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Racine carré de 7500

Menu Ressources pédagogiques : « pour aller moins loin » Retour à la rubrique Piste rouge Le 20 avril 2021 - Ecrit par Serge Cantat Voir les commentaires (4) Les racines carrées de nombres entiers sont-elles des nombres rationnels ? Il s’agit d’un texte à l’usage des lycéens. D’autres textes sur le thème des puissances, comme $3^2$, $5^{-1}$ ou
$7^{1/2}=\sqrt{7}$ sont parus ces jours-ci. Bonne lecture ! Rediffusion d’un article publié le 20 avril 2020. La racine carrée d’un nombre positif $c$ est le nombre positif $x$ tel que $x^2=c$ ; on le note $\sqrt{c}$. Par exemple, la racine carrée de $169$ est égale à $13$. L’opposé $-\sqrt{c}$ vérifie aussi $(-\sqrt{c})^2 = c$ ; on dit parfois que $-
\sqrt{c}$ est la racine carrée négative de $c$. Ici, seule la racine carrée positive nous intéressera : nous allons chercher les nombres entiers $n\geq 0$ tels que $\sqrt{n}$ soit un nombre rationnel [1] ?. Mais auparavant, posons nous une question plus simple : quels sont les nombres $n\geq 0$ dont la racine carrée est un nombre entier ? Par
définition, les nombres $n$ dont la racine carrée est un entier peuvent être écrits sous la forme $n=m^2$ avec $m$ entier positif. Ces nombres $n$ sont donc les éléments de la liste qui commence ainsi : \[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, ... \] (le dernier terme écrit, $289 = 17^2$, correspond à $m=17$). Dans
cette liste, l’écart entre le terme $m^2$ et le suivant $(m+1)^2$ est égal à $2m+1$ [2] ; les écarts successifs grandissent donc indéfiniment : à chaque fois, l’écart s’accroit de deux unités, passant par exemple de $21$ pour $m=10$ à $23$ pour $m=11$, de $31$ pour $m=15$ à $33$ pour $m=16$, ... Les entiers de la forme $m^2$ ou, ce qui
revient au même, les nombres dont la racine carrée est un entier, deviennent de plus en plus rares à mesure que leur taille augmente [3]. $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel Le premier nombre entier qui n’est pas le carré d’un entier est le nombre $2$. Sa racine carrée $\sqrt{2}$ est-elle rationnelle ? Autrement dit, peut-on trouver deux entiers positifs
$p$ et $q$ tels que $\sqrt{2}=p/q$ ? La réponse est non : Théorème.— La racine carrée de $2$ n’est pas un nombre rationnel. Nous allons donner deux démonstrations de ce théorème, l’une géométrique, l’autre arithmétique. Les deux suivent le même schéma : nous y supposons que le nombre $L=\sqrt{2}$ est rationnel et l’écrivons sous forme
réduite $p/q$, avec $p$ et $q$ entiers positifs ; il s’agit alors de trouver une nouvelle écriture $L=a/b$ avec $a$ plus petit que $p$ strictement et $b$ plus petit que $q$ strictement, contredisant l’hypothèse initiale de forme réduite. Un carré de côté $p$, deux carrés de côté $q$ Démonstration géométrique.— En écrivant $L^2= 2$ et en multipliant
chaque terme par $q^2$ nous obtenons \[ p^2=2 q^2. \] Ceci implique que l’aire d’un carré de côté $p$ (c’est-à-dire $p^2$) est égale à la somme des aires de deux carrés de côté $q$, comme sur la figure ci-dessus. Faisons glisser les deux petits carrés rouges à l’intérieur du grand jaune : Trois nouveaux carrés apparaissent (voir la figure ci-
dessous) : le carré bleu : c’est là où les deux carrés rouges se superposent ; les deux petits carrés verts : ce sont les zones du grand carré qui ne sont pas couvertes par les deux carrés rouges. En additionnant les aires des deux carrés verts et des deux rouges on obtient donc l’aire du grand carré jaune plus celle du carré bleu, car celui-ci est compté
deux fois (une fois par carré rouge). L’aire du carré jaune étant égale à deux rouges, l’aire du carré bleu est le double de celle d’un vert. Notons $a$ le côté du carré bleu et $b$ celui du vert ; alors l’égalité que nous venons d’établir correspond à l’équation $a^2=2\times b^2$. Ainsi $(a/b)^2=2$ et $\sqrt{2}$ est donc aussi égal au nombre rationnel
$a/b$. Mais $a$ et $b$ sont des entiers positifs strictement plus petits que $p$ et $q$ : plus précisément, $b=p-q$ et $a=2q-p$. Donc l’écriture $\sqrt{2}=p/q$ ne pouvait pas être une forme réduite. $\square$ Démonstration géométrique sans la géométrie.— En oubliant le cheminement géométrique précédent, mais en relisant le dernier paragraphe
de la démonstration, nous obtenons une démonstration plus courte. Partant de $L=p/q$ avec $p^2=2q^2$, définissons $a=2q-p$ et $b=p-q$. Puisque $1 < L < 2$ nous savons que $q < p < 2q$ ; ceci montre que $0 < a < p$ et que $0 < b < q $. Par ailleurs, $a^2=4q^2-4pq+p^2=6q^2-4pq$ et $b^2=p^2-2pq+q^2=3q^2-2pq$. Donc
$a^2=2b^2$. Ainsi, $a/b$ est aussi égal à $L=\sqrt{2}$, ce qui contredit l’hypothèse de forme réduite pour $p/q$ car $0 < a < p $ et $0 < b < q $. $\square$ Démonstration arithmétique.— Nous utiliserons la remarque suivante : le carré d’un nombre impair est impair. En effet, un nombre impair est de la forme $2k+1$, son carré est alors égal à
$4k^2+4k+1=2\times (2k^2+2k) +1$ et est donc impair. En corollaire, si un carré est pair, c’est le carré d’un nombre pair. Revenons à la démonstration du théorème. En écrivant $L^2= 2$ et en multipliant chaque terme par $q^2$ nous obtenons $ p^2=2 q^2. $ Ceci montre que $2$ divise $p^2$. Ainsi, $p$ est pair et peut être écrit sous la forme
$p=2a$ où $a$ est l’entier obtenu en divisant $p$ par $2$. En remplaçant $p$ par $2a$, l’équation $p^2=2q^2$ devient $4 a^2 = 2q^2$ ; elle fournit la relation $2a^2=q^2$, ce qui montre que $q$ est pair aussi et peut-être écrit sous la forme $q=2b$. La fraction $p/q$ n’était donc pas sous forme réduite puisque $p/q=(2a)/(2b)=a/b$. C’est la
contradiction cherchée. $\square$ Irrationnalité Théorème.— Les entiers $n\geq 0$ dont la racine carrée est un nombre rationnel sont les entiers qui sont les carrés d’un nombre entier. Autrement dit, $\sqrt{n}$ est un nombre rationnel si et seulement si $\sqrt{n}$ est un entier, si et seulement s’il existe un entier $m$ tel que $n=m^2$ : on retrouve
la liste du premier paragraphe. Ainsi, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$ ne sont pas rationnels. Ce ne sont donc pas des nombres décimaux ; ces derniers, en effet, sont les nombres rationnels qui peuvent être écrits sous la forme $p/q$ avec $q$ une puissance de $10$ : $q=10^k$ pour un entier $k\geq 0$.
Démonstration arithmétique.— Nous utiliserons l’existence et l’unicité de la décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers. Ceci remplacera le fait, utilisé pour étudier $\sqrt{2}$, que le carré d’un nombre impair est impair. Supposons que $\sqrt{n}$ soit un nombre rationnel, que l’on écrit sous forme réduite $p/q$. Alors
$p^2=n\times q^2$. Notons $p_1$, $\ldots$, $p_k$ les facteurs premiers de $p$, et $q_1$, $\ldots$, $q_\ell$ les facteurs premiers de $q$ ; les nombres premiers qui apparaissent sont deux-à-deux distincts (si des facteurs premiers de $p$ et $q$ coïncidaient, la fraction $p/q$ ne serait pas réduite car on pourrait simplifier numérateur et
dénominateur par ce facteur premier). Les facteurs premiers de $p^2$ sont les mêmes que ceux de $p$, simplement les exposants sont multipliés par $2$. Par exemple, si $p=63=3^2\times 7$ alors $p^2=3969=3^4\times 7^2$. Pourtant, la relation $p^2=n\times q^2$ montre que les facteurs premiers de $p$ sont ceux de $n$ et de $q^2$ : les
$q_j$ devraient donc apparaître dans la liste des $p_i$. C’est la contradiction cherchée. $\square$ De bonnes approximations. Même si $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel, il existe de très bonnes approximations par des nombres rationnels. Par exemple, son développement décimal commence par $1.414$, donc \[ \vert \sqrt{2}-\frac{1414}{1000}\vert =
\vert \sqrt{2}-\frac{707}{500}\vert< \frac{1}{1000}=0,001. \] Mais l’on peut faire beaucoup mieux. Par exemple, $ \vert \sqrt{2}-\frac{99}{70}\vert< 8\cdot 10^{-5}. $ L’approximation est meilleure car les quatre premiers chiffres après la virgule sont exacts (au lieu de trois) et les entiers $p=99$ et $q=70$ utilisés pour la fraction sont bien plus
petits que $707$ et $500$. Avec la fraction $17/12$, on obtiendrait déjà les deux premières décimales. En guise de conclusion, je ne peux m’empêcher de signaler ce texte de Jean-Pierre Kahane qui montre comment la recherche des meilleures approximations par des nombres rationnels peut nous éclairer sur ... les petites choses politiques de notre
temps. Jean-Pierre Kahane était un mathématicien et un orateur remarquable : rendons lui hommage en visionnant l’une de ses dernières conférences, celle qu’il a donnée en 2014 à la Bibliothèque Nationale de France pour le cycle « Un texte un mathématicien ». Post-scriptum : L’auteur et la rédaction d’Images des mathématiques remercient les
relecteurs Mario, Corentin Bayette et Sébastien Peronno pour leur relecture réactive et attentive. Article édité par Philippe Colliard [1] C’est-à-dire de la forme $p/q$, avec $p$ et $q$ entiers et $qeq 0$. [2] En effet, $(m+1)^2-m^2=1 + 2m+m^2-m^2=1+2m$ par la formule du binôme. Ainsi, la suite des écarts entre deux carrés successifs est bien la
suite des nombres impairs. [3] On peut être plus précis. L’ensemble des carrés d’entiers $m^2$ qui sont inférieurs à $N$ contient au plus $\sqrt{N}$ éléments, à savoir $1$, $4$, $9$, $\ldots$, jusqu’au plus grand carré $m^2$ inférieur ou égal à $N$. La proportion de ces carrés parmi tous les entiers $\leq N$ est donc majorée par $\sqrt{N}/N$,
donc par $1/\sqrt{N}$ (je ne compte que les carrés strictement positifs ici). À mesure que $N$ croît, $1/\sqrt{N}$ décroît, devenant arbitrairement petit. La proportion de carrés parfaits entre $1$ et $N$ tend donc vers zéro. Cet article fait partie du dossier «Puissances et racines» voir le dossier @article{AIF_1963__13_2_203_0, author = {Glaeser,
Georges}, title = {Racine carr\'ee d'une fonction diff\'erentiable}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {203--210}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {13}, number = {2}, year = {1963}, doi = {10.5802/aif.146}, zbl = {0128.27903}, mrnumber = {29 #1294}, language = {fr}, url = { } 2013 studio album
by StromaeRacine carréeStudio album by StromaeReleased16 August 2013Recorded2013Genre House electropop dance-pop Length46:04LanguageFrenchLabel Vertigo Casablanca Republic Island France Mosaert Producer Stromae Maître Gims Orelsan Shameboy Thomas Azier Stromae chronology Cheese(2010) Racine carrée(2013) Singles from
Racine carrée "Papaoutai"Released: 13 May 2013 "Formidable"Released: 27 May 2013 "Tous les mêmes"Released: 23 September 2013 "Ta fête"Released: 3 February 2014 "Ave Cesaria"Released: 21 July 2014 "Carmen"Released: 30 March 2015 "Quand c'est ?"Released: 14 September 2015 Professional ratingsReview
scoresSourceRatingAllMusic[1]Charts in France[2]Metro[3]Music Story[4]NU.nl[5]Télérama[6] Racine carrée (French for 'square root', stylised √) is the second studio album by Belgian musician Stromae. It was released digitally on 16 August 2013 and three days later physically in France and Belgium. Stromae expressed his desire to incorporate
Caribbean and African musical influences along with his signature 1990s-inspired dance beats. The album, recorded in an attic, explores themes as diverse as alienation from social networks, relationship issues, discrimination, cigarettes and lung cancer, AIDS and absent father figures. Prior to its official release and afterwards, Racine carrée
received critical acclaim for its thoughtful lyrics and gained comparisons to fellow Belgian recording artist Jacques Brel. The album was a commercial success across Western Europe, including non-francophone countries. Racine carrée topped the charts in France, Belgium, Switzerland, the Netherlands and Italy, as well as reaching the top ten in
Canada, and the top forty in Germany. In his native Belgium, it remained at the top the charts for multiple weeks and been certified twelve times platinum by the BEA. In France, the album has been certified quadruple diamond by the SNEP and become one of the highest-selling albums in recent years after amassing over one million copies sold four
months after its release. Racine carrée yielded three chart-topping singles: "Papaoutai", "Formidable" and "Tous les mêmes". Chart performance In France, Racine carrée debuted at number one with one of the year's strongest first-week sales: 80,882 units, of which 55,597 were physical copies and 25,285 downloads. The opening week numbers were
higher than the 75,000 copies his previous album, Cheese, had sold since its release.[7] The following week, the album sold 50,901 copies but was replaced at the top of the chart by the second volume of tribute album Génération Goldman, which sold 59,274 units. By the end of September and after only six weeks of release, Racine carrée had crossed
the 300,000 mark and spent five non-consecutive weeks at number one.[8] In the last week of October, the album surpassed Daft Punk's Random Access Memories as the best selling album of 2013; up to that point the former had sold 475,500 copies while the latter had amassed 469,700 units.[9] In its eighteenth week on the chart, just before
Christmas, Racine carrée remained at number one for a sixteenth non-consecutive week at the top with its biggest weekly sales and the second-best weekly score of 2013, 182,034 units, just behind the 195,013 copies Random Access Memories sold in its first week of availability. This allowed it to cross the million mark in just four months; the last
album to sell over one million copies was Adele's 21 (2011), which took eleven months.[10] In francophone Europe, Racine carrée also experienced massive success. In his native Belgium, Stromae's second album opened at number one in both Flanders and Wallonia. In the former, Racine carrée spent 17 non-consecutive weeks at number one; while
in the latter, it remained at the top for 26 non-consecutive weeks.[11][12] In late December, the album was certified seven times platinum by the Belgian Entertainment Association, denoting shipments of over 140,000 copies in the country.[13] Additionally, Racine carrée finished the year as the best-selling album in both Flanders and Wallonia.[14]
[15] In Switzerland, the album also debuted at number one and held the top spot for four additional weeks.[16] In French-speaking Romandie, the album spent fourteen non-consecutive weeks at number one and remained in the top three for several weeks after its release in late August.[17] In addition, Racine carrée has been certified 5× platinum by
the Swiss branch of the International Federation of the Phonographic Industry, denoting shipments of 75,000 units.[18] In Canada, the album debuted within the top ten and remained in the chart for only three weeks.[19] Success was not limited to francophone countries; the album also sold well in Germany and the Netherlands. In Germany, Racine
carrée debuted just outside the top twenty in the main albums chart and at the top of the digital albums chart.[20][21] In the Netherlands, the album debuted at number sixteen; the following week it climbed five positions to reach number eleven, its highest chart rank up to that point. After falling below the top forty and reaching positions as low as
fifty-seven for two weeks, it eventually rebounded and entered the top ten for the first time in mid-December. The album later peaked within the top three.[22] According to MegaCharts, the album finished the year as the fifty-eighth highest-selling album in the Netherlands.[23] In Austria, the album did not reach the chart but sold constantly in the
lower sales regions, eventually reaching gold. Singles Racine carrée produced six singles: "Papaoutai" was released as the lead single in mid-May 2013. The autobiographical song tells the story of a young boy who is looking for his father. Stromae revealed that his father was killed during the 1994 Rwandan genocide. The music video shows him
adopting the style and pose of a 1940s mannequin, representing the absent father and the young version of him trying to interact with the mannequin. The single became an instant hit in France and Wallonia, where it spent multiple weeks at number one; it also reached the top ten in Switzerland and Luxembourg as well as non-francophone countries
or regions such as the Czech Republic, Dutch-speaking Flanders in Belgium, Germany and the Netherlands. "Formidable" was released as the follow-up single to "Papaoutai" in June 2013. The music video, filmed in the streets of Brussels, was particularly notorious for displaying Stromae wandering at the Louise/Louiza tram and metro station during
the daybreak, where the singer appears to be completely drunk. The song tells the story of a drunk man recently separated from his girlfriend. It eventually topped the charts in France and the Dutch-speaking and French-speaking regions of Belgium, reached the top five in the Netherlands, the top twenty in Switzerland and the top forty in Austria
and Germany. "Tous les mêmes" was officially released as the third single from the album in December 2013. The song displays the various stereotypical traits and behaviours of men and women alike. The music video for the single shows Stromae half-dressed as a woman and acting annoyed by the attitude of men and what they do; to further aid the
interpretation, green lighting effects are used for male Stromae and pink ones for female Stromae. The single became Stromae's third consecutive number one from Racine carrée in France and Wallonia, while reaching the top five in Flanders and charting in the Netherlands and Switzerland. "Ta fête" was released on 3 February 2014. The track
served as the anthem for the Belgium national football team during the 2014 World Cup in Brazil. "Ave Cesaria" was released on 21 July 2014. The track honours Cesária Évora, one of Stromae's favourite artists who died in 2011. "Carmen" was released on 20 March 2015.[24] The track was inspired by L'amour est un oiseau rebelle, an aria from the
1875 opera Carmen by Georges Bizet,[25] hence the song's title. "Quand c'est?" was released on 14 September 2015. Track listing No.TitleWriter(s)Producer(s)Length1."Ta fête"StromaeStromaeShameboyThomas Azier2:562."Papaoutai"StromaeStromaePapa DizzyAron Ottignon3:523."Bâtard"StromaeStromaeNoumoucounda CissokoAzier3:284."Ave
Cesaria"StromaeOrelsanStromaeMauricio DelgadosAntonio SantosSchérazade4:095."Tous les mêmes"StromaeStromaeBart Maris3:336."Formidable"StromaeStromaeLionel Capouillez3:337."Moules frites"StromaeStromaeGuillaume Huguet2:388."Carmen"StromaeOrelsanStromae ("Inspired by Georges Bizet's Carmen")3:099."Humain à
l'eau"StromaeStromae3:5910."Quand c'est?"StromaeStromae3:0011."Sommeil"StromaeStromaeTibass Kazematik3:3812."Merci"StromaeStromaeAzierAron Ottingnon3:5413."AVF" (featuring Maître Gims and Orelsan)StromaeMaître GimsOrelsanStromaeAtom3:44Total length:42:53 iTunes bonus
trackNo.TitleWriter(s)Producer(s)Length14."Papaoutai" (featuring Angel Haze) Stromae Angel Haze Stromae Papa Dizzy Aron Ottignon 3:51Total length:46:04 Charts Chart (2013–2015) Peakposition Belgian Albums (Ultratop Flanders)[26] 1 Belgian Albums (Ultratop Wallonia)[27] 1 Canadian Albums (Billboard)[28] 10 Danish Albums (Hitlisten)[29]
25 Dutch Albums (Album Top 100)[30] 1 French Albums (SNEP)[31] 1 German Albums (Offizielle Top 100)[32] 21 Italian Albums (FIMI)[33] 1 Swiss Albums (Schweizer Hitparade)[34] 1 US Heatseekers Albums (Billboard)[35] 19 US World Albums (Billboard)[36] 1 Chart (2013) Position Belgian Albums (Ultratop Flanders)[37] 1 Belgian Albums
(Ultratop Wallonia)[38] 1 Dutch Albums (Album Top 100)[39] 58 French Albums (SNEP)[40] 1 Swiss Albums (Schweizer Hitparade)[41] 5 Chart (2014) Position Belgian Albums (Ultratop Flanders)[42] 1 Belgian Albums (Ultratop Wallonia)[43] 1 Dutch Albums (Album Top 100)[44] 3 French Albums (SNEP)[45] 1 Italian Albums (FIMI)[46] 22 Swiss
Albums (Schweizer Hitparade)[47] 2 Chart (2015) Position Dutch Albums (Album Top 100)[48] 94 Swiss Albums (Schweizer Hitparade)[49] 69 Chart (2019) Position Belgian Albums (Ultratop Flanders)[50] 165 Belgian Albums (Ultratop Wallonia)[51] 105 Chart (2020) Position Belgian Albums (Ultratop Flanders)[52] 162 Belgian Albums (Ultratop
Wallonia)[53] 100 Certifications Sales certifications for Racine carrée Region Certification Certified units/sales Austria (IFPI Austria)[54] Gold 7,500* Belgium (BEA)[55] 12× Platinum 360,000* Canada (Music Canada)[56] Platinum 80,000^ Denmark (IFPI Denmark)[57] Gold 10,000^ France (SNEP)[59] 4× Diamond 2,120,000[58] Italy (FIMI)[60]
Platinum 60,000* Netherlands (NVPI)[61] Platinum 50,000^ Poland (ZPAV)[62] Gold 10,000 Russia (NFPF)[63] 2× Platinum 20,000* Switzerland (IFPI Switzerland)[64] 5× Platinum 100,000^ United Kingdom — 30,000[65] Summaries Europe (IFPI)[66] 2× Platinum 2,000,000* * Sales figures based on certification alone.^ Shipments figures based on
certification alone. Sales+streaming figures based on certification alone. Release history Country Date Format Label Australia[67] 16 August 2013 Digital download Mosaert Austria[68] Belgium[69] Denmark[70] France[71] Italy[72] Latin America[73] Japan[74] New Zealand[75] Norway[76] Singapore[77] Spain[78] Sweden[79] Switzerland[80]
United Kingdom[81] Canada[82] 19 August 2013 Mexico[83] United States[84] References ^ Prunes, Mariano. "Racine Carrée – Stromae". AllMusic. Retrieved 18 December 2014. ^ Julien Goncalves (20 August 2013). "Stromae résoud sans problème l'équation du deuxième album avec "Racine carrée"". Charts in France (in French). Retrieved 25
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