LOGIQUE 2 Support auxiliaire Davide Guastella Année scolaire 2020-2021

Support auxiliaire

LOGIQUE 2 Davide Guastella
 Année scolaire 2020-2021
 LOGIQUE II - 2020/2021 1

RAPPEL (LOGIQUE 1)
Un énoncé est une phrase pouvant être vraie ou fausse :
• "Vous aurez Logique lundi 30/01 ou mardi 31/01"
• "La vitesse de la lumière est constante"
• "La fonction f (x) = 2: cos(x)" est continue et dérivable sur R

Une proposition est un énoncé atomique/élémentaire (ne contenant pas de sous-proposition) :
 "Vous aurez Logique lundi 30/01"
 "La vitesse de la lumière est constante"
 2137107291 − 1 est un nombre premier.

 LOGIQUE II - 2020/2021 2

VALUATION ET TABLES DE VÉRITÉ
table de vérité de ∧ ∨ ¬ 

valuation

 LOGIQUE II - 2020/2021 3

VALUATION ET TABLES DE VÉRITÉ
table de vérité de ∧ ∨ ¬ 
Une valuation v est
  un modèle d’une formule A si v(A) = 1
  On dit « v satisfait A »
  un contre-modèle d’une formule A si v(A) = 0
  On dit « v falsifie A »

  A est valide ssi pour tout v, v(A) = 1 (pas de contre-modèle)
  A est insatisfiable ssi pour tout v, v(A) = 0 (pas de modèle)
  A est satisfiable ssi il existe v, v(A) = 1 (au moins un modèle)

 LOGIQUE II - 2020/2021 4

VALUATION ET TABLES DE VÉRITÉ
À partir d’une valuation on définit son extension à toutes formules en FORM (ensemble de
formules)
  ( ) = ( )
  (⊥) = 0
  (⊺) = 1
  ¬ = 1 − ( )
  ( ∧ ) = min( , ( ))
  ( ∨ ) = max( , ( ))
  ( ⟶ ) = max(1 − , ( ))

  On dit que v est l’interprétation basée sur la valuation v
  Une fonction d’interprétation nous permet de définir la sémantique d’une formule

 LOGIQUE II - 2020/2021 5

CONSÉQUENCE
On a besoin de préciser de manière rigoureuse ce que signifie tirer une conclusion à partir
d’un ensemble d’hypothèses
  Pour cela, nous utilisons l’opérateur conséquence ⊨

 Définition:
 ⊨ ssi tout modèle de est un modèle de .
Example d’utilisation
  Dans le tableau de vérité, p, ¬ ⊨ ∧ ∨ ¬ 
  Pour toutes hypothèses vraies, la conclusion est aussi vraie

 LOGIQUE II - 2020/2021 6

ÉQUIVALENCE
Deux formules A et B sont équivalentes ssi elles ont les mêmes modèles. Elles sont
également vraies ou fausses dans les mêmes contextes. Autrement dit, A et B ont la
même table de vérité

Notation : ≡ 

Rémarque: ≡ ssi ⊨ et ⊨ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 7

QUELQUES ÉQUIVALENCES
Commutativité : pour toutes formules F et G
 ( ∧ ) ≡ ( ∧ )
 ( ∨ ) ≡ ( ∨ )
Distributivité : pour toutes formules F, G, H
 ( ∧ ( ∨ )) ≡ (( ∧ ) ∨ ( ∧ ))
 ( ∨ ( ∧ )) ≡ (( ∨ ) ∧ ( ∨ ))
Lois de Morgan : pour toutes formules F et G
 ¬( ∧ ) ≡ (¬ ∨ ¬ )
 ¬( ∨ ) ≡ (¬ ∧ ¬ )
Absorption : pour toutes formules F et G
 ( ∧ ( ∨ )) ≡ 
 ( ∨ ( ∧ )) ≡ 
 LOGIQUE II - 2020/2021 8

RAPPEL SUR L’INDUCTION
 LOGIQUE II - 2020/2021 9

INDUCTION
Principe du domino :
Alignez un nombre quelconque de dominos à la
suite; faites tomber le premier et ils tomberont tous

 LOGIQUE II - 2020/2021 10

INDUCTION
 ≡ La chute du k-th domino

Chaque domino est prêt à faire tomber le suivant :
Pour tous 0 ≤ < ∶
 ⇒ + 1

 LOGIQUE II - 2020/2021 11

INDUCTION
 ≡ La chute du k-th domino

Chaque domino est prêt à faire tomber le suivant :
Pour tous 0 ≤ < ∶
 ⇒ + 1
 0 ⇒ 1 ⇒ 2 ⇒ ⋯
 0 ⇒ tous les pièces de domino tombent

 LOGIQUE II - 2020/2021 12

INDUCTION
Example, les nombres naturels:

 ℕ = { 0, 1, 2, 3, ...}

Nous pouvons comparer chaque entier à une pièce du domino

 LOGIQUE II - 2020/2021 13

RÉCURSIVITÉ VS INDUCTION
“when programming recursively, think inductively”

définition inductive:
 Nous prenons certains objets élémentaires de la structure à définir
 Nous définissons des règles pour combiner les éléments afin d’obtenir des nouveaux éléments.

définition récursive:
 définissons une fonction sur une collection d'objets déjà existante.

 LOGIQUE II - 2020/2021 14

RÉCURSIVITÉ VS INDUCTION
Soit la séquence unique tel que = 2 −1 avec 0 = 1

Récursif :
 Pour calculer , il faut d'abord calculer −1 et ensuite calculer = 2 −1. Terminez lorsque vous
 atteignez 0 = 1.

Inductif:
 Commencez par 0 = 1. Maintenant, si vous connaissez an, vous pouvez calculer +1 en sachant
 +1 = 2 .

 LOGIQUE II - 2020/2021 15

THÉORÈME DE RÉCURRENCE
Soit une propriété définie sur . Pour montrer que la propriété est toujours vraie
(sur ), il suffit de montrer que

 (initialisation) la propriété est vraie en 0 ∶ (0) = ;
 (hérédité) pour tout ∈ , si la propriété est vraie en n alors elle est encore vrai en n + 1:

 ∀ ∈ , ⇒ +1

Attention dans les preuves à ne pas supposer que P est vrai pour tout n ∈ N (il n’y
a plus rien à démontrer si on suppose ça).

 LOGIQUE II - 2020/2021 16

DEDUCTION NATURELLE
 LOGIQUE II - 2020/2021 17

LOGIQUE INTUITIONNISTE
La logique intuitionniste est une logique qui diffère de la logique classique par le fait que la
notion de vérité est remplacée par la notion de preuve constructive (wiki)
 une affirmation A signifie que "A est vrai". Dans l'intuitionnisme, une telle formule n'est considérée comme vraie que
 si elle peut être démontrée.

La logique intuitionniste conduit à ne pas inclure certaines formes du raisonnement
mathématique traditionnel, jugés contre-intuitives

 Le tiers exclu, qui consiste à dire qu'étant donnée une proposition P, on a soit P ou alors non P;
 L'existentiel non constructif.
 EXAMPLE quand un mathématicien affirme il existe x tel que P(x), il donne aussi un moyen de
 construire x qui satisfait P(x).

 LOGIQUE II - 2020/2021 18

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
En logique intuitionniste, les connecteurs ne sont pas inter-définissables.

Nous donnons des règles pour chaque connecteur binaire:
 pour chaque connecteur binaire, pour le connecteur unaire qu'est la négation et pour le
 symbole ⊥ représentant le faux ou absurde
 règle(s) d'élimination ( )
 règle(s) d'introduction ( ) pour chaque connecteur

En déduction naturelle, Γ ⊢ se lit « de l'ensemble de propositions on déduit
la proposition . »

 LOGIQUE II - 2020/2021 19

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Soit Γ un ensemble de formules et une formule. Nous voulons raisonner sur ce que
cela signifie d’être dérivable de Γ.

Idée: l'ensemble Γ est un ensemble d'hypothèses qui porte à la conclusion ,
 Nous indiquons cette situation en écrivant Γ ⊢ .

Si Γ = {}, nous écrirons ⊢ au lieu de {} ⊢ .

 LOGIQUE II - 2020/2021 20

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Le symbole ⊢ est nommé séquent
Un séquent dans le langage des propositions formelles est une écriture du type
 1 , 2 , … ⊢ 1 , 2 , . . 

Qui peut être lue comme
 SI 1 est vrai et 2 est vrai... et est vrai ALORS un des est vrai

 c'est-à-dire 1 est vrai OU 2 est vrai... OU est vrai
ou équivalent
 1 ∧ 2 . . .∧ → ( 1 ∨ 2 ) . . . ∨ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 21

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Prenez le raisonnement, par exemple :
 S'il neige (A), la température est de 0°C (B).

La forme de ce raisonnement est la suivante :

 Γ⊢ → Γ⊢ 
 (E →)
 Γ⊢ 

Le raisonnement est correct car la conclusion B est une conséquence logique de { → , }:
 → , ⊨ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 22

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Prenez le raisonnement, par exemple :
 S'il neige (A), la température est de 0°C (B).

La forme de ce raisonnement est la suivante :
 Nom de la règle
 Hypothèse(s) Γ⊢ → Γ⊢ 
 (E →)
 Γ⊢ 
 conclusion

Le raisonnement est correct car la conclusion B est une conséquence logique de { → , }:
 → , ⊨ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 23

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Pour le démontrer, nous pouvons construire la table de vérité des hypothèses et de la
conclusion et vérifier que la valeur de la conclusion est VRAI à chaque ligne où toutes
les hypothèses sont vraies

 A B A→B A B

 T T T T T

 T F F T F

 F T T F T

 F F T F F

 LOGIQUE II - 2020/2021 24

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Attention: dans la regle suivante :

 Γ⊢ → Γ⊢ 
 (E →)
 Γ⊢ 

A et B sont de méta-variables!

 LOGIQUE II - 2020/2021 25

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Chaque règle d’inferènce admet deux types de lecture:
 Bottom-up (des hypothèses à a conclusion): à partir des hypothèses 1 , … , je peux conclure 

 Top-down (de la conclusion aux hypothèses): pour conclure F je peux "reduire" pour démontrer
 1 , … , 

 Les preuves sont construite principalement top-down, réduisant la recherche à des sous-conclusions plus
 simples.
  Plus faciles à construire…

 LOGIQUE II - 2020/2021 26

RÈGLES EN DÉDUCTION NATURELLE
Un autre exemple:
 {il pleut, s'il pleut alors le sol est mouillé,
 si le sol est mouillé alors le sol est glissant} ⊨ le sol est glissant

 il pleut il pleut→sol mouillé
 sol mouillé→sol glissant
 sol mouillé
 le sol est glissant

 LOGIQUE II - 2020/2021 27

DÉDUCTION NATURELLE
La déduction naturelle est un processus mécanique qui permet de construire des
démonstrations logiques en utilisant des règles de base.

Exemple: , → , → ⊢ ∧ 

 ( ) ( ) ( )
Γ⊢ → Γ ⊢ ( ) Γ⊢ → Γ⊢ 
 → →
 Γ⊢ Γ⊢ 
 ( ^)
 Γ⊢ ∧ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 28

DÉDUCTION NATURELLE
 La conclusion (en bas) correspond à la racine de l’arbre de dérivation
 Les axiomes (en haut) correspondent aux feuilles de l’arbre de dérivation
 ( ) ( ) ( ) ( )

Γ ⊢ → ( ) Γ ⊢ ( ) Γ ⊢ → ( ) Γ ⊢ ( ) → →
 → →
 Γ⊢ Γ⊢ 
 ( ^)
 Γ⊢ ∧ 
 ( ^)

 racine
 feuilles
 LOGIQUE II - 2020/2021 29

DÉDUCTION NATURELLE
Nous avons déjà vu quoi c’est une « démonstration »
 Rappel: une preuve (ou démonstration) est une suite de propositions (hypothèses) « liées »
 pour arriver à une conclusion; chaque transition doit être justifiée par une « règle d’inférence
 »

 Une proposition est logiquement démontrable si on peut construire une preuve (donc une
 série d’étapes) qui portent vers la conclusion

 On peut également construire toute une série d’étapes, et ainsi produire une preuve
  C’est ce que nous ferons avec la déduction naturelle!

 LOGIQUE II - 2020/2021 30

PREUVES EN DÉDUCTION NATURELLE
Un théorème est cohérente si ⊥ n'est pas prouvable (à partir d'aucune hypothèse)
Un théorème est complète si chaque théorème ou sa négation est prouvable en
utilisant les règles d'inférence de la logique.

Exemple: conjonction

 Γ ⊢ Γ ⊢ ( ^)
 Γ ⊢ ∧ 
 ( ^1 )
 ⊢ 
 LOGIQUE II - 2020/2021 31

EXERCICE - DÉDUCTION NATURELLE
Démontrer ∧ ⊢ ∧ 

 ( ) ( )
 Γ⊢ ∧ ^2 Γ⊢ ∧ ^1
 Γ⊢ Γ⊢ ( ^)
 Γ⊢ ∧ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 32

EXERCICE - DÉDUCTION NATURELLE
Démontrer ∧ ⊢ ∧ 

 ( ) ( )
 Γ⊢ ∧ ^2 Γ⊢ ∧ ^1
 Γ⊢ Γ⊢ ( ^)
 Γ⊢ ∧ 

Question: comment je démontre que A ∧ ⊨ ∧ ?

 LOGIQUE II - 2020/2021 33

QUELQUE RÈGLE
D’où on commence quand on construit une preuve avec la deduction naturelle?
 Axiome (Si A appartient a gamma, alors de gamma je peux déduire A)
 Un axiome ne représente pas forcement un théorème, normalement on l’utilise pour assumer
 quelque chose

 A∈Γ
 
 Γ⊢ 

Parfois, le nom de la règle est omis.
 Pour simplicité, le nom de la règle peut aider à la reconnaitre lors d’une démonstration

 LOGIQUE II - 2020/2021 34

QUELQUE RÈGLE
D’où on commence quand on construit une preuve avec la deduction naturelle?
 Axiome (Si A appartient a gamma, alors de gamma je peux déduire A)
 Un axiome ne représente pas forcement un théorème, normalement on l’utilise pour assumer
 quelque chose
 Dans ce cas nous lisons la règle « par axiome, je peux déduire A de gamma »

 Γ⊢ 

Parfois, le nom de la règle est omis.
 Pour simplicité, le nom de la règle peut aider à la reconnaitre lors d’une démonstration

 LOGIQUE II - 2020/2021 35

QUELQUE RÈGLE
Voyons maintenant des autres règles (seront montrés en détail ensuite)

 Γ ⊢⊥ Γ, A ⊢⊥ Γ, A ⊢ 
 ⊥ ¬ ⟶
 Γ⊢ Γ ⊢ ¬ Γ⊢ ⟶ 

Comment on choisit les règles lors d’une démonstration?

 LOGIQUE II - 2020/2021 37

QUELQUE RÈGLE
Les arbres de déduction sont indiqués par la composition récursive de règles
d'inférence.
Il existe deux types d'étapes d'inférence :
1. Règles d'introduction du connectif : elles nous indiquent toutes les façons de
 conclure directement une formule qui fait référence à un certain connectif.
 comme je le conclus ... ?
2. Règles d'élimination d'un connectif : elles nous indiquent toutes les façons d'utiliser
 directement une hypothèse en fonction d'un certain connectif
 qu'est-ce que je retire de... ?

 LOGIQUE II - 2020/2021 38

QUELQUE RÈGLE
Γ⊢ → Γ⊢ Γ, A ⊢⊥
 → ¬
 Γ⊢ Γ ⊢ ¬ 

 Γ ⊢⊥ Γ, A ⊢ 
 ⊥ ⟶
 Γ⊢ Γ⊢ ⟶ 

 Règles d’élimination Règles d’introduction

 LOGIQUE II - 2020/2021 40

DÉDUCTION NATURELLE: →
Règle d’élimination (connus comme Modus Ponens)

 Γ⊢ → Γ⊢ 
 →
 Γ⊢ 

Lecture bottom-up : si et → , alors nécessairement .
Lecture top-down : pour démontrer , je dois trouver un qui est valide et tel que
 → 

 LOGIQUE II - 2020/2021 41

DÉDUCTION NATURELLE: →
Règle d’introduction

 Γ, A ⊢ 
 →
 Γ⊢ → 

Lecture bottom-up : si en supposant je peux déduire , alors nécessairement →
 .
Lecture top-down : pour démontrer → , je dois trouver un qui est valide et tel
que je peux déduire à partir de Γ ∪ A

 LOGIQUE II - 2020/2021 42

PREUVES EN DÉDUCTION NATURELLE
Comment éviter les erreurs ?

 Après l'application top-down d'une règle d'inférence, assurez-vous que la conclusion est
 toujours démontrable à partir des prémisses.
  Exemple : pour démontrer ∧ ⊢ vous partez de et vous le réduisez à ∧ . Vous avez ∧ ⊭ ∧ 
 (même si ∧ ⊨ )

 Vérifiez que vous ne vous êtes pas réduit à démontrer quelque chose que vous démontrez
 déjà avec les mêmes hypothèses (raisonnement circulaire).
  Exemple : pour démontrer , vous réduites à démontrer ∧ pour en déduire enfin à la fois et .

 LOGIQUE II - 2020/2021 43

EXERCICE
Démontrez
 ∧ ⊢ ∧ 
en utilisant seulement les règles suivantes:

 Γ⊢ Γ⊢ Γ⊢ ∧ Γ⊢ ∧ 
 ( ^) ^1 ^2
 Γ⊢ ∧ Γ⊢ Γ⊢ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 44

DÉDUCTION NATURELLE: EXERCICE
À partir de Γ = → , → dériver Γ ⊢ → 

 LOGIQUE II - 2020/2021 45

DÉDUCTION NATURELLE: EXERCICE
À partir de Γ = → , → dériver Γ ⊢ → 

 Γ, p ⊢ → Γ, p ⊢ 
 →
Γ, p ⊢ → Γ, p ⊢ 
 →
 Γ, p ⊢ 
 Γ⊢ → 

 LOGIQUE II - 2020/2021 46

DÉDUCTION NATURELLE: EXERCICE (CT 2019)
 À partir de Γ = → , → dériver Γ ⊢ → 

1. Pour dériver → je suppose un qui me Γ, p ⊢ → Γ, p ⊢ 
 Γ, p ⊢ → →
 permet de dériver ( →) Γ, p ⊢ 
 →
 Γ, p ⊢ 
2. Pour dériver , je peux supposer et → Γ⊢ → 
 . → est un axiome
3. Pour dériver , on applique la règle
 d’élimination et on utilise l’hypothèse → 

 LOGIQUE II - 2020/2021 47

DÉDUCTION NATURELLE: MODÉLISATION
À partir du raisonnement suivante:

quand je vais au boulot, je sors de chez moi à 7h30. Si je sors à 7h30, je prends le bus
pour me rendre au travail. Quand je prends le bus, j'arrive à 8h15 au travail.

Trouver, grâce à l’aide de la déduction naturelle, une manière de démontrer que si je
prends la carte des transport, quand je vais au boulot alors je sors à 7h30 et je prends
le bus

 LOGIQUE II - 2020/2021 48

DÉDUCTION NATURELLE - POINT SUR LE
CONCEPTS
Une règle d'inférence est une règle fixée au départ, permettant de déduire directement une
proposition à partir d'une ou de plusieurs propositions.

Une règle dérivée est une “macro” obtenue par un assemblage fini des règles d’inférence

Une preuve est une suite de propositions partant de propositions admises qu'on appelle des
prémisses pour arriver à une conclusion
 On parlera de « preuve » pour désigner la construction permettant de dériver logiquement une conclusion à
 partir d'une ou de plusieurs prémisses.

La racine de l'arbre est la formule que nous voulons prouver
les feuilles ne sont constituées que de formules atomiques. L'arbre est connu comme un arbre
de réduction.
 LOGIQUE II - 2020/2021 49

DÉCHARGEMENT DES HYPOTHÈSES
Quand on a "gagné de nouvelles hypothèses" nous avons fait une hypothèse
temporaire pour en observer les conséquences, sans l'assumer globalement

Exemple : J'ai deux suspects possibles pour un meurtre. Jacques et Anne
 Si Jack était le meurtrier, je trouverais ses empreintes digitales sur la scène de crime, etc. etc. De même
 pour Anne
 Nous voulons analyser les deux sous-cas indépendamment (pour Jacques et Anne). Ils ne devraient pas
 pouvoir se référer aux hypothèses locales de l'autre (hypothèse locale)
 Décharger une hypothèse consiste à clouter le champ d'application (l'ensemble des lignes dans
 lesquelles l'hypothèse peut être référencée). C'est juste une manière de déclarer qu'une hypothèse
 n'est plus opérationnelle désormais

 LOGIQUE II - 2020/2021 50

DÉDUCTION NATURELLE – TECHNIQUES DE
PREUVE
Contraposée:
 Γ⊢ → 
 Γ ⊢ ¬ → ¬ 

Absurde (pour prouver Γ ⊢ il suffit de trouver une proposition et de prouver Γ ⊢
¬ et Γ ⊢ ):
 Γ ⊢ ¬ Γ ⊢ 
 Γ⊢ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 51

DÉDUCTION NATURELLE: NÉGATION
règle de déduction pour éliminer la double négation.

 ¬¬ ⊢ 

règle de déduction pour introduire la double négation

 ⊢ ¬¬ 

Justification: pour les deux règles on a ¬¬ ⊨ et ¬¬ ⊨ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 52

DÉDUCTION NATURELLE: NÉGATION
Règle d’introduction:
 Γ, A ⊢⊥
 ¬
 Γ ⊢ ¬ 

La règle d'inférence ¬ c’est la formalisation du raisonnement par l'absurde : si, en partant
de l'hypothèse , j'aboutis à une contradiction (⊥), alors je peux en déduire ¬ , et le simple
fait de pouvoir déduire ⊥ de suffit à prouver ¬ indépendamment de l'hypothèse de .

 LOGIQUE II - 2020/2021 53

DÉDUCTION NATURELLE: NÉGATION
Règle d’élimination:
 Γ ⊢ ¬A Γ ⊢ A
 ¬
 Γ ⊢⊥

L’élimination de la négation demande d’introduire un nouveau symbole, ⊥, qui symbolise le
faux (ou, si l’on préfère, n’importe quelle antilogie)
 Une antilogie consiste en une contradiction ou incompatibilité entre deux idées ou deux opinions dans
 une même phrase ou un même texte

 LOGIQUE II - 2020/2021 54

DÉDUCTION NATURELLE: ⊥
Règle d’élimination

 Γ ⊢⊥
 ⊥
 Γ⊢ 

Lecture top-down : du faux suit tout (je peux conclure tout).
Lecture bottom-up : pour prouver tout, je peux réduire à l'absurde.

Exemple: diapos du cours…

 LOGIQUE II - 2020/2021 56

DÉDUCTION NATURELLE: ⊥
Règle d’élimination

 Γ ⊢⊥
 ⊥
 Γ⊢ 
Celle-ci nous permet de faire appel à la règle de dérivation par l’absurde

 LOGIQUE II - 2020/2021 57

DÉDUCTION NATURELLE: ⊥
Règle d’élimination

 Γ ⊢⊥
 ⊥
 Γ⊢ 
Celle-ci nous permet de faire appel à la règle de dérivation par l’absurde

 LOGIQUE II - 2020/2021 58

DÉDUCTION NATURELLE: ⊥ (EXEMPLE)
 Exemple: ¬ → ¬ ⊢ → 

Γ = {¬ → ¬ }

 LOGIQUE II - 2020/2021 59

DÉDUCTION NATURELLE: ⊥ (EXEMPLE)
 Exemple: ¬ → ¬ ⊢ → 

Γ = {¬ → ¬ }

Γ, p, ¬q ⊢ ¬ → ¬ Γ, p, ¬q ⊢ ¬ 
 ( →) ( )
 Γ, p, ¬q ⊢ Γ, p, ¬q ⊢ ¬ 
 ⊥
 Γ, p, ¬q ⊢⊥
 ⊥
 Γ, p ⊢ 
 →
 Γ⊢ → 

 LOGIQUE II - 2020/2021 60

DÉDUCTION NATURELLE: ⊥ (EXEMPLE)
 impossible de dériver cette proposition sans faire appel à la règle de réduction à
 l'absurde. En supposant ¬ , on obtient donc ⊥ au moyen de la prémisse .
 On applique la règle de réduction à l'absurde
  lorsqu'on ne parvient pas à prouver « directement » une proposition, on peut toujours supposer sa
 négation et chercher à obtenir une contradiction (au moyen des autres prémisses de l'énoncé ou des
 prémisses qu'on aura supposées en ayant une idée de la manière dont on les supprimera). Si on y
 parvient, on obtient la proposition recherchée en appliquant.

Γ, p, ¬q ⊢ ¬ → ¬ Γ, p, ¬q ⊢ ¬ 
 ( →) ( )
 Γ, p, ¬q ⊢ Γ, p, ¬q ⊢ ¬ 
 ⊥
 Γ, p, ¬q ⊢⊥
 ⊥
 Γ, p ⊢ 
 →
 Γ⊢ → 
 LOGIQUE II - 2020/2021 61

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS
 LOGIQUE II - 2020/2021 62

OBJECTIF
 On va introduire le langage du première ordre
 Objectifs
  Formaliser des phrases du langage naturel dans lesquelles apparaissent des quantificateurs, c'est-à-
 dire des expressions comme "pour chaque", "tous", "certains", etc.

  Par exemple, la phrase « le carré d’un nombre réel différent de zéro est toujours positif » peut être
 formalisée dans le premier ordre comme ceci :

 ∀ ∈ ℝ ≠ 0 → 2 > 0

 LOGIQUE II - 2020/2021 63

LANGAGE DU PREMIÈRE ORDRE
Un langage de prédicats du premier ordre est un ensemble qui contient les éléments suivants :
- une quantité infinie (également non-numéraire) de variables, généralement indiquée par
 1 , … , ou, aussi, avec , , , …;
- un nombre arbitraire (voire infini) de constantes , , , … ;
- un nombre arbitraire (également infini) de fonctions , , … chacune avec sa multiplicité (ou
ariété) ;
- un nombre arbitraire (également infini) de prédicats , , … chacun avec sa multiplicité (ou
arieté) ;
- les connecteurs ∧,∨, →, ¬, ⊥,⊺
- les deux quantificateurs ∃, ∀
- les parenthèses.

 LOGIQUE II - 2020/2021 64

QUANTIFICATEURS
Les quantificateurs ont la priorité sur les autres connecteurs

 ∀ ∨ ∃ 

Signifie

 ∀ ∨ ∃ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 65

LANGAGE DU PREMIÈRE ORDRE
Terme- Les termes désignent des objets. Un terme est défini récursivement:
 une variable est un terme
 un symbole de constante est un terme
 si est un symbole de fonction d'arité et si 1 , 2 … , sont des termes, alors 1 , 2 … , est un
 terme

Un terme qui ne contient pas de variables est dit clos

Exemples:
 Socrate, x, y, Carré(x), Plus(x,y), Plus(x,Carré(y))

 LOGIQUE II - 2020/2021 66

LANGAGE DU PREMIÈRE ORDRE
Atome- Si est un symbole de prédicat d'arité et que 1 , 2 … , sont des termes,
alors 1 , 2 … , est un atome, ou formule atomique

 LOGIQUE II - 2020/2021 67

LANGAGE DU PREMIÈRE ORDRE
Formule- Une formule est définie récursivement par :
 toute formule atomique est une formule.
 si et sont des formules, alors ( → ), ↔ , ( ∧ ) et ( ∨ ) sont des formules;
 si est une formule, alors (¬ ) est une formule.
 si est une formule et si est une variable quelconque alors ∀ est une formule, on dit que est
 la porté du quantificateur ∀ 
 si est une formule et si est une variable quelconque alors ∃ est une formule, on dit que est
 la porté du quantificateur ∃ 

Exemples:
 ∀ ( , ( , ))
 ∀ ( ( ) → ( ))

 LOGIQUE II - 2020/2021 68

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Les variables sont utilisées dans la pratique des mathématiques avec deux fonctions
différentes. Par exemple, dans l'expression

 = න 
 0

on peut remplacer x par une valeur particulière, par exemple 1; on obtient le
nombre (1).
On ne peut PAS substituer un nombre à la variable 
 si nous substituons 1 au lieu de , nous obtenons 1 1 qui n’a pas de sens.

 LOGIQUE II - 2020/2021 69

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Les variables sont utilisées dans la pratique des mathématiques avec deux fonctions
différentes. Par exemple, dans l'expression

 = න 
 0

 La variable est libre
 La variable est liée

 LOGIQUE II - 2020/2021 70

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Les variables sont utilisées dans la pratique des mathématiques avec deux fonctions
différentes. Par exemple, dans l'expression

 ∀ , ∧ ∃ , 

 est une variable libre
 , sont variables liées

 LOGIQUE II - 2020/2021 71

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Dans une formule, il est possible de changer le nom des variables liées (avec quelques
précautions) sans changer le significat globale de la formule
Bonne pratique: ne jamais utiliser le même nom pour deux variables différentes.

Exemple, on peut réécrire
 ∨ ∃ ∨ ∀ 
De cette manière
 ∨ ∃ ∨ ∀ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 72

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Une formule dans laquelle aucune variable libre n'apparaît (c'est-à-dire que
toutes les variables sont liées) est dite close.

Inversement, une formule contenant au moins une variable libre est dite
ouverte.

 LOGIQUE II - 2020/2021 73

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Variables libres
Variables liées

 ∀ → ∀ ∃ ∧ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 74

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Variables libres
Variables liées

 ∀ → ∀ ∃ ∧ 

Le champ d’action è associé à un spécifique quantificateur

 LOGIQUE II - 2020/2021 75

VARIABLES LIBRES ET VARIABLES LIÉES
Correspondance avec les langages de programmation
 for (x in Γ1 )
 {
 ...
 for (y in Γ2 )
∀ → ∀ ∃ ∧ 
 {
 ...

 }
 }

 LOGIQUE II - 2020/2021 76

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
Rappel: une fonction d’interprétation nous permet de définir la sémantique d’une
formule

Une interprétation d'une formule est basée sur un ensemble de définition , non
vide, appelé domaine
 à chaque symbole de constante de est associé un élément de 
 à chaque symbole de variable de est associé la variable elle-même
 à chaque symbole de fonction de est associée une fonction de dans 
 à chaque symbole de prédicat de est associé une fonction de dans {0,1}
 à chaque connecteur d'arité est associée une fonction de 0,1 dans {0,1}

 LOGIQUE II - 2020/2021 77

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
Une interprétation d'une formule est basée sur un ensemble de définition , non
vide, appelé domaine
 à chaque symbole de constante de est associé un élément de 
 à chaque symbole de variable de est associé la variable elle-même
 à chaque symbole de fonction de est associée une fonction de dans 
 à chaque symbole de prédicat de est associé une fonction de dans {0,1}
 à chaque connecteur d'arité est associée une fonction de 0,1 dans {0,1}

 a ¬a ∧ 1 0 ∨ 1 0 → 1 0
 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0
 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

 LOGIQUE II - 2020/2021 78

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
 si = ∀ ( , 1 , . . . , ) ( formule dépendant de et des variables libres 1 , . . . , ), pour tout
 ( 1 , . . . , ) de , 1 , … , vaut 1 si pour tout ∈ telle que , 1 , … , = 1, 0
 sinon

 si = ∃ ( , 1 , . . . , ) ( formule dépendant de x et des variables libres 1 , . . . , ), pour tout
 ( 1 , . . . , ) de , 1 , … , vaut 1 s'il existe ∈ telle que , 1 , … , = 1, 0 sinon

 LOGIQUE II - 2020/2021 79

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
Rappel: une fonction d’interprétation nous permet de définir la sémantique d’une
formule
Les prédicats suivants:
  P1 : ∀ ∃ ( , )
  P2 : ∃ ∀ ( , )
  P3 : ∀ ( , ( ))

Sont vrais ou faux?

Dans le cas de la logique des prédicats, nous avons deux fonctions d'interprétation
différentes (pour termes et fonctions)

 LOGIQUE II - 2020/2021 80

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
∃ ( ) ∨ ∃ ( ) → ∃ ( ( ) ∧ ( )) est-ce vrai ou faux ?
Où ? dans le domaine = {1, 2}. ( ) = est pair Extension de : {2}
Comment sont interprétés et ? ( ) = est supérieur ou égal à 1 Extension de : {1, 2}

 ∃ ( ) est vrai si ∈ {1, 2} existe tel que ∈ {2}
 ∃ ( ) est vrai si ∈ {1, 2} existe tel que ∈ {1, 2}
 ∃ ( ( ) ∧ ( )) est vrai si ∈ {1, 2} existe tel que ∈ {2} e ∈ {1, 2}

 Considérons maintenant le domaine = {1, 2}
  ( ) = est pair ; extension : {2}
  ( ) = est impair ; extension : {1}
  ∃ ( ) est vrai si ∈ {1, 2} tel que ∈ {2} existe.
  ∃ ( ) est vrai si ∈ {1, 2} existe tel que d ∈ {1}
  ∃ ( ( ) ∧ ( )) est vrai si ∈ {1, 2} existe tel que ∈ {2} e ∈ {1}

 LOGIQUE II - 2020/2021 81

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
Soit une formule et une interprétation de . L'interprétation des termes de est
défini comme suit:
 à chaque symbole de constante, on associe sa valeur selon 
 à chaque variable, on associe la variable elle-même
 à chaque terme 1 … , , on associe le terme ′ 1′ … , ′ où 1′ … , ′ sont les interprétations des
 1 … , et ′ est l'interprétation de .

 LOGIQUE II - 2020/2021 82

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
Une interprétation d'une formule est caractérisée par la donnée d'un ensemble de
définition non vide, appelé le domaine de l'interprétation et d'une fonction
d'interprétation qui associe :
 à chaque symbole de constante de , un élément de 
 à chaque symbole de fonction d'arité de , une assignation à arguments ( ): → 
 à chaque symbole de prédicat d'arité de , une assignation d'une fonction à arguments
 ( ): → 

 LOGIQUE II - 2020/2021 83

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
 D ensemble des êtres humains.
  P(x, y) signifie que x est le père de y
  G(x, y) signifie que x est un grand-père de y

 = ∀ ∀ ∀ , ∧ , → , 

 Si = { , , } alors
  vraie pour les couples ( , ), ( , ) et ( , ),
  fausse pour les autres.

 LOGIQUE II - 2020/2021 84

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
Procédure d’interprétation d’une formule: soit v une valuation , l’interprétation d’une
formule non close est obtenue en
1. substituant aux variables libres leurs valeurs dans D
2. calculant inductivement la valeur des termes (en commençant par les termes inclus)
3. calculant l’interprétation (la valeur de vérité) des prédicats
4. calculant la valeur de vérité de la formule

 Comment calculer la valeur de vérité d’une formule?

 LOGIQUE II - 2020/2021 85

CAS DE LA LOGIQUE DES PRÉDICATS –
INTERPRÉTATION
La valeur de vérité d’une formule est calculée à partir de celles des atomes la
constituant :
 la valeur de vérité d’un atome est l’interprétation du prédicat
 la valeur de vérité d’une formule non atomique, construite à partir d’atomes valués, est calculée au
 moyen des tables de vérité des connecteurs du calcul propositionnel
 la valeur de vérité des formules contenant des variables quantifiées est calculée ainsi
  ∃ est faux s’il existe une valuation ’ qui coïncide avec sauf en et qui assigne ∈ à , telle que l’interprétation de
 [ := ] soit vraie. Sinon, ∃ est vraie
  ∀ est faux si pour toute valuation ’ qui coïncide avec sauf en et qui assigne ∈ à , l’interprétation de [ := ] est
 vraie. Sinon, ∀ a pour valeur vraie

 LOGIQUE II - 2020/2021 86

SUBSTITUTION
Le sens du quantificateur universel ∀ . consiste à déduire ( ) pour tout terme
 .
Nous avons besoin d’une fonction de substitution d’un terme à la place d’une
variable liée .
Attention: il faut respecter la sémantique de l’expression

 LOGIQUE II - 2020/2021 87

SUBSTITUTION
Soit x une variable propositionnelle et p une formule propositionnelle. La fonction de
substitution de par , notée Τ : → , est définie par récurrence comme suit
(l'application de cette fonction à un argument est notée [ = ]) :
 = 
1. Τ
 =ቊ
 ≠ 
2. ¬ Τ = ¬ Τ 
3. 1 ∧ 2 / = 1 / ∧ 2 / 
4. 1 ∨ 2 / = 1 / ∨ 2 / 

 LOGIQUE II - 2020/2021 88

SUBSTITUTION - EXEMPLE
Considérons la formule

 = ∨ ¬ 

Alors

 ∧ ¬ ∧ / = ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ 

À la formule ∧ ¬ ∧ on substitue avec = ∨ ¬ 

 LOGIQUE II - 2020/2021 89

SUBSTITUTION - EXEMPLE
Considérons la formule

 = ∨ ¬ 

Alors

 ∧ ¬ ∧ / = ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ 

 dans la précèdent formule, avant
 l’application de la substitution…

 LOGIQUE II - 2020/2021 90

SUBSTITUTION - EXEMPLE
On peut généraliser cette définition à une substitution simultanée.
Par exemple:

 1 = 1 ∧ ¬ 2
 2 = 1 ∨ 2 ∧ 3

Alors on a que
 1 ∧ 2 1 / 1 , 2 / 2 = 1 ∧ ¬ 2 ∧ 1 ∨ 2 ∧ 3

 LOGIQUE II - 2020/2021 91

SUBSTITUTION – PLUS LOIN…
A quoi ça sert? Considérons le langage Prolog…
Le langage Prolog est utilisé en intelligence artificielle et dans le traitement
linguistique par ordinateur
un programme Prolog P est l'ensemble des atomes logiques qui sont des
conséquences logiques de P

 LOGIQUE II - 2020/2021 92

SUBSTITUTION – PLUS LOIN…
Considérons par exemple le programme Prolog suivant:
 parent(paul,jean).
 parent(jean,anne).
 parent(anne,marie).
 homme(paul).
 homme(jean).
 pere(X,Y) :- parent(X,Y), homme(X).
 grand_pere(X,Y) :- pere(X,Z), parent(Z,Y).

 LOGIQUE II - 2020/2021 93

SUBSTITUTION – PLUS LOIN…
Considérons par exemple le programme Prolog suivant:
 parent(paul,jean).
 parent(jean,anne).
 parent(anne,marie).
 homme(paul).
 homme(jean).
 pere(X,Y) :- parent(X,Y), homme(X).
 grand_pere(X,Y) :- pere(X,Z), parent(Z,Y).

 L'ensemble des relations vraies dans P est E_0 :
 E_0 = { parent(paul,jean), parent(jean,anne), parent(anne,marie), homme(paul), homme(jean) }

 LOGIQUE II - 2020/2021 94

SUBSTITUTION – PLUS LOIN…
Le même principe s’applique à langages comme Jason, un langage utilisé pour la
définition de Systèmes Multi-Agents (MAS)

Les MAS font l’objet de recherches en intelligence artificielle distribuée, forment un
type de modélisation de sociétés, et ont à ce titre des champs d'application larges,
allant jusqu'aux sciences humaines.

 LOGIQUE II - 2020/2021 95