Les régularités en mathématiques - Durée suggérée : 3 semaines
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Les régularités en
mathématiques
Durée suggérée : 3 semaines
85LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Aperçu du chapitre
Orientation et Les élèves doivent posséder une solide base à analyser et à comprendre
les régularités pour réussir leur apprentissage progressif des notions
contexte d’algèbre de niveau intermédiaire et secondaire. L’utilisation de
tableaux, comme les organisateurs graphiques, permet aux élèves
de voir la relation entre les valeurs d’entrée et de sortie. Ils doivent
dégager les tendances que présentent les colonnes d’une table de
valeurs ainsi que la relation entre les lignes. Cette relation est décrite
au moyen d’expressions algébriques. L’objectif est de générer une
table de valeurs à partir d’une expression algébrique et de déduire
l’expression caractérisant une table de valeurs donnée. En partant de
leur compréhension de la représentation des régularités sous forme
concrète, du prolongement des régularités, de la recherche des valeurs
manquantes et de la construction d’expressions algébriques, les élèves
sont encouragés à utiliser leur connaissance des régularités pour
résoudre des problèmes.
En 6e année, l’accent est mis sur le maintien de l’égalité dans
les équations algébriques. La résolution de ces équations est au
programme de la 7e année. Les élèves utiliseront des modèles concrets,
principalement une balance à plateaux, pour démontrer la préservation
de l’égalité, en mettant l’accent sur l’équilibre des deux membres de
l’équation. Cette opération s’effectue en modifiant chaque membre de
l’équation de la même manière.
Pourquoi est-ce Les régularités constituent un moyen efficace de démontrer la relation
entre les variables. Fournir aux élèves des occasions d’analyser, de
important ? modéliser et de prolonger des régularités les aidera à se préparer à
l’acquisition des notions d’algèbre des années suivantes. Le concept
de modélisation d’équations équivalentes au moyen d’une balance est
également important. Les compétences acquises en 6e année contribuent
au développement d’une meilleure compréhension des mathématiques
et se révéleront toujours utiles dans les situations de la vie courante.
86 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Processus [C] Communication [CE] Calcul mental et estimation
mathématiques [L] Liens [R] Raisonnement
[RP] Résolution de problèmes
[T] Technologie [V] Visualisation
Résultats DOMAINE RÉSULTATS PROCESSUS
d’apprentissage D’APPRENTISSAGE MATHÉMATIQUES
6RR1 Démontrer une
compréhension des
Les régularités
relations qui existent
et les relations [C, L, R, RP]
dans des tables de
(les régularités)
valeurs pour résoudre
des problèmes.
6RR3 Représenter
Les régularités des généralisations
et les relations provenant de relations
[C, L, R, RP, V]
(les variables et numériques à l’aide
les équations) d’équations ayant des
lettres pour variables.
6RR4 Démontrer
Les régularités et expliquer la
et les relations signification de
[C, L, R, RP, V]
(les variables et maintien de l’égalité,
les équations) de façon concrète et
imagée.
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 87LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : Donner aux élèves un tableau de valeurs et les inviter à observer
l’évolution de chaque variable et à la modéliser
6RR1 Démontrer une sous forme imagée (en dessinant une image)
compréhension des relations qui ou concrète (au moyen de matériel de
existent dans des tables de valeurs manipulation). Les régularités peuvent être
pour résoudre des problèmes. modélisées en utilisant n’importe quel matériel
[C, L, R, RP] de manipulation. P. ex., les élèves pourraient
représenter le tableau des valeurs ci-contre au moyen de cure-dents.
Les élèves doivent d’abord saisir que la suite de carrés commence à 1 et
progresse par pas de 1. Puis, ils détermineront que le nombre de cure-
dents commence à 4 et progresse par sauts de 3. Cela signifie que chaque
Indicateurs de rendement : nouveau carré du modèle doit être construit en utilisant seulement
3 cure-dents de plus. À partir de la relation établie, les élèves doivent
6RR1.1 Créer une représentation construire chaque nouveau carré à partir d’un des côtés d’un carré déjà
concrète ou imagée de la relation construit.
représentée par une table de
valeurs.
Il importe que les élèves soient capables de repérer les erreurs dans un
6RR1.2 Identifier des erreurs
tableau de valeurs donné afin de ne pas prolonger la suite de manière
dans une table de valeurs donnée.
incorrecte. Ils doivent être en mesure de justifier leur réponse.
P. ex., Samuel a un parcours de livraison de journaux hebdomadaires. Il
est payé 30 $ par semaine. Le tableau suivant montre ses gains sur une
période de 5 semaines. Repère l’erreur dans le tableau.
88 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Performance Compas Mathématique 6
• Présenter le tableau de valeurs suivant. Demander aux élèves Leçon 1: Identifier des régularités
d’utiliser les triangles verts du jeu de blocs-formes pour représenter numériques
ce à quoi le ver pourrait ressembler au 3e, 4e et 5e jour.
6RR1
GE p. 13 - 17
P. ex., voici un ver âgé d’une journée :
ME p. 4 - 7
Voici un ver âgé de deux jours :
(6RR1.1)
• Une locomotive a 8 roues et tire des voitures ayant 4 roues chacune. Noter :
Le tableau de valeurs ci-dessous indique le nombre de roues en Le terme “table de valeurs” se trouve
fonction du nombre de voitures tirées. Dessine ou fait un modèle dans les RAS, tandis que la ressource
du train pour chaque quantité de voitures tirées. Compas Mathématique utilise
“tableau de valeurs”. Ce document se
sert des deux termes.
(6RR1.1)
Papier et crayon
• Construire des tableaux dont la colonne de droite contient une
erreur et demander aux élèves d’essayer de trouver la valeur qui brise
la régularité. Demander aux élèves d’expliquer pourquoi la valeur
en question est erronée. Leur demander de justifier leur choix.
(6RR1.2)
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 89LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : Lorsqu’ils décrivent les régularités que présente une colonne d’une table
de valeurs, les élèves oublient parfois d’indiquer la valeur de départ
6RR1 Démontrer une du modèle. La table ci-dessous montre la croissance d’une plante en
compréhension des relations qui fonction du temps.
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes.
[C, L, R, RP] (suite)
Indicateurs de rendement :
La plupart des élèves diraient que les semaines changent « en
6RR1.3 Décrire la régularité qui augmentant d’un » et que la hauteur de la plante change « en
se dégage de chacune des colonnes augmentant de 4 ». Ces deux descriptions ne tiennent pas compte de la
d’une table de valeurs. valeur de départ. Il serait préférable de décrire ces deux variables comme
suit : « les semaines commencent à 1 et augmentent de 1 chaque fois et
la hauteur commence à 6 et augmente de 4 chaque fois ».
Les élèves ont déjà prolongé des régularités sous forme concrète et
6RR1.4 Créer une table de
imagée. Les élèves de 6e année décriront la régularité en consignant les
valeurs pour noter et représenter
termes de la suite dans un tableau de valeurs pour la première fois. À
une régularité afin de résoudre un
cette étape, les élèves ne font que prolonger la suite de valeurs d’une
problème.
colonne donnée pour résoudre un problème plutôt qu’utiliser une règle
de répétition qui établit la relation entre les colonnes.
Les élèves doivent être en mesure de construire leur propre tableau
de valeurs. Ils peuvent trouver difficile de trouver le titre de chaque
colonne. Rappeler aux élèves que les valeurs de la deuxième colonne
résultent (ou dépendent) du changement intervenu dans la première
colonne. Ainsi, dans l’exemple précédent, la croissance de la plante est
déterminée par le nombre de semaines qui se sont écoulées.
90 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Journal Compas Mathématique 6
• Demander aux élèves de repérer la régularité caractérisant chaque
colonne du tableau suivante : Leçon 1(suite) : Identifier des
régularités numériques
(6RR1.3) 6RR1
GE p. 13 - 17
ME p. 4 - 7
Performance
• Dire aux élèves qu’un monument en forme de tour se compose
d’une colonne de cubes (voir le schéma ci-dessous). Un peintre a été
embauché pour peindre toutes
les faces visibles des cubes. Cela
comprend les côtés ainsi que les
faces supérieures. La face inférieure
de chaque cube n’est pas visible.
Les élèves peuvent construire le modèle avec des cubes emboîtables
ou des blocs de base dix. Demander aux élèves de construire un
tableau de valeurs qui indique le nombre de faces à peindre sur
les tours de 1, 2, 3, 4 et 5 blocs de haut. Demander aux élèves de
trouver le nombre de faces à peindre sur des tours formées de 10
cubes et de 20 cubes.
(6RR1.4)
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 91LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’objectif est de repérer les régularités croissantes ou décroissantes entre
L’élève doit pouvoir : les valeurs d’une même colonne et entre les colonnes d’un tableau de
valeurs et d’en écrire la règle de régularité. Il importe que les élèves
6RR1 Démontrer une
identifient d’abord le premier terme de la série puis indiquent la
compréhension des relations qui
quantité qu’ils ajoutent ou enlèvent à cette valeur.
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes. Dans les classes précédentes, les élèves ont appris à compléter des
tableaux de valeurs à partir d’expressions simples comportant une seule
[C, L, R, RP] (suite)
opération, soit l’addition ou la soustraction.
En 6e année, on leur présentera des
Indicateurs de rendement : expressions comportant deux opérations,
soit le plus souvent une multiplication suivie
6RR1.5 Générer les valeurs d’une addition ou d’une soustraction. P. ex.,
d’une colonne d’une table de Judith paie 10 $ pour son téléphone cellulaire.
valeurs, étant donné les valeurs de Chaque fois qu’elle utilise Internet, cela lui coûte 2 $. Cette relation
l’autre colonne et la règle d’une peut être représentée par la règle de régularité 2n+10. Utiliser cette règle
régularité. de régularité pour compléter la table ci-dessous.
Il faut inciter les élèves à employer le langage mathématique approprié
6RR1.6 Expliquer, en langage pour décrire la relation entre les termes d’une colonne ou entre
mathématique, la relation les colonnes d’un tableau de valeurs. Inviter les élèves à partager la
représentée par une table de démarche les ayant menés à leurs conclusions. Pour que les élèves se
valeurs donnée. sentent à l’aise de justifier leur raisonnement, modéliser le langage
approprié. Lancer un remue-méninges afin de trouver d’autres mots
ou énoncés susceptibles d’être utilisés et afficher ce bon vocabulaire
6RR1.7 Prédire la valeur d’un mathématique.
terme inconnu en se basant sur À force d’explorer les relations entre les nombres des colonnes d’une
la relation présente dans une table de valeurs, les élèves parviendront à trouver les valeurs manquantes
table de valeurs, et vérifier la et à prédire les nombres qui ne sont pas couverts dans la table.
prédiction.
Auparavant, les élèves trouvaient les relations (règles de régularité)
6RR1.8 Formuler une règle pour dans une colonne et utilisaient cette règle pour prédire les termes
décrire la relation qui existe entre manquants de la table de valeurs. Cette stratégie fonctionne bien lorsque
deux colonnes de nombres dans les nombres d’une colonne forment une suite ordonnée et lorsqu’on
une table de valeurs. demande aux élèves de trouver les termes de rang supérieur d’une suite
qu’il est peu pratique de prolonger (p. ex., prédire la valeur du 50e terme
de la série). Ce type de problèmes nécessite l’élaboration d’une règle de
régularité qui peut servir à déterminer la valeur de la deuxième colonne à
partir de la valeur correspondante de la première colonne.
Les élèves doivent parvenir à déduire une règle de régularité qui établit
une relation entre les deux colonnes d’un tableau de valeurs.
Les élèves discerneront d’abord la régularité dans chaque colonne du
tableau, mais pourront avoir de la difficulté à dégager la relation entre
les colonnes d’entrée et de sortie. La méthode par tâtonnements pour
déduire une règle de régularité permet d’introduire ce concept.
92 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Performance Compas Mathématique 6
• Proposer la situation suivante aux élèves : Vous allez jouer au Leçon 2 : Décrire des relations
paintball avec vos amis. L’admission coûte 20 $ et chaque jeu dans un tableau
de balles coûte 5 $ de plus. Cette relation peut être représentée 6RR1
par l’expression 5b + 20. Utiliser cette règle de régularité pour
compléter le tableau de valeurs ci-dessous. GE p. 18 – 22
ME p. 8 - 11
(6RR1.5)
• Demander aux élèves de créer un tableau de valeurs représentant la
régularité ci-dessous.
i) Écrire une règle de régularité qui décrit le changement à
l’intérieur de chaque colonne.
ii) Prédire le nombre de pailles qu’il y aura dans le 10e motif.
(6RR1.6, 6RR1.7)
Journal
• Demander aux élèves de trouver les
valeurs manquantes dans la table
ci-dessous, en fonction des régularités
observées. Poser la question suivante :
Combien de sandwiches chaque
personne aura-t-elle ? Selon cette
régularité, prédire le nombre de sandwiches requis si 60 personnes
participent au pique-nique. Combien de personnes pourraient
participer s’il y avait 90 sandwiches ?
(6RR1.7)
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 93LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : Boîte « Trouver la règle » – Préparer des languettes de papier marquées
d’un nombre à chaque extrémité, comme dans l’illustration
6RR1 Démontrer une
ci-dessous. Insérer la languette dans la boîte pour que les élèves puissent
compréhension des relations qui
voir les nombres d’entrée et de sortie. Montrer la boîte aux élèves et
existent dans des tables de valeurs
leur demander de proposer plusieurs opérations ou combinaisons
pour résoudre des problèmes.
d’opérations différentes susceptibles d’être exécutées pour produire la
[C, L, R, RP] (suite) valeur de sortie à partir de la valeur d’entrée.
P. ex., on insère le nombre 4 dans la boîte et on obtient le nombre 12.
Indicateur de rendement :
6RR1.8 Formuler une règle pour
décrire la relation qui existe entre
deux colonnes de nombres dans
une table de valeurs. (suite) Poser la question suivante : « Quelle règle aurait pu être utilisée pour
générer le nombre 12 à partir du nombre 4 ? »
Voici différentes réponses que les élèves peuvent donner : « Nous avons
multiplié le premier nombre par 3 », « Nous avons ajouté 8 au premier
nombre », « Nous avons doublé le premier nombre puis ajouté 4 », etc.
Noter toutes les suggestions des élèves, puis présenter une autre paire
de valeurs d’entrée-sortie basée sur la même règle de régularité. Par
exemple, on insère le nombre 5 dans la boîte et on obtient le nombre 15.
Poser la question suivante aux élèves : « Quelle règle décrivant la
première paire de valeurs d’entrée-sortie peut également s’appliquer à la
nouvelle paire de valeurs 5-15? »
Les élèves répondront probablement ce qui suit : « ajouter 8 ne marche
pas, parce que 5 + 8 = 13. Mais, si on multiplie la valeur d’entrée par
3, cela fonctionne. Par conséquent, voici quelle doit être la règle de
régularité : multiplier par 3 la valeur d’entrée. »
Vérifier qu’il s’agit de la bonne règle en présentant un autre scénario
d’entrée-sortie affichant la même régularité.
94 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Performance
Compas Mathématique 6
• Utiliser la boîte « Trouver la règle » pour modéliser les valeurs
Leçon 2 (suite) : Décrire des
d’entrée et de sortie de chaque ligne des tableaux de valeurs
relations dans un tableau
ci-dessous. Demander aux élèves de trouver une règle de régularité
capable de décrire la relation entre toutes les paires de valeurs 6RR1
d’entrée-sortie de la table. GE p. 18 – 22
ME p. 8 - 11
Rappeler aux élèves que la règle de régularité doit s’appliquer à
toutes les combinaisons de valeurs d’entrée-sortie de la table, et non
uniquement à la première paire de valeurs. (6RR1.8)
• Demander à deux volontaires de modéliser le fonctionnement de la
boîte « Trouver la règle » (décrite à la page précédente). Donner à un
élève une fiche sur laquelle figure une opération
(p. ex., +2, x 3, -1, etc.). Aucun autre élève ne doit connaître
l’opération inscrite sur la fiche remise à cet élève. Demander à
l’autre volontaire de choisir un nombre d’entrée entre 1 et 10.
L’élève ayant la fiche d’opération calcule mentalement la valeur de
sortie à partir de la valeur d’entrée et met la fiche de sortie résultante
dans la fente de sortie et dit la réponse à haute voix devant la classe.
Demander à la classe de trouver l’opération effectuée sur la valeur
d’entrée. Répéter le processus avec la même opération, mais sur
une nouvelle valeur d’entrée afin de vérifier la réponse de la classe.
Une fois que les élèves sont capables de déduire une règle à une
seule opération, demander à l’autre volontaire de venir en avant et
lui remettre une fiche portant une deuxième opération. Le premier
élève dira une autre valeur d’entrée à voix haute. L’élève ayant la
fiche de la première opération exécute l’opération mentalement et
donne la valeur de sortie à voix haute. L’élève ayant la fiche de la
seconde opération exécute mentalement celle-ci sur la valeur de
sortie donnée et dit à haute voix le nombre résultant. Demander
aux élèves de déduire les deux opérations effectuées. Vérifier en
utilisant un autre nombre d’entrée. Lorsque les élèves sont capables
de déduire deux opérations, demander au premier élève de souffler
sa valeur de sortie au second élève de sorte que la classe n’entende
que le résultat final de ces deux opérations, et non la valeur de sortie
de chaque opération. Cette procédure exigera plus de vérification
au moyen de valeurs d’entrée différentes pour déduire la règle de
régularité. (6RR1.8)
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 95LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : À cette étape, on peut commencer à utiliser des représentations
concrètes. Par exemple, quatre élèves pourraient s’asseoir autour d’une
6RR1 Démontrer une table carrée, soit un de chaque côté. On peut ajouter des tables et
compréhension des relations qui d’autres chaises de part et d’autre selon la configuration ci-dessous. On
existent dans des tables de valeurs peut modéliser concrètement cette régularité en utilisant de véritables
pour résoudre des problèmes. tables et chaises s’il y en a de disponible. On peut également construire
[C, L, R, RP] (suite) le modèle au moyen de blocs-formes ou de graphiques tracés au tableau
blanc interactif.
Indicateur de rendement :
6RR1.8 Formuler une règle pour
décrire la relation qui existe entre
deux colonnes de nombres dans
une table de valeurs. (suite)
Cette régularité peut être représentée par
le tableau de valeurs suivant.
Une fois le tableau de valeurs généré, il
faut souligner comment l’augmentation
des termes de la seconde colonne
(variation constante) est reliée à l’opération
ou aux opérations effectuées sur les valeurs
de la première colonne pour trouver la valeur
correspondante de la seconde colonne.
Avec 1 table, on aura 4 chaises.
Avec 2 tables, on aura 4 + 2 = 6 chaises
Avec 3 tables, on aura 4 + 2 + 2 = 8 chaises
Avec 4 tables, on aura 4 + 2 + 2 + 2 = 10 chaises
Noter que le nombre de chaises augmente de 2 chaque fois. Cela est
logique, car à chaque nouvelle table, on ajoute deux nouvelles chaises
(de part et d’autre de la table). Cependant, il y aura toujours deux
chaises de plus (une à chaque extrémité de la rangée de tables) et ce
nombre reste constant.
Ainsi, la règle de régularité de cette régularité serait :
2n + 2, où n = le nombre de tables. (à suivre)
96 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Compas Mathématique 6
Leçon 2 (suite) : Décrire des
relations dans un tableau
6RR1
GE p. 18 – 22
ME p. 8 - 11
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 97LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : Par extension, je peux utiliser cette règle pour prédire le nombre de chaises
à mettre autour de 9 tables. On multiplie par 2 le nombre de tables
6RR1 Démontrer une (9 × 2 = 18) et on ajoute les deux chaises constantes aux extrémités
compréhension des relations qui (18 + 2 = 20). Par conséquent, il faudrait 20 chaises pour 9 tables.
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes. Les élèves doivent comprendre que la grandeur de la variation constante
[C, L, R, RP] (suite) de la valeur de sortie correspond au nombre par lequel la valeur d’entrée
est multipliée. Si le produit de la grandeur de la variation par une valeur
Indicateur de rendement : d’entrée donnée n’est pas égal à la valeur de sortie correspondante, il faut
alors déterminer la grandeur à ajouter ou à
6RR1.8 Formuler une règle pour soustraire pour obtenir cette valeur de sortie.
décrire la relation qui existe entre Par exemple, dans la table ci-dessous, les élèves
deux colonnes de nombres dans doivent d’abord déterminer la grandeur de la
une table de valeurs. (suite) variation constante dans les valeurs de sortie
(deuxième colonne).
Attirer l’attention sur les valeurs de sortie. Poser la question suivante:
« De combien les valeurs de sortie augmentent-elles à chaque fois ? » Les
élèves remarqueront que les valeurs de sortie augmentent de 3 dans chaque
cas. Cela signifie que chaque entrée doit d’abord avoir été multipliée par 3.
Ainsi, la première partie de notre règle de régularité est 3n, où n représente
une valeur d’entrée donnée.
La première valeur d’entrée est multipliée par 3.
1×3=3
Puis, poser la question suivante : « Quelle valeur avons-nous ajoutée ou
retranchée de ce produit pour obtenir la valeur de sortie 5 ? ». Les élèves
doivent voir que la valeur 2 a été ajoutée. Cela signifie donc que la règle
de régularité est 3n + 2, ou exprimée en mots : « multiplier par 3 la valeur
d’entrée et ajouter 2 ». Vérifier l’exactitude de cet énoncé en évaluant
l’expression au moyen des autres valeurs d’entrée de la table de valeurs.
3(2) + 2 = 8 est correct
3(3) + 2 = 11 est correct
3(4) + 2 = 14 est correct
3(5) + 2 = 17 est correct; 3n + 2 doit être la règle de régularité.
Il est important de noter que l’utilisation de la différence dans les valeurs
de sortie pour généraliser la règle de régularité ne fonctionnera que si les
valeurs d’entrée de la suite numérique sont des nombres consécutifs. (P.
ex., 1, 2, 3, 4, 5...) Par conséquent, lors de l’évaluation de ce résultat
d’apprentissage, s’assurer d’utiliser des nombres d’entrée consécutifs.
98 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Journal Compas Mathématique 6
• Présenter le scénario suivant à la classe : Leçon 2 (suite) : Décrire des
Tom organise un repas-partage. Il a préparé 4 plats de nourriture relations dans un tableau
pour le souper et a dit à tous ses invités d’apporter deux plats 6RR1
chacun. Le nombre de plats au souper dépend du nombre d’invités GE p. 18 – 22
qui viendront.
ME p. 8 - 11
i) Écris une règle qui peut servir à déterminer le nombre de plats
qui seront servis au souper, quel que soit le nombre de personnes
qui y assisteront.
ii) Utilise cette règle pour compléter la table de valeurs ci-dessous.
(6RR1.5, 6RR1.6, 6RR1.8)
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 99LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir :
Les élèves savent bien comment utiliser une règle de régularité donnée
6RR1 Démontrer une pour compléter la colonne de droite d’un tableau de valeurs. Ils devront
compréhension des relations qui désormais être capables de trouver les valeurs manquantes dans l’une
existent dans des tables de valeurs ou l’autre des colonnes d’une table incomplète à partir d’une règle de
pour résoudre des problèmes. régularité donnée. On peut parler de l’exécution d’opérations inverses
comme stratégie de résolution possible dans ce cas-ci.
[C, L, R, RP] (suite)
P. ex.
Indicateurs de rendement :
6RR1.9 Identifier des éléments
manquants dans une table de
valeurs donnée. Les élèves trouveront les deux premières valeurs manquantes en
appliquant simplement la règle de régularité, 3n. Pour trouver les
troisième et quatrième valeurs manquantes, ils devront travailler en
sens inverse (utiliser l’opération inverse). Par exemple, pour déterminer
la troisième valeur manquante, l’élève doit se dire « Trois groupes d’un
nombre inconnu me donnent 18. Si je divise 18 en trois groupes égaux,
combien y aura-t-il de personnes dans chaque groupe ? »
(18 divisé par 3).
6RR1.4 Créer une table de
valeurs pour noter et représenter
une régularité afin de résoudre un
Les élèves devront désormais formuler une expression et construire un
problème. (suite)
tableau de valeurs pour résoudre un problème donné. Prenons l’exemple
suivant :
Gloria va à une fête communautaire. L’entrée est de 5 $ et chaque
activité coûte 2 $.
i) Utilise des mots pour décrire comment trouver le montant total
d’argent que Gloria dépensera, quel que soit le nombre d’activités
auxquelles elle participera. (Multiplier le nombre d’activités par 2 et
ajouter 5.)
ii) Écris une expression qui représente la situation décrite ci-dessus.
iii) Utilise cette expression pour construire un tableau de valeurs
indiquant combien d’argent Gloria dépensera si elle participe à de 0 à 5
activités.
100 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Performance Compas Mathématique 6
• Présenter la situation suivante aux élèves : Leçon 3 : Créer des tableaux à
i) Juliette travaille dans un magasin pour 9 $ l’heure. Aidez partir d’expressions
Juliette à remplir le tableau ci-dessous pour qu’elle connaisse le 6RR1
total de ses gains après chaque heure travaillée durant la journée. 6RR3
Certaines valeurs ont été omises de chaque côté de la table. Trouve
les valeurs manquantes. GE p. 23 – 27
ME p. 12 - 15
Demander aux élèves d’expliquer comment ils ont déduit chaque
valeur manquante au moyen de la règle de régularité.
ii) Juliette veut acheter deux paires de jeans qui coûtent 46 $
chacune. Combien d’heures doit-elle travailler pour acheter ces
jeans?
(6RR1.9)
• Présenter la situation suivante :
Sheila travaille dans un atelier de réparation d’ordinateurs. Elle se
fait payer 75 $ par jour plus 5 $ pour chaque ordinateur qu’elle
répare.
i) Construis une table indiquant le montant total d’argent que
Sheila pourrait gagner en une journée quel que soit le nombre
d’ordinateurs qu’elle aura réparés.
ii) Énonce une règle de régularité que tu peux utiliser pour trouver
le montant total d’argent que Sheila pourrait gagner en une
journée quel que soit le nombre d’ordinateurs qu’elle aura
réparés.
iii) Utilise cette règle pour déterminer combien d’argent Sheila ferait
si elle réparait 12 ordinateurs en une seule journée.
(6RR1.4)
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 101LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les variables et les équations)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : Les élèves ont pratiqué l’écriture d’une règle en mots pour décrire les
relations qui existent entre les termes d’un tableau de valeurs donné.
6RR3 Représenter des
Ils vont maintenant accroître cette compétence et écrire la règle de
généralisations provenant de
régularité du tableau au moyen d’une expression mathématique ou de
relations numériques à l’aide
chiffres et de variables.
d’équations ayant des lettres pour
variables.
[C, L, R, RP, V]
Indicateurs de rendement :
Les élèves généreront une expression mathématique en utilisant des
6RR3.1 Décrire la relation dans variables à partir d’une règle écrite en mots. P. ex., le coût d’inscription
une table donnée à l’aide d’une au hockey mineur est de 120 $ par joueur. Chaque joueur doit payer des
expression mathématique. frais supplémentaires de 5 $ pour chaque pratique. Pour représenter le
coût total pour un joueur donné, la règle en mots s’énoncerait comme
6RR3.2 Représenter la règle de la suit : multiplier le nombre de pratiques par 5 $ et ajouter 120 $. On
régularité à l’aide d’une expression peut maintenant convertir cet énoncé dans l’expression mathématique
mathématique simple telle que 4d suivante : 5p + 120, dans laquelle « p » représente le nombre de
ou 2n + 1. pratiques. Les élèves peuvent ensuite utiliser cette expression pour
générer un tableau de valeurs indiquant le coût total selon différents
nombres de pratiques possibles.
102 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Représenter des expressions
algébriques de plusieurs façons.
Stratégies d’évaluation Ressources/Notes
Journal Compas Mathématique 6
• Demander aux élèves d’imaginer une situation pour chaque Leçon 3 (suite) : Créer des
expression : tableaux à partir d’expressions
(i) p–3 6RR1
(ii) 3–p 6RR3
Expliquer comment la position de la variable change le sens de GE p. 23 – 27
l’expression dans chaque cas. ME p. 12 - 15
Cela s’appliquerait-il également aux expressions suivantes ?
(i) p+3
(ii) 3+p (6RR3.1)
• Demander aux élèves d’énoncer une expression algébrique
représentant chacune des règles de régularité suivantes :
i) Deux fois un certain nombre;
ii) Cinq de plus qu’un certain nombre;
iii) Trois de moins qu’un certain nombre;
iv) Dix auquel on soustrait un certain nombre;
v) Six de plus que deux fois un certain nombre;
vi) Un de moins que trois fois un certain nombre.
(6RR3.2)
Performance
• Demander aux élèves de jumeler chacune des situations suivantes
avec l’expression correcte :
• Henri est deux fois plus âgé que Noël 4n + 2
• Susanne a un sac de bonbons et en distribue
quatre 2n
• Margot possède quatre paquets de cartes de
hockey et deux cartes individuelles n+2
• Henri a deux ans de plus que Noël 4-n
• Susanne a 4 poupées et en donne un certain
nombre n-4
(6RR3.1)
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 103LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : L’objectif est de comparer les régularités issues d’expressions différentes.
Les élèves devraient commencer à saisir que les expressions ayant les
6RR1 Démontrer une
mêmes nombres et variables ne produiront pas nécessairement la même
compréhension des relations qui
régularité. Par exemple, 2n + 3 ne produira pas la même régularité que
existent dans des tables de valeurs
n + 3. Et, 4n + 2 ne générera pas la même suite que 4n + 3. Bien que
pour résoudre des problèmes.
toutes les expressions présentent une caractéristique commune, elles
[C, L, R, RP] (suite) généreront chacune un tableau de valeurs différent.
Indicateurs de rendement : Il convient de présenter ce concept à l’aide de matériel de manipulation
en vue de générer deux régularités différentes. Deux tables de valeurs
6RR1.8 Formuler une règle pour distinctes seraient générées et deux expressions mathématiques distinctes
décrire la relation qui existe entre (règles de régularité) seraient déduites à partir de ces régularités.
deux colonnes de nombres dans Distribuer des jetons aux élèves. Les élèves commenceront par
une table de valeurs. (suite) placer 3 jetons en ligne. Chaque élève devra ensuite construire des
lignes progressant chacune d’une quantité constante de son choix.
6RR1.3 Décrire la régularité qui Recommander aux élèves de prendre un pas de progression peu élevé
se dégage de chacune des colonnes afin de ne pas être à court de jetons. Les élèves vont prolonger leur
d’une table de valeurs. (suite) régularité sur cinq rangées. Par exemple :
6RR3 Représenter des
généralisations provenant de
relations numériques à l’aide
d’équations ayant des lettres pour
variables. Demander aux élèves de consigner dans un tableau de valeurs le nombre
de jetons utilisés dans chaque ligne, comme dans l’illustration
[C, L, R, RP, V] ci-dessous : Par exemple :
Indicateur de rendement :
6RR3.2 Représenter la règle de la
régularité à l’aide d’une expression
mathématique simple telle que 4d
ou 2n + 1. (suite)
Demander aux élèves d’analyser leur tableau de valeurs et de créer une
règle en mots et une expression qui pourraient servir à trouver le nombre
de jetons quel que soit le nombre de lignes.
(à suivre)
104 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Compas Mathématique 6
Leçon 4 : Comparer des
expressions mathématiques
6RR1
6RR3
GE p. 28 – 31
ME p. 16
Curiosités mathématiques:
Les régularités d’une horloge
6RR1
GE p. 32-33
ME p. 17
Lecture supplémentaire :
Small, Marion (2008), Making
Math Meaningful to Canadian
Students K-8, p. 582 - 588
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 105LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir :
6RR1 Démontrer une P. ex.
compréhension des relations qui
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes.
[C, L, R, RP] (suite) Après avoir analysé les expressions qu’ils ont formulées, les élèves
devraient en venir à la conclusion que, même si tous les élèves ont
Indicateurs de rendement :
commencé avec le même nombre, ils n’ont pas tous obtenu la même
6RR1.8 Formuler une règle pour expression parce que leur suite progressait par une grandeur différente.
décrire la relation qui existe entre Ensuite, demander aux élèves de commencer leurs lignes avec un
deux colonnes de nombres dans nombre de jetons de leur choix (leur conseiller de choisir un petit
une table de valeurs. (suite) nombre). Ils devront ensuite former des lignes progressant chacune par
pas de 2. Par exemple :
6RR1.3 Décrire la régularité qui
se dégage de chacune des colonnes
d’une table de valeurs. (suite)
6RR3 Représenter des
généralisations provenant de Demander à chaque élève de générer une table de valeurs qui illustre le
relations numériques à l’aide changement du nombre de jetons d’une ligne à l’autre. P. ex.
d’équations ayant des lettres pour
Demander aux élèves d’analyser
variables. (suite)
leur table de valeurs et de créer
[C, L, R, RP, V] une règle en mots et une
expression qui pourraient servir
Indicateur de rendement : à trouver le nombre de jetons
quel que soit le numéro de la
6RR3.2 Représenter la règle de la
ligne.
régularité à l’aide d’une expression
mathématique simple telle que 4d Après avoir analysé les expressions
ou 2n + 1. (suite) formulées, les élèves devraient en
venir à la conclusion que, même
si tous les élèves ont fait progresser
les termes de la même quantité,
ils n’ont pas tous obtenu la même
expression parce que leurs
régularités commençaient par des
grandeurs différentes.
106 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation Ressources / Notes
Compas Mathématique 6
Leçon 4 (suite) : Comparer des
expressions mathématiques
6RR1
6RR3
GE p. 28 – 31
ME p. 16
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE) 107LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Domaine : Les régularités et les relations (les variables et les équations)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir : Pour que des équations soient équivalentes, il faut effectuer les mêmes
opérations sur chaque membre alors que la valeur de la variable ne
6RR4 Démontrer et expliquer change pas. P. ex., les expressions 3n + 1 = 7 et 3n = 6 sont des équations
la signification de maintien de équivalentes parce que 1 est soustrait de chaque côté de la première
l’égalité, de façon concrète et équation pour obtenir la seconde équation. C’est ce qu’on appelle le
imagée. « maintien de l’égalité ».
[C, L, R, RP, V] Les élèves vont maintenant être initiés aux équations faisant intervenir
une multiplication ainsi qu’aux équations à deux opérations, de
manière imagée et concrète. Les élèves apprendront la différence entre
une équation et une expression en 7e année, mais il importe de leur
donner l’exemple du bon vocabulaire. Une équation est un énoncé
mathématique complet indiquant une égalité entre deux grandeurs.
Indicateurs de rendement : Les équations doivent comporter un signe d’égalité, p. ex., 2 + 3 = 5.
Un énoncé mathématique comportant une variable est une équation
6RR4.1 Modéliser le maintien algébrique, p. ex., p + 2 = 3 se lit comme suit : « Deux de plus qu’un
de l’égalité pour l’addition à certain nombre est égal à 3 ». Il s’agit d’une équation algébrique, car
l’aide de matériel concret (tel elle indique qu’une quantité inconnue plus 2 égale 3. Par ailleurs, une
qu’une balance) ou à l’aide d’une expression algébrique est tout simplement un énoncé dépourvu de la
représentation imagée, expliquer notion d’équivalence. Par exemple, p + 2 se lit comme suit : « Un certain
et noter le processus. nombre plus 2 ». Dans ce cas, la variable p peut prendre n’importe
quelle valeur. L’accent est mis sur la modélisation de ces équations et la
6RR4.2 Modéliser le maintien notion voulant que l’addition ou la soustraction d’une même quantité
de l’égalité pour la soustraction de chaque côté de l’équation préserve l’égalité. À cette étape, les élèves
à l’aide de matériel concret (tel n’ont pas à résoudre des équations, même si certains peuvent être portés
qu’une balance) ou à l’aide d’une à le faire.
représentation imagée, expliquer
La modélisation des équations avec la balance à plateaux peut se faire
et noter le processus.
avec des sacs représentant les variables (grandeurs inconnues) et des
cubes emboîtables ou des blocs utilisés pour représenter les nombres.
6RR4.3 Modéliser le maintien de
l’égalité pour la multiplication Modéliser sur une balance à plateaux une équation simple comme
à l’aide de matériel concret (tel 3n = 9.
qu’une balance) ou à l’aide d’une
représentation imagée, expliquer
et noter le processus.
6RR4.4 Modéliser le maintien
Les élèves peuvent maintenant ajouter une quantité fixe à chaque côté.
de l’égalité pour la division à
Peu importe la quantité ajoutée, la balance restera en équilibre s’ils
l’aide de matériel concret (tel
ajoutent la même quantité de chaque côté. Cette activité permettra à
qu’une balance) ou à l’aide d’une
l’élève d’observer comment l’égalité des deux plateaux (membres de
représentation imagée, expliquer
l’équation) est conservée.
et noter le processus.
(à suivre)
108 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)Vous pouvez aussi lire
