Statistiques pour le fond diffus cosmologique
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Statistiques pour le fond diffus cosmologique
Frédéric GUILLOUX
Université Pierre et Marie Curie
Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée
Travaux en collaboration avec
Marc BETOULE, Jean-François CARDOSO, Jacques DELABROUILLE, Jacques Gilles FAŸ et
Maude LE JEUNE (Université Paris-Diderot, Laboratoire AstroParticule et Cosmologie)
Mathématiques en mouvement, 28 mai 2014
Plan Enjeu physique Histoire de l’Univers Fond diffus cosmologique Modélisation mathématique Champs aléatoires sur la sphère Analyse de Fourier sur la sphère Quelques problèmes statistiques
Plan Enjeu physique Histoire de l’Univers Fond diffus cosmologique Modélisation mathématique Champs aléatoires sur la sphère Analyse de Fourier sur la sphère Quelques problèmes statistiques
L'Univers : évolution des conceptions et des techniques
L'Univers : évolution des conceptions et des techniques
L'Univers : évolution des conceptions et des techniques
L'Univers n'est pas sans histoire !
L'Univers n'est pas sans histoire !
Années 1920 :
• à partir des équations d'Einstein (Friedmann)
• observation de l'éloignement des galaxies (Hubble, Lemaitre)
=> L'Univers est en expansion, en évolution
L'Univers n'est pas sans histoire !
Années 1920 :
• à partir des équations d'Einstein (Friedmann)
• observation de l'éloignement des galaxies (Hubble, Lemaitre)
=> L'Univers est en expansion, en évolution
Polémique (1920-1965) :
Univers en évolution ou « stationnaire » ?
NB Évolution n'est pas « Gros Boum » !…
1940 : Les partisans d'un Univers en évolution prédisent une
« lumière fossile » (Fond diffus cosmologique)
L'Univers n'est pas sans histoire !
Années 1920 :
• à partir des équations d'Einstein (Friedmann)
• observation de l'éloignement des galaxies (Hubble, Lemaitre)
=> L'Univers est en expansion, en évolution
Polémique (1920-1965) :
Univers en évolution ou « stationnaire » ?
NB Évolution n'est pas « Gros Boum » !…
1940 : Les partisans d'un Univers en évolution prédisent une
« lumière fossile » (Fond diffus cosmologique)
1965 :
Observation du Fond diffus cosmologiqueL'Univers n'est pas sans histoire !
Années 1920 :
• à partir des équations d'Einstein (Friedmann)
• observation de l'éloignement des galaxies (Hubble, Lemaitre)
=> L'Univers est en expansion, en évolution
Polémique (1920-1965) :
Univers en évolution ou « stationnaire » ?
NB Évolution n'est pas « Gros Boum » !…
1940 : Les partisans d'un Univers en évolution prédisent une
« lumière fossile » (Fond diffus cosmologique)
1965 :
Observation du Fond diffus cosmologique
1992 :
Observation des détails de cette lumière : « photographie » de
l'Univers d'il y a 14 milliards d'annéesL'histoire de l'Univers, c'est aussi l'histoire de la matière
chocolat morphine petit bout d'ADNL'histoire de l'Univers, c'est aussi l'histoire de la matière Éléments fabriqués par les étoiles durant leur vie… et leur mort
L'Univers il y a 14 milliards d'années
L'Univers il y a 14 milliards d'années
AVANT APRÈS
plasma : protons, électrons et - atomes d'Hydrogène
photons mélangés (« soupe ») - lumière (photons libérés)
« découplage » entre
la matière (pesante)
et la lumièreLe fond diffus cosmologique (« rayonnement fossile », « CMB » pour Cosmic Microwave Background, …)
Le fond diffus cosmologique (« rayonnement fossile », « CMB » pour Cosmic Microwave Background, …) La température du rayonnement est quasiment constante sur le ciel…
Le fond diffus cosmologique (« rayonnement fossile », « CMB » pour Cosmic Microwave Background, …) La température du rayonnement est quasiment constante sur le ciel… … mais pas tout à fait
Observations des fluctuations du fond diffus cosmologique
Plan Enjeu physique Histoire de l’Univers Fond diffus cosmologique Modélisation mathématique Champs aléatoires sur la sphère Analyse de Fourier sur la sphère Quelques problèmes statistiques
Champs aléatoires sur la sphère
On considère un champs aléatoire
X : ⌦, A, P S2 , d R, .
(où d x, x : arccos x, x 0, ⇡ , si x ✓, ' S2 )
Hypothèse 1 (variables aléatoires de carré intégrable, centrées)
x S2 , en notant par abus X x X , x , on a :
E X x 2
et E X x 0
On a une fonction (aléatoire) X : S2 , d L2 P , .
1
(où Y : E Y2 2 )
Hypothèse 2 (continuité)
X : S2 , d L2 P , . est continue
Cette fonction est intégrable en moyenne quadratique :
E S2
X 2 x dx (dx sin ✓d✓d')Stationnarité
X :⌦ S2 R Déf. : X est strictement stationnaire si
N N , x1 , . . . , x N S2 , ⇢ SO 3 ,
X x1 , . . . , X xN X ⇢ x1 , . . . , X ⇢ xN
Déf. : X est (faiblement) stationnaire si
: 0, ⇡ R, x, x S2 ,
Cov X x , X x d x, x
( est appelée “fonction d’autocovariance angulaire”)
Déf. : X est gaussien si
N, x1 , . . . , x N S2 , X x1 , . . . , X xN est un vecteur gaussien
Prop.
Si X est strictement stationnaire, alors X est stationnaire.
La réciproque est vraie si X est, par ailleurs, gaussien.Analyse harmonique : des séries de Fourier aux Harmoniques sphériques
Développement en série de Fourier
Soit f : S1 R (càd f : R R 2⇡-périodique), continue.
f x c0 e0 x cn e n x c ne n x
n 1
1
où en x e inx et cn f , en L2 S1 2⇡ S1
f x en x dx.
Les cn sont les “coefficients de Fourier”.
Développement en Harmoniques sphériques
Soit f : S2 R continue.
n
f x cn,m Yn,m x
n 1 m n
1
où Yn,m x . . . et cn,m f , Yn,m L2 S2 4⇡ S2
f x Yn,m x d x
Les cn,m sont les “coefficients de Fourier”.Analyse harmonique : des séries de Fourier aux Harmoniques sphériques
si m 0,
Y`m ✓, '
4⇡ ` m !
2` 1 ` m !
` 1, m 0 ` 1, m 1
1 m 1 cos2 ✓ m 2L m cos ✓
`
e im'
et Y`, m Y`m
` 2, m 1 ` 2, m 0
où L` est le `e polynôme de Legendre
m
et L` sa me dérivée.
` 3, m 1 ` 4, m 1
` 30, m 0 ` 30, m 20
Base usuelle d’Harmoniques sphériques.Analyse harmonique : des séries de Fourier aux Harmoniques sphériques
X :⌦ S2 R Hypothèses 1 et 2 (intégrabilité, continuité)
Prop.
X cn,m Yn,m
n m
1
où cn,m 4⇡ S2
X x Yn,m x d x,
NB les coefficients de Fourier cn,m sont des variables aléatoires
(cn,m : ⌦ R) de L2 P .
L’égalité de la proposition a lieu au sens où
N 2
n
E S2
X x m n cn,m Yn,m x dx 0.
n 0 NPropriétés statistiques des coefficients de Fourier
X :⌦ S2 R cn,m 1
4⇡ S2
X x Yn,m x d x (variables aléatoires)
X n m cn,m Yn,m
Prop. (Effet de la stationnarité sur les coef. de Fourier)
Si X est stationnaire, alors n, Cn , m,
Cov cn,m , cn ,m 0 si n, m n ,m
Var cn,m Cn ne dépend pas de m
Cn n N est appelé “spectre de puissance angulaire” du champ X
Coroll.
Si X est stationnaire et gaussien, les variables aléatoires
cn,m , n N, m 0, sont 2 à 2 indépendantes.
Prop. (Importance du spectre de puissance angulaire)
Si X est stationnaire et gaussien, son spectre Cn n N détermine
totalement sa loi.Plan Enjeu physique Histoire de l’Univers Fond diffus cosmologique Modélisation mathématique Champs aléatoires sur la sphère Analyse de Fourier sur la sphère Quelques problèmes statistiques
Estimation statistique dans le cas idéal. . . “Si” X était vraiment la réalisation d’un champ gaussien stationnaire conforme aux modèles physiques, et si si on observait parfaitement X x x S2 , alors on pourrait retrouver simplement (avec une marge d’erreur statistique) les paramètres physiques en 2 étapes :
Estimation statistique dans le cas idéal. . .
“Si” X était vraiment la réalisation d’un champ gaussien stationnaire
conforme aux modèles physiques, et si si on observait
parfaitement X x x S2 , alors on pourrait retrouver simplement (avec
une marge d’erreur statistique) les paramètres physiques en 2 étapes :
1. Estimation de Cn à partir des données :
1 n 2
Cn : 2n 1 m n cn,m cn,m : S2
XYn,m Var cn,m Cn
Prop. (estimateur sans biais, de variance asymptotiquement
nulle, et “optimal”)
Cn Cn 1 "n où E "n 0
2
Var "n 2n 1 0.
n
Cn réalise le maximum de vraisemblance.Estimation statistique dans le cas idéal. . .
“Si” X était vraiment la réalisation d’un champ gaussien stationnaire
conforme aux modèles physiques, et si si on observait
parfaitement X x x S2 , alors on pourrait retrouver simplement (avec
une marge d’erreur statistique) les paramètres physiques en 2 étapes :
1. Estimation de Cn à partir des données :
1 n 2
Cn : 2n 1 m n cn,m cn,m : S2
XYn,m Var cn,m Cn
2. Estimation des paramètres physiques à partir de Cn n N , en
cherchant les paramètres qui donnent le spectre théorique Cn le
plus proche de Cn .Estimation statistique dans le cas idéal. . . et la réalité. . .
Observations finies (échantillonnées)
Observations partielles
Bruit hétéroscédastique et corrélé le long des “scans”
Floutage (convolution) dû aux télescopes
Superposition d’avants-plans / Observations dans des longueurs
d’onde différentes
Expériences multiples se recoupant partiellement
Le champs est-il réellement gaussien ? stationnaire ?Estimation statistique dans le cas idéal. . . et la réalité. . .
Observations finies (échantillonnées)
Observations partielles
J. F. Macías-Pérez et al.: Arhceops in-flight performance, data processing and map making 1341
Bruit hétéroscédastique et corrélé le long des “scans”
Floutage (convolution) dû aux télescopes
Superposition d’avants-plans / Observations dans des longueurs
d’onde différentes
Expériences multiples se recoupant partiellement
Le champs est-il réellement gaussien ? stationnaire ?
12 Kuo et al.
Fig. 39. From top to bottom, combined Archeops CMB maps for the 143 and 217 GHz channels. In the Galactic plane region the residual galactic
Archeops et ACBAR
emission is still visible but clearly disappears at high galactic latitudes where the CMB studies are performed.
imposed a scanning strategy using large rings with little redun- not have preferred directions on the sky, was applied to data in
dancy and therefore made systematic effects difficult to handle. all pipelines. For CMB maps, the low-frequency channels were
Typically the data were contaminated by the large-scale fluc- further decorrelated from a mixture of the high-frequency data,
tuations of the atmospheric emission and by the Galactic fore- which are dominated by atmospheric and Galactic signals. For
ground emission. Because of these difficulties, we were forced Galactic maps, the atmospheric component was subtracted using
to apply different processing techniques to the data for each of a component separation method on the timelines. For the polar-
the main scientific goals: 1) estimation of the CMB tempera- ization pipeline, simultaneous time and frequency filtering was
ture anisotropies power spectrum, 2) study of the Galactic dif- applied.
fuse emission, and 3) estimation of the polarized submillimetre The processing and the instrumental setup were improved
emission of the Galaxy. In particular, the destriping and filtering between successive flights going from the Trapani test flight to
techniques previous to projection on the sky were different for the latest Kiruna one. For example, after analysis of the data
each pipeline leading to different output maps. A common gen- of the first two flights, we were able to significantly reduce the
eral destriping, based on the assumption that the structures do high-frequency noise excess in the data by moving the spinningEstimation statistique dans le cas idéal. . . et la réalité. . .
Observations finies (échantillonnées)
Observations partielles
Bruit hétéroscédastique et corrélé le long des “scans”
Floutage (convolution) dû aux télescopes
Superposition d’avants-plans / Observations dans des longueurs
d’onde différentes
Expériences multiples se recoupant partiellement
Le champs est-il réellement gaussien ? stationnaire ?
WMAP : Observation (gauche) et niveau de bruit (droite)Estimation statistique dans le cas idéal.
1326 . . et la réalité. ..
J. F. Macías-Pérez et al.: Arhceops in-fl
Observations finies (échantillonnées)
Observations partielles
Bruit hétéroscédastique et corrélé le long des “scans”
Floutage (convolution) dû aux télescopes
4
Superposition d’avants-plans
Kuo et al.
/ Observations dans des longueurs
d’onde différentes
Expériences multiples se recoupant partiellement
Le champs est-il réellement gaussien ? stationnaire ?
Fig. 1.— The beams of the 150 GHz array elements determined from observations of the CMB2 guiding quasar in the 2001 season. These
Fig.
images represent an average over the entire observation period and include any distortions due to changes 17. Comparison
in pointing or beamsize. between glitch and Jupiter short time constan
Réponses impulsionnelles des instruments (ACBAR à gauche, Archeops à droite)
Fig. 2.— The beams of the 150 GHz array elements determined from observations of the guiding quasar in the CMB5 field. These images
represent an average over the entire observation period and include any distortions due to changes in pointing or beamsize.
(typically small compared to the beams), to determine the tions §4.2 and Appendix C, we describe how changes in the
instantaneous beam parameters. beam shape are treated in the computation of the power
The coadded image of the guide quasar is used to deter- spectrum.
mine the effective beamsizes at the center of the map andEstimation statistique dans le cas idéal. . . et la réalité. . .
Observations finies (échantillonnées)
Observations partielles
Bruit hétéroscédastique et corrélé le long des “scans”
Floutage (convolution) dû aux télescopes
Superposition d’avants-plans / Observations dans des longueurs
d’onde différentes
Expériences multiples se recoupant partiellement
Le champs est-il réellement gaussien ? stationnaire ?
cartes du CMB (à droite) et des avant-plans.Estimation statistique dans le cas idéal. . . et la réalité. . .
Observations finies (échantillonnées)
Observations partielles
Bruit hétéroscédastique et corrélé le long des “scans”
Floutage (convolution) dû aux télescopes
Superposition d’avants-plans / Observations dans des longueurs
d’onde différentes
Expériences multiples se recoupant partiellement
Le champs est-il réellement gaussien ? stationnaire ?
Niveaux de bruit et données manquantes pour plusieurs expériencesEstimation statistique dans le cas idéal. . . et la réalité. . .
Conséquences :
Des traitements statistiques supplémentaires
Séparation de sources
Déconvolution
Débruitage
Tests de gaussianité, de stationnarité
etc.
Complications pour les 2 étapes déjà présentées
Estimation du spectre de puissance Cn
Estimation des paramètres cosmologiquesEstimation statistique dans le cas idéal. . . et la réalité. . . Sources (composantes) Observations Estimation
e=1'(WMAPGQ)' e=2'(WMAPGV)' e=3'(WMAPGW)' e=4'(BOOMGGS)' e=5'(BOOMGGD)' e=6'(ACBAR)' Different'noise'levels'&'hit'maps';'Different'coverages';'Different'beams';'etc.' Joint'estimation'of'power'spectrum'?'
Joint'estimation'of'power'spectrum…' that'is,'not'(not'only)':'
(smoothed'spectrum)'
Spherical' Needlets' Harmonics'
f' {βjk}j=1:J,'k=1:Nj"
{alm}' {bj(l)alm}'f' {βjk}j=1:J,'k=1:Nj"
{alm}' {bj(l)alm}'f' {βjk}j=1:J,'k=1:Nj"
{alm}' {bj(l)alm}'f' {βjk}j=1:J,'k=1:Nj"
{alm}' {bj(l)alm}'f' {βjk}j=1:J,'k=1:Nj"
{alm}' {bj(l)alm}'''
(smoothed'spectrum)'
(uncorrelation'between'bands)'
(almost'uncorrelation'between'points'being'not'too'close)'! observations''Y1'('r'),'…,'Ye'('r'),'…,'YE'('r')'
' ' '['Ye'='maske'(beame*cmb)'+'noisee']'
'
'
! needlet'coefficients'{'βjk,e'}'
! If'these'coeffs'were'really&indep.,'ML'would'be:'where'(omitting'the''j''indices)':'
1st'step:'aggregation'of'experiments'
(njk,e'beeing'the'needlet'coefficients''
of'the'(debeamed)'noise'level'map)'
e=1'(WMAPGQ)' e=2'(WMAPGV)' e=3'(WMAPGW)'
band'l'≈'750'
e=4'(BOOMGGS)' e=5'(BOOMGGD)' e=6'(ACBAR)'where'(omitting'the''j''indices)':'
1st'step:'aggregation'of'experiments'
2nd'step:'averaging'over'the'sphere' aggreg’d'map'in'band''j'
(«'SNR'ratio'»,'C°'being'the'order'of'
magnitude'of'the'true'spectrum)'
averaging'weights'w'PCLGU:'pseudoGCl'with'uniform'preGweighting'
PCLGW:'pseudoGCl'with'inverseGvariance'preGweighting'
Automatically'achieves'≈'Efstathiou'(04,06)'’s'hybrid'estimator'input'Cl&
NSE'^Cj&
NSE'using'only'the'3'WMAP'experiments'input'Cl&
NSE'^Cj&
NSE'using'only'the'2'BOOMERanG'experiments'input'Cl&
NSE'^Cj&
NSE'using'only'ACBAR'experiment'input'Cl&
NSE'^Cj&
NSE'using'the'aggregation'of'all'experiments'Correlation'between'the'aggregated'estimator'and'partial'ones,' showing'respective'contribution'of'each'experiment'to'aggregated'NSE'
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