Jean Luc Dion Gaël Chevallier - SUPMECA Travail pratique : Contrôle actif de vibrations d'une maquette de ski avec un actionneur piézoélectrique
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Jean Luc Dion
Gaël Chevallier
SUPMECA
Travail pratique : Contrôle actif de vibrations d’une
maquette de ski avec un actionneur piézoélectrique
CE TRAVAIL A OBTENU LE PREMIER PRIX AU
CONCOURS UNIVERSITY CHALLENGE BRUEL &
KJAER 2011
Cedrat - Supmeca 2 2011
Durée :
4 à 8h (selon les objectifs visés) en binôme ou trinôme
Niveau :
1er à 3e cycle d’ingénieur
Contexte :
En compétition, les vibrations des skis sont source d’inconfort et de performances
sportives réduites. Il est important de les limiter au maximum.
Ce travail pratique illustre une manière active d’amortir les vibrations du ski.
Pour cela, un actionneur piézoélectrique compact et consommant peu d’énergie, est
installé avec un accéléromètre sur le ski. Ils sont asservis avec un contrôleur PID. Il
en résulte un facteur d’amortissement multiplié par 10 du ski.
Objectifs pédagogiques:
Mécanique des solides : poutre en flexion encastrée libre
Dynamique des structures : fréquences propres, oscillations libres, amortissement,
Automatismes / Asservissements : Contrôle PID, filtres notch, filtres passe bande,
Traitement du signal et capteurs : diagrammes de bode, analyse de convergence
Matériel nécessaire :
1 Kit TP Cedrat, 1 Oscilloscope, 1 GBF, 1 PC
Tous les assemblages 3D sont téléchargeables depuis notre site.
Cedrat - Supmeca 3 2011
Tables Des Matières
1. Contexte technologique ........................................................................................................ 5
2. Description du montage expérimental .................................................................................. 6
3. Travail demandé ................................................................................................................... 7
Modélisation analytique du système dynamique .............................................................. 8
Modélisation éléments finis du système dynamique ........................................................ 9
Observation et mesures en oscillations libres ................................................................. 10
Observation et mesures en oscillations forcées.............................................................. 11
Observation et mesures sous excitation aléatoires ........................................................ 12
Synthèse des résultats obtenus......................................................................................... 12
Recalage du modèle analytique......................................................................................... 13
Recalage du modèle élément fini ...................................................................................... 13
Simulation en oscillations libres ......................................................................................... 14
Simulation en excitation aléatoire...................................................................................... 14
Etude expérimentale du contrôle actif en oscillation libre ................................................. 15
Discussions............................................................................................................................... 16
ANNEXE 1: plan du montage expérimental ........................................................................ 17
ANNEXE 2 : Théorie des poutres de type Euler - Bernoulli.............................................. 18
Modes propres de poutres .............................................................................................. 18
ANNEXE 3 : Asservissements P.I.D. source wikipédia .................................................... 20
Principe général.................................................................................................................... 20
Réglage d'un PID ................................................................................................................. 20
Cedrat - Supmeca 4 2011
1. Contexte technologique
Les performances des skis sont étroitement liées à leur comportement
dynamique. Au delà de la notion de "raideur" ce sont avant tout des
caractéristiques vibratoires particulières qui sont recherchées et qui
faciliteront la réactivité et la contrôlabilité des skis par leur utilisateur.
Selon que le ski est dédié au slalom, à la descente ou au saut , les
performances attendues sont très variables mais toujours étroitement
liées à la dynamique de la structure du ski.
Les vibrations excessives d'un ski sont une sources d'inconfort pour
l'utilisateur mais elles conduisent surtout à un contrôlabilité réduite et des
performances sportives moindre.
D'un point de vue de la pratique sportive les
caractéristiques de masse et de raideur définissent
la réactivité du ski. D'un point de vue structure ces
caractéristiques définissent les fréquences propres
et modes propres du ski qui peuvent être observés
localement (à la fixation de la chaussure) comme
une rigidité dynamique dans le domaine
fréquentiel.
Ces caractéristiques ne permettent pas de limiter
et de contrôler l'amplitude et la durée des
vibrations du ski lors de sollicitation transitoires
brusques telles que les virages serrés d'un slalom
ou la perte de contact du ski avec la neige lors
d'un saut.
Le contrôle de ces vibrations est principalement déterminé par l'amortissement. Les solutions
technologiques retenues par les constructeurs sont presque toujours basées sur un amortissement
passif obtenu grâce à des matériaux fortement dissipatif tels que les polymères.
Le TP présenté se propose d'étudier, sur la
base d'une maquette à échelle réduite, le
comportement dynamique d'un ski et
s'intéressant plus particulièrement à
l'amortissement dans un premier temps.
Un dispositif original de contrôle actif de
vibration utilisant un stack piézoélectrique
est présenté dans un deuxième temps. Ce
dispositif qui permet d'obtenir un
amortissement apparent très largement
supérieur aux solutions passives est alors
étudié et optimisé.
Cedrat - Supmeca 5 2011
2. Description du montage expérimental
Le montage est constitué d'une structure, poutre, support, actionneur piézoélectrique et son montage.
Ce montage est détaillé sur la figure suivante et le plan d'ensemble donné en annexe.
Accéléromètre
Montage complet
Actionneur Piézo
et son montage
Commande de
l’actionneur
Conditionnement
accéléromètre
Asservissement
Montage expérimental avec le boitier de commande, conditionnement et asservissement et la structure
instrumentée.
Cedrat - Supmeca 6 2011
3. Travail demandé
Dans ce travail pratique, vous devez analyser la structure en terme de comportement vibratoire. Dans
un premier temps, vous proposerez un modèle analytique et un modèle numérique (éléments finis) de
la structure. Ces deux modèles devront permettre de prédire les fréquences et les modes propres de la
structure avec un degré croissant de précision.
Dans un deuxième temps, vos caractériserez la structure du point de vue expérimentale en vibrations
libres puis en vibrations forcées. Cette caractérisation permettra d'obtenir les valeurs vraies des
fréquences propres. Par ailleurs, cette étude expérimentale permettra d'affecter des valeurs
d'amortissement aux modes étudiés, valeurs difficilement accessibles par la mesure.
Q1. Réaliser un schéma synoptique du montage expérimental (partie mécanique et
instrumentation électronique).
Cedrat - Supmeca 7 2011
Modélisation analytique du système dynamique
L'objectif de cette partie est de construire un modèle analytique basé sur la théorie des poutres avec
hypothèse d'Euler Bernoulli pour déterminer les fréquences propres et les déformées propres de la
lame.
Q2. A partir de l'annexe 2 démonter que les pulsations propres sont de la forme :
ρ.S.ω 2
avec λ = 4
E.I
Q3. Résoudre et effectuer l'application numérique. (Vous pourrez discucter au préalable de la
pertinence des valeurs numériques à retenir, en particulier celle de la longueur de la
poutre.
Cedrat - Supmeca 8 2011
Modélisation éléments finis du système dynamique
L'objectif de cette partie est de construire un modèle "mécanique des milieux continus" de la structure.
Pour cela le point de départ est la représentation 3D du montage. La structure est relativement
complexe, constituée de nombreuses pièces : supports, poutre, actionneur, capteur "accéléromètre" ...
Q4. Dans un premier temps, vous devez effectuer une analyse qualitative du montage et
proposer des simplifications pour effectuer une analyse qui ne soit pas trop couteuse en
temps de calcul. Préciser les hypothèses que cela implique.
:
Q5. Proposez une modélisation de la structure dans l'atelier de simulation de structures de
CATIA V5. Précisez vos choix de conditions aux limites et de chargement. Précisez
également le maillage que vous avez utilisé.
Q6. Calculez les déformées et fréquences propres des 4 premiers modes. Comparez ces
résultats aux résultats analytiques. Quelles sont les hypothèses qui diffèrent entre les deux
approches.
Q7. Présentez une brève analyse de convergence sur la fréquence par rapport au maillage.
Vous prendrez comme indicateur la taille globale.
Cedrat - Supmeca 9 2011
Observation et mesures en oscillations libres
Q8. A partir d'un relevé expérimental en oscillations libres, déterminer la première fréquence
propre naturelle de la poutre ainsi que son amortissement. (La fréquence pourra être
déterminée à partir de la période moyenne observée sur plus de 10 oscillations. Le taux
d'amortissement pourra être obtenu par la méthode du décrément logarithmique sur plus
d'une dizaine de périodes).
Discuter :
- de la linéarité du système,
- de l'incertitude des grandeurs observées et quantifiées.
Cedrat - Supmeca 10 2011Observation et mesures en oscillations forcées
Q9. A l'aide d'un générateur de signaux (GBF), déterminez la réponse forcée en régime
sinusoïdale du système avec une tension d'alimentation de 0,5V du stack piézoélectrique.
Déterminez les 3 premières fréquences résonance du système.
Q10. L'étude expérimentale sera conduite autour du premier mode de flexion. En déduire le
taux d'amortissement par la méthode de la bande passante. Comparez et discutez ce
résultat avec l'amortissement obtenu précédemment.
Cedrat - Supmeca 11 2011Observation et mesures sous excitation aléatoires
Q11. A partir d'une excitation aléatoire produite par un générateur de signaux et appliquée au
stack piézoélectrique, représenter le spectre du signal accélérométrique ou la Fonction de
Réponse en Fréquence H1 entre l'excitation (signal émis) et la réponse (accélération). En
déduire les 3 premières fréquences propres du système. Commentez.
Synthèse des résultats obtenus
Q12. Proposez un tableau synthétique des résultats obtenus à ce stade. Commentez.
Cedrat - Supmeca 12 2011Recalage du modèle analytique
Q13. En vue d'améliorer la prédiction du comportement dynamique du système, proposez et
discutez d'une méthode de recalage (choix d'un ou de plusieurs paramètres de recalage).
Réaliser l'application numérique de la méthode retenue. Que peut-on dire de
l'amortissement dans le modèle de poutre proposé ?
Recalage du modèle élément fini
Afin d'améliorer la représentativité du modèle EF, nous choisissons de prendre en compte le stack et
son montage dans le modèle.
Q14. Construire le modèle EF de la poutre avec son stack.
Cedrat - Supmeca 13 2011Q15. Effectuez un calcul des fréquences dans cette configuration. Commentez Simulation en oscillations libres Simulation en excitation aléatoire Cedrat - Supmeca 14 2011
Etude expérimentale du contrôle actif en oscillation libre
Q16. En utilisant le module de contrôle actif en vibration et en vous appuyant sur l'annexe 3,
Réaliser différents réglages en étudiant l'influence des paramètres P, I et D. Quel est la
paramètre le plus influent pour le contrôle actif de vibration pour un amortissement
apparent maximal ? Justifiez votre réponse.
.
Q17. Quelles sont les configurations paramètriques qui conduisent à un système instable ?
Justifiez votre réponse. Partie à réaliser en présence de l'enseignant
Risque de détérioration du système si l'instabilité est maintenue trop longtemps.
Q18. Déterminer une configuration optimale pour le contrôle de vibration du premier mode
propre de la structure. Vous discuterez et quantifierez les performances obtenus pour
quelques configurations d'asservissement différentes(entre 3 et 7).
Cedrat - Supmeca 15 2011Discussions
Q19. Proposer une méthode et un plan d'action pour
réutilisation ce travail à échelle réduite sur la conception
d’un ski grandeur nature : Calcul de structures, Choix
d’actionneur, mise en œuvre de l’asservissement
Q20. Quels est la nature et l'origine possible des non
linéarités de l’amortissement ?
Q21. Quels sont les limites et contraintes technologiques de
l'asservissement proposé ?
Q22. Quels sont selon vous les autres domaines d'application
possible à cette maquelle ?
Cedrat - Supmeca 16 2011ANNEXE 1: plan du montage expérimental Cedrat - Supmeca 17 2011
ANNEXE 2 : Théorie des poutres de type Euler - Bernoulli
Modes propres de poutres
Le modèle d'une poutre de type Euler – Bernoulli.
A v
B
T ∂M
dx M+ dx
∂x
M
∂T
T+ dx
∂v
2 ∂x
ρ.S.dx
∂t 2
Les efforts tranchants (projetés sur Oy) conduisent à :
∂T ∂2v ∂T ∂2v
−T + T + dx = ρ.S.dx 2 soit : = ρ.S 2
∂x ∂t ∂x ∂t
Les moments (exprimé sur la partie droite du volume élémentaire conduisent à :
∂M ∂M
−T .dx − M + M + dx = 0 soit T = (on néglige l’inertie de rotation)
∂x ∂x
Par ailleurs la RDM nous fournit l’expression du Moment fléchissant :
∂2v
M = −E.I. (Avec E le module d’Young et I, le moment d’inertie quadratique en flexion de la section
∂x 2
droite)
La dynamique d’une poutre est donc décrite par :
∂ 4v ∂2v
E.I. + ρ.S. = 0 (dans le cas ou la poutre est excitée en force, le second membre est non nul)
∂x 4 ∂t 2
Ce qui par Transformée de Fourier conduit à :
∂ 4Vˆ ρ.S ˆ
− ω2 V =0
∂x 4
E.I
Dont la solution générale est de la forme :
ρ.S.ω 2
Avec : λ = 4
E.I
Cedrat - Supmeca 18 2011Les conditions aux limites de la poutre permettent de restreindre la forme générale de la solution : Dans le cas d’une poutre Cantilever (encastrée - libre) les solutions sont définies par : Dont les solutions sont : Pour les modes d’ordre plus élevé la solution peut être approximée : λk L = ( k + 12 ) π La déformée est de la forme : Avec : Cedrat - Supmeca 19 2011
ANNEXE 3 : Asservissements P.I.D. source wikipédia
Principe général
L'erreur observée est la différence entre la consigne et la mesure. Le PID permet 3 actions en fonction
de cette erreur :
• Une action Proportionnelle : l'erreur est multipliée par un gain G
• Une action Intégrale : l'erreur est intégrée sur un intervalle de temps s, puis divisée par un gain
Ti
• Une action Dérivée : l'erreur est dérivée suivant un temps s, puis multipliée par un gain Td
Il existe plusieurs architectures possibles pour combiner les 3 effets (série, parallèle ou mixte), on
présente ici une architecture parallèle :
La fonction de transfert avec la transformée de Laplace du régulateur PID parallèle est la somme des 3
actions:
;
Les différents paramètres à trouver sont G, Td et Ti pour réguler le procédé ayant pour fonction de
transfert H(s). Il existe de nombreuses méthodes pour trouver ces paramètres. Cette recherche de
paramètre est communément appelée synthèse. La procédure expérimentale pour calculer ces
paramètres s'appelle aussi procédure d’identification paramétrique .
La fonction de transfert du contrôleur PID idéale est irréalisable car l'ordre du numérateur est supérieur
à l'ordre du dénominateur. Dans la réalité, on rajoute toujours un paramètre alpha sur l'action dérivée
de manière à obtenir un ordre 2 au numérateur et au dénominateur :
avec α < < 1 On obtient alors une nouvelle fonction de transfert réalisable :
Néanmoins, pour limiter les effets néfastes du bruit du signal de mesure sur le signal de commande u,
on modère l'effet de l'action dérivée dans les régulateurs industriels en adoptant généralement alpha :
.
Réglage d'un PID
Le réglage d'un PID consiste à déterminer les coefficients G, Td et Ti afin d'obtenir une réponse
adéquate du procédé et de la régulation. L'objectif est d'être robuste, rapide et précis. Il faut pour cela
limiter le ou les éventuels dépassements (overshoot).
Cedrat - Supmeca 20 2011• La robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit qu'un système est
robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle change un peu. Par exemple, les
fonctions de transfert de certains procédés peuvent varier en fonction de la température
ambiante ou de l'hygrométrie ambiante relativement à la loi de Pascal. Un régulateur doit être
capable d'assurer sa tâche même avec ces changements afin de s'adapter à des usages non
prévus/testés (dérive de production, vieillissement mécanique, environnements extrêmes...).
• La rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement du régime
stationnaire.
• Le critère de précision est basé sur l'erreur statique (ou de statisme).
La réponse type d'un procédé stable est la suivante :
Les paramètres du PID influencent la réponse du système de la manière suivante :
• G : Lorsque G augmente, le temps de montée (rise time) est plus court mais il y a un
dépassement plus important. Le temps d'établissement varie peu et l'erreur statique se trouve
améliorée.
• Ti : Lorsque 1/Ti augmente, le temps de montée est plus court mais il y a un dépassement plus
important. Le temps d'établissement au régime stationnaire s'allonge mais dans ce cas on
assure une erreur statique nulle. Donc plus ce paramètre est élevé, plus la réponse du système
est ralentie.
• Td : Lorsque Td augmente, le temps de montée change peu mais le dépassement diminue. Le
temps d'établissement au régime stationnaire est meilleur. Pas d'influences sur l'erreur statique.
Si ce paramètre est trop élevé dans un premier temps il stabilise le système en le ralentissant
trop mais dans un deuxième temps le régulateur anticipe trop et un système à temps mort élevé
devient rapidement instable.
Pour ces trois paramètres, le réglage au-delà d'un seuil trop élevé a pour effet d'engendrer une
oscillation du système de plus en plus importante menant à l'instabilité.
L'analyse du système avec un PID est très simple mais sa conception peut être délicate, voire difficile,
car il n'existe pas de méthode unique pour résoudre ce problème. Il faut trouver des compromis, le
régulateur idéal n'existe pas. En général on se fixe un cahier des charges à respecter sur la robustesse,
le dépassement et le temps d'établissement du régime stationnaire.
Les méthodes de réglage les plus utilisées en théorie sont la méthode de Ziegler-Nichols, la méthode
de P. Naslin (polynômes normaux à amortissement réglable), la méthode du lieu de Nyquist inverse
(utilise le diagramme de Nyquist).
Cedrat - Supmeca 21 2011Dans la pratique, les professionnels utilisent soit l'identification par modèle de Broïda pour les systèmes stables ou le modèle intégrateur retardé pour les systèmes instables soit la méthode par approches successives, qui répond à une procédure rigoureuse : on règle d'abord l'action P seule pour avoir un dépassement de 10 à 15% puis l'action dérivée de façon à "raboter" au mieux le dépassement précédent, enfin on ajuste si nécessaire l'action intégrale en se fixant un dépassement final compris entre 5 et 10%. Dans environ 15% des cas les performances d'un PID peuvent devenir insuffisantes en raison de la présence d'un retard trop important dans le modèle du procédé, on fait alors appel à d'autres algorithmes de réglage (notamment : régulateur PIR ou à modèle interne ou à retour d'état). Cedrat - Supmeca 22 2011
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