MECA1321 : tout ce dont vous avez rêvé à propos des fluides newtoniens...
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MECA1321 :
tout ce dont vous
avez rêvé
à propos des fluides newtoniens...
Equations de conservation et de comportement (VL)
Ecoulements et transferts laminaires (VL)
Théorie de la lubrification (VL)
Couches limites - convection forcée et naturelle (VL)
Ecoulements et transferts turbulents (GW)
Examen d’exercices à livre fermé sans
aucun document ou formulaire !
Equipe enseignante :-)
La mécanique des
milieux continus…
Construction
d’un modèle pour prédire l’évolution
d’un milieu continu
::ü.
m r
QUANTITE D E nut
Equations aux dérivées partielles
Equations de conservation
Equations de comportement U N FLUDE NEWTONIEN
Conditions aux limites
Conditions frontières
Conditions initiales
Construction
d’un modèle pour prédire l’évolution
d’un milieu continu
Dynamique moléculaire de l’air
3.5 litres d’air La prédiction avec la dynamique
1023 molécules moléculaire est tout-à-fait
impossible pour des écoulements
complexes
Ordinateur
1010 opérations par seconde
1013 secondes ou 100.000 années
juste pour référencer une fois chaque molécule
Hypothèse du
modèle continu
La densité obtenue
comme une
moyenne… ÷. •
Non uniformité
macroscopique
Essentiellement Point matériel
constant
Fluctuations
moléculaires
Hypothèse Le comportement de nombreux systèmes est
des milieux essentiellement le même que si on supposait
qu’ils étaient parfaitement continus.
continus
Expérimentalement, on
observe bien une séparation
des échelles, typiquement 1015
Non uniformité
macroscopique
Essentiellement
ÏËËÜ÷
û¥
constant
Fluctuations
â
moléculaires
Echelle
1171 LO I S
D E CONSERVATION
O U D E BILAN
ËÏÏü
'" ' "
↳
g«n=AMtt
ËÏÏf
a
← LOI D E CONSERVATION
contenu ((t)
masse ˥" off + I .(le) = 0
a.÷ : * . ËÏ"" fruit ? " " ) =
loft I I .E
[Ici,
⇐ ± ,
ENERGIE
Lois de
conservation
Apports extérieurs
Contenu : masse, quantité de
mvt, énergie…
Contenant : volume matériel
Observateur
ou volume de controle
Lois de conservation,
lois de comportement,
conditions aux limites.
Lois de Lois de
conservation comportement
Conditions aux limites
Consevation de la masse,
de la quantité de mouvement,
du moment de la quantité de mouvement
et de l énergie.
Formes globales
de la conservation
de la masse
§,
d
I t l DV = 0
Volume de controle
Ensemble de points eulériens
Volume matériel
Ensemble de points matériels en mouvement se
déplaçant à une vitesse macroscopique v(x,t)Forme globale Conservation
de la masse
satisfaite pour une certaine classe de systèmes,
à tout instant
Forme locale
sous certaines conditions
de continuité..
satisfaite en tout point et à tout instantToutes les lois de conservation, en un clin d oeil… Forme globale pour des volumes matériels
THEOREME ÎÉÊÏÏË? puissance
D E S EFFORTS
l'EI D E L' E N E R G I E
Puissance
INTERNES
M E CA N I Q U E D E S F o rc e s
D E contact
/
y.pt#p-.ITfEtl9oI ↳ L
ENERGIE
en rou e
#
DENSITE
- -
" " '" a n "
f §g(Ë) D E S Forces
A Distance
qnpom.gg
I
Ya g y u , ,
I . (EI)
ÏÉËÊ)
DE L a DENSITE
_
§ :
g .
gggy.gg,
)
-
cnn.IE:
-
DENSITE D E
Puissance D E S
(ÊËE
Forces ix.
\ -
t-E.nu +
Pi=§E:Ê DISSIPATION
VISQUEUSEConservation
de l’énergie… Energie
potentielle
Puissance des forces à distance
Puissance des efforts internes
Energie
cinétique
Energie
interne
… sous 3 angles de vue !Puissance des Forme locale non-conservative de la
conservation de l’énergie interne
efforts internes [ p
Formes globales
Energie
interne
Energie
cinétique
p
C
Forme locale non-conservative de la Puissance des
conservation de l’énergie cinétique efforts internesComment
retrouver
les équations
locales ?…dont on peut déduire
des formes locales ¥
✓
°
Forme locale
dite non-conservative
Forme locale
dite conservativeTrois nouveaux acteurs
dans notre modèle !
Pression
Tenseur des extra-
contraintes
EnthalpieUn peu d’algèbre
Lois de conservation,
lois de comportement,
conditions aux limites.
Lois de Lois de
conservation comportement
Conditions aux limites
Second principe de la thermodynamique,
Modèle du fluide visqueux newtonien
Les équations de comportement ne peuvent pas être écrites n’importe comment !
Il faut respecter certaines règles !
En particulier, il faut les écrire afin que le second principe de la
thermodynamique soit toujours satisfait.Quelques jolis tenseurs pour
construire notre modèle…
Tenseur des taux de
déformation
Partie sphérique du Partie déviatoire du
tenseur des taux de tenseur des taux de
déformation déformationViscosité de Viscosité de
volume cisaillement
Conductibilité
thermique
L’équation de comportement pour
l’entropie n’est utile que pour vérifier que Contraintes à
le second principe est bien satisfait ! respecter
pour satisfaire
Modèle du fluide
Clausius-Duhem
visqueux newtonienQuelques ordres de grandeur
Le compte
est bon !
Remarque : si une équation de comportement
pour l’enthalpie est donnée… on en déduit
automatique l’énergie interne et vice-versa.Modèle de gaz idéal
Un exemple
d’équation d’état pour
la masse volumique Constante du gaz
Ecoulements compressibles
Propagation des sons au sein de l’air : c’est un effet de la
compressibilité de l’écoulement.
Caractérisation par le nombre de MachPresque comme Concentration molaire
[mole/m3]
en thermo…
Masse volumique Masse molaire
[kg/m3] [kg/mole]
Constante des gaz Constante du gazEt la relation
d’état pour
l’enthalpie (1) ?
Chaleur massique à
pression constante
Chaleur massique à
volume constant
Coefficient de Coefficient de
dilatation compressibilité
(1) ou l’énergie interne thermiqueIl s’agit
donc de définir
une équation d’état pour la
chaleur massique à pression
constante et …
Chaleur massique à
pression constanteOn ne peut pas écrire
n importe comment
ces relations d état !
Second principe de la thermodynamique
Il faut respecter certaines règles !
En particulier, il faut les écrire afin que le second principe de la
thermodynamique soit toujours satisfait.$
De tels gonflement de jets
sont imprévisibles avec ce
modèle newtonien
(Piau, JNNFM, 90)
La plupart de fluides réels NE SONT PAS des fluides
newtoniens…
Itt L’air et l’eau sont toutefois newtoniens et constituent
les fluides les plus largement répandus…
(Giesekus, Rheologica Acta, 68)Rhéologie : la science du monde magique
des équations de comportement…
Pression
Vitesse de
Contraintes du viscosité de
dilatation-
volume
fluide visqueux compression
newtonien
Vitesse de
cisaillement
viscosité de
cisaillement
Modèles
viscoélastiques Déformation
petites déformations
grandes déformations
Contraintes du
solide élastique
coefficients de Lamé% #
Evaluer la force de trainée à
"
partir d’une mesure du profil de
vitesses en aval…
g .
-
Taneda 1956
(from An Album of Fluid Motion, Van Dyke)
Volume de controle
Ensemble de points eulériens
ai
¥FIT VOLUME
%! «ouenen,
ÎN%%ÎÊÊBce
D E CONTROLE {PATIONNAIRE
Ë. BILAN D E
HORIZONTACE
LA
D E
II--0
COMPOSANTE
f I
" " "
} "
"
- -
Ë÷
si:c ËËÊËË÷ïî÷ïrx iÏ" " " "ni"
I .y =_Un
" " _ ÷
" eux# !
COMPOSANTE
BILAN D E
"
LA
HORIZONTALE D E f I " " "
.gg#yg..q.y-
{pu
-
[NH-zqgj.ffz.GE
CI.nu)
-
= - FD
E--"
-
[kglms]} /
[m]
J
Un §-dy d o
= p
o n -
Conservation
-
0¥ En
masse
-1¥-euuo.ly
=
No !}Ë - -
d sSimplifications usuelles…
Ecoulement Hypothèses
incompressible irréalistes
Ecoulement incompressible et
Transformations irrotationnel
adiabatiques
Fluide
incompressible
Hypothèses Fluide
réalistes parfaitDonc,
simplifions…
Ecoulement
Fluide newtonien
incompressible
Dans un écoulement incompressible,
à paramètres
il n’y a pas de raison de distinguer matériels constants
chaleur spécifique à volume ou à
pression constante.
On écrit simplement le symbole c !
Les équations de continuité et de quantité
de mouvement ne font pas intervenir la
température : on peut résoudre la
dynamique de l’écoulement sans tenir
compte des aspects thermiques !
Ecoulement incompressible d’un
fluide visqueux newtonien à
paramètres constants.Ecoulements
incompressibles
stationnaires Ecoulement incompressible stationnaire d’un
fluide visqueux newtonien à paramètres
constants, sans forces de volume.
Re = 5.7 10-4
Re = 1.25 10-2
(Boger, Hur, Binnington, JNFM 1986)Adimensionaliser : pourquoi ?
Et ADIMENSIONNALISER ! " " " " " " "
" " " " "
STATIONNAIRE
S O FUN : - ) F LU I D E NEWTONIEN CONSTANTES
S O HARD :-( p ro p r i é t é s M AT.
{p(±?K=-Ip+n'
g. y = g
ça ÉÏ" "
[m]
E- È I'--
¥ n'= {matin] [Ntm] [Pa]
Âme] [kglms] =
=
=
D ' EUX = o
¥.
p#I.E ) ± =
-¥ l'p' +
¥ È re
-
-
=ÆÊÜÆtAdimensionaliser : pourquoi ?
Adimensionaliser
c
Dans un écoulement incompressible, seul un écart de
pression peut être caractéristique… Ajouter ou
retirer une pression constante ne change rien à
l’écoulement !En variables
adimensionnelles,
Ils ont le même nombre de Reynolds :-)
…ces deux
écoulements
sont identiques.C’est quoi physiquement le
nombre de Reynolds ? Effets visqueux
Diffusion de la quantité
de mouvement
Effets d’inertie
Transport de la quantité
de mouvementNombre de
Reynolds
caractérise un écoulement
d’un fluide !
à éventuellement Born: 23 Aug 1842 in Belfast, Ireland
savoir, à titre de Died: 21 Feb 1912 in Watchet, Somerset, England
double check
Forces d’inertie
Forces de viscosité
à savoir !Re = 25
Que se
passe-t-il
lorsque l’on
augmente
¥ .
le nombre
de Re ? Re = 118
rengrener.
wooden
(Van Dyke, 1982)
Re = 1500000.EE?H---
R e=
Re très très petit… kr+nr:El DIFFUSION
INERTIE
Le terme visqueux est négligeable
Ecoulements
Le terme d’inertie est négligeable
incompressibles
irrotationnels
Ecoulements
incompressibles
Equations de Stokes
rampants
…et Re très très grand !
Equations d’EulerEcoulements
incompressibles
stationnaires Ecoulement incompressible stationnaire d’un
fluide visqueux newtonien à paramètres
constants, sans forces de volume.
plans
g - [ v.v ]Ecoulements 3D – 2D –1D
Ecoulements établis :
• Une seule vitesse u
• Pas de variations de u le long de l’axe de
la conduite (c’est-à-dire x)
Un écoulement établi est un écoulement dont le profil
transversal de vitesse est le même quelle que ce soit la section
transversale à l’écoulement.
La section doit évidemment être constante !! %
# !
Ecoulements
incompressibles
stationnaires
plans En imposant v=0
sur une des parois…
établis11111111
0¥." ¥-!"
c.
hi
" '" "
Poiseuille
" l " - • U
off: O
Couette
U N¥4 x x x Ecoulements incompressibles stationnaires axisymétriques établis
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