LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE DANS LES CLASSES DE 4e -3e A GRAND EFFECTIF
←
→
Transcription du contenu de la page
Si votre navigateur ne rend pas la page correctement, lisez s'il vous plaît le contenu de la page ci-dessous
LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE DANS LES
CLASSES DE 4e –3e A GRAND EFFECTIF
I- PREAMBULE
Moins de 30% des élèves de 4e et 3e réussissent à conduire une
démonstration depuis sa recherche jusqu’à sa rédaction. Les difficultés
inhérentes à l’enseignement et à l’apprentissage de la démonstration, reconnues
dans tous les pays, est aggravée au Sénégal, dans la majeure partie des
établissements, par de grands effectifs où le déficit de communication entre
enseignants et enseignés ou entre enseignés eux mêmes renforce les
incompréhensions et le manque de suivi des élèves en difficultés.
Ces difficultés sont de plusieurs ordre et se rencontrent tant chez lzs
élèves que chez les enseignants.
A- DIFFICULTES DES ELEVES
Chez les élèves, on rencontre des difficultés liées à (au) :
1- Démarrage
Nous situons les problèmes de démarrage d’une démonstration chez les
élèves au niveau :
- de la méconnaissance du cadre et des procédures utilisés dans une
démonstration
- de la manière de mettre à profit le matériau dont ils disposent dans les
énoncés, les figures et leurs connaissances propres,
- l’exploitation des ‘’indices déclencheurs’’.
2- La recherche
Dans la recherche d’une démonstration, les élèves ne savent pas en
général par où commencer. Ils n’ont pas de méthodologie de recherche. Ils ne
savent pas exploiter les indices que leur offre un énoncé ou une figure.
3- La rédaction
Après avoir recherché une démonstration les élèves ont des problèmes
pour la rédiger et mettre en cohérence les idées qu’ils ont fait ressortir. Ils ont
des problèmes pour suivre le cadre d’un raisonnement déductif HTC
(hypothèse, théorème, conclusion). Ils confondent le rôle et la valeur des mots
ou groupes de mots (conjonctions, adverbes …) utilisés dans une démonstration.A cela il faut ajouter les problèmes liés à l’ordonnancement des propositions
composant le texte de la démonstration.
4- L’auto évaluation
Ayant fait la démonstration, la plupart des élèves ne peuvent pas dire avec
assurance si ce qu’ils ont fait est correct ou non. Ils n’ont pas de critères de
réalisation fiables sur lesquels ils peuvent se référer pour s’autoévaluer .
B- DIFFICULTES DES ENSEIGNANTS
Chez les enseignants les difficultés sont d’ordre didactiques et de gestion
pédagogique des grands effectifs.
B1-Difficultés didactiques
1- Le manque de repères à donner aux élèves,
La plupart des enseignants font les démonstrations sans expliciter le cadre,
les procédures et les autres éléments constitutifs de celles-ci. Ces éléments,
implicites dans les discours ou les corrigés des professeurs sont parfois difficiles
à décrypter par les élèves qui se débrouillent à l’aveuglette ou à partir de vagues
réminiscences.
2- Le manque d’activités pertinentes à proposer
La plupart du temps la démonstration s’enseigne en un seul temps sans
différenciation des quatre types de difficultés des élèves citées plus haut. Des
activités appropriées ne sont pas données aux élèves pour leur faire prendre
conscience des difficultés et des compétences à développer sur chacune d’elles.
3- Le choix d’une progression à adopter dans l’enseignement de
la démonstration
Les professeurs déplorent que trop de compétences sont vues dans la
même année temps en 4e à propos de la démonstration : l’observation d’une
figure, les règles élémentaires de logiques, l’utilisation des instruments de
géométrie…A cela s’ajoute la gestion de l’hétérogénéité des classes de 4e qui
reçoivent des élèves ayant des prérequis forts différents dans ces domaines.
4- La remédiation à proposer aux élèves en difficulté
N’ayant pas identifié toutes les sources de blocages des élèves certains
enseignants n’ont pas toujours les remédiations nécessaires pour aider ces
derniers. Dans les cas où les remédiations sont données, certains élèves ont déjà
développé des dysfonctionnements tellement intégrés que les différentes
tentatives du professeur deviennent infructueuses.
B2-Difficultés liées au grand groupe.Les problèmes liés au grand effectif sont de l’ordre de :
1- La communication élève-professeur ,
Le grand effectif augmente la distance entre les élèves et l’enseignant. Il
rend difficile le déplacement et la proximité qui permettent un dialogue plus
directe et plus fréquent entre l’élève et le professeur. Il favorise l’isolement de
certains élèves qui ont besoin d’être ‘’secoués’’ pour s’investir et les
encouragent à se noyer dans la masse des inconnus.
2- La communication élèves-élèves
Le grand effectif n’encourage pas le professeur à développer un débat
suivi entre les élèves pour ne pas , comme disent certains, perdre du temps et
favoriser l’anarchie. Les élèves ne partagent pas de manière fréquentes leurs
idées et leurs expériences.
3- Le manque de techniques de mise en sous groupe et de mise en
communication
Les professeurs n’ont en général pas des techniques de mise en sous
groupe et de mise en communication qui permettent aux élèves de chercher
ensemble, de partager leurs expériences dans un cadre plein d’enthousiasme et
fructueux.
4- Du suivi et de l’évaluation des élèves
Les effectifs étant importants les collègues ont beaucoup de difficultés à
suivre l’évolution du travail des élèves et à corriger leurs copies. Une
remédiation collective est apportée aux difficultés observées et les problèmes
particuliers d’un élève donné peuvent ne pas être pris en compte. La correction
des copies ou les entretien oraux nécessitant un temps important de travail fait
que les évaluations ne sont pas fréquentes et dans le cas où elles se font , les
annotations ou les commentaires instructifs qui doivent les accompagner ne sont
pas faits.
5- De l’exploitation des ressources potentielles du grand groupe
Le potentiel que détient une classe à grand effectif est en général mal
exploité. Les élèves qui comprennent plus vite n’ont pas l’occasion d’aider leurs
camarades, ceux qui ont des documents originaux n’en font pas profiter les
autres, ceux qui savent aller trouver l’information utile au groupe ne sont pas
solliciter….Pour tenter de résoudre ces problèmes, on peut s’interroger sur la manière
dont la démonstration est préparée dans les petites classes 6e et 5e et les
méthodes adoptées dans son enseignemnt en 4e – 3e.
En 6e l’élève observe, constate et induit.
En 5e on renforce les acquis de 5e et on tente timidement de justifier des
résultats à partir des propriétés.
Les élèves ne sont pas habitués dans ces classes ci dessus à débattre en
mathématique, à douter ou à critiquer un résultat.
En 4e-3e on admet ou on démontre. Les constituants et les stratégies qui
permettent de réaliser une bonne démonstration ne sont pas en général explicités
obligeant l’élève à les deviner dans les corrections du professeur.
C’est pour prendre en compte ces dimensions de la démonstration que
nous donnons une proposition de plan de formation à la démonstration dans les
classes à large effectif. Ce plan prend en compte tant la progression et les
approches didactiques que les techniques d’organisation et de mise en
communication des sous groupes.
II- PLAN DE FORMATION A L’ENSEIGNEMENT DE LA
DEMONSTRATION
Il n’est pas question ici de faire une formation à la démonstration
indépendamment du cours de mathématiques. Les compétences visées seront
développées le long de l'année à travers les différents chapitre.
A- Progression
Pour arriver à réaliser en 4e et 3e les objectifs attendus sur la
démonstration, il est utile d’anticiper et d’installer des la 6e et la 5e un certain
nombre de compétences sur les quelles il sera plus facile de s’appuyer par la
suite.
A1- Sixième
TRAVAIL SUR FIGURE TRAVAIL SUR LES ENONCES
Utiliser les instruments de dessin pour tracer Traduire des énoncés en un dessin
une figure correcte
Coder une figure Elaborer des programmes de construction
Traduire une figure codée en énoncé Faire exécuter des programmes de
construction
Reconnaître une configuration de base dans Reconnaître des hypothèses ou une
un dessin codé conclusion dans une propriété, dans un
énoncé.
Compléter une figure dont le codage est Compléter une propriété dont les hypothèses
inachevé ou les conclusions sont manquantes
Tracer des figures contre exemple Installer les règles du débat mathématiqueA2- Cinquième
TRAVAIL SUR FIGURE TRAVAIL SUR LES ENONCES
Consolider les acquis de 6e
Dessiner une figure par une de ses propriétés Reconnaître une figure donnée par une
caractéristiques caractérisation
Tracer une figure à partir d’une de ces Reconnaître des propriétés équivalentes
propriétés caractéristiques et retrouver le
codage d’une autre propriété caractéristique
Déduire d’une figure codée des conclusions Reconnaître des propriétés qui ne sont pas
caractéristiques
Compléter correctement des phrases du type :
Reconnaître des figures correspondantes par Si j’ai……..alors……
une des transformations au programme D’après le théorème ou la propriété…..
Donc….
A3- Quatrième
On n’exigera pas des élèves des démonstration de plus de un pas au début de
l’apprentissage et de plus de 2 pas en fin d’apprentissage.
TRAVAIL SUR FIGURE TRAVAIL SUR LES ENONCES
Consolider les acquis de 5e
Associer une configuration de base à une Associer des hypothèses quelconques à des
conclusion conclusion et inversement
Extraire une configuration de base d’une Traduire les propriétés et les théorèmes en
figure complexe savoirs procéduraux :
Si j’ai telle(s) hypothèse(s) et si de plus j’ai
tel théorème je peux arriver à telle
conclusion
Compléter une figure pour faire apparaître Travailler sur les chaînages avant et arrière
une configuration de base
Travailler sur la rédaction d’une
démonstration
A4-Troisième
Le mêmes compétences sont développées en augmentant les pas de la
démonstration.
B- METHODE D’ENSEIGNEMENT
B1-GENERALITES
1- Constitution des sous groupes
Les sous groupes devront compter entre quatre et six élèves pour être
efficaces. Leurs activités peuvent se tenir soit au sein de la classe soit à
l’extérieur de celle ci.Ces sous groupes peuvent se constitués :
- par voisinage immédiat, par comptage, par désignation, ou par
affinité pour certains travaux en classe ;
- par proximité géographique ou par affinité dans les travaux en
dehors des heures de cours ;
- par groupe d’entraide dans lesquels un leader est imposé.
2- Répartition des rôles
Certains groupes de travail peuvent avoir une durée de vie appréciable
pour réaliser le projet d’activité que ses membres ont en commun. Pour que
chaque élève s’y sente responsable vis à vis des autres membre, il faut donner
des rôles valorisants à chacun d’eux (André de Péréti : pédagogie et les grands
groupes). On peut par exemple donner des rôles du type :
- responsable des théorèmes : il est chargé, sans en détenir le
monopole, de formuler les théorèmes utiles, de donner les
hypothèses qui conduisent à ce théorèmes ou les conclusions
auxquelles ils peuvent conduire, d’évaluer la pertinence des
théorèmes fournis par les autres…;
- responsable des stratégies : qui, sans détenir le monopole, donne
des stratégies de résolutions de problèmes, ou évalue la
pertinence des stratégies proposées par d’autres… ;
- responsable chargé de l’information : qui va chercher, à
l’extérieur du groupe, les informations utiles à l’avancement de
ses activités ;
- responsable de la communication : il est chargé de présenter le
travail du groupe par écrit ou oralement
- responsable de l’animation du groupe : il est chargé de la
régulation du travail du groupe, de recueillir les idées
d’organisation du groupe pour un meilleur rendement… ;
- porte parole des timides : il est chargé d’exprimer les
confidences écrites ou dites par ceux qui ont des difficultés à
s’exprimer.
Les élèves, dotés de responsabilités et ayant à rendre compte devant leurs
camarades, trouvent une motivation supplémentaire, si minime soit-elle, pour
fournir un effort supplémentaire qu’il n’aurait pas fais s’ils étaient noyés dans le
grand groupe. Loin du professeur, les élèves créent leurs propres conventionslangagières, de fonctionnement interne leur permettant de s’exprimer plus
librement.
3- Principes de base
L’idée de base de cette approche consiste à utiliser la richesse des
interactions entre les différents élèves pour installer dans le groupe classe, à
partir des sous groupes un état d’esprit et une convention langagière propices à
développer les compétences recherchées dans la démonstration.
L’action du sous groupe sur chacun de ses membres - par les échanges
qu’il favorise et le terrain d’exercice des compétences argumentaires qu’il offre
à chaque membre – peut être déterminante pour favoriser l’apprentissage de la
démonstration.
Des principes mathématiques tirés de ‘’Initiation au raisonnement déductif au
collège’’ de l’IREM de Lyon pourrait être la base de la convention langagière :
1- Une proposition mathématique est soit vraie soit fausse.
2- Un contre exemple suffit pour infirmer une propriété.
3- On ne peut pas s’appuyer sur un dessin pour décider de la validité d’un
énoncé.
4- On argumente en mathématique en se basant sur les vérités données
(propriétés, définitions, théorèmes) dans le cours et en progressant par des
étapes du type ‘’ Si j’ai ces hypothèses, alors j’ai cette conclusion d’après
ce théorème.
Ces principes mathématiques devront être accompagnés de principes de
socialisation pour lesquels une préparation psychologique est nécessaire. En
effet il est important de préciser les objectifs et les attentes liés à cette forme
d’organisation du travail. Il s’agit principalement :
- d’en faire connaître l’objectif aux élèves : celui d’aider le maximum
d’élèves de la classe à réussir par l’apport de chacun et de tous ;
- de préciser les attentes vis à vis du professeur : les termes du contrat de
travail ;
- de préciser les attentes vis à vis du groupe : la réalisation des consignes
de travail, le respect des camarades du groupe, le respect des conventions
internes, l’instauration d’un climat de confiance.
- fixer en groupe les sanctions à prendre en cas de manquement aux
dispositions prises par le groupe.
B2-ORGANISATION ET MISE EN COMMUNICATION DES SOUS
GROUPES
Les techniques réadaptés ici sont tirées des actes des séminaires de André
de Péretti organisés au Sénégal en 1989 et 1990 mis en forme par O.S. FALL
coordinateur de la SFC.1°- Le monitorat et l’aide mutuelle
2°- L’élaboration progressive
3°- Leçon-débat
4°- Le GAP : groupe d’approfondissement professionnel
5°- Les JMT : jeux méthodologiques de transposition
6°- La technique de l’argumentation
7°- Le Groupe-débat
8°- Exercices de créativité
B2-APPROCHE DIDACTIQUE
1°- DISPOSITIF D’EVALUATION FORMATRICE
1°1-LA REPRESENTATION CORRECTE DU BUT
Nous allons présenter des exemples de démonstration réussies aux élèves.
Ces derniers seront répartis en sous groupes de quatre pour identifier les
caractéristiques essentielles d’une démonstration. Ils chercheront à découvrir :
- les ressemblances et/ou les différences entre un texte de
démonstration et d’autres types de texte connus ……
- ce à quoi sert une démonstration
- l’articulation des idées dans une démonstration
- le style de construction des phrases
- les connaissances mis en jeu dans une démonstration
1°2- L’ANTICIPATION
Dans cette phase, le professeur aménage un temps de réflexion
individuelle d’abord autour de la synthèse issue de la mise en commun pour
amener chaque élève à prendre conscience de ce qu’il y a à faire dans une
démonstration : la manière de poser les hypothèses, la conclusion, les théorèmes,
les conjonctions, l’ordre des différents constituants qui entrent en jeu….
Ensuite il organise des échanges pendant lequel il amènera les élèves à
intégrer la tâche et à identifier les différentes procédures mises en œuvre pour sa
réalisation.
Cette phase de réflexion devra permettre :
- de mettre ensemble au point un cadre de référence, un moule
pour la démonstration
- de découvrir les éléments importants d’une démonstration
- de prendre conscience de l’importance de la connaissance du
cours dans la démonstration
- d’amener les élèves à se poser des questions sur la manière de
trouver les idées pour réussir une démonstration
- de permettre aux élèves de dire oralement ou par écrit des
phrases du type ‘’ pour faire une démonstration je dois d’abord
commencer par ….et ensuite faire … ‘’Arrivé à ce stade de la réflexion on pourra commencer à donner :
- des activités sur le chaînage avant et le chaînage arrière
- des exercices de recherche de démonstration
- de démonstration très simples sur lesquels les élèves chercheront
à exercer leur capacité d’anticipation
1°3-LA PLANIFICATION
A ce niveau les élèves auront à adopter une stratégie et à planifier leur action.
En énumérant les tâches qu’ils doivent accomplir les élèves doivent dire
comment les réaliser.
Sur des exemples simples ils chercheront d’abord individuellement à
répondre aux questions :
Que dois-je faire ?
Quel ordre respecter en le faisant ?
Quelles connaissances me faut-il ?
Quelles procédures dois-je mettre en œuvre ?
Que dois-je mettre dans le cadre de référence de ma
démonstration ?
Une mise en commun de ces réponses se fera pour dégager un plan
d’action commun.
1°4-L’EXECUTION
Après cette mise en commun, chaque élève exécute le travail selon le plan
qui a été retenu.
Les membres de chaque groupe se retrouveront pour mettre au point une
production commune qui sera présentée en grand groupe .
1°5-LE CONTROLE
Le contrôle se fait tout au long de l’exécution et conduit à des aller retour
entre les réalisations et le but visé. Les élèves s’appuient sur les critères de
réalisation et de réussite pour contrôler leur propre action.
2°- QUELQUES ATTITUDES PEDAGOGIQUES A FAVORISER
Procéduraliser et rendre opérationnels les théorèmes, les propriétés et les
définitions
Développer la lecture d’un énoncé :
Développer le sens de l’observation d’une figure :
Faire comprendre le sens et l’utilisation des liens logiques :
Faire découvrir par les élèves eux mêmes les méthodes de résolution
3°- ACTIVITE SUR L’APPROPRIATION DU CADRE DE LA
DEMONSTRATIONReconnaître des hypothèses et des conclusions
Comprendre le sens logique du Si …alors
Comprendre le sens logique de l’équivalence
Traduire de hypothèses ou des conclusions en des propositions équivalentes
Compléter une démonstration
Réarranger une démonstration
4°- ACTIVITE SUR L’APPRENTISSAGE DE LA RECHERCHE D’UNE
DEMONSTRATION
Chaînage arrière
Chaînage avant :
5°- ACTIVITES EN GRAND GROUPE
Narration de la recherche
Observation du groupe qui recherche
Echange sur la méthode de recherche
GAP pour quelqu’un qui a des difficultés dans la recherche
JMT pour celui qui a compris
En conclusion, nous avions dit en commençant cet exposé que moins de
30% des élèves de 4e – 3e réussissent correctement à conduire une démonstration
dans le premier cycle, pourcentage qui correspond par hasard au pourcentage
des élèves qui sont dans les filères scientifiques dans nos établissements
secondaires. Y a-t-il une corrélation ? je ne saurais le dire. Cependant, quand on
sait que l’avenir mathématique des élèves se joue au premier cycle on est en
droit de se demander si l’obstacle de la démonstration n’y est pas pour quelque
chose.
Dans tous les cas, l’équilibre des filières, et même l’inversion des
tendances, devra passer par un meilleur accès aux mathématiques donc un
meilleur apprentissage de la démonstration qui en est une des clés.
Cette situation interpelle tous ceux qui voudraient infléchir la courbe de
répartition littéraires-scientifiques. Pour le réuusir, il faudrait à mon avis, de la
part :
- des élèves de la persévérance et de la rigueur dans le travail car
la bosse des maths s’acquiert en bossant les maths. Le meilleur
pédagogue n’a pas de remède pour l’élève qui ne veut pas
travailler.
- des enseignants, un enseignement plus accessible dans une
relation de confiance protégée par des contrats didactiques clairs
avec des techniques et méthodes ‘’dédiabolisées’’.
- des autorités, une mise à disposition du système :+ de professeurs qualifiés auquel on attribuera des classes
charnières telles que la 4e ;
+ un corps d’encadrement fonctionnel capable de véhiculer
des innovations pédagogiques dans la formation continuée des
enseignants ;
+ d’une année pédagogique suffisante pour permettre
l’acquisition des compétences attendues.
Joseph SARR
CN-FC/IREMPT
REFERENCE BIBLIOGRAPHIQUE
Aleth Moussus : Dossier : L’évaluation formatrice ‘’Classe 35-0193’’
IREM de LYON : La pratique de l’évaluation formatrice
IREM de LYON : L’apprentissage du raisonnement déductif
ANDRE DE PERETTI : L’évaluation dans le grand groupe (séminaire animé au Sénégal en 1988)
(Révision et mise en forme O.S.Fall)
Pédagogie et grands groupes (Révision et mise en forme O.S.Fall)
FORMATION CONTINUE DU SENEGAL : la démonstration en 4e .Vous pouvez aussi lire
