d’obtenir, à l’aide d’une réponse indicielle ou d’une
filtre 1/Â(s) de la relation (4), modifié à chaque itéra- étude harmonique, une connaissance a prioride la bande
tion de la procédure d’identification, par un filtre station- passante du système réel. On choisit alors un filtre passe-
naire 1/D(s). La propriété de convergence globale des algo- bas avec pour bande passante, celle connue a priori, et
rithmes ES récursifs est ainsi étendue aux algorithmes hors pour ordre, l’ordre supposé (ou légèrement supérieur) du
ligne. On définit alors des pseudo-fonctions de sensibilité système. On peut imaginer ensuite différentes techniques
φ(t, θ̂) telle que leur transformée de Laplace s’écrit pour revenir sur ce choix durant la procédure itérative, et
ainsi, améliorer l’algorithme. D’autres techniques de syn-
1 thèse ont été proposées ces dernières années. Le lecteur
φ(s, θ̂) = ΦM (s, θ̂).
D(s) intéressé pourra se référer aux documents [15], [16] pour de
plus amples informations sur ce problème.
Il en découle un pseudo-gradient et un pseudo-Hessien dé-
finis respectivement par V. Algorithme à pseudo-erreur de sortie
simplifié
N
J˜θ̂′ = − La condition de passivité (8) est relativement contrai-
X
φ(t, θ̂i )εM (t, θ̂i ) (5)
t=1 gnante. Pour relâcher cette condition, un nouvel algo-
N rithme, nommé algorithme à pseudo-erreur de sortie sim-
J˜θ̂′′ = plifié (PESS), est proposé. Il consiste à modifier le pseudo-
X
φ(t, θ̂i )φT (t, θ̂i ). (6)
t=1 Hessien (6) calculé à chaque itération de l’algorithme (7) en
le figeant durant toute la phase d’optimisation, plus parti-
En substituant σ(t, θ̂) par φ(t, θ̂) dans l’algorithme ES de culièrement en le calculant à partir des paramètres initiaux
Marquardt (3), on obtient l’algorithme à pseudo-erreur de θ̂init
sortie donné par N
J˜θ̂′′ =
X
φ(t, θ̂init )φT (t, θ̂init ).
t=1
θ̂i+1 = θ̂i +
"N #−1 N L’algorithme PESS est alors défini comme suit
X X
T
φ(t, θ̂i )φ (t, θ̂i ) + µi I φ(t, θ̂i )εM (t, θ̂i ). (7) θ̂i+1 = θ̂i +
t=1 t=1 "N #−1 N
X X
T
Remarque 1: A première vue, les équations (3) et (7) φ(t, θ̂init )φ (t, θ̂init ) + µi I φ(t, θ̂i )εM (t, θ̂i ).
sont semblables. Cependant, il y a une différence fonda- t=1 t=1
mentale dans le mécanisme de convergence des deux al- La convergence globale de cet algorithme est assurée si la
gorithmes. Dans l’algorithme ES, l’estimation est réalisée condition de passivité suivante est respectée
par minimisation du critère J(θ̂). Dans l’algorithme PES,
D(jω)
l’introduction du filtre stationnaire fait que l’algorithme Re > 0. (9)
converge vers un optimum unique ; en fait, il n’y plus de A(jω)
minimisation de critère. C’est une façon radicale de s’ac- On remarque aisément que cette condition de passivité est
quitter des optima secondaires. C’est la différence essen- moins contraignante que celle que doit vérifier l’algorithme
tielle entre ces deux algorithmes. On devine par contre ai- PES. Toutefois, il est important de noter que le choix de
sément que le choix du filtre stationnaire 1/D(s) est une θ̂init conditionnera la vitesse de convergence de l’algorithme
étape cruciale de l’algorithme PES. via le Hessien.VI. Identification du drone du projet AMADO classique d’erreur d’équation. Le vecteur de paramètres ini-
tiaux s’écrit alors
A. Procédure d’identification
La procédure d’identification décrite dans les sections
θ̂init = 434.9 661.3 299.5 6.9
précédentes va être utilisée pour identifier les paramètres
−1757.0 −1532.1 −292.8 .
des transferts δelv → α et δail → ψ à partir des données
fournies par le simulateur. Ces transferts étant découplés, On en déduit le filtre stationnaire
chacun sera identifié séparément. Pour chaque modèle, la
procédure se déroule en cinq étapes : D(s) = s4 + 6.963s3 + 299.5s2 + 661.3s + 434.9.
– Le système est excité par une séquence binaire pseudo-
aléatoire et on réalise l’acquisition de la sortie à partir Une fois ce filtre déterminé, l’algorithme PES est employé.
du simulateur. Ce dernier est initialisé à l’aide du filtre préalablement
– A partir d’une information a priori sur les modes do- construit. L’algorithme ES est finalement appliqué pour as-
minants du système ou grâce à une estimation préa- surer la convergence globale. Le transfert δelv → α estimé
lable par un algorithme de type EE [2], on définit θ̂init , est alors le suivant
le vecteur des paramètres initiaux.
– θ̂init est utilisé pour initialiser l’algorithme PES et dé- −293.8s2 − 959.6s − 149.9
Ĥ1 (s, θ̂) = .
finir le filtre stationnaire D(s). La convergence de l’al- s4 + 5.054s3 + 288.3s2 + 111.8s + 224.3
gorithme PES fournit le vecteur θ̂pes . La Figure 4 présente les erreurs de prédiction fournies
– θ̂pes est utilisé à son tour pour initialiser l’algorithme par les trois modèles estimés précédemment sur un second
ES (3) qui, après convergence, fournit le vecteur opti- jeu de données. Elles correspondent quantitativement à un
mal θ̂opt . ajustement de 68.9%, 99.3% et 99.4% respectivement pour
– La prédiction du modèle défini à partir de θ̂opt est tes- les modèles ARX, PES et ES. Ces valeurs sont obtenues
tée sur des données de validation obtenues en appli- en calculant le pourcentage de correspondance en variance
quant une seconde séquence binaire pseudo-aléatoire défini par
au système. var(y − ŷ)
1− × 100%.
Pour l’obtention des données à partir du simulateur du var(y)
drone, la période d’échantillonnage est fixée à 0.05s.
B. Identification du transfert δelv → α 2
Modèle ARX
Modèle PES
Les données d’entrée et de sortie employées pour l’iden- 1.5
Modèle ES
tification sont présentées Figure 3. Le signal d’entrée est ici 1
une séquence binaire pseudo aléatoire générée à partir de 11
registres à décalage et d’un facteur de sous-échantillonnage
0.5
p tel que pfSBP A = fe de 4. 0
−0.5
−1
8
Signal d’entrée
Signal de sortie
−1.5
6
−2
4 −2.5
−3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
Temps (s)
0
Fig. 4. Erreurs de prédiction des modèles estimés par ARX, PES et
ES sur des données de validation.
−2
On constate que dans les conditions de fonctionnement
−4
et pour les excitations utilisées, le modèle final obtenu par
−6
l’algorithme ES offre une qualité d’approximation remar-
quable.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Temps (s)
C. Identification du transfert δail → ψ
Fig. 3. Données d’entrée-sortie du système δelv → α.
Le transfert δail → ψ est instable. Il est donc nécessaire
de considérer ce transfert en boucle fermée. Le correcteur
Une étude amont conduit à choisir un modèle d’ordre
C(s) utilisé pour stabiliser le transfert est un simple cor-
4 comprenant 2 zéros. Comme indiqué préalablement, les
recteur à avance de phase
algorithmes à pseudo-erreur de sortie demandent de fixer
un filtre stationnaire D(s). Ce dernier est obtenu en esti- 0.07s + 0.1
mant un modèle ARX d’ordre 4 à l’aide d’un algorithme C(s) = .
0.007s + 1La démarche employée consiste à appliquer une méthode type erreur de sortie. Pour initialiser ces algorithmes, un
d’identification en boucle fermée indirecte, c’est-à-dire es- algorithme à pseudo-erreur de sortie et sa version simpli-
timer HBF (s) puis calculer le transfert G(s) en appliquant fiée ont été proposés. Ils permettent ainsi à d’assurer une
la relation (1). bonne convergence de l’algorithme ES.
Les données d’entrée-sortie utilisées pour l’identification L’application de cette méthodologie sur le simulateur du
sont présentées sur la Figure 5. drone a montré que des modèles linéaires à temps continu
peuvent être utilisés pour caractériser la dynamique de vol
du drone et ainsi faciliter la synthèse de correcteurs.
Les futurs travaux vont maintenant consister à appliquer
1.5
Signal de consigne
Signal de sortie
la même méthodologie sur des données réelles issues du
1
drone. Pour cela, l’étude sera faite dans un premier temps
en soufflerie, puis en situation réelle de vol.
0.5
Références
0
[1] L. Ljung. System identification - Theory for the User. Prentice
Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1999.
[2] H. Garnier, M. Mensler, et A. Richard. Continuous-time mo-
−0.5
del identification from sampled data : implementation issues
and performance evaluation. International Journal of Control,
76(13) :1337–1357, 2003.
−1 [3] K. J. Aström, P. Hagander, et J. Sternby. Zeros of sampled
systems. Automatica, 20 :31–38, 1984.
[4] H. Unbehauen et G. P. Rao. Continuous-time approaches to
−1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
system identification-a survey. Automatica, 26 :23–35, 1990.
Temps (s)
[5] J. Trigeassou et T. Poinot. Identification des systèmes, chapter
Identification des systèmes à temps continues, pages 177–212. I.
Landau and A. Besançon Voda, 2001.
Fig. 5. Données d’entrée-sortie du système δail → ψ. [6] J. Richalet, A. Rault, et R. Pouliquen. Identification des pro-
cessus par la méthode du modèle. Gordon and Breach, 1971.
Après identification d’un modèle ARX d’ordre 4, on ob- [7] L. Pronzato et E. Walter. Eliminating suboptimal local mi-
nimizers in nonlinear parameter estimation. Technometrics,
tient le modèle de la boucle fermée suivant 43(4) :434–442, 2001.
[8] E. Tohme. Initialization of output error identification algo-
2689s2 + 1.03e4s + 5.48e4 rithms. PhD thesis, Université de Poitiers, France, 2008.
ĤBF (s) = .
s + 145.2s3 + 3047s2 + 1.22e4s + 5.28e4
4 [9] I.D. Landau. Unbiased recursive identification using model re-
ference adaptive techniques. IEEE Transactions on Automatic
Ce modèle correspond à un ajustement sur les données uti- Control, 21(2) :194–202, April 1976.
[10] P. M. J. Van den Hof. Closed-loop issues in system identification.
lisées de 99%. Il n’est donc pas nécessaire, dans ce cas, Annual Reviews in Control, 22 :173–186, 1998.
d’utiliser une technique d’erreur de sortie pour améliorer [11] J. C. Trigeassou, F. J. Carillo, T. Poinot, et O. Grospeaud.
les résultats d’identification. Convergence des algorithmes à erreur de sortie hors-ligne et ré-
cursifs. Journées Identification et Modélisation Expérimentale,
Après réduction, on obtient le modèle boucle ouverte pages 198–207, Nancy, France, 2001.
(transfert δail → ψ) suivant [12] J. C. Trigeassou, F. J. Carillo, T. Poinot, et O. Grospeaud.
Convergence des algorithmes à erreur de sortie hors-ligne et ré-
268.9s2 + 1030s + 5482 cursifs. Journal Européen des Systèmes Automatisés, 36 :397–
Ĝ(s) = . 415, 2002.
s4 + 3.83s3 + 16.97s2 + 5.44s − 19.84 [13] L. Ljung. On positive real transfert functions and the conver-
gence of some recursive schemes. IEEE Transactions on Auto-
Il présente évidemment un pôle instable. matic Control, 22(4) :539–551, August 1977.
[14] L. Ljung. Analysis of recursive stochastic algorithms. IEEE
D. Discussion Transactions on Automatic Control, 22(4) :551–575, August
1977.
Les résultats obtenus sur les deux transferts montrent [15] J.C. Trigeassou. Contribution à l’extension de la méthode des
qu’il est possible d’utiliser une modélisation continue li- moments en automatique. Application à l’identification des sys-
néaire pour caractériser les dynamiques principales du tèmes linéaires. Thèse d’etat, Université de Poitiers, France,
1987.
drone. On notera que la méthodologie présentée dans cet [16] M. Djamai, E. Tohme, R. Ouvrard, et S. Bachir. Continuous-
article n’a réellement été utilisée que pour le transfert time model identification using reinitialized partial moments -
δelv → α. Il faut préciser que comme l’objectif de cet ar- application to power amplifier modeling. Proceedings of the 14th
IFAC Symposium on System Identification, Newcastle, Austra-
ticle était de remplacer le simulateur de vol du drone par lia, 2006.
des modèles linéaires continus, l’étude a été réalisée sans
bruit. Ce contexte non bruité permet à la méthode à er-
reur d’équation de fournir des résultats très satisfaisants
dans le cas du transfert δail → ψ.
VII. Conclusion
Dans cet article, nous nous sommes intéressés à la ca-
ractérisation d’un simulateur de vol d’un drone par des
modèles à temps continu linéaires. La méthodologie d’iden-
tification proposée repose sur l’utilisation d’algorithmes deVous pouvez aussi lire
