CI2 : Analyse du comportement des systèmes invariants continus
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CI2 : Analyse du comportement des
systèmes invariants continus
Points étudiés :
Simulation fonctionnelle d'un système complexe
Correction des systèmes asservis (Proportionnelle et Proportionnelle Dérivée)
Matériels utilisés :
ordinateur de bureau
logiciel Didac'Syde
ENONCE RESSOURCES DOSSIER TECHNIQUE POUR ALLER PLUS
PEDAGOGIQUES (non disponible) LOIN… (non disponible)
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 1/ 10 B.D.V.S.Etude de l'asservissement de l'altitude
d'un Airbus A330
I.Présentation
A. Objectifs pédagogiques
Etude de la précision d’un système
Utilisation des diagrammes de Bode, Nyquist et Black
Etude en parallèle des réponses temporelles et fréquentielles
Etude des correcteurs proportionnel et proportionnel dérivé
B. Support de l’étude
Il s’agit de régler l’asservissement du maintien d’altitude d’un avion de type AIRBUS
A340.
L’objectif est donc de déterminer la forme, puis les valeurs numériques de la FT du
correcteur qui permettra d’obtenir un système stable dans toutes les configurations
(c’est à dire avec suffisamment de marge) et qui sera le plus précis possible :
écart statique nul en réponse à un échelon d’altitude
écart de traînage nul en réponse au maintien d’une vitesse verticale de
montée
écart minimum en réponse à une turbulence (accélération verticale subie
par l’avion)
Figure 1
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 2/ 10 B.D.V.S.C. Déroulement de l’étude:
L’avion est modélisé par un système du 2e ordre, qui correspond à son mode dominant.
Il s’agit de la fonction de transfert de l’avion, déjà stabilisé par les commandes de vol
électriques.
On note sur le schéma bloc que l’avion est ici commandé en accélération verticale ce
qui permet d’avoir des modes de guidage automatique très variés tels que
- maintien d’une altitude affichée
- maintien d’une vitesse verticale (l’entrée serait une rampe)
- maintien d’une pente de montée ou de descente
- montée à vitesse optimale (d’un point de vue consommation de carburant)
- suivi d’une trajectoire de référence
La combinaison de ces modes de guidage permet de réaliser automatiquement des
fonctions complexes telles que : approche du terrain d’atterrissage, atterrissage et
remise des gaz.
Ce type de commande est très pénalisant pour la stabilité puisque la fonction de
transfert de l’avion commandé en accélération doit être suivie de 2 intégrateurs pour
obtenir l’altitude. Ces 2 intégrateurs déphasent le signal. La présence d’un correcteur
est donc absolument nécessaire.
II.Présentation du schéma bloc
Le schéma bloc représente l’asservissement d’altitude d’un avion de type AIRBUS
A340.
L’avion vole en palier à une altitude Z0.
A. Nom des variables:
Zc : Altitude de consigne par rapport à l’altitude initiale Z 0
Z : Altitude réelle de l’avion par rapport à l’altitude initiale Z 0, mesurée par un
capteur de constante de temps négligeable devant le temps de réponse de l’avion.
Ez : Ecart d’altitude Zc-Z
Azc : Accélération verticale de consigne
Az : Accélération verticale réelle de l’avion
Vz : Vitesse verticale de l’avion
B. Nom et fonction des différents blocs:
Bloc d’entrée Zc : la consigne à l’entrée du pilote automatique est un changement
d’altitude de type échelon
Bloc correcteur Cor : on cherche la Fonction de transfert N(p)/D(p), de façon à
rendre le système stable avec la meilleure précision possible.
Dans la 1e partie, étude du système non corrigé, la FT du correcteur sera un gain K.
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 3/ 10 B.D.V.S.Bloc avion Av: représente la Fonction de transfert du mouvement de l’avion
« stabilisé »
Bloc intégrateur Int1: réalise l’intégration pour passer de l’accélération verticale Az
à la vitesse verticale Vz
Bloc intégrateur Int2: réalise l’intégration pour passer de la vitesse verticale Vz à
l’altitude Z
Bloc Zs : bloc de sortie (Zs = Z) nécessaire au bon fonctionnement du logiciel
III.Etude du système non corrigé
A. Préliminaires
1. Exécuter Did’acsyde puis créer le schéma-bloc de l'asservissement.
2. Vérifier en cliquant 2 fois sur le bloc Av que la FT de l’avion est décrite comme ci-dessous.
1
L’avion est modélisé par un système du 2e ordre : Av ( p)
0.444 p 1.066 p 1
2
3. Pour cette fonction du second ordre, déterminer le coefficient d'amortissement z et la
pulsation naurelle n.
n= z=
4. Vérifier en cliquant 2 fois sur le bloc Cor que la FT du correcteur est bien un gain
proportionnel.
B. Etude Fréquentielle en Boucle Ouverte
1. Tracé du diagramme de Bode
5. Tracer le diagramme asymptotique de Bode de la FTBO pour K = 1 ; puis tracer l’allure du
diagramme réel.
2. Vérification par logiciel du diagramme de Bode:
Le logiciel permet de visualiser la FTBO sur le schéma-bloc complet ; il s’agit de lui
préciser l’endroit où il doit couper la boucle ; le menu « analyse transfert boucle » le
permet.
6. Analyse/Analyse transfert boucle
Noeud choisi pour couper la boucle : Z
Définition des paramètres formels : K =0.5,1,2 (tracé des diagrammes pour 3 valeurs
différentes du gain K=0.5 puis K=1 puis K=2)
Domaine fréquentiel min, max = 0.1, 100 (le tracé sera réalisé sur 3 décades autour
de la pulsation propre de l’avion de 0.1 rad/s à 100 rad/s)
Nombre de points à visualiser = 100
7. Visualisation Bode Amplitude en mode bande
8. Comparer avec le tracé précédent (K=1 courbe jaune)
Noter que la variation du gain K de K=0.5 à 1 puis de K = 1 à 2 se traduit par une
translation verticale du diagramme de Bode en amplitude.
9. Donner la valeur de la translation : dB
10. Fin/Visualisation Bode Phase
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 4/ 10 B.D.V.S.Comparer avec le tracé précédent et noter que la phase est définie à 360° près. Pour
retrouver les valeurs habituelles, il convient dans ce cas particulier de retrancher 360°
à la valeur de la phase affichée.
11. Déterminer l’impact de la variation du gain K sur le diagramme de Bode en phase et justifier.
3. Tracé du diagramme de Nyquist
12. Fin/Visualisation Nyquist
13. Reproduire l’allure du diagramme de Nyquist et tracer le point critique -1
14. Orienter le lieu de Nyquist dans le sens des pulsations croissantes.
Sachant que le critère du revers dans le diagramme de Nyquist s’énonce par :
Un système est stable si, en parcourant le lieu de transfert dans le sens des
croissants, on laisse le point critique sur la gauche.
15. Vérifier que le système est instable quelque soit la valeur de K.
16. En utilisant le diagramme de Bode, déterminer la direction de la tangente à l’origine.
17. Faire 4 ou 5 Zoom successifs pour vérifier ce résultat puis réafficher la courbe complète
(Recadrer X/Y)
4. Tracé du diagramme de Black
18. Afficher le diagramme de Black (Fin/Visualisation/Black) et noter le décalage de la phase de
360° par rapport aux conventions habituelles.
Le diagramme ci-dessous représente le diagramme de Black obtenu pour K=0,5, 1 et 2.
19. Orienter le diagramme de Black dans le sens des croissants et représenter le point
critique.
20. Comment se traduit l’augmentation du gain K dans le diagramme de Black:
Sachant que le critère du revers dans le diagramme de Black s’énonce:
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 5/ 10 B.D.V.S.Un système est stable si, en parcourant le lieu de transfert dans le sens des
croissants, on laisse le point critique sur la droite
21. Justifier que le système est instable quelque soit la valeur de K.
22. Tracer sur le diagramme précédent la déformation qu’il faudrait apporter au lieu de Black
pour que le système soit stable.
23. Souligner le nom du correcteur qui permettrait de réaliser cette déformation:
Correcteur Proportionnel Correcteur à avance de phase Correcteur à retard de
phase
Avant d’analyser l’impact d’un tel correcteur, nous allons d’abord vérifier sur la
réponse temporelle que le système est bien instable.
C. Etude de la réponse temporelle en Boucle Fermée
1. Tracé de la réponse à un échelon Zc
24. Fermer les fenêtres précédentes puis Analyse/Réponse temporelle
Variables de sortie: Z
K = 0.5, 1, 2 (tracé pour 3 valeurs du gain K)
Traitement des instabilités : oui
Horizon temporel : 10 (en secondes)
Modification du pas : non
Visualiser uniquement Z et Zc (cliquer sur EZ pour supprimer la visualisation de la
courbe correspondante)
25. Visualisation
26. La valeur de l’échelon de consigne est Zc=300 m. Le comportement de l’avion vous paraît-il
satisfaisant ? Quelle est l’influence du gain K sur l’instabilité?
27. Vérifier que ce résultat est conforme à celui donné par l’analyse fréquentielle.
IV.Etude du système corrigé
A. Détermination de la forme du correcteur
28. Tracer l’allure du diagramme asymptotique de Bode du correcteur Proportionnel-Dérivé
(1+Tp), montrer qu’il réalise une avance de phase.
Ce réseau correcteur n’apporte aucun gain aux basses fréquences mais une avance de
phase de 45° à =1/T et de 90° au delà. Il présente l’inconvénient d’avoir un gain élevé
aux hautes fréquences (il amplifie donc les bruits), mais cet inconvénient est tempéré ici
par la présence des 2 intégrateurs dans la chaîne directe.
On choisit la constante de temps T pour que le lieu de Black se déforme le plus
possible dans la zone proche du point critique (AdB=0 dB ; =-180°).
29. Visualiser le diagramme de Black du système en BO sans modification du correcteur, et
relever (menu curseur) la pulsation c0 qui correspond à AdB=0 dB pour la FTBO (avec K=1) :
30. Relever la valeur de la phase pour cette pulsation c0 :
c0 = (c0)=
31. Déterminer l’avance de phase qu’il faut ajouter pour obtenir une marge de phase de 30°
environ. AP° =
32. Placer sur le diagramme de Bode du correcteur la pulsation de cassure 1/T et la position
approximative de la pulsation c0 la plus proche de 1/T qui respecte cette avance de phase.
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 6/ 10 B.D.V.S.On choisit finalement la constante de temps du correcteur Proportionnel Dérivé pour
que la pulsation de cassure (1/T) du correcteur soit placée sur une pulsation 10 fois plus
faible que c0 : 1/T = c0 / 10 . On doit obtenir approximativement : T = 10s
33. Programmer la nouvelle FT du correcteur:
T ,1 Tp 1
Cliquer 2 fois sur le bloc Cor et programmer K pour H ( p) K (Rentrer
1 1
directement la valeur numérique de T)
34. Reprendre l’analyse fréquentielle en Boucle Ouverte: Menu déroulant Analyse/Analyse
Transfert Boucle, Noeud choisi pour couper la boucle: Z, K = 1 , (min, max) = 0.01,10 , nombre de
points à visualiser = 100, visualiser uniquement le diagramme de Black.
35. Constater la déformation du lieu de transfert.
36. D’après le critère du revers dans Black, le système est-il stable? Justifier.
37. Proposer une modification pour rendre le système stable:
B. Réglage du gain
Le correcteur précédent a agi aussi sur le gain, ce qui fait que la courbe s’est en
même temps déformée vers le haut du diagramme de Black par rapport aux prévisions.
On choisit de faire varier le gain de la FTBO pour stabiliser le système.
1. Réglage en limite de stabilité
38. En travaillant sur le diagramme de Black avec le Curseur, déterminer de proche en proche la
valeur K1 du gain K du correcteur pour que le système soit à la limite de la stabilité.
-180°= rad/s 20 log H j180 dB K1=
39. Lancer une analyse temporelle de la FTBF. Menu déroulant : Analyse/Réponse
temporelle/Variables de sortie : Z, K1=..., Traitement des instabilités : oui, Horizon temporel :
10s, Modification du pas : non, Visualiser uniquement Z et Zc
40. Vérifier que la réponse temporelle est bien à la limite de la stabilité.
Z max m Z moy m avec Z c 300m
Ce résultat n’est bien sûr pas satisfaisant pour le fonctionnement du pilote
automatique; il est donc nécessaire de diminuer encore le gain K.
2. Réglage avec marge de gain
Par sécurité, on prendra une marge de gain de 20dB. (en général on prend 10dB, mais
on a négligé de nombreux retards en utilisant une fonction de transfert simplifiée de
l’avion)
41. Déterminer la nouvelle valeur K2 du gain du correcteur : K2
42. Vérifier le résultat en reprenant l’analyse fréquentielle de la FTBO (Analyse Transfert
boucle) et visualiser le diagramme de Black pour K=K2.
43. Vérifier la marge de gain et déterminer la marge de phase sur le diagramme de Black. On
pourra faire un zoom de la zone intéressante et utiliser le curseur.
MG dB MP dB
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 7/ 10 B.D.V.S.Diagrammes de Bode TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 8/ 10 B.D.V.S.
C. Etude de la FTBF corrigée
44. Déterminer la résonance en Boucle Fermée (pulsation et coefficient de surtension Q): on
rappelle que c’est le point où le lieu de Black est tangent au contour fermé de Hall.
R = rad/s 20 log Q dB (à lire en boucle fermée
sur les contours de Hall)
45. Vérifier ces valeurs en traçant uniquement le diagramme de Bode de la FTBF (Analyse,
Réponse fréquentielle, Noeud d’entrée : Zc, Noeud de sortie : Zs, K=K2=..., (min, max)=0.1,
10rad/s)
A l’aide du curseur, relever les valeurs à la résonance:
R = rad/s 20 log Q dB Q =
Le système, qui est du 4e ordre a pour mode dominant un 2e ordre de coefficient
d’amortissement z et de pulsation n.
46. Calculer n et z à partir de Q et R:
n = rad/s z
D. Etude de la réponse temporelle et de la précision
1. Ecart statique
On commande au pilote automatique un échelon d’altitude de 300m.
47. En supposant que le système répond suivant son mode dominant (z = ...), tracer l’allure de la
réponse et calculer la valeur de Z max lors du 1e dépassement.
z
Z max Z f
D1 e 1 z 2
% Z max m
Zf
48. Vérifier ce résultat : Menu déroulant « analyse », Réponse temporelle, Variables de sortie:
Z, K = K2 = ..., Horizon temporel: 60 (en secondes), Modification du pas : non, Visualiser Z c et Z.
Z max m EZ lim ZC Z f m
t
49. Justifier l’écart statique par la classe du système : =
2. Ecart de traînage
50. Remplacer l’entrée de type échelon par une entrée de type rampe: le pilote automatique ne
fonctionne plus en mode maintien d’altitude mais en mode suivi de vitesse verticale.
51. Cliquer sur l’échelon d’entrée, puis supprimer, menu déroulant « Modèles », entrées, choisir
la rampe et positionner la sur le schéma bloc
52. Définir les caractéristiques de la rampe en cliquant 2 fois dessus: retard 0 s, pente 10 m/s
53. Lancer l’analyse, réponse temporelle, nommer le bloc d’entrée Zc, Variables de sortie: Z, K =
K2 = ..., Horizon temporel: 60 (en secondes), Modification du pas : non, Visualiser Zc et Z.
54. Déterminer l’écart de traînage et le justifier par la classe du système:
EZ lim ZC Z f m
t
=
Cette précision de pilotage apportée par le système de classe élevée, justifie le
pilotage en accélération (AZc) de l’avion car il permet d’obtenir une bonne précision quel
que soit le mode de pilotage automatique; ce pilotage en accélération verticale (appelé
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 9/ 10 B.D.V.S.facteur de charge) est pourtant très pénalisant pour la stabilité (présence de 2
intégrateurs dans la chaîne directe)
3. Réponse à une perturbation modélisée par une accélération verticale
On étudie ici la réponse de l’avion à une turbulence.
55. Charger un nouveau fichier: menu déroulant « Fichier », Ouvrir, choisir le fichier modalt2.
56. Identifier les modifications par rapport au schéma précédent.
57. Quelle est la nature de la turbulence introduite (cliquer 2 fois sur le bloc Turb) et tracer
ci-dessous la courbe définissant cette perturbation:
58. Lancer l’analyse temporelle (Horizon temporel=120s) et déterminer l’erreur d’altitude
provoquée par cette perturbation:
EZ dyn m EZ stat m
59. Remplacer la perturbation par un échelon d’accélération
60. Cliquer sur le bloc Turb, Supprimer, menu déroulant « Modèles », Entrées, choisir l’échelon
et positionner le sur le schéma bloc.
61. Définir ce bloc: Cliquer 2 fois dessus, retard 60s, amplitude 1 m/s2. Lancer l’analyse
temporelle (Nommer le bloc Turb, Horizon temporel = 120s) et évaluer l’écart d’altitude provoqué
par cette turbulence:
Z m
62. Justifier cet écart d’altitude non nul, malgré la classe du système :
TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 10/ 10 B.D.V.S.Vous pouvez aussi lire
