PROGRAMME MULTILINGUE - ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020 - EHU
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MATEMATIKA APLIKATUA SAILA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
PROGRAMME MULTILINGUE – ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020
Matière : ALGÈBRE LINÉAIRE
Grade (Maîtrise) en Génie des Technologies Industrielles
Grade (Maîtrise) en Génie de l’Environnement
Grade (Maîtrise) en Organisation Industrielle
Ecole d’Ingénierie de Bilbao
Enseignant : Mª Esther GUTIERREZ ORRANTIA
Département: Mathématiques Appliquées
Salle : P2B56
e-mail : esther.gutierrez@ehu.eus
Quadrimestre : Annuelle | Crédits : 9 | Type: tronc commun
DESCRIPTION ET CONTEXTUALISATION DU COURS
Le cours tente de fournir à l'étudiant une formation mathématique de base lui permettant
d'accéder à l'étude d'autres disciplines.
Ce cours fait partie du module de formation de base.
Il commence par un rappel concernant les matrices, les déterminants et les systèmes
d’équations linéaires. L’étude des espaces vectoriels et des espaces normés est ensuite
abordée, en approfondissant les concepts de dépendance et d’indépendance linéaire et de
base. Les produits scalaires et la norme induite sont traités en insistant sur le concept
d’orthogonalité et la méthode de Gram-Schidmt pour l’obtention de bases orthogonales. Les
applications linéaires sont ensuite étudiées. Les concepts de valeurs propres et de vecteurs
propres sont définis et la diagonalisation et la triangularisation des matrices par similarité
sont présentées.
Dans une derniére partie, la résolution numérique des problèmes étudiés tout au long du
cours est abordée. Les méthodes numériques sont ainsi présentées pour la résolution de
systèmes d’équations linéaires et les méthodes d’obtention de valeurs propres et de vecteurs
propres. En tant qu’application directe de la théorie étudiée dans le sujet traitant des espaces
euclidiens, l’approximation par la méthode des moindres carrés est présentée.
La matière fournit à l'élève les connaissances et les compétences nécessaires pour bien
comprendre d'autres matières mathématiques (extension des équations différentielles et
méthodes numériques).
Des connaissances suffisantes sont également acquises pour faire face à d’autres disciplines
(chimie, physique, mécanique, génie électrique, thermodynamique, structures, mécanique
des fluides, etc.) dans lesquelles un grand nombre de modèles ont un caractère linéaire et où
le langage matriciel est largement utilisé.
COMPETENCES / RESULTATS DE L’APPRENTISSAGE DU COURS
Capacité à résoudre des problèmes mathématiques pouvant survenir en ingénierie. Capacité
à appliquer des connaissances concernant: l’algèbre linéaire; la géométrie; la géométrie
différentielle; le calcul différentiel et intégral; les équations différentielles et dérivées
partielles; les méthodes numériques; l’algorithme numérique; les statistiques et optimisation
(compétence M01CM01)
L’assimilation des compétences de la matière permettra à l'étudiant de:
- La présentation claire et ordonnée des concepts fondamentaux de l'algèbre.
- La résolution de problèmes mathématiques utilisant la connaissance de l'algèbre linéaire et
des méthodes numériques, à l'aide d'un logiciel mathématique.
Ce document est la propriété de Mª Esther Gutiérrez Orrantia et ne peut être utilisé, reproduit ou communiqué sans son autorisation.MATEMATIKA APLIKATUA SAILA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
PROGRAMME DU COURS
I.- ALGÈBRE LINÉAIRE
CHAPITRE 1 : CALCUL MATRICIEL ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Quelques définitions et opérations en relation avec les matrices.- Types particulières de
matrices.- Permutations et Déterminants.- Matrice inverse d’une matrice régulière. -
Décomposition de matrices en « blocs ».- Transformations élémentaires effectuées sur les
matrices.- Systèmes d’équations linéaires : Elimination Gaussienne.
CHAPITRE 2 : ESPACES VECTORIELS.
Structure algébrique d’espace vectoriel et quelques propriétés.- Sous-espaces vectoriels.-
Dépendance et indépendance linéaire.- Bases, dimension et coordonnées.- Changement de
base : Matrice de passage.- Opérations avec des sous-espaces vectoriels.- Définition de
Norme. Exemples de normes dans Rn.
CHAPITRE 3 : ESPACES EUCLIDIENS.
Définition et propriétés du Produit Scalaire.- Inégalité de Schwarz- Norme à partir d’un
produit scalaire.- Formule matricielle du produit scalaire.- Changement de base.- Vecteurs
orthogonaux, normés et orthonormés.- Méthode d’orthogonalization de Gram-Schmidt.-
Projections Orthogonales.
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS LINÉAIRES.
Définition d’application linéaire. Propriétés. -Image et Noyau d’une application linéaire.-
Classification des applications linéaires.- Formule matricielle d’une application linéaire.
Matrice d’une application linéaire. Rang d’une application linéaire.- Changements de base.
CHAPITRE 5 : DIAGONALISATION PAR TRANSFORMATIONS PAR SIMILITUDE.
Le problème de réduction des endomorphismes.- Valeurs propres et vecteurs propres: calcul
et propriétés.- Méthode pour diagonaliser une matrice carrée.- Matrices symétriques et
diagonalisation.
CHAPITRE 6 : TRIGONALISATION PAR TRANSFORMATIONS PAR SIMILITUDE.
Introduction.- Forme de Jordan de matrices de taille deux et trois.- Théorème de
classification de Jordan.- Algorithme pour obtenir la forme de Jordan d’une matrice.
II.- MÉTHODES NUMÉRIQUES EN ALGÈBRE LINÉAIRE
CHAPITRE 1 : INTRODUCTION. Arithmétique flottante: Troncature et arrondi. Erreurs
numériques.
CHAPITRE 2 : ALGORITHMES DE RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE SYSTÊMES LINÉAIRES :
Directes et itératifs. ESTIMATION DES VALEURS PROPRES PAR ITÉRATION : La Méthode de
la Puissance.
CHAPITRE 3 : APPROXIMATION PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES.
METHODOLOGIE
- Cours théoriques dans lesquels les concepts théoriques du sujet seront expliqués.
- Classes de problèmes dans lesquels des exercices typiques seront résolus et d'autres
seront proposés pour résolution par les étudiants.
- Séminaires dans lesquels des activités complémentaires seront réalisées, tels que
présentations orales sur les problèmes proposés, examens de type test, etc.
- Travaux Pratiques informatiques dans lesquels l'étudiant apprendra à utiliser le logiciel
mathématique "Mathematica", qui sera appliqué à la résolution de problèmes d'algèbre
linéaire. Ces travaux pratiques serviront également à initier l'étudiant à la programmation de
méthodes numériques.
- Grâce à la salle de classe virtuelle eGela, l’élève peut accéder à différents documents liés
au sujet.
- Les heures de tutorat permettront à l’élève de consulter l’enseignant sur différentes
questions concernant le cours.
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ÉVALUATION
Examen Final Ordinaire.
L'évaluation du cours sera mixte et comprendra:
1. Une évaluation continue (20% de la note finale):
- 10% correspondant aux notes obtenues lors des séminaires (Qualification Ns)
- 10% correspondant aux notes obtenues lors des travaux pratiques informatiques avec le
logiciel «Mathematica» (Qualification Ni)
2. Une évaluation finale (80% de la note finale):
- 40% correspondant à un examen écrit ayant pour but d'évaluer le contenu des cours
théoriques et les problèmes rencontrés au cours du premier semestre (Qualification Ne1)
- 40% correspondant à un examen écrit ayant pour but d'évaluer le contenu des cours
théoriques et les problèmes vus durant le second semestre (Qualification Ne2)
La note finale de l’étudiant (Nf) sera obtenue en appliquant la moyenne pondérée des notes
correspondantes à tous les tests et activités susmentionnés.
Nf = 0,1.Ns + 0,1.Ni + 0,4.Ne1 + 0,4.Ne2
Clauses particulières:
1) En général, lors de l'élaboration des tests d'évaluation qui seront effectués tout au long du
cours, il sera interdit d'utiliser des livres, des notes de cours ou des notes personnelles, ainsi
que des appareils téléphoniques, électroniques, informatiques ou autres par les étudiants,
sauf pour:
- Une calculatrice qui n’est ni graphique ni programmable, lors de l’épreuve écrite individuelle
sur le contenu des cours théoriques et les problèmes rencontrés au cours de la seconde
moitié du semestre.
- l'ordinateur correspondant attribué à l'étudiant par l'enseignant dans le cas de tests destinés
à évaluer le contenu correspondant aux travaux pratiques informatiques de la matière.
Toute modification du matériel autorisé dans les différents tests de la matière sera notifiée
par les enseignants bien avant l’achèvement du test.
2) La réussite à l’examen partiel du premier semestre permet de se libérer de la première
partie de l’examen final.
3) La note finale de la partie écrite, Ne, sera obtenue en calculant la moyenne des notes Ne1
et Ne2. Pour valider le cours, il sera nécessaire que chacune des notes Ne1 et Ne2 soit
supérieure ou égale à 4,5 (sinon, la matière est invalidée).
4) De même, pour valider la matière, la note finale de l'élève (Nf) doit être supérieure ou
égale à 5 (sinon, la matière est invalidée).
5) Pour renoncer à la convocation, il suffira de ne pas se presenter à l'épreuve écrite finale.
Dans tous les cas, l'étudiant peut choisir le système d'évaluation final, qu'il ait ou non
participé à l'évaluation continue. Pour ce faire, il devra suivre les instructions de l'article 8
(chapitre 2) concernant les "Systèmes d'évaluation de la Réglementation concernant
l'évaluation des étudiants des diplômes de grade officiels".
Les pourcentages suivants seront appliqués au dit système d'évaluation final:
- 80% correspondant à un examen écrit sur le contenu des cours théoriques et les problèmes
rencontrés tout au long du cours. Cet examen comportera à son tour deux parties
correspondant aux contenus étudiés au cours des premier et deuxième semestres (Notations
Ne1 et Ne2, respectivement).
- 20% correspondant à un examen écrit sur le contenu des thèmes traités lors des
séminaires (Qualification Ns) ainsi qu’aux travaux pratiques réalisées avec le logiciel
«Mathematica» (Qualification Ni)
La note finale de l’élève sera la somme pondérée des notes obtenues dans ces épreuves, en
appliquant également les clauses 1), 3), 4) et 5) précédemment indiquées.
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Examen Final Extraordinaire
Dans ce cas, l’évaluation finale appliquera les pourcentages suivants:
- 90% correspondant à un examen écrit sur le contenu des cours théoriques et les problèmes
rencontrés tout au long du cours (Qualification Ne).
-10% correspondant à un test informatique qui servira à évaluer les résultats de
l'apprentissage acquis grâce aux travaux pratiques réalisées avec le logiciel «Mathematica»
(Qualification Ni).
La note finale de l’élève (Nf) sera la somme pondérée des notes obtenues lors de ces deux
épreuves, en appliquant également les clauses 1), 4) et 5) indiquées ci-dessus.
BIBLIOGRAPHIE:
-En français :
Gutiérrez Orrantia, M.E., Algèbre Linéaire : Notes de Cours (Version Française de
« Algebra Lineal: Notas de Clase ») (sur eGela, 2019-2020).
Gutiérrez Orrantia, M.E., Algèbre Linéaire (Méthodes Numériques): Notes de Cours
(Version Française de « Algebra Lineal (Métodos Numéricos): Notas de Clase ») (sur
eGela, 2019-2020).
Énoncés et solutions d’exercices d’examen - Années 2010-2019 (sur eGela, 2019-
2020).
Bayer, E., Chabloz, P., Algèbre Linéaire - Bachelor 1ère Année, Version de Septembre
2007. EPFL (France).
Bouvier, A., George, M., Le Lionnais, F., Dictionnaire des mathématiques. 2ème
édition. PUF. 2005.
Jedrzejewski, F., 2005 : Introduction aux méthodes numériques. 2ème édition. Springer.
Lay, D.C., Algèbre Linéaire : Théorie, Exercices et Applications, Éditions De Boeck
Université, Bruxelles, 2004.
Quarteroni, A.,Sacco, R., Saleri, F., 2007 : Méthodes Numériques. Algorithmes,
analyse et applications. Springer.
Roudier, H., Algèbre Linéaire, 3ème édition. VUIBERT. Paris. 2008.
-En espagnol :
Profesores de Algebra Lineal, Dpto. de Matemática Aplicada de la ETSI
Bilbao. Algebra Lineal: Notas de Clase. Servicio de Publicaciones de la Escuela
Técnica Superior de Ingeniería de Bilbao, 2014.
Profesores de Algebra Lineal, Dpto. de Matemática Aplicada de la ETSI
Bilbao. Algebra Lineal (Métodos Numéricos): Notas de Clase. Servicio de
Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Bilbao, 2014.
Bravo, E. y otros. Exámenes resueltos de Algebra Lineal y Matemáticas(1996-2000).
Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, 2002.
Bravo, E. y otros. Exámenes resueltos de Algebra Lineal y Matemáticas(2001-2005).
Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, 2006.
Burden R.L., Faires J.D., 2009: Análisis Numérico, Grupo Ed. Iberoamérica.
Burgos, J., Algebra Lineal y geometría cartesiana. 3ª Ed. 2006. Mc Graw-Hill.
Conte, S.D. y de Boor, C., 2005: Análisis Numérico, McGraw-Hill.
Kincaid, D. y Cheney, W., 2007: Análisis Numérico. Las matemáticas del cálculo
científico, Addison-Wesley Iberoamericana.
Grossman, S., 2008: Algebra Lineal. Mc Graw-Hill.
-En anglais :
Burden, R., Fayres, J.D., Numerical Analysis, 2005. 8th Ed, Brooks/Cole, USA.
Lay, D.C., Linear Algebra and its applications. 3rd Edition (Update). 2006. Pearson
Education.
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
Leon, S.J., Linear Algebra with applications. 8th Edition. 2010. Pearson Education
International.
Noble, B., Daniel, J.W., Applied Linear Algebra. 3rd Edition. Prentice-Hall International
Editions, New Jersey, 1988.
Strang, G. Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge
Press. 4th Edition. 2009.
Netographie:
http://www.ehu.eus
http://egela.ehu.eus/
http://ocw.mit.edu
http://www.divulgamat.net/
http://www.wolfram.com/products/mathematica
OBSERVATIONS
INFORMATIONS RELATIVES AU PLURILINGUISME
Cette matière est proposée en espagnol, en basque, en anglais et en français, ce qui
permettra aux étudiants de première année de se familiariser avec la terminologie de
l’algèbre linéaire dans l’une de ces langues.
Compte tenu de l'expérience des années précédentes, les horaires en algèbre linéaire en
français peuvent être adaptés aux préférences du groupe d'élèves qui s'inscrivent dans cette
langue, une fois le cours commencé, afin d'éviter des incompatibilités avec l'horaire d'autres
matières. Pour toute question à ce sujet, contactez esther.gutierrez@ehu.eus.
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EMPLOI DU TEMPS DU COURS (2019-2020)
ALGÈBRE LINÉAIRE
1er Semestre
Semaine Contenus Autres activités
1 Chapitre 1
2 “
3 “ 1er T.P.de Mathematica
4 “
5 “
6 Chapitre 2
7 “
8 “ 1er Séminaire
9 “
10 “
11 (2h) “ 2ème.T.P.de Mathematica
11 (1/2h) Chapitre 4
12 “ 2ème Séminaire – Test
13 “
14 “
15 “ 3ème.T.P. de Mathematica– Contrôle
Examen Partiel (17 Janvier 2020 - 8.30 h)
2ème Semestre
Semaine Contenus Autres activités
18 Chapitre 3
19 “
20 (1h) “
20 (1.30h) Chapitre 5
21 “
22 (2h) “ 4ème T.P.de Mathematica
22 (1/2h) Chapitre 6
23 “
MÉTHODES NUMÉRIQUES en ALGÈBRE LINÉAIRE
24 (1h) Chapitre 1
24 (1.30h) Chapitre 2
25 “ 3ème Séminaire
26 “
27 “ 5ème T.P.de Mathematica
28 “ 4ème Séminaire – Test
29 “
30 Chapitre 3
31 “ 6ème T.P.de Mathematica – Contrôle
32 “
Examen Final Ordinaire (26 May 2020 – 8.30 h)
Examen Final Extraordinaire (3 Juillet 2020 – 8.30 h)
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