Application de la logique floue à l'évaluation des risques et à la prise de décisions Commandité par - CAS/ICA/SOA

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Application de la logique floue à l’évaluation
 des risques et à la prise de décisions

 Commandité par
 CAS/ICA/SOA
 Section conjointe de la gestion des risques

 Préparé par
 Kailan Shang1
 Zakir Hossen2
 Novembre 2013

 ©2013 Casualty Actuarial Society, Institut canadien des actuaires, Society of
Actuaries. Tous droits réservés.

 Les opinions et conclusions exprimées dans les présentes sont celles des auteurs et ne représentent pas la
position officielle ni l’opinion des organismes commanditaires ou de leurs membres. Ces organismes ne font
aucune déclaration et n’offrent aucune garantie quant à l’exactitude de l’information.

1
 Vous pouvez joindre Kailan Shang, FSA, CFA, PRM, SCJP, de Financière Manuvie, à
 Kailan_Shang@manulife.com.
2
 Vous pouvez joindre Zakir Hossen, MA, de Banque Scotia, à zakir.hossen@scotiabank.com.

Remerciements

 Les auteurs tiennent à remercier les membres du Groupe de supervision du projet (GSP) pour
 leur aide, leurs examens, leurs commentaires et tout le soutien qu’ils ont accordé pendant la
 durée du projet. Le présent document n’aurait pas été aussi pertinent sans l’utile contribution
 du GSP. Les auteurs sont reconnaissants pour les fonds consentis par la Section conjointe de
 la gestion des risques de la Casualty Actuarial Society, de l’Institut canadien des actuaires et
 de la Society of Actuaries.

 Les membres du Groupe de supervision du projet « Application de la logique floue à
 l’évaluation des risques et la prise de décisions » sont :
 • Andrei Titioura
 • Casey Malone
 • Christopher Coulter
 • Fred Tavan
 • Jason Sears
 • Joshua Parker
 • Mark Bergstrom
 • Mary Neumann
 • Steven Siegel
 • Zhiwei Zhu

 Les auteurs remercient également Barbara Scott pour la coordination efficace de ce projet.

©2013 Casualty Actuarial Society, Institut canadien des actuaires, Society of Actuaries, Tous droits réservés

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Sommaire
La gestion du risque fait appel depuis fort longtemps à des modèles complexes
pour évaluer l’incertitude. En raison de la disponibilité croissante des ressources
informatiques, on emploie de plus en plus des méthodes avancées telles la
modélisation stochastique et la simulation de crise ou même l’utilisation de la
modélisation stochastique sur stochastique aux fins des programmes de couverture.
Bien que les professionnels de la gestion du risque s’efforcent de mieux comprendre
les risques et qu’ils emploient pour ce faire des modèles complexes, un grand nombre
de risques ne sont toujours pas bien compris. Certains restent inconnus, tandis que de
nouveaux émergent. De nombreux types de risque ne peuvent encore être bien
analysés au moyen des modèles classiques probabilistes. Le manque de données
d’expérience, conjugué aux liens imbriqués de cause à effet, rend difficile
l’appréciation du degré d’exposition à certains types de risque.

Les modèles classiques de risque reposent sur la théorie des probabilités et la
théorie classique des ensembles. Ils sont couramment employés pour évaluer les
risques de marché, de crédit, d’assurance et de négociation. Par contraste, les modèles
de logique floue s’appuient sur la théorie des ensembles flous et la logique floue et
servent à analyser les risques lorsque les connaissances sont insuffisantes ou que les
données sont imprécises. Ces derniers types de risque entrent d’habitude dans la
catégorie des risques opérationnels ou des risques émergents.

La différence fondamentale entre la théorie classique des ensembles et la théorie
des ensembles flous réside dans la nature de l’inclusion des éléments de l’ensemble.
Dans les ensembles classiques, les éléments sont soit inclus, soit exclus de l’ensemble.
Dans un ensemble flou, les éléments sont inclus selon un degré de validité compris
normalement entre 0 et 1. Les modèles de logique floue permettent à un objet
d’appartenir à plus qu’un seul ensemble exclusif selon divers degrés de validité ou de
confiance. La logique floue tient compte du manque de connaissances ou de l’absence
de données précises et prend en compte explicitement la chaîne de cause à effet entre
les variables. La plupart des variables étant décrites en termes linguistiques, les
modèles de logique floue s’apparentent intuitivement au raisonnement humain. Ces
modèles flous sont utiles pour démystifier, évaluer et mieux comprendre les risques
qui ne sont pas bien compris.

Les systèmes de logique floue permettent de simplifier les cadres de gestion du
risque à grande échelle. Dans le cas des risques pour lesquels il n’existe pas de
modèle probabiliste quantitatif approprié, un système de logique floue permet de
modéliser les liens de cause à effet, d’évaluer le degré d’exposition aux risques et de
classer par ordre les principaux risques de façon cohérente, en tenant compte des
données disponibles et des opinions des experts. Dans le cas des entreprises ayant des
activités diversifiées ainsi qu’une large exposition aux risques et des activités dans
plusieurs régions géographiques, la longue liste des risques devant faire l’objet d’une

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surveillance est telle qu’elle rendrait toute analyse approfondie des risques
inabordable, surtout lorsque les liens entre les facteurs de risque sont imbriqués. Une
telle analyse pourrait être onéreuse et extrêmement laborieuse sans le recours à un
système de logique floue. De plus, les systèmes de logique floue comprennent des
règles qui explicitent les liens, la dépendance et les relations entre les facteurs
modélisés, ce qui facilite la recherche des pistes d’atténuation des risques. Les
ressources peuvent ensuite servir à atténuer les risques pour lesquels le degré
d’exposition est le plus élevé et le coût de couverture est relativement faible.

La théorie des ensembles flous et les modèles de logique floue peuvent aussi être
utilisés pour d’autres types de modèles de décision ou de reconnaissance de formes,
notamment les réseaux bayésiens et les réseaux de neurones artificiels, ainsi que les
modèles de Markov cachés et les modèles d’arbres de décision. Ces modèles élargis
permettent éventuellement de résoudre des problèmes difficiles d’évaluation des
risques.

Le présent document explore les domaines auxquels les modèles de logique floue
peuvent être appliqués pour améliorer l’évaluation des risques et la prise de décisions.
On y traite de la méthode, du cadre et du processus d’utilisation des systèmes de
logique floue aux fins de la gestion des risques. Le document étant truffé d’exemples
pratiques, il est à espérer qu’il encouragera l’application judicieuse des modèles de
logique floue à la modélisation des risques.

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Table des matières
 1. Introduction ............................................................................................................................. 6
 2. Logique floue et théorie des ensembles flous .......................................................................... 7
 2.1 Principes fondamentaux de la théorie des ensembles flous et de la logique floue ....... 7
 2.2 Exemple numérique .................................................................................................... 17
 2.3 Autres modèles ........................................................................................................... 21
 3 Application de la théorie des ensembles flous et de la logique floue :
 Analyse documentaire .......................................................................................................... 30
 4 Cadre d’évaluation des risques fondé sur la logique floue ..................................................... 35
 4.1 Évaluation des risques et prise de décisions ............................................................... 35
 4.2 Modèle du capital économique requis ........................................................................ 40
 5 Considérations clés ................................................................................................................. 42
 5.1 Opinions d’experts : Collecte et analyse .................................................................... 42
 5.2 Sélection des fonctions d’appartenance...................................................................... 43
 5.3 Rôle des données d’expérience .................................................................................. 44
 5.4 Examen du système de logique floue ......................................................................... 45
 5.5 Liens avec la prise de décisions.................................................................................. 45
 6 Études de cas .......................................................................................................................... 46
 6.1 Identification et évaluation de l’opinion publique négative ....................................... 47
 6.2 Agrégation des risques et budgétisation ..................................................................... 52
 7 Conclusion .............................................................................................................................. 57
 8 Bibliographie .......................................................................................................................... 59
 Annexe. L’utilisation des données d’expérience........................................................................ 63

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1. Introduction

Les modèles probabilistes sont très répandus en quantification et en évaluation des
risques. Ils sont devenus la pierre angulaire de la prise de décisions éclairées en matière de
risque dans de nombreux domaines. Toutefois, un modèle probabiliste bâti sur la théorie
classique des ensembles peut difficilement décrire certains risques d’une manière significative
et pratique. Le manque de données d’expérience, conjugué aux liens imbriqués de cause à
effet et à l’imprécision des données, compliquent l’appréciation du degré d’exposition à
certains types de risque à l’aide des seuls modèles probabilistes classiques. Parfois, même en
recourant à un modèle de risque quantitatif crédible étalonné pour tenir compte des données
d’expérience, la cause du risque et ses caractéristiques peuvent être compris de façon
incomplète. D’autres modèles, notamment un modèle de logique floue, le modèle de Markov
caché et le modèle d’arbre de décision, de même que les réseaux bayésiens et les réseaux de
neurones artificiels, tiennent compte explicitement des liens de cause à effet sous-jacents et en
reconnaissent la complexité inconnue. Ces modèles plus nouveaux sont plus efficaces pour
faire comprendre et évaluer certains risques, notamment le risque opérationnel.

Il est intéressant de préciser que même si les modèles quantitatifs complexes et bien
acceptés sont accessibles pour évaluer les risques de marché, de crédit et d’assurance, ils
échappent habituellement au contrôle des gestionnaires des opérations. Par ailleurs, en
appliquant des pratiques pertinentes d’identification et de contrôle des risques, le risque
opérationnel peut être sensiblement atténué, malgré le manque de consensus au sujet des
modèles quantitatifs à utiliser. Par conséquent, il pourrait être avantageux de construire et de
mettre en œuvre des modèles plus pertinents de gestion du risque opérationnel à l’aide d’une
nouvelle approche, notamment la logique floue.

Le présent rapport porte plus particulièrement sur le recours à la logique floue et à la
théorie des ensembles flous, appliquées à la gestion des risques pour la première en 1965 par
le mathématicien Lotfi A. Zadeh. Contrairement à la théorie des probabilités, la théorie de la
logique floue accepte de façon explicite l’incertitude entourant la certitude; elle peut
également intégrer facilement l’information décrite en termes linguistiques. Les modèles de
logique floue sont plus commodes pour intégrer différentes opinions d’expert et ils sont mieux
adaptés aux cas renfermant des données insuffisantes et imprécises. Ils fournissent un cadre
dans lequel l’apport des experts et les données d’expérience peuvent évaluer conjointement
l’incertitude et identifier les problèmes importants. À partir d’approximations et de
conclusions tirées de connaissances et de données ambiguës, les modèles de logique floue
peuvent servir à modéliser les risques qui ne sont pas très bien compris. Certains risques
opérationnels et émergents évoluent rapidement. Les gestionnaires de risques ne possèdent
peut-être pas suffisamment de connaissances ou de données pour effectuer une évaluation
exhaustive à l’aide de modèles fondés sur la théorie des probabilités. Les modèles de logique
floue peuvent permettre d’évaluer l’exposition d’une entreprise à ces risques.

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Le présent document se décline comme suit :
• La section 2 (Logique floue et théorie des ensembles flous) présente le contexte
théorique du modèle de logique floue et elle le compare à d’autres modèles.
• La section 3 (Application de la logique floue) porte sur l’application éventuelle
de la logique floue à la gestion des risques.
• La section 4 (Cadre d’évaluation des risques fondé sur la logique floue) traite de
l’utilisation d’un modèle de logique floue pour l’identification, l’évaluation et la
quantification des risques.
• La section 5 (Considérations clés) aborde certains facteurs clés d’un cadre
pratique de gestion des risques fondé sur un modèle de logique floue.
• La section 6 (Études de cas) présente les processus d’identification des risques,
d’évaluation des risques et de prise de décisions à un niveau microdimensionnel
pour un certain type de risque et à un niveau global pour l’ensemble des risques
de l’entreprise.
• La section 7 résume les points principaux de la présente étude et elle conclut la
partie principale du rapport.

2. Logique floue et théorie des ensembles flous

La présente section propose quelques notions de base dans le domaine de la théorie des
ensembles flous et une comparaison avec d’autres méthodes servant à évaluer les risques et à
prendre des décisions. Les lecteurs possédant des antécédents en intelligence artificielle ou en
génie des contrôles automatiques peuvent passer à la section suivante.

2.1 Principes fondamentaux de la théorie des ensembles flous et de la
logique floue

Ensembles flous

En théorie classique des ensembles, un objet est un élément, ou un non-élément, d’un
ensemble. Toutefois, en réalité, due à l’insuffisance des connaissances ou de l’imprécision des
données, il n’est pas toujours évident de déterminer si un objet appartient ou non à un
ensemble. Par contre, les ensembles flous interprètent l’incertitude d’une manière
approximative. Au plan conceptuel, la théorie des ensembles flous permet à un objet
d’appartenir à plusieurs ensembles exclusifs dans le cadre du raisonnement. À chaque
ensemble correspond un degré de certitude selon lequel un objet appartient à un ensemble
flou. Prenons l’exemple des cotes de crédit. Supposons qu’il existe trois niveaux de
cote - faible, moyen, élevé – qui peuvent être considérés comme trois ensembles. Selon la
théorie classique des ensembles, l’ensemble complet se compose de ces trois ensembles
exclusifs. Dès que la cote de crédit est connue, son niveau est établi. La figure 1 présente un
exemple d’ensemble classique de cotes de crédit. Si la cote s’établit à 3,5, il est certain à
100 % que la cote de crédit est élevée.

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Figure 1. Exemple d’ensemble classique : Cote de crédit

 Cote de crédit - Ensembles classiques
 Faible Moyenne Élevée

 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
 Cote de crédit

 La figure 2 présente un exemple d’ensemble flou pour les cotes de crédit. Chaque
 ensemble possède sa propre fonction d’appartenance, qui détermine le degré de certitude
 qu’un élément appartient à l’ensemble. Par exemple, si l’on suppose une cote de crédit de 3,5,
 il est certain à 60 % que la cote est élevée, et à 22 % sûr que la cote est moyenne. Il est faux
 de croire que la cote est faible. Dans la théorie de logique floue, le degré de certitude de tous
 les ensembles ne totalise pas nécessairement à un pour un objet précis.

 Figure 2. Exemple d’ensemble flou : Cote de crédit

 Cote de crédit - Ensembles flous
 1
 Degré de certitude

 0.6

 0
 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

 Cote de crédit
 Élevée Moyenne Faible

 Dans cet exemple, les fonctions d’appartenance pour les trois ensembles sont précisées
 ci-après.

 0 x ≤ 2.75
 µµ ) == 2.75 < x ≤ 4
 Élevée
 High ( x − 2.75 )
 ( x(x) 1.25

 1 x>4

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0 x ≤ 0 .5
( x − 0.5 )
1 0.5 < x ≤ 1.5
µMoyenne
µ Average(x)
( x )== 1 1.5 < x ≤ 1.75
( 4− x )
2.25 1.75 < x ≤ 4
0 x>4
1 x ≤ 0.5
µµ Low
) ==
( x(x)
Faible (1.5 − x )
1 0.5 < x ≤ 1.5
0 x > 1.5

Les ensembles flous présentent une caractéristique incontournable : il n’existe pas de
règles parfaites au sujet de la définition des fonctions d’appartenance. La forme mathématique
de la fonction et ses paramètres dépendent de la contribution des experts. Dans la mesure où
les fonctions d’appartenance sont cohérentes, si l’on procède par comparaison, la conclusion
fondée sur les ensembles flous demeure significative. Par exemple, le degré de certitude d’une
cote de crédit 4 qui appartient à l’ensemble flou « élevé » ne devrait pas être inférieur à celui
d’une cote de crédit 3. Par ailleurs, une seule des fonctions d’appartenance peut augmenter
pour une certaine fourchette de cotes de crédit. Il pourrait y avoir contradiction si le degré de
certitude d’une cote de crédit 4 appartenant à l’ensemble flou « élevé » est supérieur à celui
d’une cote de crédit 3, alors que le degré de certitude d’une cote de crédit 4 appartenant à
l’ensemble flou « moyenne » est simultanément supérieur à celui d’une cote de crédit 3.

Les fonctions d’appartenance sont habituellement simples pour les ensembles flous. Elles
sont fréquemment linéaires et elles prennent souvent la forme d’un triangle trapézoïde, L ou r.
Elles peuvent également être gaussiennes ou de type gamma. Des personnes différentes
peuvent avoir leurs propres fonctions d’appartenance pour un ensemble flou en raison de
niveaux de connaissances ou d’expérience différents. De façon générale, elles peuvent
toutefois désigner des choses semblables lorsqu’elles font référence à un ensemble flou. Par
exemple, on peut partager l’opinion selon laquelle la demande de crédit hypothécaire d’un
postulant qui bénéficie d’une cote de crédit élevée est susceptible d’être approuvée à un taux
d’emprunt relativement faible. Dans cet exemple, l’expression « cote de crédit élevée »
correspond bien à la définition d’un ensemble flou. Mais les évaluateurs de risque en matière
de crédit hypothécaire peuvent appliquer des fonctions d’appartenance différentes pour la
« cote de crédit élevée » d’un ensemble flou. Les ensembles flous nous permettent de mettre
au point un système en langage courant fondé sur nos méthodes de raisonnement habituelles.

Fonctionnement des ensembles flous

Comme en théorie classique des ensembles, les ensembles flous possèdent leurs propres
opérations, notamment l’union, l’intersection et le complément. Différentes de l’opération
relative aux ensembles classiques, les opérations propres aux ensembles flous reposent sur la

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fonction d’appartenance. La figure 3 présente l’opération relative aux ensembles classiques.
 La figure 4 montre un type possible d’opération portant sur les ensembles flous 3.

 Figure 3. Fonctionnement d’ensembles classiques

 x
 Ensemble A y Ensemble B
 z

 A B A B A
 = {x, y, z} {y} {z}

 x 1 0 = 1 1 0 = 0 1−1 = 0
 y 11 = 1 11 = 1 1−1 = 0
 z 0 1 = 1 0 1 = 0 1− 0 = 1
 Où
 Where
 1:∈ . x ∈∈A 
 e ..g .
 0 :∉ .
 e.g .. x ∉∉A 

 Figure 4. Fonctionnement d’ensembles flous

 x
 Ensemble A y Ensemble B
 z

 µ A ( xµ)A(x)
 = 0=.50,5 µ B (µx(x)
 B
 ) ==00,1
 .1
 µ A ( yµ)A(y)
 = 0=.60,6 µ B µ( By(x)
 ) ==00,4
 .4
 µ A ( zµ)A=(z)0=.10,1µ B (µzB)(z)==00,7
 .7

 3
 Le type d’opération portant sur les ensembles flous présentés à la figure 4 a été inventé par Zadeh
 (1965). Il existe de nombreux autres types d’opérations, notamment la moyenne, la somme bornée et
 le produit. Une liste des types courants d’opération figure dans The Fuzzy Systems Handbook: A
 Practitioner’s Guide to Building, Using and Maintaining Fuzzy Systems (Cox 1994, p. 133).
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A  B = max( µ A , µ B ) A  B = min( µ A , µ B ) A = 1− µA
 x 0.5 0.1 0.5
 y 0.6 0.4 0.4
 z 0.7 0.1 0.9
 Dans cet exemple, une règle max-min est utilisée. Le degré de certitude qu’un élément
 appartient à l’union de quelques ensembles flous correspond au maximum des degrés de
 certitude que l’élément appartient à chaque ensemble flou. Le degré de certitude qu’un
 élément appartient à l’intersection de quelques ensembles flous correspond au minimum des
 degrés de certitude que l’élément appartient à chaque ensemble flou. Le degré de certitude
 qu’un élément appartient au complément d’un ensemble flou est déduit par le degré de
 certitude que l’élément appartient à l’ensemble flou.

 Règles d’inférence et couvertures floues

 À l’aide d’opérations logiques portant sur des ensembles flous, des règles d’inférence
 peuvent être créées pour établir des liens entre différentes variables. Un type de règle
 d’inférence floue s’appelle la règle d’inférence max-min 4. Il s’agit de la règle max-min
 indiquée à la figure 4 qui est appliquée à l’inférence.

 1. Si A et B, alors C.
 Le degré maximal de certitude de C est le moindre du degré de certitude de A et du
 degré de certitude de B.
 2. Si A ou B, alors C.
 Le degré maximal de certitude de C est le plus élevé du degré de certitude de A et du
 degré de certitude de B.
 3. Si ce n’est pas A, alors C.
 Le degré maximal de certitude de C est celui qui est déduit du degré de certitude de
 A.

 Par exemple, lorsque l’on évalue le risque d’un ralentissement économique, la prime de
 terme 5 et le niveau de confiance des investisseurs sont les deux principaux indicateurs. Une
 règle d’inférence possible est énoncée ci-après.

 Si la prime de terme est faible et que le niveau de confiance des investisseurs est faible, le
 risque de ralentissement économique dans un avenir rapproché est élevé.

 4
 Outre la règle d’inférence max-min, il existe plusieurs autres règles d’inférence floues, notamment le
 raisonnement monotone, la règle addictive floue, le minimum de corrélation et le produit de
 corrélation.
 5
 La prime de terme correspond à la différence entre le rendement des obligations à long terme et le
 rendement des obligations à court terme.
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La prime de terme est de 2 % avec un degré de certitude μpetit(2 %) de 0,6. La valeur de
 l’indice de confiance des investisseurs est 65 avec un degré de certitude μfaible(65) de 0,72. À
 l’aide de l’opération d’intersection applicable aux ensembles flous comme le minimum des
 deux degrés de certitude μpetit(2 %) et μfaible(65), le degré maximal de certitude qu’il existe un
 risque élevé de ralentissement économique est 0,6. La fonction d’appartenance de l’ensemble
 flou est donc tronquée à la valeur véritable de 0,6 à partir du haut, comme l’indique la
 figure 5.

 Figure 5. Règle d’inférence floue

 Ensemble flou - Risque élevé de ralentissement
 1 économique
 Degré de certitude

 0
 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

 Niveau d'exposition au risque

 TrèsInconditionnelle
 élevée Conditionelle (prime de terme = 2% et indice de confiance = 65)

 Notes :
 1. Fonction d’appartenance inconditionnelle pour l’ensemble flou « Risque élevé de
 ralentissement économique » :
  ( x −5 )2 
 − 
 2.5  2×12 
 µ unconditional ((x)
 É é 
 x) ==
 High
 e  
 whereoùxxisestthe risk exposure
 le niveau level
 d’exposition au risque
 2π × 1
 2. Fonction d’appartenance conditionnelle pour l’ensemble flou « Risque élevé de ralentissement
 économique » :

   ( x −5 )2
 −
 
  
  2.5  2×12  
 É é 
 High
 µ
 conditiona(x) ( x=) = Min  0.6, e  
  whereoùx xisest
 thelerisk exposure
 niveau levelau risque
 d’exposition
 2π × 1
 l
  
  
 Parfois, il est nécessaire d’améliorer la fonction d’appartenance afin de tenir compte des
 règles d’inférence avec une description différente. Ce processus s’appelle « couverture

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floue » 6. Par exemple, les règles d’inférence semblables qui suivent présentent une différence
d’intensité au chapitre de la cote de crédit « élevée ».

Règle 1. Si une cote de crédit est légèrement élevée, la possibilité d’obtenir une réduction
du taux d’emprunt hypothécaire est élevée.
Règle 2. Si une cote de crédit est élevée, la possibilité d’obtenir une réduction du taux
d’emprunt hypothécaire est élevée.
Règle 3. Si une cote de crédit est très élevée, la possibilité d’obtenir une réduction du taux
d’emprunt hypothécaire est élevée.

Pour tenir compte de la différence, la fonction d’appartenance de l’ensemble flou « Cote
de crédit élevée » peut être convertie à l’ensemble flou « Cote de crédit légèrement élevée » et
« Cote de crédit très élevée », comme l’indique la figure 6. La fonction d’appartenance est
déplacée pour tenir compte de l’effet des adverbes « légèrement » et « très ». Dans cet
exemple, pour une cote de crédit 3, il est certain à 60 % que la cote est élevée, à 10 % qu’elle
est très élevée, et à 90 % qu’elle est légèrement élevée.

Figure 6. Couverture floue

Cote de crédit - Couverture
floue
1
Degré de certitude

0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Cote de crédit

Élevée Légèrement élevée Très élevée

Notes :
1. Fonction d’appartenance pour l’ensemble flou « Cote de crédit élevée » :

6
Il existe de nombreux genres de couvertures floues pour tenir compte de l’effet de descriptions
différentes dans les règles d’inférence. Pour consulter une liste des couvertures floues, consulter Cox
(1994, p. 162).
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 ( x − 4 )2 
 − 
 2.5  2×12 
 e  
 0≤ x≤4
 µ Élevée
 (x) = 2π × 1
 µ High ( x) = where
 oùxx is
 estthe credit
 la cote score
 de crédit
 1 4< x≤5
 2. Fonction d’appartenance pour l’ensemble flou « Cote de crédit légèrement élevée » :
  ( x −3.5 )2 
 − 
 2.5  2×12 
 e  
 0 ≤ x ≤ 3.5
 µ Élevée
 (x) = 2π × 1
 µ High ( x) = where x is
 où x est the credit
 la cote score
 de crédit
 1 3.5 < x ≤ 5

 3. Fonction d’appartenance pour l’ensemble flou « Cote de crédit très élevée » :
  ( x −5 )2 
 − 
 2.5  2×12 
 µµ = 0 ≤ x ≤ 5 whereoùx xisest
 High  
 Élevée ((x)
 x) = e thela credit
 cote descore
 crédit
 2π × 1

 Clarification

 La clarification est le processus permettant d’estimer la valeur de la variable dépendante
 d’après l’ensemble flou obtenu après l’application de la règle d’inférence floue. Trois
 méthodes de clarification types sont décrites ci-après :

 1. Méthode de la moyenne : la valeur numérique moyenne de la variable dépendante
 dans l’ensemble flou de sortie.
 2. Méthode de la moyenne du maximum : la valeur numérique moyenne de la variable
 dépendante avec le degré de certitude maximal dans l’ensemble flou de sortie.
 3. Méthode centroïde : la valeur numérique moyenne pondérée de la variable
 dépendante dans l’ensemble flou de sortie. Le coefficient de pondération est le degré
 de certitude.

 Des méthodes différentes conviennent dans des situations différentes. Reprenons
 l’exemple de la règle d’inférence à la figure 5. L’ensemble flou de sortie représente la zone
 entre la fonction d’appartenance conditionnelle et l’axe des x.

 Fonction d’appartenance conditionnelle :
  
  ( x − 5 )2 
 −
   2×12  
  where x ∈ [0,5] is the risk exposure level
 2. 5 Où x ∈ [0,5] est le niveau d’exposition au risque
 µ conditiona(x)
 É é High
 ( x=) = Min  0 .6, e  

 2π × 1
 l
  
  
 1. Méthode de la moyenne : La fourchette du niveau d’exposition au risque dans
 l’ensemble flou de sortie est [0,5]. Par conséquent, le résultat de la clarification est
 2,5, la moyenne de 0 et 5.
 2. Méthode de la moyenne du maximum : Lorsque x est supérieur à 4, la valeur de la
 fonction d’appartenance conditionnelle est 0,6, le degré maximal de certitude dans

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l’ensemble flou de sortie. Par conséquent, le résultat de la clarification est 4,5, la
 moyenne de 4 et 5.
 3. Méthode centroïde : La valeur de clarification est obtenue par le calcul suivant :
  
  ( x −5 )2 
 −
 5 5  2 . 5  2×12  
 ∫0 ∙ ∫ ( x) = ∫ x ⋅ Min  0.6,
 5
 x ⋅ µ conditional(x)
 É é High
 e  
  ≈ 4.2
 0 0
  2π ×1 
  

 Le résultat de la clarification est présenté à la figure 7. Puisque le risque de ralentissement
 économique n’est pas faible, la méthode de la moyenne ne constitue pas un bon choix dans
 cet exemple.

 Figure 7. Exemple de clarification

 Clarification - Risque de ralentissement économique
 1
 Degré de certitude

 Moyenne = 2,5 Centroïde = 4,2

 Moyenne du
 maximum : 4,5

 0
 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

 Niveau d'exposition au risque

 Système de logique floue

 Pour toutes les composantes, un système de logique floue peut être construit en
 appliquant les étapes suivantes :

 Étape 1. Des variables indépendantes sont choisies comme principaux facteurs
 déterminants ou indicateurs de la variable dépendante.
 Étape 2. Des ensembles flous sont créés pour les variables indépendantes et dépendantes.
 Plutôt que de recourir à la valeur numérique, des ensembles flous en langage
 humain sont utilisés pour décrire une variable. Le degré de certitude que chaque
 variable appartient à un certain ensemble flou est précisé par la fonction
 d’appartenance.

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Étape 3. Des règles d’inférence sont intégrées au système. Une couverture floue peut être
 utilisée pour modifier légèrement la fonction d’appartenance selon la description
 des règles d’inférence.
 Étape 4. L’ensemble flou de sortie de la variable dépendante est produit à partir des
 variables indépendantes et des règles d’inférence. Après clarification, une valeur
 numérique peut être utilisée pour représenter l’ensemble flou de sortie.
 Étape 5. Le résultat est ensuite utilisé pour la prise de décisions éclairées.

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Figure 8. Système de logique floue
Variables indépendantes
Variables
Variables indépendantes Clarification Variables
indépendantes (valeur
(valeur numérique) indépendantes
(description linguistique)

Opération d'ensemble flou
Règles d'inférence
Couvertures d'ensemble flou
Variable
Variable dépendante
dépendante
(Description
(description linguistique)

Clarification
Variable dépendante
Prise de décisions
(valeur numérique)

2.2 Exemple numérique

Un système de logique floue simple 7 utilisé pour évaluer le risque d’inconduite des
conseillers est illustré dans cette section. Attirés par des commissions de vente élevées, les
conseillers financiers peuvent être tentés de dissimuler de l’information au sujet des risques
liés au produit, de fournir de l’information fausse ou même d’annoncer le produit de façon
trompeuse. Trois principaux indicateurs de risques sont utilisés pour surveiller cette
importante composante du risque d’atteinte à la réputation de l’entreprise :
1. Le coût de règlement au cours de la dernière année en raison de publicité fausse ou
trompeuse
2. La complexité du produit, qui mesure le degré de difficulté des clients ou des
conseillers à comprendre le produit vendu
3. Le niveau de rémunération des conseillers

Des graphiques sur leurs fonctions d’appartenance sont reproduits ci-après.

7
Un fichier d’accompagnement (« Fuzzy Logic Examples.xls »), illustre le processus de calcul et ses
détails. Il peut être utilisé pour certains calculs de la logique floue simple.
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Figure 9. Fonctions d’appartenance du coût de règlement, complexité du
produit, niveau de rémunération et risque d’inconduite
Fonction d’appartenance du coût de règlement Fonction d’appartenance du niveau de rémunération

Degré de certitude

Degré de certitude
Fonction d’appartenance de la complexité du produit Fonction d’appartenance du risque d’inconduite
Degré de certitude

Degré de certitude

Supposons que trois règles d’inférence ont été précisées d’après les commentaires
formulés par les experts en la matière.

1. Si (la complexité du produit n’est pas faible ou le niveau de rémunération est très8
élevé) et le coût de règlement n’est pas faible, alors le risque d’inconduite est élevé.
2. Si (la complexité du produit est élevée ou le coût de règlement est élevé) et le niveau
de rémunération est élevé, alors le risque d’inconduite est élevé.
3. Si (la complexité du produit n’est pas élevée et le cout de règlement n’est pas élevé)
et le niveau de rémunération n’est pas élevé, alors le risque d’inconduite est moyen.

La figure 10 renferme un exemple de calcul de la valeur du risque d’inconduite, compte
tenu de la valeur des diverses variables d’entrée établies à l’aide d’un système de logique
floue. Ce système comprend les fonctions d’appartenance, les règles d’inférence et la méthode
de clarification choisie. Pour chaque produit du portefeuille de l’entreprise, le niveau du
risque d’inconduite peut être évalué en tenant compte de la complexité du produit, du niveau
de rémunération et du coût historique de règlement.

8
L’ensemble flou « très élevé » est converti à partir de l’ensemble flou de base « élevé ». Le degré de
certitude très élevé est plus faible que le degré élevé pour la même valeur. Il s’agit d’une couverture
floue discutée aux pages 12-13.
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Figure 10. Exemple de calcul à l’aide d’un système de logique floue

 Ensemble de sortie - Risque
 d'inconduite
 1,0

 Coût de $
 0,8
 Colût de 2M
 règlement 2M
 règlement $
 0,6
 Règles
 Méthode de Risque
 Risque
 Complexité du d'inférence d'inconduit
 5 0,4 clarification d’inconduite
 produit e
 Inférence Méthode
 5,93
 max-min 0,2 centroïde 5,93
 Niveau de
 8
 rémunération
 0,0
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 Output Set Original Set - High
 Original Set - Medium Original Set - Low

 Si la distribution conjointe des trois variables d’entrée est connue, la distribution du
 risque d’inconduite peut être calculée par simulation. Dans l’exemple ci-après, les
 distributions marginales des variables d’entrée et leur dépendance sont fournies. On suppose
 également que les variables d’entrée sont étroitement corrélées. La dépendance est modélisée
 à l’aide de la copule de Clayton 9 avec θ = 6 dans cet exemple, ce qui indique une forte
 corrélation positive. La distribution du risque d’inconduite est simulée, et certaines
 statistiques descriptives sont calculées.

 9
 Copule de Clayton : Cθn (u ) = (u1−θ + u 2−θ + ⋅ ⋅ ⋅ + u n−θ − n + 1) −1 / θ θ >0

 On en trouvera le détail dans Nelsen (2006, p. 153).

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Figure 11. Exemple de simulation d’une variable de sortie

 FDP du coût de règlement Copule de Clayton (theta = 6)

 0,5
 0,4
 0,3

 Niveau de rémunération
 0,2

 Complexité du produit
 0,1
 0
 0 1 2 3 4 5

 FDP de la complexité du
 produit Coût de règlement
 0,12
 0,1
 0,08 Copule de
 Histogramme du risque d'inconduite
 Clayton
 0,06 450
 θ=6
 0,04 400
 350
 0,02
 300
 0
 250
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 200
 150
 100
 FDP du niveau de
 50
 0,25 rémunération
 0
 0,2 4,25 5 5,75 6,5 7,25 8
 Niveau de risque # of Simulation
 0,15
 0,1
 0,05 Risque d'inconduite simulé
 0 Maximum Minimum Moyen VaR 95 % ECU (95)
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 8,27 4,21 5,13 5,91 6,54

 FDP : Fonction de densité des probabilités

 À l’aide de ce modèle de logique floue, le niveau du risque d’inconduite peut être calculé
 pour chaque produit. L’exposition au risque pour chaque produit peut être mesurée comme le
 produit de son niveau de risque et du volume prévu des nouvelles affaires. Le tableau 1 dresse
 la liste de cinq produits qui présentent des niveaux différents de complexité et de
 rémunération. L’exposition au risque du produit B est la plus élevée. La société pourra vouloir
 abaisser le niveau du risque d’inconduite lié au produit B. Elle peut envisager de remplacer le
 produit actuel par une version simplifiée, de réduire la rémunération des conseillers sans perte
 de compétitivité, de fournir davantage de formation aux conseillers ou d’améliorer la
 communication avec des clients éventuels au sujet des risques rattachés au produit.

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Tableau 1. Échantillon de surveillance du risque d’inconduite
Volume
Niveau Exposition
des
du risque au risque
Produit nouvelles Rang
d'inconduite d'inconduite
affaires (M$)
(1) (2) = (1) × (2)
A 8,3 2 16,6 4
B 7,6 13 98,8 1
C 5,9 5 29,5 3
D 5,1 7 35,7 2
E 3,5 3 10,5 5

2.3 Autres modèles

Le modèle quantitatif d’évaluation des risques le plus utilisé est le modèle de probabilité
classique. Les objets sont mesurés selon leur valeur numérique. Lorsque l’espace de
probabilité est partagé en ensembles exclusifs, chaque objet n’appartient qu’à un ensemble.

Les modèles de logique floue peuvent remplacer les modèles de probabilité enchâssés
dans la théorie des ensembles classique. Les ensembles flous permettent le chevauchement
des « ensembles exclusifs » classiques décrits en termes linguistiques. Par exemple, une
approche d’ensembles flous peut être utilisée pour mieux comprendre une perte annuelle de
1 million de dollars imputable à une erreur d’opération. Les fonctions d’appartenance peuvent
être établies pour indiquer qu’il est certain à 70 % que l’exposition au risque opérationnel est
moyenne, à 40 % qu’elle est élevée et à 10 % qu’elle est faible. Les modèles de logique floue
peuvent décrire des risques de façon imprécise sans nécessiter une multitude de données
d’expérience. Ce ne sont pas tous les risques qui peuvent être compris parfaitement. À mesure
que les humains continuent d’explorer le monde inconnu et d’acquérir des connaissances, ils
font des découvertes à chaque étape franchie. Parfois, l’illusion de précision (fausse précision)
peut constituer une autre source de risque lié aux modèles. En outre, les modèles de logique
floue insistent sur l’exploration des diverses relations de cause à effet qui sous-tendent les
risques. Ils peuvent également intégrer plus volontiers des données ou des opinions exprimées
plus facilement par le langage naturel que par l’expression mathématique. Par conséquent, les
modèles de logique floue peuvent être utiles pour analyser des risques qui ne sont pas bien
compris.

Outre les modèles de logique floue, il existe d’autres modèles qui peuvent servir à évaluer
les risques et à reconnaître les tendances, notamment le réseau bayésien et les réseaux de
neurones artificiels, de même que le modèle de Markov caché et le modèle d’arbre de
décision. Quelques modèles peuvent convenir davantage à la solution de certains problèmes,
compte tenu de certaines connaissances et données. Ils peuvent également être utilisés avec la
théorie des ensembles flous. Pour mettre en œuvre intelligemment des modèles de logique

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floue, il est important de bien comprendre d’autres options offertes et de ne s’en servir que
lorsqu’ils sont pertinents.

Le réseau bayésien

Le réseau bayésien, également connu sous l’appellation « réseau de croyance bayésien »,
est un graphe acyclique dirigé qui est composé de sommets, d’arêtes et d’une distribution de
probabilité conditionnelle. Reprenons l’exemple du risque d’inconduite que nous avons utilisé
précédemment et appliquons-le à un réseau bayésien. Comme le montre la figure 12, ce
réseau comporte cinq sommets (ou variables) désignés par les lettres A à E et cinq arêtes
(dépendances conditionnelles) identifiées par les chiffres 1 à 5. La distribution de chaque
variable est également indiquée, de façon conditionnelle ou inconditionnelle.

Figure 12. Exemple de réseau bayésien : risque d’inconduite

P (Complexe) = 0,3

Complexité du
Produit A
P (Élevé|Complexe) = 0,8 P (Élevé) = 0,5
2 P (Faible|Complexe) = 0,2
1

C
Mauvaise B
Niveau de
Niveau de Coût des D
compréhension rémunération pénalités

3
4
5

P (Élevé|Complexe) = 0,65
P (Faible|Complexe) = 0,35 P (Élevé|Élevé B & Élevé
Publicité E C et Élevé D) = 0,95
P (Faible|Élevé B et Élevé
C et Élevé D) = 0,05
... ...

Les modèles de réseau bayésien utilisent les règles de Bayes et la probabilité
conditionnelle pour décrire la probabilité conjointe du réseau. La relation est enchâssée dans
le système comme dépendante conditionnelle des parents et indépendante conditionnelle des
non-défunts, compte tenu de la valeur des parents. Par conséquent, elle tient compte de la
distribution des variables et de leur dépendance. Les modèles de réseau bayésien peuvent être
utilisés pour calculer les probabilités conditionnelles, notamment la probabilité de publicité
trompeuse si le produit n’est pas complexe et que le coût de la pénalité est élevé.

Compte tenu du nombre de relations et de probabilités conditionnelles qui doivent être
précisées dans un réseau bayésien, la production d’un tel modèle peut toutefois être très
fastidieuse. L’inférence dans un gros réseau est également coûteuse. Il est nécessaire de
posséder l’expertise au sujet des relations de cause à effet pour bâtir le système, qu’elle soit
obtenue au moyen du raisonnement humain ou de données. Aussi, il existe une demande pour

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des données précisant la probabilité conditionnelle. Toutes ces facettes font en sorte que le
modèle de réseau bayésien convient bien aux problèmes de moindre envergure, pour lesquels
nous possédons une connaissance suffisante des relations.

Par ailleurs, les systèmes à logique floue ne sont que légèrement contraints par la taille du
système. Ils permettent également le recours à un ensemble incomplet de règles ou de
relations précisées dans le système d’inférence. Ainsi, le modèle de logique floue se prête
davantage à l’analyse d’enjeux avec insuffisance de connaissances.

Certains efforts ont été déployés pour intégrer la théorie des ensembles flous et la logique
floue dans des modèles de réseau bayésien pour que les variables puissent disposer de valeurs
discrètes et continues. Les ensembles flous ont été mis à l’essai pour améliorer le système
d’inférence dans le réseau bayésien général. Ces réseaux bayésiens étendus sont
habituellement désignés réseaux bayésiens flous 10. Mais l’intégration d’ensembles flous aux
réseaux bayésiens ne réduit pas nécessairement le besoin : a) de connaissances au sujet des
relations de cause à effet et b) de données pour l’étalonnage de la probabilité conditionnelle.

Les réseaux de neurones artificiels

Les modèles fondés sur des réseaux de neurones artificiels sont utilisés pour apprendre la
relation entre les variables d’une manière semblable aux réseaux de neurones biologiques. Le
réseau compte de nombreux neurones qui sont reliés de certaines façons, comme l’indique la
figure 13. Il peut exister de multiples couches cachées entre l’ensemble d’entrée et l’ensemble
de sortie. Il est nécessaire de posséder suffisamment de données de formation pour préciser la
relation représentée par les fonctions f, g et h à l’aide de méthodes telles l’estimation du
maximum de vraisemblance, du maximum a posteriori ou de la rétropropagation. Les modèles
de réseaux de neurones artificiels peuvent être utilisés dans de nombreux domaines,
notamment la reconnaissance, la prédiction et la classification des tendances. Parmi les
applications possibles, mentionnons la détection des sinistres frauduleux en assurance
automobile. Les renseignements d’entrée peuvent comprendre le sexe, la profession, le
module voiture, le salaire, l’endroit, le montant des sinistres, les antécédents en matière de
sinistres, par exemple la fréquence et la gravité, et la cause d’accident. Les données de sortie
peuvent correspondre à la probabilité de fraude en assurance et le coût estimatif des enquêtes.
D’après les données d’expérience au sujet de la fraude en assurance automobile, le réseau de
neurones artificiels peut être formé pour déterminer une relation raisonnable entre l’entrée et
la sortie à travers les couches cachées. Il peut ensuite être utile pour déterminer les sinistres
susceptibles d’être faux et de préciser le coût prévu rattaché à l’enquête qui en découlera. La
société pourra vouloir affecter les ressources aux sinistres les plus douteux présentant un coût
d’enquête abordable.

10
On trouvera des exemples de réseaux bayésiens flous dans Pan (1988, pp. 6–22).
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