Essai de 12 crédits Couverture des pertes liées aux inondations au Québec par le biais des " CAT-bonds " - Couverture des pertes liées aux ...
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Essai de 12 crédits Couverture des pertes liées aux inondations au Québec par le biais des « CAT-bonds » Alexandre Têtu Essai effectué dans le cadre de la M. Sc. Ingénierie Financière Directeur d’essai : Van Son Lai Lecteur : Issouf Soumaré 21/03/2012
Résumé
Dans cet essai, nous développons une méthodologie permettant de modéliser le risque de pertes suite
à une catastrophe dont le processus d’occurrence comporte une tendance haussière ainsi qu’un effet
saisonnier. Nous avons appliqué cette modélisation aux pertes subies dans le cadre du programme
d’aide financière en cas d’inondation du gouvernement du Québec. Les résultats que nous obtenons
lors du calibrage de notre fonction d’intensité du processus de Poisson non-homogène confirment la
présence d’une tendance à la hausse du nombre d’occurrences d’inondations ainsi qu’un effet
cyclique de type saisonnier. Selon cette modélisation, nous évaluons le niveau de couverture qui
aurait occasionné les coûts les plus faibles pour le gouvernement durant les 19 dernières années.
Nous démontrons que le rendement des 19 dernières années de « CAT-Bonds » portant sur les
inondations au Québec comparé au rendement du S&P/TSX, surtout dans le cas de l’inclusion de
l’aide fédérale, aurait été très intéressant pour les investisseurs s’ils avaient exigés une prime de
risque de 2.69 fois l’espérance des pertes. En se basant sur la littérature existante, nous soulignons
que le moment d’émission d’obligations catastrophes est un facteur important dans le niveau de
prime exigé par le marché. Nous utilisons les niveaux de primes de risque observés historiquement
pour fournir une échelle de prix pour l’émission d’obligations catastrophes qui permettrait au
ministère de la sécurité publique de se couvrir contre les pertes liées aux inondations durant les
prochaines années.
1Avant-propos
Cet essai est la dernière étape à franchir dans mon cheminement pour l’obtention du titre de maître ès
sciences (M. Sc.). L’objectif d’entreprendre le programme en ingénierie financière était de réorienter
ma carrière pour trouver ma passion professionnelle. Quoi que la décision originale de me réorienter
ne fût pas prise facilement, je peux maintenant affirmer que ce fut la meilleure décision de ma vie.
Au cours des dernières années, j’ai reçu beaucoup de support, support sans lequel ce retour aux
études n’aurait jamais pu être un tel succès. Quoi que cet avant-propos puisse sembler long pour un
essai de maîtrise, les remerciements qui suivent s’appliquent non seulement à la réalisation de cet
essai, mais aussi au cheminement particulier qui m’a mené ici. Je tiens à remercier :
• L’Institut de finance mathématique de Montréal (IFM2) pour leur support financier. Celui-ci
permet à plusieurs étudiants comme moi de se concentrer sur leurs études de 2e ou 3e cycle.
• Mon directeur d’essai M. Van Son Lai et le Fonds Conrad-Leblanc pour m’avoir appuyé dans la
réalisation de cet essai.
• M. Sylvain Tremblay du ministère de la sécurité publique pour son aide.
• Mme. Marie-Claude Beaulieu, mes professeurs, mes collègues ainsi que mes amis pour leur aide,
leurs réponses à mes nombreuses questions et leur support moral.
• Mes parents qui m’ont toujours supporté. Ma mère, pour m’avoir transmis son amour pour les
chiffres. Mon père, pour avoir essayé de m’inculquer la patience. Ce sont, sans aucun doute, les
deux choses qui m’ont été le plus utiles durant les derniers mois.
• Dre Catherine Cournoyer, merci d’être qui tu es et d’égayer chacune de mes journées.
Je tiens à remercier tout spécialement ma sœur Isabelle et mon frère Philippe pour être aussi
passionnés dans leur travail et pour ne jamais se laisser imposer de barrière. Sans votre exemple, je
n’aurais jamais eu le courage de réorienter ma carrière vers la finance, un domaine qui me permettra
de me dépasser avec une passion semblable à la vôtre. Je suis fier de savoir que vous servez de
modèle pour vos proches, vos amis ainsi que pour vos collègues.
Finalement, j’espère que le présent travail permettra de faire un pas en avant vers une meilleure
gestion du risque d’inondations au Québec.
Bonne lecture!
2Table des matières
Résumé ............................................................................................................................................................... 1
Avant-propos ..................................................................................................................................................... 2
Liste des figures ................................................................................................................................................. 4
Liste des tableaux .............................................................................................................................................. 4
1 - Contexte et problématique ........................................................................................................................... 6
2 - Structure de l’essai ....................................................................................................................................... 7
3 - Définition des obligations catastrophes ........................................................................................................ 8
3.1 - Exemple simple de flux monétaires provenant d’un « CAT-Bond » à taux de coupon fixe : ........... 10
4 - Revue de la littérature pertinente .............................................................................................................. 12
4.1 - Modélisation du risque catastrophique.............................................................................................. 12
4.2 - Modèles d’évaluation ........................................................................................................................ 13
4.3 - Casse-tête de la prime de risque ........................................................................................................ 15
5 - Hypothèses .................................................................................................................................................. 17
6 - Qualité des données .................................................................................................................................... 18
7 - Méthodologie .............................................................................................................................................. 22
7.1 - Ajustement des pertes historiques en dollars de 2011 ....................................................................... 22
7.2 - Modélisation du processus d’occurrence .......................................................................................... 25
7.3 - Distribution des pertes....................................................................................................................... 28
7.4 - Pertes maximales probables .............................................................................................................. 32
8 - Évaluation ................................................................................................................................................... 33
8.1 - Modèle analytique actuariel .............................................................................................................. 33
8.2 - Validation du modèle analytique....................................................................................................... 39
8.3 - Modèle Monte-Carlo ......................................................................................................................... 41
8.4 - Analyse historique............................................................................................................................. 44
8.5 - Effet de la prime de risque ................................................................................................................ 47
8.6 - Effet de l’aide fédérale ...................................................................................................................... 50
8.7 - Attrait pour les investisseurs ............................................................................................................. 54
8.8 - Couverture pour les prochaines années ............................................................................................. 57
9 - Conclusion .................................................................................................................................................. 59
Bibliographie ................................................................................................................................................... 61
Annexe A – Définition des distributions utilisées............................................................................................ 64
Log-normale .............................................................................................................................................. 64
3Gamma ...................................................................................................................................................... 64
Exponentielle ............................................................................................................................................. 64
Log-logistique ........................................................................................................................................... 65
Weibull ...................................................................................................................................................... 65
Pareto généralisée ...................................................................................................................................... 65
Burr............................................................................................................................................................ 66
Annexe B – Carte des régions administratives................................................................................................ 67
Annexe C – Données des indices par région .................................................................................................... 67
Liste des figures
Figure 1 – Schéma de fonctionnement des obligations catastrophes ................................................................ 10
Figure 2 – Prime de risque vs espérance des pertes .......................................................................................... 15
Figure 3 – Prix d’un indice de CAT-Bonds avant et après le 11 septembre 2001............................................. 16
Figure 4 – Prime de risque en fonction de l’année et de la probabilité d’événement ........................................ 17
Figure 5 – Histogramme des occurrences d’inondations selon les saisons ....................................................... 26
Figure 6 – Nombre d’occurrences selon le type de Processus de Poisson ........................................................ 28
Figure 7 – Fonction de la moyenne excédentaire des données historiques ....................................................... 29
Figure 8 – Fonction de la moyenne excédentaire des différentes distributions étudiées ................................... 31
Figure 9 – Fonction de la moyenne excédentaire des distributions log-normale et de Pareto généralisée........ 31
Figure 10 – Valeur maximale des pertes annuelles en fonction de la probabilité de dépassement ................... 33
Figure 11 – Pertes historiques liées aux inondations et coûts annuels pour une couverture complète de 1993 à
2011 ................................................................................................................................................................... 45
Figure 12 – Coûts actuariels historiques pour différents niveaux de déductible ............................................... 46
Figure 13 – Coûts historiques d’une couverture complète selon le ratio de la prime de risque ........................ 47
Figure 14 – Coûts historiques selon le niveau du déductible (prime de risque = 2.69)..................................... 49
Figure 15 – Coûts annuels moyens historiques en fonction du déductible (prime de risque=2.69) .................. 50
Figure 16 – Comparaison des pertes et coûts de couverture complète selon l’inclusion ou l’exclusion de l’aide
fédérale .............................................................................................................................................................. 52
Figure 17 – Coûts annuels moyens historiques en fonction du déductible (incluant l’aide fédérale) .............. 53
Figure 18 – Rendements historiques des « CAT-Bonds » selon déductible (sans aide fédérale, prime de
risque=2.69)....................................................................................................................................................... 54
Figure 19 – Rendements historiques des « CAT-Bonds » selon déductible (avec aide fédérale, prime de
risque=2.69)....................................................................................................................................................... 55
Figure 20 – Évolution de 100$ investis au 1er décembre 1992 (prime de risque=2.69) ................................... 57
Figure 21 – Coûts par année de couverture en fonction de la maturité pour différents déductibles ................. 58
Figure 22 – Coûts de couverture en fonction de l’année couverte pour différents déductibles......................... 58
Figure 23 – Carte des régions administratives du Québec ................................................................................ 67
4Liste des tableaux
Tableau 1 – Inondations ayant causé plus de 300 000$ de dommages au Québec depuis 1992 ....................... 19
Tableau 2 – Pertes historiques ajustées en dollars de 2011 ............................................................................... 23
Tableau 3 – Statistiques de tests des distributions (Calibration selon une procédure de minimisation du A2) . 30
Tableau 4 – Comparaison de l’évaluation par modèle analytique et par modèle Monte-Carlo ........................ 41
Tableau 5 – Coûts actuariels historiques pour différents niveaux de déductible............................................... 46
Tableau 6 – Coûts historiques d’une couverture complète selon la prime de risque......................................... 48
Tableau 7 – Coûts historiques pour différents niveaux de déductible (prime=2.69) ......................................... 49
Tableau 8 – Formule de partage des coûts par habitant du gouvernement fédéral ............................................ 51
Tableau 9 – Exemple de partage des coûts par habitant du gouvernement fédéral ........................................... 51
Tableau 10 – Coûts historiques selon l’inclusion ou l’exclusion de l’aide fédérale (prime de risque=2.69) .... 52
Tableau 11 – Coûts historiques avec l’aide fédérale (prime de risque=2.69, notionnel=66 millions) .............. 53
Tableau 12 – Rendement annuel moyen historique et corrélation selon déductible (prime de risque=2.69) .... 55
Tableau 13 – Ratio de Sharpe pour les rendements annuels historiques (prime de risque=2.69) ..................... 56
Tableau 14 – Données des indices par région ................................................................................................... 67
51 - Contexte et problématique
Les effets de l'activité humaine sur la planète sont difficilement quantifiables. Cependant, un des
effets de notre existence et un sujet qui est de plus en plus d'actualité est le réchauffement planétaire.
En fait, en même temps que les températures moyennes annuelles grimpent et que la fréquence des
catastrophes naturelles augmente, les discussions et la sensibilisation sur le réchauffement climatique
de la planète Terre s’intensifient. Après tout, les enjeux environnementaux, sociaux, politiques et
économiques sont majeurs en ce qui concerne le réchauffement planétaire et le problème n’est pas
près d’être réglé. Dans son rapport déposé en 2007, le Groupe d'Experts Intergouvernemental sur
l'Évolution du Climat (GIEC), explique les effets déjà ressentis du réchauffement planétaire et ils
s’attendent à ce que les effets de ce dernier soient encore plus importantes, voir plus coûteuses dans
l’avenir (GIEC (2007)). Le sujet est d'une grande importance pour les compagnies d’assurances et les
gouvernements dont les finances sont grandement affectées lors de la survenue d’un désastre naturel
sur leur territoire. Par exemple, le Bureau d’Assurance du Canada (BAC) (2008) rapporte que le
montant des réclamations suite à des catastrophes naturelles dépassait les 900 millions de dollars
pour l’année 2005.
Traditionnellement, les compagnies d’assurances et les gouvernements se tournaient vers la
réassurance pour couvrir leur exposition au risque d’occurrence d’une catastrophe naturelle. Si l’on
tente de définir ce qu’est la réassurance, la définition la plus simple est que c’est l’assurance des
assureurs. En fait, une compagnie d’assurances qui s’estime trop fortement exposée à un risque de
désastre dans une certaine région, entrera dans un contrat avec un réassureur. Ce contrat lui permettra
de céder une partie du risque auquel elle était exposée en échange d’une prime. Ce processus fait en
sorte que les assureurs peuvent maintenir leur exposition au risque de catastrophe à un niveau qu’ils
jugent acceptable. La firme qui sert de réassureur est normalement une firme spécialisée en
réassurance et elle diversifie son risque géographiquement en ayant des contrats semblables avec des
compagnies situées aux quatre coins du monde.
Dans les deux dernières décennies, vu l’augmentation des désastres et de la valeur des biens à
couvrir, les compagnies de réassurance ont, d’un côté, augmenté les primes exigées pour couvrir
contre le risque d’une catastrophe, et de l’autre côté, diminué le niveau de couverture contre les
catastrophes qu’ils sont prêts à offrir. Devant une telle situation, les ingénieurs financiers ont mis sur
le marché de nouveaux instruments permettant aux compagnies et aux gouvernements de se couvrir
contre le risque d’une perte très élevée en capital dû à une catastrophe naturelle. Dans les années
61990, après les pertes gigantesques occasionnées par le tremblement de terre en Californie et le
passage de l’ouragan Andrew, les compagnies d’assurances ont commencé à couvrir une partie de
leur risque en émettant sur le marché les premières obligations catastrophes.
Au Québec, ainsi qu’au Canada, les inondations constituent la catastrophe naturelle ayant la plus
haute fréquence d’occurrence (BAC (2008)). Comme les propriétaires ne peuvent pas souscrire
d’assurance contre les dommages causés par des inondations, le gouvernement provincial a créé un
programme d’aide financière pour aider les propriétaires après les inondations. Ce programme
provincial, soutenu par le fédéral lors des catastrophes naturelles de plus grande envergure, peut
coûter très cher lors de catastrophes telles que les inondations au Saguenay en 1996. Pour éliminer
ces dépenses, le gouvernement désire que le risque d’inondations devienne assurable pour les
propriétaires. Cependant, comme le stipulent SANDINK, KOVACS, OULAHEN &
MCGILLIVRAY (2010), les compagnies d’assurances risquent de refuser d’assurer les propriétés
qui se trouvent dans des zones trop risquées ou bien de leur imposer des primes trop élevées. Ainsi,
le programme d’aide financière en cas d’inondations ne peut être totalement aboli (« Pour garantir la
viabilité économique d’un programme d’assurance contre les inondations, il peut être nécessaire
d’exclure certains propriétaires à très haut risque »).
Une des façons dont le gouvernement pourrait contrôler les dépenses liées à son programme d’aide
financière, sans toutefois le modifier, serait de transférer une partie du risque au marché des
investisseurs. En effet, en émettant une obligation catastrophe, mieux connue sous le nom de « CAT-
Bond », portant sur les inondations, le gouvernement atteindrait cet objectif.
Avant de pouvoir transférer une partie de son risque vers les investisseurs, ou encore de le transférer
à une compagnie d’assurance, le gouvernement du Québec (ou la compagnie d’assurance) doit être
en mesure d’évaluer le risque lié aux dommages causés par des inondations. Cet essai tente donc de
répondre à ce besoin en évaluant des « CAT-Bonds » couvrant le risque de pertes suite à des
inondations au Québec.
2 - Structure de l’essai
Le but de l’essai est d’évaluer la couverture des pertes suite à des inondations au Québec par le biais
de « CAT-bonds ». En plus d’atteindre cet objectif, nous répondrons à plusieurs questions :
7Comment modéliser le risque de pertes liées aux inondations? Comment évaluer la valeur
d’obligations catastrophes? Quels impacts ont les politiques fédérales liées aux dédommagements en
cas de catastrophe sur l’évaluation? Quels sont les attraits des « CAT-bonds » pour les investisseurs?
Quel est l’impact des investisseurs dans le coût d’une couverture par le biais de « CAT-bonds »?
Afin de répondre à ces questions, nous présentons un modèle d’évaluation de « CAT-bonds » portant
sur des catastrophes ayant une tendance d’occurrence à la hausse et un effet saisonnier. La
méthodologie utilisée pour modéliser le risque de pertes liées aux inondations au Québec est
expliquée et utilisée conjointement avec le modèle d’évaluation des « CAT-bonds ».
Cet essai est structuré de la manière suivante. La section 3 présente les obligations catastrophes avant
qu’une revue de la littérature pertinente soit effectuée dans la section 4. Dans la section 5, nous
définissons les hypothèses que nous avons posées alors que dans la section 6, nous élaborons sur la
qualité des données que nous avons utilisées. La section 7 décrit la méthodologie utilisée pour
modéliser le risque de pertes liées aux inondations au Québec. Dans la section 8, nous développons
tout d’abord un modèle analytique d’évaluation des « CAT-bonds » que nous comparons avec un
modèle Monte-Carlo. Ensuite, en utilisant le modèle Monte-Carlo, nous faisons une analyse
historique des coûts de couverture comparativement aux pertes encourues par le passé dans le cadre
du programme d’aide financière lors d’un sinistre du gouvernement du Québec. L’analyse historique
est reprise pour étudier l’effet de la variation de la prime de risque exigée par le marché ainsi que
l’effet de l’inclusion de l’aide fédérale en cas de sinistre. Nous concluons cette section en discutant
de l’attrait pour les investisseurs de telles obligations ainsi qu’en faisant l’évaluation d’une
couverture pour les prochaines années par le biais de « CAT-bonds ». La section 9 conclut l’essai.
3 - Définition des obligations catastrophes
Les obligations catastrophes (connus sous le nom de « CAT-Bonds » sont normalement émises par
des compagnies d’assurances, de réassurance ou encore par des gouvernements désireux de
transférer à des investisseurs une partie de leur exposition au risque d’occurrence d’une catastrophe
naturelle. Le fonctionnement d’une de ces obligations peut être relativement simple si la structure de
celle-ci l’est. En fait, dans son ensemble, l’opération d’émission de « CAT-Bonds » correspond à une
titrisation des risques de catastrophes. Lors de l’émission, le notionnel, payé par les investisseurs
pour s’acquérir d’une des obligations, est mis sous fiducie dans un SPV (« Special Purpose
Vehicle ») qui est une entité complètement séparée de la compagnie émettrice. Ceci protège les
8investisseurs contre le risque de défaut de l’émetteur. Si aucune catastrophe naturelle couverte par
l’obligation ne se produit avant la maturité de celle-ci, les investisseurs reçoivent les coupons
périodiquement et, à l’échéance, ils reçoivent le paiement du principal. Cependant, si l’évènement
déclencheur sous-jacent au « CAT-Bond » se produit, ils perdent une partie ou la totalité de leur
investissement. Par exemple, si l’obligation porte sur des ouragans en Floride causant plus de 100
millions de dollars en dommages et qu’il y a un ouragan qui cause pour 150 millions de dollars de
pertes, tout dépendamment de la structure du « CAT-Bond », la compagnie émettrice pourra aller
chercher 50 millions de dollars ou plus sur le notionnel dans le compte en fiducie. Les coupons
versés aux investisseurs seront donc moindres ou nuls, tout comme le remboursement du notionnel à
la maturité de l’obligation. Il existe différents types d’évènements déclencheurs lors de l’occurrence
d’une catastrophe couverte par une obligation catastrophe. Les principaux types sont :
1. Le montant des pertes subies par l’émetteur.
2. Le montant de pertes calculées par un modèle numérique selon les paramètres de la catastrophe ayant
eu lieu.
3. L’utilisation d’un indice comme le CHI (« CME Hurricane Index »)1. Par exemple, si un ouragan fait
monter cet indice jusqu’à un certain seuil, l’obligation est déclenchée.
4. Le type paramétrique. Par exemple, dans le cas d’un tremblement de terre, si sa magnitude atteint un
certain seuil sur l’échelle de Richter, l’obligation sera déclenchée.
Actifs
à court terme &
peu risqués
Fonds restants Prix d’achat à
à maturité l’émission
Prix d’achat à Prix d’achat à
l’émission l’émission
Émetteur SPV
Pertes couvertes (special purpose Coupons Investisseurs
(Assureur/Réassureur) par l’obligation vehicle)
Notionnel à maturité
Flux dépendants de
l’occurrence de catastrophes
1
Le CHI est un indice qui décrit le potentiel de dommage pouvant être causé par un ouragan atlantique. Il sert de sous-
jacent pour la négociation de contrats futures et d’options sur le Chicago Mercantile Exchange.
9Figure 1 – Schéma de fonctionnement des obligations catastrophes
Ces obligations peuvent être attrayantes pour compléter le portfolio d’un investisseur. D’un côté,
elles offrent un taux de rendement plus élevé que les obligations gouvernementales côtées AAA étant
donné le risque qui leur est associé. De l’autre côté, ces produits sont peu ou pas corrélés avec les
marchés (LITZENBERGER, BEAGLEHOLE, & REYNOLDS (1996)) puisqu’en temps de crise
économique, leur rendement ne diminuera pas s’il ne se produit pas de catastrophe naturelle. En fait,
ils sont avantageux même dans le cas de portefeuilles déjà bien diversifiés (CONSTANTIN (2011)).
Cependant, pour que cet outil soit vraiment un outil de diversification complètement indépendant du
marché, il faudrait que le marché ne soit pas du tout affecté par l’occurrence d’une catastrophe
naturelle affectant le « CAT-Bond ». Le but de la diversification étant de contrôler le risque de perte
de valeur d’un portefeuille, l’observation des réactions des marchés aux dernières catastrophes,
comme le tremblement de terre au Japon en 2011 et l’ouragan Katrina en Nouvelle-Orléans aux
États-Unis en 2005, nous suggère que cette hypothèse d’absence de corrélation n’est pas
nécessairement valide. Il serait intéressant de se concentrer sur cette problématique dans des travaux
futurs, mais celle-ci ne constitue pas le sujet abordé dans le présent travail.
3.1 - Exemple simple de flux monétaires provenant d’un « CAT-Bond » à taux de coupon fixe :
L’exemple montre l’évolution des flux monétaires du point de vue de l’investisseur qui achète le
« CAT-Bond » dans le cas où un évènement déclencheur se produit durant le 30e mois de la vie de
l’obligation.
Caractéristiques :
• Investisseur achète pour 100MM de notionnel d’une obligation catastrophe portant sur les
tornades au Texas aux États-Unis.
• Le terme de l’obligation est de 5 ans (60 mois).
10• Le taux de coupon est de 10%.
• Les paiements de coupons sont mensuels.
• L’émission est faite à la valeur au pair.
Flux monétaires
• Au temps t=0, l’investisseur débourse 100MM pour acheter l’obligation.
À la fin de chaque mois, durant les 29 premiers mois, l’investisseur reçoit :
10%
•
x 100 MM = 0.833 MM
12
• Durant le 30e mois, une tornade cause pour 60 MM de dommages dans la région couverte par
le « CAT-Bond ». Le notionnel de l’investisseur est donc diminué de 60 MM.
• À la fin du 30e mois et à chaque fin de mois par la suite jusqu’à la maturité de l’obligation
(comme il ne se produit pas une autre tornade), l’investisseur reçoit :
10%
x 40 MM = 0.333 MM
12
• À la maturité de l’obligation, l’investisseur reçoit le dernier coupon de 0.333 MM ainsi qu’un
paiement de notionnel de 40 MM.
114 - Revue de la littérature pertinente
4.1 - Modélisation du risque catastrophique
Les 2 aspects qui influencent grandement les résultats obtenus dans le présent essai sont le choix de
la structure du « CAT-Bond » et le choix du modèle d’évaluation. Cependant, avant de se lancer dans
une revue des modèles d’évaluation développés dans la littérature, il faut comprendre qu’une des
grandes difficultés de l’évaluation des « CAT-Bonds », est la modélisation de leur processus
d’occurrence. La littérature nous permet de constater l’évolution des processus utilisés pour
modéliser l’occurrence de catastrophes naturelles. Par exemple, CUMMINS & GEMAN (1995)
utilisent un processus de Poisson avec une amplitude constante pour modéliser les sauts
représentants l’occurrence de catastrophes. Assumer un montant constant de pertes, lors de chaque
arrivée d’un processus de Poisson, n’est pas valide dans le contexte d’un désastre naturel. Après tout,
toutes les catastrophes naturelles passées ont occasionné des montants de pertes différents. D’autres
auteurs utilisent une approche un peu plus réaliste. EMBRECHTS & MEISTER (1997) utilisent un
processus de Poisson composé mixte dont la fréquence d’arrivée est stochastique. BARYSHNIKOV,
MAYO, & TAYLOR (1999), quant à eux, utilisent un processus de Poisson doublement composé
pour modéliser la catastrophe sous-jacent au « CAT-Bonds ». LOUBERGE, KELLEZI, & GILLI
(1999) utilisent une distribution log normale pour les amplitudes des sauts alors que DASSIOS &
JANG (2003) utilisent le processus stochastique de Poisson double, aussi appelé processus de Cox.
La littérature s’entend donc sur la modélisation de l’occurrence de catastrophes comme un processus
de sauts dont les occurrences suivent un processus de Poisson et dont les amplitudes suivent une
distribution appropriée au type de catastrophe.
Comme il existe différents types de catastrophes, le processus de Poisson doit être adapté à la classe
de catastrophes étudiée. La littérature plus récente démontre les modifications pouvant être
apportées au processus utilisé pour tenir compte de différents facteurs qui entrent en jeu lorsqu’on
parle d’inondations. Par exemple, l’article de LIN, CHANG, & POWERS (2009) propose un
processus stochastique de Poisson double pour tenir compte de la probabilité d’augmentation de la
fréquence d’occurrence des catastrophes naturelles dues au réchauffement climatique de la planète.
Tout récemment, HAINAUT (2010) a contribué à ce sujet en publiant un article dans lequel il
propose un processus tenant en compte l’effet saisonnier de certains désastres; comme c’est le cas
pour les inondations, les ouragans ou les tornades. Il modélise donc l’événement déclencheur du
12« CAT-Bond » avec un processus de Poisson dont l’intensité est la somme d’un processus d’Ornstein
Uhlenbeck et d’une fonction périodique. L’amplitude, quant à elle, est définie comme une variable
aléatoire positive indépendante du processus utilisé pour l’intensité.
4.2 - Modèles d’évaluation
La littérature propose différentes approches et différents modèles pour évaluer les « CAT-Bonds ». À
la base de ces approches se trouvent d’importantes hypothèses dont MERTON (1973) fut
l’instigateur. MERTON (1976) nota que lorsque les marchés financiers sont confrontés à un
événement rare, ils sont incomplets. Il proposa une méthode d’évaluation de réclamations
contingentes dans laquelle le risque d’occurrence d’un événement rare serait complètement
diversifiable et pourrait donc être traité comme un risque non-systématique qu’il n’est pas utile
d’évaluer. Plusieurs auteurs, dont DASSIOS & JANG (2003), qui proposent des modèles
d’évaluation dans la littérature, réutilisent cette hypothèse en assumant que le marché de la
réassurance est suffisamment efficient pour diversifier le risque de survenue de la catastrophe.
Cependant, certains auteurs font remarquer que ceci n’est pas applicable dans toutes les situations, et
comme le notent DUAN & YU (2005), le risque de catastrophe ne peut pas être couvert si
l’occurrence d’une telle catastrophe aura des répercussions sur toutes les facettes de l’économie. De
plus, IBRAGIMOV, JAFFEE & WALDEN (2009) stipulent que l’hypothèse d’efficience du marché
de la réassurance ne peut pas être satisfaite dans les marchés financiers puisque les assureurs se
spécialisent normalement dans des régions et des types de couvertures spécifiques, ce qui les laisse
grandement exposés au risque d’occurrence de certaines catastrophes. Ces auteurs notent que pour
que le risque de catastrophe devienne diversifiable dans cette situation, il faudrait une coordination
d’un très grand nombre d’assureurs et de réassureurs. Ils apportent le fait que même si une
catastrophe n’aurait pas de répercussion sur l’économie en général, son risque peut quand même être
non diversifiable si sa distribution de probabilités d’occurrence a une queue gauche épaisse. Ceci
étant dit, la majorité des auteurs développe leur modèle en assumant que l’hypothèse de risque
diversifiable est valide.
Discutons maintenant les différentes approches et modèles utilisés dans la littérature. Une des
approches utilisées est celle de l’absence d’arbitrage. Les auteurs, comme DASSIOS & JANG
(2003), qui utilisent cette approche, assument que le marché des « CAT-Bonds » n’offre pas de
possibilité d’arbitrage et c’est sous cette hypothèse qu’ils évaluent leurs prix selon le processus qu’ils
ont défini pour la catastrophe sous-jacente. JARROW (2010) développe son modèle analytique
13d’évaluation en utilisant cette hypothèse pour assumer qu’il existe une mesure martingale
équivalente qui fait en sorte que les prix des obligations zéro-coupons gouvernementales et les prix
des « CAT-Bonds » sont martingales.
La faiblesse des méthodes basées sur l’absence d’arbitrage est le fait qu’on ne peut pas trouver
d’instruments financiers sur le marché pour répliquer les paiements d’un « CAT-Bonds ». La
conclusion, comme le notent GALEOTTI, GURTLER & WINKELVOS (2012), est donc que le
marché est incomplet lorsqu’on parle de « CAT-Bonds ». Alors, on ne peut pas trouver de mesure
martingale équivalente unique et en dériver un prix unique.
GALEOTTI, GURTLER & WINKELVOS (2012) eux, utilisent l’approche actuarielle en relâchant
l’hypothèse de marché complet. Leur méthode consiste à l’évaluation de la prime exigée lors de
l’émission de « CAT-Bonds » en tenant compte de l’espérance de la perte pour l’émetteur et en
tenant aussi compte des dépenses associées à la réassurance. Ce type de modèle essaie donc
d’expliquer les primes vues lors des dernières émissions de « CAT-Bonds ». Par exemple, WANG
(2004) apporte une explication mathématique aux primes en utilisant un modèle de transformation
des probabilités. Les travaux de LANE & MAHUL (2008) quant à eux, analysent plus de 250
émissions de « CAT-Bonds » ainsi que les facteurs affectant le prix du risque de catastrophe, tel que
le profil de risque de la transaction, pour nous donner un prix moyen du marché, au long terme, pour
le risque de catastrophe, se situant à 2.69 fois l’espérance de pertes.
L’avantage des approches suivantes est qu’elles sont valides même en présence d’un marché
incomplet. Comme le notent PERRAKIS & BOLOOR FOROOSH (2011), une autre approche
utilisée est celle d’assumer un modèle d’équilibre général. Cependant, cette approche demande de
fortes hypothèses comme celle de l’existence d’un investisseur représentatif. L’investisseur
représentatif sera souvent représenté par une fonction d’utilité averse au risque. Le problème avec ce
type d’évaluation est que le prix qui en découlera sera dépendant de la fonction d’utilité utilisée.
PERRAKIS & BOLOOR FOROOSH (2011), apportent à la littérature en tentant de remédier à
l’utilisation d’hypothèses trop fortes d’un modèle d’équilibre général par l’utilisation de la
dominance stochastique pour évaluer les requêtes contingentes. Cette méthode n’a pas besoin
d’utiliser l’hypothèse d’un investisseur représentatif ou une fonction d’utilité. Elle repose plutôt sur
l’hypothèse qu’il existe un groupe d’investisseurs qui ont dans leur portefeuille le « CAT-Bond » à
évaluer, d’autres titres qui lui sont indépendants et, finalement, l’actif sans risque.
144.3 - Casse-tête de la prime de risque
Comme le marché du risque catastrophique n’est pas complet, les obligations catastrophes
comportent une prime de risque dont le niveau est préalablement très difficilement estimable.
BANTWAL & KUNREUTHER (1999) montrent que les primes de risques élevées des obligations
catastrophes, beaucoup plus élevées que les obligations spéculatives équivalentes, sont dues à
plusieurs facteurs qui font en sorte que les investisseurs institutionnels ne touchent pas à ce marché.
En fait, parmi les facteurs autres que la méconnaissance des investisseurs envers ce nouveau type
d’actif, on retrouve l’aversion à l’ambiguité, l’aversion myope au risque ainsi que les coûts fixes liés
à l’éducation des investisseurs. La Figure 2 (CUMMINS (2008)) montre que les primes de risque
exigées par les investisseurs entre 2001 et 2007 pour les « CAT-Bonds » se sont situées entre 2 et 6
fois l’espérance des pertes.
Figure 2 – Prime de risque vs espérance des pertes
Cependant, l’analyse de CUMMINS (2008) note que les écarts entre les obligations catastrophes et
les obligations spéculatives équivalentes semblent suivre une tendance à la baisse, ce qui laisse
présager des primes de risque plus basses dans le futur. FROOT (2008) donne des évidences que la
prime de risque pour le risque de catastrophe peut passer d’un ratio de 1 à 5 sur un contrat en
15l’espace d’un an, s’il y a eu un événement du même type que celui correspondant au contrat. De plus,
le marché a déjà vu un ratio supérieur à 10. Il note que les primes de risque liées à un type de
catastrophe augmentent aussi après l’occurrence de catastrophes d’autres types. Par exemple, la
Figure 3 tirée de FROOT (2008) montre l’augmentation de la prime de risque sur différents « CAT-
Bonds » suite aux attaques terroristes du 11 septembre 2001. La Figure 4 tirée de FROOT (2001)
montre l’augmentation de la prime de risque suite à l’ouragan Andrew en 1992.
Figure 3 – Prix d’un indice de CAT-Bonds avant et après le 11 septembre 2001
16Figure 4 – Prime de risque en fonction de l’année et de la probabilité d’événement
L’explication évidente et élaborée dans la littérature est, qu’après un gros évènement, il y a beaucoup
moins de capital disponible sur le marché du transfert du risque, ce qui emmène des primes plus
élevées. FROOT (2001) montre aussi, que pour un même risque de perte, plus l’occurrence d’un type
de catastrophe est rare et que l’amplitude des dégâts est élevée, plus le ratio de la prime de risque sur
l’espérance des pertes est élevé. La littérature montre donc que le sentiment des investisseurs envers
les catastrophes a une grande influence sur la prime de risque qu’ils exigent. En effet, le niveau de la
prime exigée est grandement affecté par une occurrence récente de catastrophe ainsi que par
l’amplitude d’une possible catastrophe future.
5 - Hypothèses
Dans le cadre du présent travail, nous faisons l’hypothèse déjà grandement utilisée dans la littérature
que l’occurrence des catastrophes suit un processus de Poisson. Le niveau des pertes sera considéré
comme indépendant du processus de Poisson et suivra une variable aléatoire dont la distribution sera
définie selon les données historiques.
17Pour l’évaluation de l’obligation catastrophe, nous utilisons une approche actuarielle. Dans un
premier temps, nous examinons les valeurs avec l’hypothèse d’un marché parfait pour ensuite
relâcher cette hypothèse et examiner les valeurs selon les primes de risque vues historiquement sur le
marché. En effet, même si le marché n’est pas encore complet en ce qui a trait aux « CAT-Bonds »,
nous considérons qu’il le sera dans le futur vu que le marché du risque catastrophique ne cesse de
croître.
6 - Qualité des données
Les données avec lesquelles nous travaillons proviennent du programme d’aide financière lors de
sinistres du gouvernement du Québec. Ces données contiennent l’aide fournie lors des inondations
qui ont défrayées des coûts supérieurs à 300 000$ pour le gouvernement provincial. Il faut noter la
différence entre cette aide financière et la couverture qui serait fournie par une compagnie
d’assurance. En effet, une compagnie d’assurance pourrait offrir une couverture complète aux
particuliers, alors que cette aide ne fournit qu’une couverture des biens essentiels. Plus
d’informations sont disponibles dans le programme général d’aide financière lors de sinistres réels
ou imminents. En bref, les montants que nous avons dans le Tableau 1 pour les sinistres passés,
incluent les indemnités versées pour les dommages aux biens essentiels des particuliers, aux
entreprises non assurées, aux municipalités et aux organismes. Ils incluent également les coûts des
mesures d’urgence municipales et les frais d’hébergement temporaires de citoyens qui doivent
évacuer leur résidence. Une inondation catastrophique n’étant pas un sinistre assurable pour la
majorité des propriétaires québécois, il est présentement impossible d’obtenir des données
historiques précises sur les pertes encourues par les particuliers. Pour qu’une compagnie d’assurance
soit en mesure d’évaluer le risque de pertes par inondations pour des particuliers, il faudrait une
estimation des pertes subies par les particuliers lors de chacune des inondations passées. Le présent
travail modélise donc le risque de pertes dans le cadre du programme d’aide financière administré
par le ministère de la sécurité publique.
18Tableau 1 – Inondations ayant causé plus de 300 000$ de dommages au Québec depuis 1992
Coûts pour le
programme d'aide
Date de financière du Régions administratives
Type d'évènement
l'évènement ministère de la touchées
sécurité publique
du Québec
mars-92 Inondations 919 680 $ 03, 12
juil-93 Inondations 1 743 969 $ 08, 12, 14
avr-94 Inondations 1 802 667 $ 11, 12, 16
janv-96 Inondations 3 647 490 $ 03, 12
juil-96 Pluies abondantes 705 365 $ 05, 12
Inondations et pluies
juil-96 139 117 747 $ 02
abondantes
août-96 Inondations 2 607 359 $ 04, 05, 07
nov-96 Pluies abondantes 9 167 184 $ 04, 16
avr-97 Inondations 3 759 809 $ 03, 11, 16
juil-97 Pluies abondantes 3 759 809 $ 08, 12, 16
Inondations (hiver et
mars-98 19 338 098 $ 04, 05
printemps)
oct-98 Pluies abondantes 1 285 419 $ 04, 12
janv-99 Inondations 369 659 $ 03
juil-99 Pluies abondantes 336 354 $ 03, 04, 05, 12, 17
juin-00 Pluies abondantes 2 056 075 $ 07, 14
août-00 Pluies abondantes 1 235 978 $ 02, 04
avr-02 Inondations 2 390 107 $ 03, 04, 07, 14, 15, 17
juil-02 Pluies abondantes 4 075 742 $ 05, 12
juil-02 Pluies abondantes 583 694 $ 01, 11
avr-03 Inondations 369 052 $ 12, 16, 17
août-03 Inondations 8 274 890 $ 12, 17
déc-03 Inondations 4 258 423 $ 03, 12, 16
mai-04 Inondations 730 957 $ 01. 11
19sept-04 Pluies abondantes 487 615 $ 01, 04, 05
déc-04 Inondations 487 614 $ 01, 05, 11
avr-05 Inondations 5 020 317 $ 03, 05, 11, 12, 14, 15, 16
juin-05 Inondations 1 263 289 $ 04
juil-05 Pluies abondantes 679 205 $ 03, 06
août-05 Pluies abondantes 2 103 543 $ 03, 09
sept-05 Pluies abondantes 3 175 485 $ 03, 12
oct-05 Pluies abondantes 1 327 536 $ 03, 05, 16, 17
déc-05 Inondations 511 377 $ 01
mai-06 Inondations 743 545 $ 04
mai-06 Pluies abondantes 1 188 233 $ 16
oct-06 Pluies abondantes 4 774 098 $ 05, 12, 17
mars-07 Inondations 349 241 $ 12
août-07 Pluies abondantes 28 162 134 $ 11
nov-07 Pluies abondantes 327 312 $ 01, 11
nov-07 Pluies abondantes 1 365 918 $ 11
janv-08 Inondations 1 780 868 $ 02, 12, 16, 17
01, 04, 05, 06, 07,09, 11,
avr-08 Inondations 5 070 874 $
12,13, 14, 15, 16
juil-08 Pluies abondantes 508 185 $ 04, 14
août-08 Pluies abondantes 3 451 634 $ 01, 03, 05, 06, 09, 11
août-08 Pluies abondantes 443 215 $ 04, 05, 08, 16
déc-08 Inondations 420 321 $ 15, 17
avr-09 Inondations 991 136 $ 07, 11, 12, 14, 15
juil-09 Pluies abondantes 503 823 $ 12, 14, 15
Pluies abondantes et vents
juil-09 420 911 $ 12
violents
déc-09 Inondations 401 074 $ 03
oct-10 Pluies abondantes 1 021 551 $ 05, 12, 14, 15
déc-10 Pluies abondantes 38 400 000 $ 01, 09, 11
avr-11 Inondations 93 000 000 $ 16
juin-11 Pluies abondantes 6 445 318 $ 07
20La principale lacune des données dont nous disposons, en plus de ne pas représenter les pertes totales
encourues lors des inondations, est que nous ne disposons pas des occurrences dont les pertes ont été
inférieures à 300 000$. Nous devrons donc poser que notre modélisation ne représente que les
inondations dont les pertes dépassent ce montant. De plus, comme nous ajustons ces montants pour
représenter les pertes encourues si ces mêmes événements se reproduisaient aujourd’hui, il y a risque
d’introduire une tendance à la hausse du nombre d’occurrences d’inondations supérieure à la réalité.
Par exemple, 300 000$ en 1995 représente une plus grosse perte que 300 000$ en 2011. Ainsi, une
occurrence d’inondations ayant causé des dommages semblables du point de vue matériel pourrait
être incluse dans nos données si elle s’est produite dans les en 2011, alors qu’elle pourrait être omise
si elle s’est produite en 1992. En effet, comme un dollar de dommages en 1992 représente plus qu’un
dollar de dommages en 2011, il faut des dégâts beaucoup plus importants en 1992, comparativement
à 2011, pour atteindre le seuil de 300 000$ et inclure la catastrophe dans nos données. Non
seulement cette distorsion des données peut légèrement biaiser notre distribution d’amplitude des
dégâts, mais elle fait en sorte que lorsque nous calibrons notre fonction d’intensité du processus de
Poisson, il y a un risque que le facteur représentant la tendance à la hausse à long terme du nombre
de catastrophes soit plus élevé qu’il ne devrait l’être. Ceci entraînerait une surestimation des coûts
futurs de couverture contre les inondations. Nous pourrions ajuster les données en excluant toute
catastrophe ayant causés des dommages inférieurs à 300 000$ en dollars de 1992, cependant comme
notre échantillon de données est déjà limité, nous prenons pour acquis que l’impact de cette
distorsion est mineure, voire nulle.
Une autre lacune possible des données, sont les divers changements qui ont été apportés à la
politique de l’aide financière. Les principaux changements furent la restriction de construction de
maisons dans des zones trop risquées, l’augmentation de la limite maximale de dédommagement
ainsi que la redéfinition des items couverts par la protection. Nous formulons l’hypothèse que ces
changements ont été apportés de manière à suivre l’augmentation des coûts ainsi que l’évolution des
items contenus dans chaque foyer et donc, que nos données demeurent valides.
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