Approche par équilibre - contrôle du taux de contact pour l'épidémie de covid-19
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contrôle du taux de contact pour l’épidémie de covid-19
Approche par équilibre
Romuald Elie1 Emma Hubert1 Gabriel Turinici2
Groupe de travail MFG, 11 juin 2020.
1
LAMA, Université Paris–Est Marne–la–Vallée, France.
2
CEREMADE - UMR 7534, Université Paris Dauphine, PSL Research University, France.
outline
1. Motivations
2. Modélisation de l’épidémie
Le modèle SIR
Le modèle SEIR
3. Problème de contrôle des individus
Effort et coût
Existence d’un équilibre Nash – MF
4. Résultats numériques
Equilibre de Nash – MF
Coût de l’anarchie
Sensibilités
5. Conclusion and extensions
1
motivations
motivations
L’épidémie de COVID–19. Depuis décembre 2020, sévit dans le monde entier,
de l’Asie à l’Amérique en passant par l’Europe.
▶ Comment modéliser cette épidémie ?
3motivations
L’épidémie de COVID–19. Depuis décembre 2020, sévit dans le monde entier,
de l’Asie à l’Amérique en passant par l’Europe.
▶ Comment modéliser cette épidémie ?
Impact de l’épidémie. Coût pour la société : coût des soins liés à la maladie,
coûts indirects liés à la saturation du système hospitalier... Mais aussi un coût
pour l’individu, pas forcément monétaire, lié à l’infection (QALY/DALY).
▶ Comment contrôler cette épidémie ?
3motivations
L’épidémie de COVID–19. Depuis décembre 2020, sévit dans le monde entier,
de l’Asie à l’Amérique en passant par l’Europe.
▶ Comment modéliser cette épidémie ?
Impact de l’épidémie. Coût pour la société : coût des soins liés à la maladie,
coûts indirects liés à la saturation du système hospitalier... Mais aussi un coût
pour l’individu, pas forcément monétaire, lié à l’infection (QALY/DALY).
▶ Comment contrôler cette épidémie ?
Mise en place du confinement. Absence d’un vaccin, et même d’un traitement
efficace/avéré contre la maladie induite par l’infection par ce virus.
▶ Afin de limiter la propagation de l’épidémie, de nombreux pays ont mis en
place des restrictions de déplacements et d’interactions entre individus.
3motivations
L’épidémie de COVID–19. Depuis décembre 2020, sévit dans le monde entier,
de l’Asie à l’Amérique en passant par l’Europe.
▶ Comment modéliser cette épidémie ?
Impact de l’épidémie. Coût pour la société : coût des soins liés à la maladie,
coûts indirects liés à la saturation du système hospitalier... Mais aussi un coût
pour l’individu, pas forcément monétaire, lié à l’infection (QALY/DALY).
▶ Comment contrôler cette épidémie ?
Mise en place du confinement. Absence d’un vaccin, et même d’un traitement
efficace/avéré contre la maladie induite par l’infection par ce virus.
▶ Afin de limiter la propagation de l’épidémie, de nombreux pays ont mis en
place des restrictions de déplacements et d’interactions entre individus.
Impact du confinement. Ces restrictions ont un coût pour les individus : social
et économique, mais aussi en terme de santé.
3du point de vue de l’individu
▶ Contrôle de l’épidémie via le confinement : choix politique, ou individuel ?
4du point de vue de l’individu
▶ Contrôle de l’épidémie via le confinement : choix politique, ou individuel ?
Optimum sociétal. La littérature récente porte principalement sur la recherche
d’un optimum sociétal
▶ Bonnans and Gianatti (2020), Charpentier, Elie, Laurière, and Tran (2020),
Djidjou-Demasse, Michalakis, Choisy, Sofonea, and Alizon (2020)...
4du point de vue de l’individu
▶ Contrôle de l’épidémie via le confinement : choix politique, ou individuel ?
Optimum sociétal. La littérature récente porte principalement sur la recherche
d’un optimum sociétal
▶ Bonnans and Gianatti (2020), Charpentier, Elie, Laurière, and Tran (2020),
Djidjou-Demasse, Michalakis, Choisy, Sofonea, and Alizon (2020)...
▶ En l’absence de directives ? Directives ou recommandations ?
4du point de vue de l’individu
▶ Contrôle de l’épidémie via le confinement : choix politique, ou individuel ?
Optimum sociétal. La littérature récente porte principalement sur la recherche
d’un optimum sociétal
▶ Bonnans and Gianatti (2020), Charpentier, Elie, Laurière, and Tran (2020),
Djidjou-Demasse, Michalakis, Choisy, Sofonea, and Alizon (2020)...
▶ En l’absence de directives ? Directives ou recommandations ?
Modélisation des choix individuels
(i) Étant donné la dynamique de l’épidémie, chaque individu choisit son
”niveau d’interaction” avec le reste de la population, en fonction de son
coût lié à l’épidémie mais aussi au confinement
(ii) La dynamique de l’épidémie est donné par ”l’agrégation” des choix indi-
viduels.
4du point de vue de l’individu
▶ Contrôle de l’épidémie via le confinement : choix politique, ou individuel ?
Optimum sociétal. La littérature récente porte principalement sur la recherche
d’un optimum sociétal
▶ Bonnans and Gianatti (2020), Charpentier, Elie, Laurière, and Tran (2020),
Djidjou-Demasse, Michalakis, Choisy, Sofonea, and Alizon (2020)...
▶ En l’absence de directives ? Directives ou recommandations ?
Modélisation des choix individuels
(i) Étant donné la dynamique de l’épidémie, chaque individu choisit son
”niveau d’interaction” avec le reste de la population, en fonction de son
coût lié à l’épidémie mais aussi au confinement
(ii) La dynamique de l’épidémie est donné par ”l’agrégation” des choix indi-
viduels.
▶ Recherche d’un équilibre de Nash – MF (cf Hubert and Turinici (2018) pour
la vaccination).
4du point de vue de l’individu
▶ Contrôle de l’épidémie via le confinement : choix politique, ou individuel ?
Optimum sociétal. La littérature récente porte principalement sur la recherche
d’un optimum sociétal
▶ Bonnans and Gianatti (2020), Charpentier, Elie, Laurière, and Tran (2020),
Djidjou-Demasse, Michalakis, Choisy, Sofonea, and Alizon (2020)...
▶ En l’absence de directives ? Directives ou recommandations ?
Modélisation des choix individuels
(i) Étant donné la dynamique de l’épidémie, chaque individu choisit son
”niveau d’interaction” avec le reste de la population, en fonction de son
coût lié à l’épidémie mais aussi au confinement
(ii) La dynamique de l’épidémie est donné par ”l’agrégation” des choix indi-
viduels.
▶ Recherche d’un équilibre de Nash – MF (cf Hubert and Turinici (2018) pour
la vaccination).
▶ Coût de l’anarchie.
4modélisation de l’épidémie
le modèle sir
▶ Modélisation de l’épidémie par un modèle SIR : pendant l’épidémie, les
individus passent la classe ”Susceptible” à ”Infected” puis ”Recovered”.
β̄t St It dt γIt dt
Susceptible Infected Recovered
Figure: SIR model
6le modèle sir
▶ Modélisation de l’épidémie par un modèle SIR : pendant l’épidémie, les
individus passent la classe ”Susceptible” à ”Infected” puis ”Recovered”.
β̄t St It dt γIt dt
Susceptible Infected Recovered
Figure: SIR model
▶ Système d’équations pour décrire l’évolution de l’épidémie :
dSt = −β̄t St It dt
dIt = β̄t St It dt − γIt dt t ≥ 0. (1)
dRt = γIt dt,
6le modèle sir
▶ Modélisation de l’épidémie par un modèle SIR : pendant l’épidémie, les
individus passent la classe ”Susceptible” à ”Infected” puis ”Recovered”.
β̄t St It dt γIt dt
Susceptible Infected Recovered
Figure: SIR model
▶ Système d’équations pour décrire l’évolution de l’épidémie :
dSt = −β̄t St It dt
dIt = β̄t St It dt − γIt dt t ≥ 0. (1)
dRt = γIt dt,
Distribution initiale (S0 , I0 , R0 ) à t = 0 connue, tq S0 + I0 + R0 = 1.
▶ St + It + Rt = 1 pour tout t ≥ 0.
6paramètres de l’épidémie
▶ 2 paramètres pour décrire la dynamique de l’épidémie : γ et β̄.
7paramètres de l’épidémie
▶ 2 paramètres pour décrire la dynamique de l’épidémie : γ et β̄.
Taux de rétablissement γ. Exogène, constant, supposé connu, et donné par
1
γ := .
durée de la période contagieuse
7paramètres de l’épidémie
▶ 2 paramètres pour décrire la dynamique de l’épidémie : γ et β̄.
Taux de rétablissement γ. Exogène, constant, supposé connu, et donné par
1
γ := .
durée de la période contagieuse
Taux de transmission β̄. Endogène, et dépendant du temps (contrairement
aux modèles SIR classsiques). Dépend :
(i) des caractéristiques intrinsèques de la maladie,
(ii) du ”taux de contact” entre les individus.
7paramètres de l’épidémie
▶ 2 paramètres pour décrire la dynamique de l’épidémie : γ et β̄.
Taux de rétablissement γ. Exogène, constant, supposé connu, et donné par
1
γ := .
durée de la période contagieuse
Taux de transmission β̄. Endogène, et dépendant du temps (contrairement
aux modèles SIR classsiques). Dépend :
(i) des caractéristiques intrinsèques de la maladie,
(ii) du ”taux de contact” entre les individus.
▶ β0 représente le taux de transmission initial du virus, supposé connu.
▶ Effort des individus pour réduire leurs interactions et donc diminuer le
taux de transmission effectif du virus, moyennant un coût.
7paramètres de l’épidémie
▶ 2 paramètres pour décrire la dynamique de l’épidémie : γ et β̄.
Taux de rétablissement γ. Exogène, constant, supposé connu, et donné par
1
γ := .
durée de la période contagieuse
Taux de transmission β̄. Endogène, et dépendant du temps (contrairement
aux modèles SIR classsiques). Dépend :
(i) des caractéristiques intrinsèques de la maladie,
(ii) du ”taux de contact” entre les individus.
▶ β0 représente le taux de transmission initial du virus, supposé connu.
▶ Effort des individus pour réduire leurs interactions et donc diminuer le
taux de transmission effectif du virus, moyennant un coût.
▶ La dynamique de l’épidémie peut être résumée par le ”nombre de
reproduction de base” : R0 := β̄/γ.
7le modèle seir
▶ Modélisation par un SEIR pour prendre en compte la phase de ”latence” du
virus (période où l’individu est infecté mais pas contagieux).
β̄t St It dt αEt dt γIt dt
Susceptible Exposed Infected Recovered
Figure: SEIR/SEIS model with demographic dynamics
8le modèle seir
▶ Modélisation par un SEIR pour prendre en compte la phase de ”latence” du
virus (période où l’individu est infecté mais pas contagieux).
β̄t St It dt αEt dt γIt dt
Susceptible Exposed Infected Recovered
Figure: SEIR/SEIS model with demographic dynamics
▶ Système d’équations pour décrire l’évolution de l’épidémie :
dSt = −β̄t St It dt
dE = β̄ S I dt − αE dt
t t t t t
t ≥ 0. (2)
dI = αE dt − γI dt
t t t
dR = γI dt,
t t
α := 1/période d’incubation.
8problème de contrôle des individus
effort d’un individu représentatif
▶ Population partitionnée en trois classes d’individus identiques, S, I et R.
10effort d’un individu représentatif
▶ Population partitionnée en trois classes d’individus identiques, S, I et R.
▶ Individu représentatif, qui choisit son propre taux de contact β avec le reste
de la population avant d’être infecté :
βt ∈ [βmin , β0 ], t ≤ τ ∧ T,
où τ représente l’instant d’infection, T > 0 l’horizon fixé, et τ ∧ T := min{τ, T}.
10effort d’un individu représentatif
▶ Population partitionnée en trois classes d’individus identiques, S, I et R.
▶ Individu représentatif, qui choisit son propre taux de contact β avec le reste
de la population avant d’être infecté :
βt ∈ [βmin , β0 ], t ≤ τ ∧ T,
où τ représente l’instant d’infection, T > 0 l’horizon fixé, et τ ∧ T := min{τ, T}.
▶ Coût global pour l’individu, entre 0 et T, d’une stratégie β := (βt )t :
Z τ ∧T
C(β, τ ) := c βs ds + rI 1τ ≤T ,
| {z }
|0 {z } coût lié à l’infection
coût lié à l’effort
où rI > 0 (constant) représente le ”coût d’entrée” dans la classe I.
10effort d’un individu représentatif
▶ Population partitionnée en trois classes d’individus identiques, S, I et R.
▶ Individu représentatif, qui choisit son propre taux de contact β avec le reste
de la population avant d’être infecté :
βt ∈ [βmin , β0 ], t ≤ τ ∧ T,
où τ représente l’instant d’infection, T > 0 l’horizon fixé, et τ ∧ T := min{τ, T}.
▶ Coût global pour l’individu, entre 0 et T, d’une stratégie β := (βt )t :
Z τ ∧T
C(β, τ ) := c βs ds + rI 1τ ≤T ,
| {z }
|0 {z } coût lié à l’infection
coût lié à l’effort
où rI > 0 (constant) représente le ”coût d’entrée” dans la classe I.
▶ Coût espéré en t = 0 de la stratégie β, quand le taux de transmission du
virus au niveau de la population est β̄ :
Z τ ∧T
C(β, β̄) := Eβ̄ C(β, τ ) = Eβ̄ c(βs )ds + rI 1τ ≤T ,
0
où la distribution de τ dépend de β̄.
10probabilité d’infection
▶ La probabilité d’être infecté avant t ≥ 0 pour un individu ayant un taux de
contact β et quand l’épidémie se propage au taux β̄ est notée φβ̄t (β).
11probabilité d’infection
▶ La probabilité d’être infecté avant t ≥ 0 pour un individu ayant un taux de
contact β et quand l’épidémie se propage au taux β̄ est notée φβ̄t (β).
▶ Le coût peut se réécrire comme une fonction de φβ̄t (β) :
Z T
C(β, β̄) = c(βs ) 1 − φβ̄s (β) ds + rI φβ̄T (β).
0
11probabilité d’infection
▶ La probabilité d’être infecté avant t ≥ 0 pour un individu ayant un taux de
contact β et quand l’épidémie se propage au taux β̄ est notée φβ̄t (β).
▶ Le coût peut se réécrire comme une fonction de φβ̄t (β) :
Z T
C(β, β̄) = c(βs ) 1 − φβ̄s (β) ds + rI φβ̄T (β).
0
▶ On peut également calculer φβ̄t (β) :
∫t β̄
φβ̄t (β) = 1 − e− 0 βs Is ds
,
qui dépend donc :
(i) du taux de contact β choisi par l’individu,
(ii) du taux de transmission β̄ du virus au sein de la population, à travers la
proportion Iβ̄ d’infectés.
11problème de minimisation et équilibre
▶ Pour déterminer son taux de contact optimal β ∗ quand l’épidémie se propage
au taux β̄, l’individu représentatif résout :
min C(β, β̄), où B := {β : [0, T] → [βmin , β0 ], β mesurable}. (3)
β∈B
12problème de minimisation et équilibre
▶ Pour déterminer son taux de contact optimal β ∗ quand l’épidémie se propage
au taux β̄, l’individu représentatif résout :
min C(β, β̄), où B := {β : [0, T] → [βmin , β0 ], β mesurable}. (3)
β∈B
▶ On cherche ensuite un équilibre de Nash – MF (S⋆ , I⋆ , R⋆ ) induit par un taux
de transmission β ⋆ ∈ B,
12problème de minimisation et équilibre
▶ Pour déterminer son taux de contact optimal β ∗ quand l’épidémie se propage
au taux β̄, l’individu représentatif résout :
min C(β, β̄), où B := {β : [0, T] → [βmin , β0 ], β mesurable}. (3)
β∈B
▶ On cherche ensuite un équilibre de Nash – MF (S⋆ , I⋆ , R⋆ ) induit par un taux
de transmission β ⋆ ∈ B,
12problème de minimisation et équilibre
▶ Pour déterminer son taux de contact optimal β ∗ quand l’épidémie se propage
au taux β̄, l’individu représentatif résout :
min C(β, β̄), où B := {β : [0, T] → [βmin , β0 ], β mesurable}. (3)
β∈B
▶ On cherche ensuite un équilibre de Nash – MF (S⋆ , I⋆ , R⋆ ) induit par un taux
de transmission β ⋆ ∈ B, i.e. qui satisfait :
(i) Rationalité individuelle : β ⋆ ∈ B est une stratégie optimale pour l’individu
représentatif quand la dynamique de l’épidémie est donnée par (S⋆ , I⋆ , R⋆ ),
(ii) Cohérence au niveau global : si le taux de contact de tous les individus
est β̄ = β ⋆ , alors la dynamique de l’épidémie est donnée par (S⋆ , I⋆ , R⋆ ).
12résultat théorique
▶ Equilibre Nash – MF ⇐⇒ Point fixe de la ”fonction de meilleure réponse” :
n o
β̄ ∈ B −→ β ⋆ ∈ arg min C(β, β̄) .
β∈B
13résultat théorique
▶ Equilibre Nash – MF ⇐⇒ Point fixe de la ”fonction de meilleure réponse” :
n o
β̄ ∈ B −→ β ⋆ ∈ arg min C(β, β̄) .
β∈B
Hypothèse. La fonction de coût c est C 2 , décroissante et str. convexe.
13résultat théorique
▶ Equilibre Nash – MF ⇐⇒ Point fixe de la ”fonction de meilleure réponse” :
n o
β̄ ∈ B −→ β ⋆ ∈ arg min C(β, β̄) .
β∈B
Hypothèse. La fonction de coût c est C 2 , décroissante et str. convexe.
Lemme. Soit β̄ ∈ B fixé. Il existe un unique β ⋆,β̄ ∈ B t.q.
C(β ⋆,β̄ , β̄) ≤ C(β, β̄), ∀ β ∈ B. (4)
13résultat théorique
▶ Equilibre Nash – MF ⇐⇒ Point fixe de la ”fonction de meilleure réponse” :
n o
β̄ ∈ B −→ β ⋆ ∈ arg min C(β, β̄) .
β∈B
Hypothèse. La fonction de coût c est C 2 , décroissante et str. convexe.
Lemme. Soit β̄ ∈ B fixé. Il existe un unique β ⋆,β̄ ∈ B t.q.
C(β ⋆,β̄ , β̄) ≤ C(β, β̄), ∀ β ∈ B. (4)
Théorème. Le modèle SIR définit par (1) admet un équilibre de Nash – MF
⋆ ⋆ ⋆
(Sβ , Iβ , Rβ ) associé à un taux de transmission β ⋆ ∈ B, i.e.
C(β ⋆ , β ⋆ ) ≤ C(β, β ⋆ ), ∀ β ∈ B. (5)
13résultats numériques
choix des paramètres
▶ Fonction de coût d’effort :
β0
c(b) := − 1, b ∈ [βmin , β0 ],
b
où βmin plus petit taux de contact atteignable et β0 taux de contact sans
effort.
(S0 , I0 , R0 ) γ β0 βmin T rI
(0.99, 0.01, 0.00) 1/10 0.20 0.05 360 days 300
Table: Paramètres pour les simulations numériques
15choix des paramètres
▶ Fonction de coût d’effort :
β0
c(b) := − 1, b ∈ [βmin , β0 ],
b
où βmin plus petit taux de contact atteignable et β0 taux de contact sans
effort.
(S0 , I0 , R0 ) γ β0 βmin T rI
(0.99, 0.01, 0.00) 1/10 0.20 0.05 360 days 300
Table: Paramètres pour les simulations numériques
▶ Pas vraiment de consensus dans la littérature sur les valeurs de β0 et γ
15convergence de l’algorithme
240 0.20
235 0.19
Expected sum of costs
230 0.18
Contact rate
0.17
225
0.16
220
0.15 Initially ( 0)
215 0.14 At equilibrium ( )
At step n 1
210 0.13
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 100 200 300
Learning Time Time (days)
Figure: Convergence de l’algorithme. A gauche, coût individuel C en fonction du temps
”d’apprentissage”. A droite, taux de contact initial (rouge), à l’équilibre (magenta), et à l’avant
dernière itération de l’algorythme (pointillés verts).
16dynamique de l’épidémie à l’équilibre
1.0 Susceptible 1.0
0
Proportion of S, I, and R at equilibrium
Infected 0.9 At equilibrium
0.8 Recovered
Proportion of Susceptible
0.8
0.6 0.7
0.6
0.4 0.5
0.4
0.2
0.3
0.0 0.2
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
0.16 0.8
0
0.14 At equilibrium 0.7
Proportion of Recovered
0.12
Proportion of Infected
0.6
0.10 0.5
0.08 0.4
0.06 0.3
0.04 0.2
0.02 0.1 0
0.00 0.0 At equilibrium
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days) 17stratégie à deux valeurs
0.20 1.0 Nash in
0.19 0.9 Nash in
Proportion of Susceptible
Contact rate 0.18 0.8
0.17 0.7
0.16 0.6
0.15 0.5
0.14 Nash in
Nash in 0.4
0.13
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
Nash in
0.08 Nash in 0.6
Proportion of Recovered
0.5
Proportion of Infected
0.06
0.4
0.04 0.3
0.2
0.02
0.1 Nash in
0.00 0.0 Nash in
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days) 18problème d’un global planner
Rappel. Dans le cas du Nash, chaque individu est trop petit pour impacter la
dynamique de l’épidémie en changeant son propre taux de contact.
▶ Résout donc minβ∈B C(β, β̄), à β̄ fixé.
19problème d’un global planner
Rappel. Dans le cas du Nash, chaque individu est trop petit pour impacter la
dynamique de l’épidémie en changeant son propre taux de contact.
▶ Résout donc minβ∈B C(β, β̄), à β̄ fixé.
Optimum sociétal. Un global planner optimiserait le coût global de la
société en choisissant le taux de contact de chaque individu, et donc le taux
de transmission dans la société.
▶ Résout donc minβ̄∈B C(β̄, β̄).
19problème d’un global planner
Rappel. Dans le cas du Nash, chaque individu est trop petit pour impacter la
dynamique de l’épidémie en changeant son propre taux de contact.
▶ Résout donc minβ∈B C(β, β̄), à β̄ fixé.
Optimum sociétal. Un global planner optimiserait le coût global de la
société en choisissant le taux de contact de chaque individu, et donc le taux
de transmission dans la société.
▶ Résout donc minβ̄∈B C(β̄, β̄).
▶ Problème d’optimisation différent mais classique dans la littérature (cf
Djidjou-Demasse, Michalakis, Choisy, Sofonea, and Alizon (2020) par ex).
▶ Résolution via le Principe du maximum de Pontryagin / équation d’HJB.
19dynamique de l’épidémie à l’équilibre
0.20 1.0 Nash equilibrium
0.9 Societal optimum
Proportion of Susceptible
0.18
Contact rate 0.8
0.16 0.7
0.6
0.14
0.5
0.12 Nash equilibrium 0.4
Societal optimum
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
0.10 Nash equilibrium
Societal optimum 0.6
Proportion of Recovered
0.08 0.5
Proportion of Infected
0.4
0.06
0.3
0.04
0.2
0.02 0.1 Nash equilibrium
0.00 0.0 Societal optimum
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
20début du confinement
▶ Le confinement individuel commence plus tôt que dans l’optimum social.
▶ En accord avec l’étude de Ghader, Zhao, Lee, Zhou, Zhao, and Zhang (2020)
aux Etats–Unis.
21stratégie à deux valeurs
0.20 1.0 Societal optimum in
0.9 Societal optimum in
Proportion of Susceptible
0.18
Contact rate 0.8
0.16 0.7
0.14 0.6
Societal optimum in 0.5
0.12
Societal optimum in 0.4
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
Social optimum in 0.6
0.10
Social optimum in
0.5
Proportion of Recovered
0.08
Proportion of Infected
0.4
0.06
0.3
0.04
0.2
0.02 0.1 Societal optimum in
0.00 0.0 Societal optimum in
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
22durée du confinement
0.20 Nash in
Nash in
0.18 Societal optimum in
Contact rate Societal optimum in
0.16
0.14
0.12
20 40 60 80 100 120 140
Time (days)
0.10 Nash in
Nash in
Social optimum in
0.08
Proportion of Infected
Social optimum in
0.06
0.04
0.02
0.00
20 40 60 80 100 120 140
Time (days)
23sensibilité par rapport à ri
0.20 1.0 rI = 250
0.19 0.9 rI = 300
rI = 350
Proportion of Susceptible
Contact rate 0.18 0.8
0.17 0.7
0.16 0.6
0.15 0.5
rI = 250
0.14 rI = 300 0.4
0.13 rI = 350
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
0.10 0.7
rI = 250
rI = 300 0.6
0.08 rI = 350
Proportion of Recovered
0.5
Proportion of Infected
0.06 0.4
0.04 0.3
0.2
0.02 rI = 250
0.1 rI = 300
0.00 0.0 rI = 350
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
24sensibilité par rapport à i0
0.20 1.0 I0 = 0.005
0.19 0.9 I0 = 0.01
I0 = 0.05
Proportion of Susceptible
Contact rate 0.18 0.8
0.17
0.7
0.16
0.6
0.15
0.14 I0 = 0.005 0.5
I0 = 0.01
0.13 I0 = 0.05 0.4
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
0.10
I0 = 0.005
I0 = 0.01 0.6
0.08 I0 = 0.05
Proportion of Recovered
0.5
Proportion of Infected
0.06 0.4
0.3
0.04
0.2
0.02 I0 = 0.005
0.1 I0 = 0.01
0.00 0.0 I0 = 0.05
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
25sensibilité par rapport à β0
1.0
0 = 1.8
0.24 0 = 2.0
0.9
0 = 2.5
Proportion of Susceptible
0.22 0.8
Contact rate
0.20 0.7
0.18 0.6
0.5
0.16
0 = 1.8 0.4
0.14 0 = 2.0
0 = 2.5 0.3
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
0.12 0 = 1.8 0.7
0 = 2.0
0.10 0 = 2.5
0.6
Proportion of Recovered
Proportion of Infected
0.08 0.5
0.4
0.06
0.3
0.04
0.2
0.02 0 = 1.8
0.1 0 = 2.0
0.00 0.0 0 = 2.5
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
26conclusion and extensions
extension à un modèle seir
Paramètres pour le SEIR tirés de Bacaër (2020); Dolbeault and Turinici (2020).
(S0 , E0 , I0 , R0 ) γ α β0
(0.99984, 8.81 × 10−5 , 1.88 × 10−5 , 5.35 × 10−5 ) 1 0.25 2.33
28extension à un modèle seir
Paramètres pour le SEIR tirés de Bacaër (2020); Dolbeault and Turinici (2020).
(S0 , E0 , I0 , R0 ) γ α β0
(0.99984, 8.81 × 10−5 , 1.88 × 10−5 , 5.35 × 10−5 ) 1 0.25 2.33
28extension à un modèle seir
29extension à un coût d’infection r(i) := 90(1 + 50 ∗ i)
0.20 1.0 Nash equilibrium
0.9 Societal optimum
Nash for rI(I)
Proportion of Susceptible
0.18
Contact rate 0.8
0.16 0.7
0.6
0.14
0.5
Nash equilibrium
0.12 Societal optimum 0.4
Nash for rI(I)
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
0.10 Nash equilibrium
Societal optimum 0.6
Nash for rI(I)
Proportion of Recovered
0.08 0.5
Proportion of Infected
0.06 0.4
0.3
0.04
0.2
0.02 Nash equilibrium
0.1 Societal optimum
0.00 0.0 Nash for rI(I)
0 100 200 300 0 100 200 300
Time (days) Time (days)
30résumé
▶ Modélisation de l’épidémie de la COVID-19 à travers un modèle SIR, qui peut
être facilement étendu à un SEIR.
31résumé
▶ Modélisation de l’épidémie de la COVID-19 à travers un modèle SIR, qui peut
être facilement étendu à un SEIR.
▶ Point de vue de l’individu : étant donnée la dynamique de l’épidémie,
chaque individu choisit son taux de contact β avec le reste de la population.
31résumé
▶ Modélisation de l’épidémie de la COVID-19 à travers un modèle SIR, qui peut
être facilement étendu à un SEIR.
▶ Point de vue de l’individu : étant donnée la dynamique de l’épidémie,
chaque individu choisit son taux de contact β avec le reste de la population.
▶ Le taux de transmission de la maladie au niveau de la population, β̄, est
l’agrégation des taux de contacts des individus : paramètre maintenant en-
dogène et dépendant du temps.
31résumé
▶ Modélisation de l’épidémie de la COVID-19 à travers un modèle SIR, qui peut
être facilement étendu à un SEIR.
▶ Point de vue de l’individu : étant donnée la dynamique de l’épidémie,
chaque individu choisit son taux de contact β avec le reste de la population.
▶ Le taux de transmission de la maladie au niveau de la population, β̄, est
l’agrégation des taux de contacts des individus : paramètre maintenant en-
dogène et dépendant du temps.
▶ Approche Nash – MF. Existence théorique d’un équilibre, unicité pour les
cas numériques testés.
31résumé
▶ Modélisation de l’épidémie de la COVID-19 à travers un modèle SIR, qui peut
être facilement étendu à un SEIR.
▶ Point de vue de l’individu : étant donnée la dynamique de l’épidémie,
chaque individu choisit son taux de contact β avec le reste de la population.
▶ Le taux de transmission de la maladie au niveau de la population, β̄, est
l’agrégation des taux de contacts des individus : paramètre maintenant en-
dogène et dépendant du temps.
▶ Approche Nash – MF. Existence théorique d’un équilibre, unicité pour les
cas numériques testés.
▶ Nette amélioration de la dynamique de l’épidémie : moins d’infections sur
la période (donc moins de morts), baisse du pic d’infections.
31résumé
▶ Modélisation de l’épidémie de la COVID-19 à travers un modèle SIR, qui peut
être facilement étendu à un SEIR.
▶ Point de vue de l’individu : étant donnée la dynamique de l’épidémie,
chaque individu choisit son taux de contact β avec le reste de la population.
▶ Le taux de transmission de la maladie au niveau de la population, β̄, est
l’agrégation des taux de contacts des individus : paramètre maintenant en-
dogène et dépendant du temps.
▶ Approche Nash – MF. Existence théorique d’un équilibre, unicité pour les
cas numériques testés.
▶ Nette amélioration de la dynamique de l’épidémie : moins d’infections sur
la période (donc moins de morts), baisse du pic d’infections.
▶ Coût d’anarchie : comparaison du Nash avec l’équilibre sociétal.
31limites
▶ Incertitudes sur les paramètres, surtout quand l’épidémie est d’un nouveau
genre.
32limites
▶ Incertitudes sur les paramètres, surtout quand l’épidémie est d’un nouveau
genre.
▶ Viabilité des modèles SIR, SEIR ? La COVID-19 a beaucoup d’autres particu-
larités : grand nombre d’asymptomatiques, etc.
32limites
▶ Incertitudes sur les paramètres, surtout quand l’épidémie est d’un nouveau
genre.
▶ Viabilité des modèles SIR, SEIR ? La COVID-19 a beaucoup d’autres particu-
larités : grand nombre d’asymptomatiques, etc.
▶ Individus rationnels, identiques, parfaite connaissance de la dynamique de
l’épidémie. Introduire de l’hétérogénéité entre les individus ?
32limites
▶ Incertitudes sur les paramètres, surtout quand l’épidémie est d’un nouveau
genre.
▶ Viabilité des modèles SIR, SEIR ? La COVID-19 a beaucoup d’autres particu-
larités : grand nombre d’asymptomatiques, etc.
▶ Individus rationnels, identiques, parfaite connaissance de la dynamique de
l’épidémie. Introduire de l’hétérogénéité entre les individus ?
Coût de l’anarchie.
▶ Mieux évaluer les coûts auxquels les états font face : coûts de saturation
des hôpitaux, coût économique du confinement, etc. Le coût individuel est
différent du coût du ”global planner”.
32limites
▶ Incertitudes sur les paramètres, surtout quand l’épidémie est d’un nouveau
genre.
▶ Viabilité des modèles SIR, SEIR ? La COVID-19 a beaucoup d’autres particu-
larités : grand nombre d’asymptomatiques, etc.
▶ Individus rationnels, identiques, parfaite connaissance de la dynamique de
l’épidémie. Introduire de l’hétérogénéité entre les individus ?
Coût de l’anarchie.
▶ Mieux évaluer les coûts auxquels les états font face : coûts de saturation
des hôpitaux, coût économique du confinement, etc. Le coût individuel est
différent du coût du ”global planner”.
▶ Soulève la question des incitations : leviers pour rapprocher l’équilibre de
Nash de l’optimum sociétal ? Mise en place d’amendes, voire de peine de
prison dans certain pays en cas de non–respect du confinement.
32limites
▶ Incertitudes sur les paramètres, surtout quand l’épidémie est d’un nouveau
genre.
▶ Viabilité des modèles SIR, SEIR ? La COVID-19 a beaucoup d’autres particu-
larités : grand nombre d’asymptomatiques, etc.
▶ Individus rationnels, identiques, parfaite connaissance de la dynamique de
l’épidémie. Introduire de l’hétérogénéité entre les individus ?
Coût de l’anarchie.
▶ Mieux évaluer les coûts auxquels les états font face : coûts de saturation
des hôpitaux, coût économique du confinement, etc. Le coût individuel est
différent du coût du ”global planner”.
▶ Soulève la question des incitations : leviers pour rapprocher l’équilibre de
Nash de l’optimum sociétal ? Mise en place d’amendes, voire de peine de
prison dans certain pays en cas de non–respect du confinement.
▶ Modèle Principal–Agent pour inciter la population à se confiner, avec Thibaut
Mastrolia, Dylan Possamaï and Xavier Warin (Incentives, lockdown, and test-
ing: from Thucydides’s analysis to the COVID–19 pandemic, à venir).
32bibliography
N. Bacaër. Un modèle mathématique des débuts de l’épidémie de
coronavirus en France. Mathematical Modelling of Natural Phenomena, 15:
29, 2020.
J. F. Bonnans and J. Gianatti. Optimal control techniques based on infection
age for the study of the COVID-19 epidemic. Preprint hal-02558980, 2020.
A. Charpentier, R. Elie, M. Laurière, and V. C. Tran. COVID-19 pandemic control:
balancing detection policy and lockdown intervention under ICU
sustainability. Preprint arXiv:2005.06526, 2020.
R. Djidjou-Demasse, Y. Michalakis, M. Choisy, M. T. Sofonea, and S. Alizon.
Optimal COVID-19 epidemic control until vaccine deployment. Preprint
medRxiv:20049189, 2020.
J. Dolbeault and G. Turinici. Heterogeneous social interactions and the
COVID–19 lockdown outcome in a multi–group SEIR model. Preprint
arXiv:2005.00049, 2020.
S. Ghader, J. Zhao, M. Lee, W. Zhou, G. Zhao, and L. Zhang. Observed mobility
behavior data reveal social distancing inertia. arXiv:2004.14748 [cs], 2020.
E. Hubert and G. Turinici. Nash-MFG equilibrium in a SIR model with time
dependent newborn vaccination. Ricerche di matematica, 67(1):227–246,
2018.
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