Les régularités en mathématiques - Durée suggérée : 3 semaines

 
Les régularités en mathématiques - Durée suggérée : 3 semaines
Les régularités en
  mathématiques

Durée suggérée : 3 semaines

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Aperçu du chapitre

Orientation et                     Les élèves doivent posséder une solide base à analyser et à comprendre
                                   les régularités pour réussir leur apprentissage progressif des notions
contexte                           d’algèbre de niveau intermédiaire et secondaire. L’utilisation de
                                   tableaux, comme les organisateurs graphiques, permet aux élèves
                                   de voir la relation entre les valeurs d’entrée et de sortie. Ils doivent
                                   dégager les tendances que présentent les colonnes d’une table de
                                   valeurs ainsi que la relation entre les lignes. Cette relation est décrite
                                   au moyen d’expressions algébriques. L’objectif est de générer une
                                   table de valeurs à partir d’une expression algébrique et de déduire
                                   l’expression caractérisant une table de valeurs donnée. En partant de
                                   leur compréhension de la représentation des régularités sous forme
                                   concrète, du prolongement des régularités, de la recherche des valeurs
                                   manquantes et de la construction d’expressions algébriques, les élèves
                                   sont encouragés à utiliser leur connaissance des régularités pour
                                   résoudre des problèmes.
                                   En 6e année, l’accent est mis sur le maintien de l’égalité dans
                                   les équations algébriques. La résolution de ces équations est au
                                   programme de la 7e année. Les élèves utiliseront des modèles concrets,
                                   principalement une balance à plateaux, pour démontrer la préservation
                                   de l’égalité, en mettant l’accent sur l’équilibre des deux membres de
                                   l’équation. Cette opération s’effectue en modifiant chaque membre de
                                   l’équation de la même manière.

Pourquoi est-ce                    Les régularités constituent un moyen efficace de démontrer la relation
                                   entre les variables. Fournir aux élèves des occasions d’analyser, de
important ?                        modéliser et de prolonger des régularités les aidera à se préparer à
                                   l’acquisition des notions d’algèbre des années suivantes. Le concept
                                   de modélisation d’équations équivalentes au moyen d’une balance est
                                   également important. Les compétences acquises en 6e année contribuent
                                   au développement d’une meilleure compréhension des mathématiques
                                   et se révéleront toujours utiles dans les situations de la vie courante.

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Processus                          [C] Communication            [CE] Calcul mental et estimation
mathématiques                      [L] Liens                    [R] Raisonnement
                                   [RP] Résolution de problèmes
                                   [T] Technologie               [V] Visualisation

Résultats                            DOMAINE               RÉSULTATS             PROCESSUS
d’apprentissage                                       D’APPRENTISSAGE          MATHÉMATIQUES
                                                     6RR1 Démontrer une
                                                     compréhension des
                                    Les régularités
                                                     relations qui existent
                                    et les relations                              [C, L, R, RP]
                                                     dans des tables de
                                   (les régularités)
                                                     valeurs pour résoudre
                                                     des problèmes.
                                                     6RR3 Représenter
                                    Les régularités des généralisations
                                    et les relations provenant de relations
                                                                                 [C, L, R, RP, V]
                                   (les variables et numériques à l’aide
                                    les équations) d’équations ayant des
                                                     lettres pour variables.
                                                     6RR4 Démontrer
                                    Les régularités et expliquer la
                                    et les relations signification de
                                                                                 [C, L, R, RP, V]
                                   (les variables et maintien de l’égalité,
                                    les équations) de façon concrète et
                                                     imagée.

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)                                    87
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage             Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :                Donner aux élèves un tableau de valeurs et les inviter à observer
                                      l’évolution de chaque variable et à la modéliser
6RR1 Démontrer une                    sous forme imagée (en dessinant une image)
compréhension des relations qui       ou concrète (au moyen de matériel de
existent dans des tables de valeurs   manipulation). Les régularités peuvent être
pour résoudre des problèmes.          modélisées en utilisant n’importe quel matériel
[C, L, R, RP]                         de manipulation. P. ex., les élèves pourraient
                                      représenter le tableau des valeurs ci-contre au moyen de cure-dents.

                                      Les élèves doivent d’abord saisir que la suite de carrés commence à 1 et
                                      progresse par pas de 1. Puis, ils détermineront que le nombre de cure-
                                      dents commence à 4 et progresse par sauts de 3. Cela signifie que chaque
Indicateurs de rendement :            nouveau carré du modèle doit être construit en utilisant seulement
                                      3 cure-dents de plus. À partir de la relation établie, les élèves doivent
 6RR1.1 Créer une représentation      construire chaque nouveau carré à partir d’un des côtés d’un carré déjà
 concrète ou imagée de la relation    construit.
 représentée par une table de
 valeurs.

                                      Il importe que les élèves soient capables de repérer les erreurs dans un
 6RR1.2 Identifier des erreurs
                                      tableau de valeurs donné afin de ne pas prolonger la suite de manière
 dans une table de valeurs donnée.
                                      incorrecte. Ils doivent être en mesure de justifier leur réponse.
                                      P. ex., Samuel a un parcours de livraison de journaux hebdomadaires. Il
                                      est payé 30 $ par semaine. Le tableau suivant montre ses gains sur une
                                      période de 5 semaines. Repère l’erreur dans le tableau.

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                                       Ressources / Notes

Performance                                                                  Compas Mathématique 6
•   Présenter le tableau de valeurs suivant. Demander aux élèves             Leçon 1: Identifier des régularités
    d’utiliser les triangles verts du jeu de blocs-formes pour représenter   numériques
    ce à quoi le ver pourrait ressembler au 3e, 4e et 5e jour.
                                                                             6RR1
                                                                             GE p. 13 - 17
    P. ex., voici un ver âgé d’une journée :
                                                                             ME p. 4 - 7

    Voici un ver âgé de deux jours :

                                                                 (6RR1.1)

•   Une locomotive a 8 roues et tire des voitures ayant 4 roues chacune.     Noter :
    Le tableau de valeurs ci-dessous indique le nombre de roues en           Le terme “table de valeurs” se trouve
    fonction du nombre de voitures tirées. Dessine ou fait un modèle         dans les RAS, tandis que la ressource
    du train pour chaque quantité de voitures tirées.                        Compas Mathématique utilise
                                                                             “tableau de valeurs”. Ce document se
                                                                             sert des deux termes.

                                                                 (6RR1.1)

Papier et crayon
•   Construire des tableaux dont la colonne de droite contient une
    erreur et demander aux élèves d’essayer de trouver la valeur qui brise
    la régularité. Demander aux élèves d’expliquer pourquoi la valeur
    en question est erronée. Leur demander de justifier leur choix.
                                                                (6RR1.2)

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage             Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :                Lorsqu’ils décrivent les régularités que présente une colonne d’une table
                                      de valeurs, les élèves oublient parfois d’indiquer la valeur de départ
6RR1 Démontrer une                    du modèle. La table ci-dessous montre la croissance d’une plante en
compréhension des relations qui       fonction du temps.
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes.
[C, L, R, RP]            (suite)

Indicateurs de rendement :
                                      La plupart des élèves diraient que les semaines changent « en
 6RR1.3 Décrire la régularité qui     augmentant d’un » et que la hauteur de la plante change « en
 se dégage de chacune des colonnes    augmentant de 4 ». Ces deux descriptions ne tiennent pas compte de la
 d’une table de valeurs.              valeur de départ. Il serait préférable de décrire ces deux variables comme
                                      suit : « les semaines commencent à 1 et augmentent de 1 chaque fois et
                                      la hauteur commence à 6 et augmente de 4 chaque fois ».

                                      Les élèves ont déjà prolongé des régularités sous forme concrète et
 6RR1.4 Créer une table de
                                      imagée. Les élèves de 6e année décriront la régularité en consignant les
 valeurs pour noter et représenter
                                      termes de la suite dans un tableau de valeurs pour la première fois. À
 une régularité afin de résoudre un
                                      cette étape, les élèves ne font que prolonger la suite de valeurs d’une
 problème.
                                      colonne donnée pour résoudre un problème plutôt qu’utiliser une règle
                                      de répétition qui établit la relation entre les colonnes.
                                      Les élèves doivent être en mesure de construire leur propre tableau
                                      de valeurs. Ils peuvent trouver difficile de trouver le titre de chaque
                                      colonne. Rappeler aux élèves que les valeurs de la deuxième colonne
                                      résultent (ou dépendent) du changement intervenu dans la première
                                      colonne. Ainsi, dans l’exemple précédent, la croissance de la plante est
                                      déterminée par le nombre de semaines qui se sont écoulées.

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                                     Ressources / Notes

Journal                                                                    Compas Mathématique 6
•   Demander aux élèves de repérer la régularité caractérisant chaque
    colonne du tableau suivante :                                          Leçon 1(suite) : Identifier des
                                                                           régularités numériques
                                                              (6RR1.3)     6RR1
                                                                           GE p. 13 - 17
                                                                           ME p. 4 - 7
Performance
•   Dire aux élèves qu’un monument en forme de tour se compose
    d’une colonne de cubes (voir le schéma ci-dessous). Un peintre a été
    embauché pour peindre toutes
    les faces visibles des cubes. Cela
    comprend les côtés ainsi que les
    faces supérieures. La face inférieure
    de chaque cube n’est pas visible.
    Les élèves peuvent construire le modèle avec des cubes emboîtables
    ou des blocs de base dix. Demander aux élèves de construire un
    tableau de valeurs qui indique le nombre de faces à peindre sur
    les tours de 1, 2, 3, 4 et 5 blocs de haut. Demander aux élèves de
    trouver le nombre de faces à peindre sur des tours formées de 10
    cubes et de 20 cubes.
                                                              (6RR1.4)

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage               Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques
                                        L’objectif est de repérer les régularités croissantes ou décroissantes entre
L’élève doit pouvoir :                  les valeurs d’une même colonne et entre les colonnes d’un tableau de
                                        valeurs et d’en écrire la règle de régularité. Il importe que les élèves
6RR1 Démontrer une
                                        identifient d’abord le premier terme de la série puis indiquent la
compréhension des relations qui
                                        quantité qu’ils ajoutent ou enlèvent à cette valeur.
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes.            Dans les classes précédentes, les élèves ont appris à compléter des
                                        tableaux de valeurs à partir d’expressions simples comportant une seule
[C, L, R, RP]             (suite)
                                        opération, soit l’addition ou la soustraction.
                                        En 6e année, on leur présentera des
Indicateurs de rendement :              expressions comportant deux opérations,
                                        soit le plus souvent une multiplication suivie
 6RR1.5 Générer les valeurs             d’une addition ou d’une soustraction. P. ex.,
 d’une colonne d’une table de           Judith paie 10 $ pour son téléphone cellulaire.
 valeurs, étant donné les valeurs de    Chaque fois qu’elle utilise Internet, cela lui coûte 2 $. Cette relation
 l’autre colonne et la règle d’une      peut être représentée par la règle de régularité 2n+10. Utiliser cette règle
 régularité.                            de régularité pour compléter la table ci-dessous.

                                        Il faut inciter les élèves à employer le langage mathématique approprié
 6RR1.6 Expliquer, en langage           pour décrire la relation entre les termes d’une colonne ou entre
 mathématique, la relation              les colonnes d’un tableau de valeurs. Inviter les élèves à partager la
 représentée par une table de           démarche les ayant menés à leurs conclusions. Pour que les élèves se
 valeurs donnée.                        sentent à l’aise de justifier leur raisonnement, modéliser le langage
                                        approprié. Lancer un remue-méninges afin de trouver d’autres mots
                                        ou énoncés susceptibles d’être utilisés et afficher ce bon vocabulaire
 6RR1.7 Prédire la valeur d’un          mathématique.
 terme inconnu en se basant sur         À force d’explorer les relations entre les nombres des colonnes d’une
 la relation présente dans une          table de valeurs, les élèves parviendront à trouver les valeurs manquantes
 table de valeurs, et vérifier la       et à prédire les nombres qui ne sont pas couverts dans la table.
 prédiction.
                                        Auparavant, les élèves trouvaient les relations (règles de régularité)
 6RR1.8 Formuler une règle pour         dans une colonne et utilisaient cette règle pour prédire les termes
 décrire la relation qui existe entre   manquants de la table de valeurs. Cette stratégie fonctionne bien lorsque
 deux colonnes de nombres dans          les nombres d’une colonne forment une suite ordonnée et lorsqu’on
 une table de valeurs.                  demande aux élèves de trouver les termes de rang supérieur d’une suite
                                        qu’il est peu pratique de prolonger (p. ex., prédire la valeur du 50e terme
                                        de la série). Ce type de problèmes nécessite l’élaboration d’une règle de
                                        régularité qui peut servir à déterminer la valeur de la deuxième colonne à
                                        partir de la valeur correspondante de la première colonne.
                                        Les élèves doivent parvenir à déduire une règle de régularité qui établit
                                        une relation entre les deux colonnes d’un tableau de valeurs.
                                        Les élèves discerneront d’abord la régularité dans chaque colonne du
                                        tableau, mais pourront avoir de la difficulté à dégager la relation entre
                                        les colonnes d’entrée et de sortie. La méthode par tâtonnements pour
                                        déduire une règle de régularité permet d’introduire ce concept.
92                                         PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                                        Ressources / Notes

Performance                                                                   Compas Mathématique 6
•    Proposer la situation suivante aux élèves : Vous allez jouer au          Leçon 2 : Décrire des relations
     paintball avec vos amis. L’admission coûte 20 $ et chaque jeu            dans un tableau
     de balles coûte 5 $ de plus. Cette relation peut être représentée        6RR1
     par l’expression 5b + 20. Utiliser cette règle de régularité pour
     compléter le tableau de valeurs ci-dessous.                              GE p. 18 – 22
                                                                              ME p. 8 - 11

                                                                   (6RR1.5)

•    Demander aux élèves de créer un tableau de valeurs représentant la
     régularité ci-dessous.

    i) Écrire une règle de régularité qui décrit le changement à
       l’intérieur de chaque colonne.

    ii) Prédire le nombre de pailles qu’il y aura dans le 10e motif.
                                                         (6RR1.6, 6RR1.7)

Journal
•    Demander aux élèves de trouver les
     valeurs manquantes dans la table
     ci-dessous, en fonction des régularités
     observées. Poser la question suivante :
     Combien de sandwiches chaque
     personne aura-t-elle ? Selon cette
     régularité, prédire le nombre de sandwiches requis si 60 personnes
     participent au pique-nique. Combien de personnes pourraient
     participer s’il y avait 90 sandwiches ?
                                                                   (6RR1.7)

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)                                                93
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage               Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :                  Boîte « Trouver la règle » – Préparer des languettes de papier marquées
                                        d’un nombre à chaque extrémité, comme dans l’illustration
6RR1 Démontrer une
                                        ci-dessous. Insérer la languette dans la boîte pour que les élèves puissent
compréhension des relations qui
                                        voir les nombres d’entrée et de sortie. Montrer la boîte aux élèves et
existent dans des tables de valeurs
                                        leur demander de proposer plusieurs opérations ou combinaisons
pour résoudre des problèmes.
                                        d’opérations différentes susceptibles d’être exécutées pour produire la
[C, L, R, RP]             (suite)       valeur de sortie à partir de la valeur d’entrée.
                                        P. ex., on insère le nombre 4 dans la boîte et on obtient le nombre 12.

Indicateur de rendement :

 6RR1.8 Formuler une règle pour
 décrire la relation qui existe entre
 deux colonnes de nombres dans
 une table de valeurs.        (suite)   Poser la question suivante : « Quelle règle aurait pu être utilisée pour
                                        générer le nombre 12 à partir du nombre 4 ? »
                                        Voici différentes réponses que les élèves peuvent donner : « Nous avons
                                        multiplié le premier nombre par 3 », « Nous avons ajouté 8 au premier
                                        nombre », « Nous avons doublé le premier nombre puis ajouté 4 », etc.
                                        Noter toutes les suggestions des élèves, puis présenter une autre paire
                                        de valeurs d’entrée-sortie basée sur la même règle de régularité. Par
                                        exemple, on insère le nombre 5 dans la boîte et on obtient le nombre 15.

                                        Poser la question suivante aux élèves : « Quelle règle décrivant la
                                        première paire de valeurs d’entrée-sortie peut également s’appliquer à la
                                        nouvelle paire de valeurs 5-15? »
                                        Les élèves répondront probablement ce qui suit : « ajouter 8 ne marche
                                        pas, parce que 5 + 8 = 13. Mais, si on multiplie la valeur d’entrée par
                                        3, cela fonctionne. Par conséquent, voici quelle doit être la règle de
                                        régularité : multiplier par 3 la valeur d’entrée. »
                                        Vérifier qu’il s’agit de la bonne règle en présentant un autre scénario
                                        d’entrée-sortie affichant la même régularité.

94                                         PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                                           Ressources / Notes

Performance
                                                                                 Compas Mathématique 6
•   Utiliser la boîte « Trouver la règle » pour modéliser les valeurs
                                                                                 Leçon 2 (suite) : Décrire des
    d’entrée et de sortie de chaque ligne des tableaux de valeurs
                                                                                 relations dans un tableau
    ci-dessous. Demander aux élèves de trouver une règle de régularité
    capable de décrire la relation entre toutes les paires de valeurs            6RR1
    d’entrée-sortie de la table.                                                 GE p. 18 – 22
                                                                                 ME p. 8 - 11

    Rappeler aux élèves que la règle de régularité doit s’appliquer à
    toutes les combinaisons de valeurs d’entrée-sortie de la table, et non
    uniquement à la première paire de valeurs.                (6RR1.8)

•   Demander à deux volontaires de modéliser le fonctionnement de la
    boîte « Trouver la règle » (décrite à la page précédente). Donner à un
    élève une fiche sur laquelle figure une opération
    (p. ex., +2, x 3, -1, etc.). Aucun autre élève ne doit connaître
    l’opération inscrite sur la fiche remise à cet élève. Demander à
    l’autre volontaire de choisir un nombre d’entrée entre 1 et 10.
    L’élève ayant la fiche d’opération calcule mentalement la valeur de
    sortie à partir de la valeur d’entrée et met la fiche de sortie résultante
    dans la fente de sortie et dit la réponse à haute voix devant la classe.
    Demander à la classe de trouver l’opération effectuée sur la valeur
    d’entrée. Répéter le processus avec la même opération, mais sur
    une nouvelle valeur d’entrée afin de vérifier la réponse de la classe.
    Une fois que les élèves sont capables de déduire une règle à une
    seule opération, demander à l’autre volontaire de venir en avant et
    lui remettre une fiche portant une deuxième opération. Le premier
    élève dira une autre valeur d’entrée à voix haute. L’élève ayant la
    fiche de la première opération exécute l’opération mentalement et
    donne la valeur de sortie à voix haute. L’élève ayant la fiche de la
    seconde opération exécute mentalement celle-ci sur la valeur de
    sortie donnée et dit à haute voix le nombre résultant. Demander
    aux élèves de déduire les deux opérations effectuées. Vérifier en
    utilisant un autre nombre d’entrée. Lorsque les élèves sont capables
    de déduire deux opérations, demander au premier élève de souffler
    sa valeur de sortie au second élève de sorte que la classe n’entende
    que le résultat final de ces deux opérations, et non la valeur de sortie
    de chaque opération. Cette procédure exigera plus de vérification
    au moyen de valeurs d’entrée différentes pour déduire la règle de
    régularité.                                         (6RR1.8)

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)                                                 95
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage               Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :                  À cette étape, on peut commencer à utiliser des représentations
                                        concrètes. Par exemple, quatre élèves pourraient s’asseoir autour d’une
6RR1 Démontrer une                      table carrée, soit un de chaque côté. On peut ajouter des tables et
compréhension des relations qui         d’autres chaises de part et d’autre selon la configuration ci-dessous. On
existent dans des tables de valeurs     peut modéliser concrètement cette régularité en utilisant de véritables
pour résoudre des problèmes.            tables et chaises s’il y en a de disponible. On peut également construire
[C, L, R, RP]             (suite)       le modèle au moyen de blocs-formes ou de graphiques tracés au tableau
                                        blanc interactif.
Indicateur de rendement :

 6RR1.8 Formuler une règle pour
 décrire la relation qui existe entre
 deux colonnes de nombres dans
 une table de valeurs.        (suite)

                                        Cette régularité peut être représentée par
                                        le tableau de valeurs suivant.

                                        Une fois le tableau de valeurs généré, il
                                        faut souligner comment l’augmentation
                                        des termes de la seconde colonne
                                        (variation constante) est reliée à l’opération
                                        ou aux opérations effectuées sur les valeurs
                                        de la première colonne pour trouver la valeur
                                        correspondante de la seconde colonne.
                                        Avec 1 table, on aura 4 chaises.
                                        Avec 2 tables, on aura 4 + 2 = 6 chaises
                                        Avec 3 tables, on aura 4 + 2 + 2 = 8 chaises
                                        Avec 4 tables, on aura 4 + 2 + 2 + 2 = 10 chaises
                                        Noter que le nombre de chaises augmente de 2 chaque fois. Cela est
                                        logique, car à chaque nouvelle table, on ajoute deux nouvelles chaises
                                        (de part et d’autre de la table). Cependant, il y aura toujours deux
                                        chaises de plus (une à chaque extrémité de la rangée de tables) et ce
                                        nombre reste constant.
                                        Ainsi, la règle de régularité de cette régularité serait :
                                        2n + 2, où n = le nombre de tables.                          (à suivre)

96                                         PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                             Ressources / Notes

                                                                   Compas Mathématique 6
                                                                   Leçon 2 (suite) : Décrire des
                                                                   relations dans un tableau
                                                                   6RR1
                                                                   GE p. 18 – 22
                                                                   ME p. 8 - 11

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)                                   97
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage               Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :                  Par extension, je peux utiliser cette règle pour prédire le nombre de chaises
                                        à mettre autour de 9 tables. On multiplie par 2 le nombre de tables
6RR1 Démontrer une                      (9 × 2 = 18) et on ajoute les deux chaises constantes aux extrémités
compréhension des relations qui         (18 + 2 = 20). Par conséquent, il faudrait 20 chaises pour 9 tables.
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes.            Les élèves doivent comprendre que la grandeur de la variation constante
[C, L, R, RP]             (suite)       de la valeur de sortie correspond au nombre par lequel la valeur d’entrée
                                        est multipliée. Si le produit de la grandeur de la variation par une valeur
Indicateur de rendement :               d’entrée donnée n’est pas égal à la valeur de sortie correspondante, il faut
                                        alors déterminer la grandeur à ajouter ou à
 6RR1.8 Formuler une règle pour         soustraire pour obtenir cette valeur de sortie.
 décrire la relation qui existe entre   Par exemple, dans la table ci-dessous, les élèves
 deux colonnes de nombres dans          doivent d’abord déterminer la grandeur de la
 une table de valeurs.        (suite)   variation constante dans les valeurs de sortie
                                        (deuxième colonne).

                                        Attirer l’attention sur les valeurs de sortie. Poser la question suivante:
                                        « De combien les valeurs de sortie augmentent-elles à chaque fois ? » Les
                                        élèves remarqueront que les valeurs de sortie augmentent de 3 dans chaque
                                        cas. Cela signifie que chaque entrée doit d’abord avoir été multipliée par 3.
                                        Ainsi, la première partie de notre règle de régularité est 3n, où n représente
                                        une valeur d’entrée donnée.
                                        La première valeur d’entrée est multipliée par 3.
                                        1×3=3
                                        Puis, poser la question suivante : « Quelle valeur avons-nous ajoutée ou
                                        retranchée de ce produit pour obtenir la valeur de sortie 5 ? ». Les élèves
                                        doivent voir que la valeur 2 a été ajoutée. Cela signifie donc que la règle
                                        de régularité est 3n + 2, ou exprimée en mots : « multiplier par 3 la valeur
                                        d’entrée et ajouter 2 ». Vérifier l’exactitude de cet énoncé en évaluant
                                        l’expression au moyen des autres valeurs d’entrée de la table de valeurs.
                                           3(2) + 2 = 8 est correct
                                           3(3) + 2 = 11 est correct
                                           3(4) + 2 = 14 est correct
                                           3(5) + 2 = 17 est correct; 3n + 2 doit être la règle de régularité.
                                        Il est important de noter que l’utilisation de la différence dans les valeurs
                                        de sortie pour généraliser la règle de régularité ne fonctionnera que si les
                                        valeurs d’entrée de la suite numérique sont des nombres consécutifs. (P.
                                        ex., 1, 2, 3, 4, 5...) Par conséquent, lors de l’évaluation de ce résultat
                                        d’apprentissage, s’assurer d’utiliser des nombres d’entrée consécutifs.

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                                       Ressources / Notes

Journal                                                                      Compas Mathématique 6
•   Présenter le scénario suivant à la classe :                              Leçon 2 (suite) : Décrire des
    Tom organise un repas-partage. Il a préparé 4 plats de nourriture        relations dans un tableau
    pour le souper et a dit à tous ses invités d’apporter deux plats         6RR1
    chacun. Le nombre de plats au souper dépend du nombre d’invités          GE p. 18 – 22
    qui viendront.
                                                                             ME p. 8 - 11
    i) Écris une règle qui peut servir à déterminer le nombre de plats
    qui seront servis au souper, quel que soit le nombre de personnes
    qui y assisteront.
    ii) Utilise cette règle pour compléter la table de valeurs ci-dessous.

                                                  (6RR1.5, 6RR1.6, 6RR1.8)

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage             Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :
                                      Les élèves savent bien comment utiliser une règle de régularité donnée
6RR1 Démontrer une                    pour compléter la colonne de droite d’un tableau de valeurs. Ils devront
compréhension des relations qui       désormais être capables de trouver les valeurs manquantes dans l’une
existent dans des tables de valeurs   ou l’autre des colonnes d’une table incomplète à partir d’une règle de
pour résoudre des problèmes.          régularité donnée. On peut parler de l’exécution d’opérations inverses
                                      comme stratégie de résolution possible dans ce cas-ci.
[C, L, R, RP]            (suite)
                                      P. ex.
Indicateurs de rendement :

 6RR1.9 Identifier des éléments
 manquants dans une table de
 valeurs donnée.                      Les élèves trouveront les deux premières valeurs manquantes en
                                      appliquant simplement la règle de régularité, 3n. Pour trouver les
                                      troisième et quatrième valeurs manquantes, ils devront travailler en
                                      sens inverse (utiliser l’opération inverse). Par exemple, pour déterminer
                                      la troisième valeur manquante, l’élève doit se dire « Trois groupes d’un
                                      nombre inconnu me donnent 18. Si je divise 18 en trois groupes égaux,
                                      combien y aura-t-il de personnes dans chaque groupe ? »
                                      (18 divisé par 3).
 6RR1.4 Créer une table de
 valeurs pour noter et représenter
 une régularité afin de résoudre un
                                      Les élèves devront désormais formuler une expression et construire un
 problème.                  (suite)
                                      tableau de valeurs pour résoudre un problème donné. Prenons l’exemple
                                      suivant :
                                      Gloria va à une fête communautaire. L’entrée est de 5 $ et chaque
                                      activité coûte 2 $.
                                      i) Utilise des mots pour décrire comment trouver le montant total
                                      d’argent que Gloria dépensera, quel que soit le nombre d’activités
                                      auxquelles elle participera. (Multiplier le nombre d’activités par 2 et
                                      ajouter 5.)
                                      ii) Écris une expression qui représente la situation décrite ci-dessus.
                                      iii) Utilise cette expression pour construire un tableau de valeurs
                                      indiquant combien d’argent Gloria dépensera si elle participe à de 0 à 5
                                      activités.

100                                      PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                                        Ressources / Notes

Performance                                                                   Compas Mathématique 6
•    Présenter la situation suivante aux élèves :                             Leçon 3 : Créer des tableaux à
     i) Juliette travaille dans un magasin pour 9 $ l’heure. Aidez            partir d’expressions
     Juliette à remplir le tableau ci-dessous pour qu’elle connaisse le       6RR1
     total de ses gains après chaque heure travaillée durant la journée.      6RR3
     Certaines valeurs ont été omises de chaque côté de la table. Trouve
     les valeurs manquantes.                                                  GE p. 23 – 27
                                                                              ME p. 12 - 15

     Demander aux élèves d’expliquer comment ils ont déduit chaque
     valeur manquante au moyen de la règle de régularité.
     ii) Juliette veut acheter deux paires de jeans qui coûtent 46 $
     chacune. Combien d’heures doit-elle travailler pour acheter ces
     jeans?
                                                                  (6RR1.9)

•    Présenter la situation suivante :
     Sheila travaille dans un atelier de réparation d’ordinateurs. Elle se
     fait payer 75 $ par jour plus 5 $ pour chaque ordinateur qu’elle
     répare.
    i) Construis une table indiquant le montant total d’argent que
       Sheila pourrait gagner en une journée quel que soit le nombre
       d’ordinateurs qu’elle aura réparés.
    ii) Énonce une règle de régularité que tu peux utiliser pour trouver
        le montant total d’argent que Sheila pourrait gagner en une
        journée quel que soit le nombre d’ordinateurs qu’elle aura
        réparés.
    iii) Utilise cette règle pour déterminer combien d’argent Sheila ferait
         si elle réparait 12 ordinateurs en une seule journée.
                                                                (6RR1.4)

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les variables et les équations)

Résultats d’apprentissage               Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :                  Les élèves ont pratiqué l’écriture d’une règle en mots pour décrire les
                                        relations qui existent entre les termes d’un tableau de valeurs donné.
6RR3 Représenter des
                                        Ils vont maintenant accroître cette compétence et écrire la règle de
généralisations provenant de
                                        régularité du tableau au moyen d’une expression mathématique ou de
relations numériques à l’aide
                                        chiffres et de variables.
d’équations ayant des lettres pour
variables.

[C, L, R, RP, V]

Indicateurs de rendement :
                                        Les élèves généreront une expression mathématique en utilisant des
 6RR3.1 Décrire la relation dans        variables à partir d’une règle écrite en mots. P. ex., le coût d’inscription
 une table donnée à l’aide d’une        au hockey mineur est de 120 $ par joueur. Chaque joueur doit payer des
 expression mathématique.               frais supplémentaires de 5 $ pour chaque pratique. Pour représenter le
                                        coût total pour un joueur donné, la règle en mots s’énoncerait comme
 6RR3.2 Représenter la règle de la      suit : multiplier le nombre de pratiques par 5 $ et ajouter 120 $. On
 régularité à l’aide d’une expression   peut maintenant convertir cet énoncé dans l’expression mathématique
 mathématique simple telle que 4d       suivante : 5p + 120, dans laquelle « p » représente le nombre de
 ou 2n + 1.                             pratiques. Les élèves peuvent ensuite utiliser cette expression pour
                                        générer un tableau de valeurs indiquant le coût total selon différents
                                        nombres de pratiques possibles.

102                                        PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Représenter des expressions
                                   algébriques de plusieurs façons.
Stratégies d’évaluation                                                             Ressources/Notes

Journal                                                                            Compas Mathématique 6
•       Demander aux élèves d’imaginer une situation pour chaque                   Leçon 3 (suite) : Créer des
        expression :                                                               tableaux à partir d’expressions
                     (i)     p–3                                                   6RR1
                     (ii)    3–p                                                   6RR3
        Expliquer comment la position de la variable change le sens de             GE p. 23 – 27
        l’expression dans chaque cas.                                              ME p. 12 - 15
        Cela s’appliquerait-il également aux expressions suivantes ?
                     (i)     p+3
                     (ii)    3+p                                       (6RR3.1)

    •    Demander aux élèves d’énoncer une expression algébrique
         représentant chacune des règles de régularité suivantes :
               i)    Deux fois un certain nombre;
               ii)   Cinq de plus qu’un certain nombre;
               iii) Trois de moins qu’un certain nombre;
               iv)   Dix auquel on soustrait un certain nombre;
               v)    Six de plus que deux fois un certain nombre;
               vi)   Un de moins que trois fois un certain nombre.
                                                                     (6RR3.2)

Performance
•       Demander aux élèves de jumeler chacune des situations suivantes
        avec l’expression correcte :
          • Henri est deux fois plus âgé que Noël               4n + 2
          • Susanne a un sac de bonbons et en distribue
            quatre                                              2n
          • Margot possède quatre paquets de cartes de
            hockey et deux cartes individuelles                 n+2
          • Henri a deux ans de plus que Noël                   4-n
          • Susanne a 4 poupées et en donne un certain
            nombre                                              n-4
                                                                       (6RR3.1)

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

Résultats d’apprentissage               Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :                  L’objectif est de comparer les régularités issues d’expressions différentes.
                                        Les élèves devraient commencer à saisir que les expressions ayant les
6RR1 Démontrer une
                                        mêmes nombres et variables ne produiront pas nécessairement la même
compréhension des relations qui
                                        régularité. Par exemple, 2n + 3 ne produira pas la même régularité que
existent dans des tables de valeurs
                                        n + 3. Et, 4n + 2 ne générera pas la même suite que 4n + 3. Bien que
pour résoudre des problèmes.
                                        toutes les expressions présentent une caractéristique commune, elles
[C, L, R, RP]             (suite)       généreront chacune un tableau de valeurs différent.
Indicateurs de rendement :              Il convient de présenter ce concept à l’aide de matériel de manipulation
                                        en vue de générer deux régularités différentes. Deux tables de valeurs
 6RR1.8 Formuler une règle pour         distinctes seraient générées et deux expressions mathématiques distinctes
 décrire la relation qui existe entre   (règles de régularité) seraient déduites à partir de ces régularités.
 deux colonnes de nombres dans          Distribuer des jetons aux élèves. Les élèves commenceront par
 une table de valeurs.        (suite)   placer 3 jetons en ligne. Chaque élève devra ensuite construire des
                                        lignes progressant chacune d’une quantité constante de son choix.
 6RR1.3 Décrire la régularité qui       Recommander aux élèves de prendre un pas de progression peu élevé
 se dégage de chacune des colonnes      afin de ne pas être à court de jetons. Les élèves vont prolonger leur
 d’une table de valeurs. (suite)        régularité sur cinq rangées. Par exemple :

6RR3 Représenter des
généralisations provenant de
relations numériques à l’aide
d’équations ayant des lettres pour
variables.                              Demander aux élèves de consigner dans un tableau de valeurs le nombre
                                        de jetons utilisés dans chaque ligne, comme dans l’illustration
[C, L, R, RP, V]                        ci-dessous : Par exemple :

Indicateur de rendement :

 6RR3.2 Représenter la règle de la
 régularité à l’aide d’une expression
 mathématique simple telle que 4d
 ou 2n + 1.                (suite)

                                        Demander aux élèves d’analyser leur tableau de valeurs et de créer une
                                        règle en mots et une expression qui pourraient servir à trouver le nombre
                                        de jetons quel que soit le nombre de lignes.
                                                                                                       (à suivre)

104                                        PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                             Ressources / Notes

                                                                   Compas Mathématique 6
                                                                   Leçon 4 : Comparer des
                                                                   expressions mathématiques
                                                                   6RR1
                                                                   6RR3
                                                                   GE p. 28 – 31
                                                                   ME p. 16

                                                                   Curiosités mathématiques:
                                                                   Les régularités d’une horloge
                                                                   6RR1
                                                                   GE p. 32-33
                                                                   ME p. 17

                                                                   Lecture supplémentaire :
                                                                   Small, Marion (2008), Making
                                                                   Math Meaningful to Canadian
                                                                   Students K-8, p. 582 - 588

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)                                   105
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

 Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)

 Résultats d’apprentissage               Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
 spécifiques

 L’élève doit pouvoir :

 6RR1 Démontrer une                      P. ex.
 compréhension des relations qui
 existent dans des tables de valeurs
 pour résoudre des problèmes.
 [C, L, R, RP]             (suite)       Après avoir analysé les expressions qu’ils ont formulées, les élèves
                                         devraient en venir à la conclusion que, même si tous les élèves ont
Indicateurs de rendement :
                                         commencé avec le même nombre, ils n’ont pas tous obtenu la même
 6RR1.8 Formuler une règle pour          expression parce que leur suite progressait par une grandeur différente.
 décrire la relation qui existe entre    Ensuite, demander aux élèves de commencer leurs lignes avec un
 deux colonnes de nombres dans           nombre de jetons de leur choix (leur conseiller de choisir un petit
 une table de valeurs.        (suite)    nombre). Ils devront ensuite former des lignes progressant chacune par
                                         pas de 2. Par exemple :
 6RR1.3 Décrire la régularité qui
 se dégage de chacune des colonnes
 d’une table de valeurs. (suite)

6RR3 Représenter des
généralisations provenant de             Demander à chaque élève de générer une table de valeurs qui illustre le
relations numériques à l’aide            changement du nombre de jetons d’une ligne à l’autre. P. ex.
d’équations ayant des lettres pour
                                         Demander aux élèves d’analyser
variables.           (suite)
                                         leur table de valeurs et de créer
[C, L, R, RP, V]                         une règle en mots et une
                                         expression qui pourraient servir
Indicateur de rendement :                à trouver le nombre de jetons
                                         quel que soit le numéro de la
  6RR3.2 Représenter la règle de la
                                         ligne.
  régularité à l’aide d’une expression
  mathématique simple telle que 4d       Après avoir analysé les expressions
  ou 2n + 1.                (suite)      formulées, les élèves devraient en
                                         venir à la conclusion que, même
                                         si tous les élèves ont fait progresser
                                         les termes de la même quantité,
                                         ils n’ont pas tous obtenu la même
                                         expression parce que leurs
                                         régularités commençaient par des
                                         grandeurs différentes.

 106                                        PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
                                   problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation                                             Ressources / Notes

                                                                   Compas Mathématique 6
                                                                   Leçon 4 (suite) : Comparer des
                                                                   expressions mathématiques
                                                                   6RR1
                                                                   6RR3
                                                                   GE p. 28 – 31
                                                                   ME p. 16

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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Domaine : Les régularités et les relations (les variables et les équations)

Résultats d’apprentissage            Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifiques

L’élève doit pouvoir :               Pour que des équations soient équivalentes, il faut effectuer les mêmes
                                     opérations sur chaque membre alors que la valeur de la variable ne
6RR4 Démontrer et expliquer          change pas. P. ex., les expressions 3n + 1 = 7 et 3n = 6 sont des équations
la signification de maintien de      équivalentes parce que 1 est soustrait de chaque côté de la première
l’égalité, de façon concrète et      équation pour obtenir la seconde équation. C’est ce qu’on appelle le
imagée.                              « maintien de l’égalité ».

[C, L, R, RP, V]                     Les élèves vont maintenant être initiés aux équations faisant intervenir
                                     une multiplication ainsi qu’aux équations à deux opérations, de
                                     manière imagée et concrète. Les élèves apprendront la différence entre
                                     une équation et une expression en 7e année, mais il importe de leur
                                     donner l’exemple du bon vocabulaire. Une équation est un énoncé
                                     mathématique complet indiquant une égalité entre deux grandeurs.
Indicateurs de rendement :           Les équations doivent comporter un signe d’égalité, p. ex., 2 + 3 = 5.
                                     Un énoncé mathématique comportant une variable est une équation
 6RR4.1 Modéliser le maintien        algébrique, p. ex., p + 2 = 3 se lit comme suit : « Deux de plus qu’un
 de l’égalité pour l’addition à      certain nombre est égal à 3 ». Il s’agit d’une équation algébrique, car
 l’aide de matériel concret (tel     elle indique qu’une quantité inconnue plus 2 égale 3. Par ailleurs, une
 qu’une balance) ou à l’aide d’une   expression algébrique est tout simplement un énoncé dépourvu de la
 représentation imagée, expliquer    notion d’équivalence. Par exemple, p + 2 se lit comme suit : « Un certain
 et noter le processus.              nombre plus 2 ». Dans ce cas, la variable p peut prendre n’importe
                                     quelle valeur. L’accent est mis sur la modélisation de ces équations et la
 6RR4.2 Modéliser le maintien        notion voulant que l’addition ou la soustraction d’une même quantité
 de l’égalité pour la soustraction   de chaque côté de l’équation préserve l’égalité. À cette étape, les élèves
 à l’aide de matériel concret (tel   n’ont pas à résoudre des équations, même si certains peuvent être portés
 qu’une balance) ou à l’aide d’une   à le faire.
 représentation imagée, expliquer
                                     La modélisation des équations avec la balance à plateaux peut se faire
 et noter le processus.
                                     avec des sacs représentant les variables (grandeurs inconnues) et des
                                     cubes emboîtables ou des blocs utilisés pour représenter les nombres.
 6RR4.3 Modéliser le maintien de
 l’égalité pour la multiplication    Modéliser sur une balance à plateaux une équation simple comme
 à l’aide de matériel concret (tel   3n = 9.
 qu’une balance) ou à l’aide d’une
 représentation imagée, expliquer
 et noter le processus.

 6RR4.4 Modéliser le maintien
                                     Les élèves peuvent maintenant ajouter une quantité fixe à chaque côté.
 de l’égalité pour la division à
                                     Peu importe la quantité ajoutée, la balance restera en équilibre s’ils
 l’aide de matériel concret (tel
                                     ajoutent la même quantité de chaque côté. Cette activité permettra à
 qu’une balance) ou à l’aide d’une
                                     l’élève d’observer comment l’égalité des deux plateaux (membres de
 représentation imagée, expliquer
                                     l’équation) est conservée.
 et noter le processus.
                                                                                                    (à suivre)

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