Exponentielles et logarithmes

 
Institut Montjoie
Mathématique 6ème année
M. Decamps

 exponentielles et
 logarithmes

 A la Renaissance, le développement de l’astronomie, du commerce et de la navigation fait
émerger de nouveaux groupes, tels que les celui des astronomes-astrologues, qui génèrent au cours
des XVIe et XVIIe siècles, une somme considérable d’œuvres, d’idées et de techniques nouvelles sur
lesquelles la société va s’appuyer, et la science classique se construire.

 L’invention des logarithmes découle du besoin
 qu’ont les astronomes, les commerçants ou encore les
 navigateurs de disposer de méthodes de calcul simples pour
 effectuer des multiplications, des divisions, ou extraire des
 racines. C’est dans ce contexte qu’en 1614, John Neper crée
 des tables de calcul utilisant les logarithmes (dont la
 couverture est reproduite à gauche). Il n’imaginait pas
 créer de nouvelles fonctions, mais seulement une méthode
 pour calculer des produits en effectuant des sommes. Ce
 type de tables a été utilisé pendant plus de 300 ans, jusqu’à
 la deuxième moitié du XXe siècle, quand des calculatrices
 performantes sont devenues accessibles au grand public.

 La notion de fonction et le lien entre les
 exponentielles et les logarithmes n’apparaissent qu’à la fin
 du XVIIe siècle. Les exponentielles et les logarithmes
 dépasseront largement le cadre des calculs numériques
 imaginés par Neper pour s’imposer comme des notions
 fondamentales de l’analyse mathématique.

 Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus
particulièrement à cette nature fonctionnelle et aux utilisations pratiques des exponentielles et des
logarithmes.

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1.1 Rappel : les puissances

Pour tout réel , et pour tous naturels , et .
 
 = ∙ ∙ ∙ … ∙ 1 
 − = = √ 
 
 avec > 0, par exemple :
 30 = 1

 31 = 3 3-1 = 1/3 31/2 = √ 3 ≈ 1,73
 3
 32 = 9 3-2 = 1/9 32/3 = √32 ≈ 2,08
 33 = 27 3-3 = 1/27 3-1/2 = 1/√ 3 ≈ 0,58

 avec < 0, par exemple :
 (-3)0 = 1

 (-3)1 = -3 (-3)-1 = -1/3 (-3)1/2 = √−3
 racine carrée d’un nombre négatif : ne fait pas
 (-3)2 = 9 (-3)-2 = 1/9 partie de l’ensemble ℝ

 3
 (-3)3 = -27 (-3)-3 = -1/27 (-27)1/3= √−27 = −3

On remarque que si < 0, certaines puissances fractionnaires ne peuvent pas être calculées.

Le résultat est toujours positif si est positif, et le résultat peut être négatif ou positif si est
négatif.

On peut étendre les définitions du début du paragraphe à tout exposant , et réel.

Pour tous réels strictement positifs , et pour tous réels et , on a les propriétés suivantes:

 . = + 

 = − 
 
 ( . ) = . 

 ( ) = 
 
 ( ) = . 

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1.2 Exponentielle et logarithme : découverte
1.2.1 Introduction
Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de
bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience.
Les bactéries se reproduisent en se divisant, c’est-à-dire que chaque bactérie se divise en deux à
intervalle régulier.
Pour l’espèce étudiée, les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a
doublé.

 a. Remplis le tableau suivant :

 Temps
 0 1 2 3 5 10
 (heures)

 Nombre
 de
 bactéries

 b. Combien y aura-t-il de bactéries après un nombre quelconque d’heures ? Donne
 l’expression du nombre de bactéries en fonction de .

 c. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ?

 d. Dans le repère de la page suivante, trace le graphe du nombre de bactéries en fonction du
 nombre d’heures.

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 Nombre de bactéries

 Temps (heures)

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1.2.2 Croissance et décroissance
Tu as reçu un euro de ta grand-mère pour aller acheter des bonbons. Ta grand-mère ne se rend
pas bien compte que tu as grandi et que tu n’es plus très intéressé par les bonbons. Plutôt que
d’aller dépenser cet argent, tu décides de commencer à économiser pour tes vieux jours et d’aller
placer cet euro à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte pendant 50 ans,
Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, la
banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve (à ce moment-là).

 a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ?

 b. Remplis le tableau suivant :

 Temps (années) 0 1 2 3 5 10

 Capital Paul (euros)

 c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque d’années ? Donne
 l’expression de la valeur de ton capital en fonction de .

 d. En utilisant ta calculatrice, détermine après combien d’années tu auras plus de 2 euros.

 e. Dans le repère de la page suivante, trace en bleu le graphe de ton capital en fonction du
 nombre d’années. (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe
 avec le capital à 20, 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c)

Tu voudrais essayer de gagner un peu plus d’argent, et tu décides d’aller voir une autre banque.
Robert le banquier, bien qu’il n’ait pas l’air très honnête, te propose un taux d’intérêt de 6%. Cela
te semble un meilleur placement et tu signes un contrat avec lui. Tu es pressé et le contrat fait 10
pages, tu décides de ne pas tout lire. Quand tu rentres à la maison et que tu annonces la bonne
nouvelle à ton père, il demande à lire le contrat. Il te signale qu’il est écrit que la banque te
réclamera comme frais de dossier 8% de ce qui se trouve sur ton compte en chaque fin d’année.

 a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ?

 b. Remplis le tableau suivant :

 Temps (années) 0 1 2 3 5 10
 Capital Robert
 (euros)

 c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque d’années?

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 d. Dans le repère suivant, trace en rouge le graphe de ton capital en fonction du nombre 
 d’années (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe capital à 20,
 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c)

 Capital (euros)

 Temps (années)

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Les situations étudiées aux points 1.2.1 et 1.2.2 ont en commun que pour une augmentation d’une
unité de la variable (le temps en heures pour l’exemple en biologie et en années pour l’exemple
en finance), la quantité étudiée est multipliée par un nombre constant. Ce type de fonction est
appelée exponentielle et le nombre par lequel la quantité étudiée est multipliée est appelé base.

Comparons à l’aide du tableau suivant les propriétés des différentes exponentielles étudiées.

 Banque
 Bactérie Banque Robert
 Paul

 Base

 Expression analytique :
 quantité en fonction de 

 Croissant / décroissant ?

Nous avons remarqué que certaines exponentielles étaient croissantes et d’autres décroissantes.
La base étant le facteur multiplicatif reliant le capital d’une année par rapport à la suivante, donne
l’intervalle dans lequel peut varier la base des deux différents types d’exponentielles.

 Exponentielle croissante Exponentielle décroissante

 Intervalle de variation de
 la base

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1.2.3 Logarithme
Nous avons constaté que l’expression analytique des fonctions exponentielles placent la variable
 en exposant (voir points 1.2.1 et 1.2.2), les quantités calculées sont donc des puissances* du
nombre appelé base. Observons l’évolution des quantités en terme de puissance de la base. Pour
ce faire, remplis le tableau suivant en exprimant les quantités comme pour la ligne correspondant
à = 3.

 Banque
 Bactérie Banque Robert
 Paul

 Base

 Unité de 

 Quantité de départ
 ( = 0)

 Quantité pour = 1
 (après 1 h / 1 an)

 Quantité pour = 2
 (après 2 h / 2 ans)

 Quantité pour = 3 8 = 23 1.1576 = 1.053 0.9412 = 0.983

 Quantité pour = 5

 Quantité pour = 10

Le tableau précédent fait apparaître un autre type de fonction appelé logarithme. Dans nos
exemples, le logarithme est le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée de
bactéries dans le récipient, ou le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée
d’argent sur le compte en banque. Nous avons remarqué que ce nombre correspond à l’exposant
à appliquer à la base pour obtenir la quantité voulue.

Ainsi par exemple :
 - on constate qu’il faudra attendre 3 heures pour avoir 8 bactéries dans le récipient. Donc,
 le logarithme en base 2 de 8 vaut 3, ou en notation mathématique :
 log 2 8 = car 2 = 8

 - Il faudra attendre 3 ans pour avoir un capital de 1,1576 euros chez Paul le banquier. Donc,
 le logarithme en base 1,05 de 1,1576 vaut 3, ou en notation mathématique :
 log1,05 1.1576 = car 1,05 = 1,1576

* Puissance et exposant sont des synonymes

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Pour les cas moins évidents à calculer, on pourra utiliser la calculatrice. Ainsi si on veut
déterminer combien d’heures il faudra attendre pour avoir 15 bactéries dans le récipient, il faudra
attendre un nombre d’heures égal à log 2 15 , ce qui revient à déterminer l’exposant tel que 2 =
15.

Malheureusement, les calculatrices permettent de calculer le logarithme en base 10, (noté log10,
ou plus souvent simplement log), mais pas de calculer le logarithme dans n’importe quelle base.
Il faudra dès lors utiliser la formule de changement de base, que nous démontrerons au
paragraphe 1.4.4. Ainsi pour déterminer avec la calculatrice le temps à attendre pour avoir 15
bactéries dans le récipient, c’est-à-dire log 2 15, on calculera le quotient suivant :
 log 15 1,176
 log 2 15 = = = 3,9
 log 2 0,301

On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 3,9 heures pour avoir 15 bactéries dans le récipient.

De façon similaire, pour que mon capital s’élève à 10 euros chez Paul le banquier, il faudra attendre
un nombre d’années égal à log1,05 10, ce qui revient à déterminer l’exposant tel que 1,05 = 10.
Avec la formule de changement de base, on calculera :
 log 10 1
 log1,05 10 = = = 47,2
 log 1,05 0,021

On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 47,2 années pour avoir 10 euros de capital.

Remplis les tableaux suivants. N’utilise ta calculatrice que lorsque c’est nécessaire. Dans le cas où
tu utilises ta calculatrice, veille à écrire dans chaque case le calcul effectué en mentionnant la
formule de changement de base comme ci-dessus.

 Bactéries

 Base

 Temps pour avoir 2
 bactéries

 Temps pour avoir 3
 bactéries

 Temps pour avoir 5
 bactéries

 Temps pour avoir 10
 bactéries

 Temps pour avoir 20
 bactéries

 Temps pour avoir 50
 bactéries

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 Paul le banquier

 Base

 Temps pour avoir 2 euros

 Temps pour avoir 3 euros

 Temps pour avoir 5 euros

 Temps pour avoir 10 euros

 Temps pour avoir 20 euros

 Temps pour avoir 50 euros

 Robert le banquier

 Base

 Temps pour avoir 90
 centimes

 Temps pour avoir 80
 centimes

 Temps pour avoir 70
 centimes

 Temps pour avoir 60
 centimes

 Temps pour avoir 50
 centimes

 Temps pour avoir 40
 centimes

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1.2.4 Fonction réciproque
Il apparaît de nos explorations des fonctions exponentielles et logarithmes qu’elles sont liées.

En effet, si l’exponentielle donne la quantité (de bactéries, d’argent sur un compte, …) pour une
valeur de la variable (le temps, …), on constate que le logarithme donne reciproquement le
temps à attendre pour obtenir une quantité donnée. Le résultat de l’une est la donnée de l’autre,
on dira que ces fonctions sont réciproques.

Reprenons notre premier exemple, celui des bactéries, et comparons numériquement et
graphiquement l’évolution des fonctions exponentielle et logarithme.

 Exponentielle Logarithme

 Variable Temps en heures Nombre de bactéries

 Expression analytique de la
 = 2 = log 2 
 fonction
 Valeur renvoyée par la Nombre de bactéries après Temps en heures pour
 fonction heures obtenir bactéries

 Valeur pour = 1

 Valeur pour = 2

 Valeur pour = 3

 Valeur pour = 4

 Valeur pour = 8

 Valeur pour = 10

 Valeur pour = 16

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Trace les graphes des deux fonctions dans le repère suivant, utilise certains points du tableau
précédent, ceux qui ne sortent pas de l’échelle du repère.

 y

 x

On remarque que les graphes des deux fonctions ont pour particularité d’être symétriques par
rapport à un axe, trace cet axe sur le graphe. A l’aide de tes connaissances sur les équations de
droites, détermine l’équation de cet axe et indique-la sur le graphe.

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Puisque le logarithme de la quantité de bactéries est le nombre d’heures qu’il faut attendre pour
obtenir cette quantité de bactéries, on peut dire que :

 ′ ℎ = log 2 ( )

 Or le nombre de bactéries après un temps donné se calcule comme suit :
 ′ ℎ )
 = 2( 

 On peut en conclure que :

 ′ = log 2 2( )

Réciproquement, on peut aussi écrire :
 ′ ℎ )
 = 2( 

 Et puisque :

 ′ ℎ = log 2 ( )

 On peut dire :

 = 2log2 ( )

Et plus généralement, pour toute variable (temps, quantité de bactéries…) et pour toute
exponentielle et pour tout logarithme de même base notée ici :

 = log 

Et aussi :

 = log 

Cette relation exprime mathématiquement que les fonctions exponentielles et logarithmes sont
réciproques, puisque « leurs effets se compensent ». Autrement dit, l’application successive des
deux fonctions sur la variable renvoie la valeur de .

Cette dernière relation est la définition même du logarithme qui est donc uniquement défini
comme étant la réciproque de l’exponentielle. Plus généralement, pour une base , on écrira :

 = 

 = 

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1.2.5 Caractérisation des exponentielles
Reprenons l’exemple des bactéries et imaginons que l’équipe de scientifiques ait déposé des
bactéries dans trois récipients différents, correspondant à trois milieux différents, décrits ci-
dessous :

 a. Nous sommes dans la même situation que dans le point 1.2.1. Les bactéries se développent
 librement, le nombre de bactéries double toutes les heures. Il s’agit de l’expérience témoin.
 b. Les scientifiques étudient l’efficacité d’un désinfectant, ils observent que le nombre de
 bactéries vivantes est divisée par deux toutes les heures.
 c. Les scientifiques testent un produit dopant la croissance des bactéries, le nombre de
 bactéries est doublé toutes les demi-heures.

Afin de pouvoir plus facilement observer l’évolution des bactéries, les scientifiques ont besoin
d’une quantité significative de bactéries dans chaque milieu et décident de commencer leurs
observations quand il y aura exactement 1 gramme de bactéries dans chaque récipient. Le début
de l’observation correspondra au temps = 0.

Remplis le tableau suivant :

 Expérience a. : Expérience b. : Expérience c. :
 expérience témoin désinfectant dopant

 Base

 Expression
 analytique : masse de
 bactéries en fonction
 de (temps en
 heures)
 Croissant /
 décroissant ?
 Masse de bactéries au
 début de
 l’observation ( = 0)
 Masse de bactéries
 après 1h ( = 1)

 Masse de bactéries
 après 2h ( = 2)

 Masse de bactéries
 après 3h ( = 3)

 Masse de bactéries
 après 4h ( = 4)

Dans le tableau ci-dessus, les exposants sont des nombres naturels. En les utilisant, il est possible
de prévoir l’évolution de la masse de bactéries après un nombre d’heures entières (et positives
puisqu’on ne s’intéresse qu’à ce qui se passe après le début de l’expérience).

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Nous disposons d’outils mathématiques supplémentaires nous permettant de déterminer la
masse de bactéries à n’importe quel moment.

Les exposants fractionnaires (correspondant pour rappel aux racines carrées, cubiques, …)
 1
permettent de connaître la masse de bactéries par exemple après une demi-heure ( = ), après
 2
 3
trois quarts d’heure ( = 4
 ),…

D’autre part, les exposants négatifs permettront de déterminer la masse de bactéries présentes
dans le récipient par exemple une heure avant le début de l’expérience ( = −1), ou encore un
 1
quart d’heure avant le début de l’expérience ( = − 4).

En toute généralité, on pourra calculer à l’aide des exposants réels la masse de bactéries à
n’importe quel moment, par exemple 2,3689 h avant ou après le début de l’expérience ( =
−2,3689 = 2,3689).

Remplis le tableau suivant :

 Expérience a. :
 Expérience b. : Expérience c. :
 expérience
 désinfectant dopant
 témoin
 Masse de
 bactéries 3,6
 heures avant le
 début

 Masse de
 bactéries une
 heure avant le
 début

 Masse de
 bactéries un
 quart d’heure
 avant le début

 Masse de
 bactéries après
 10 minutes

 Masse de
 bactéries après
 un quart d’heure

A l’aide des résultats compris dans les deux tableaux précédents, trace dans le repère suivant les
graphes représentant l’évolution du nombre de bactéries pour les trois expériences. Utilise une
couleur différente pour chaque graphe. Il est à noter que certains résultats sont hors d’échelle, ils
ne pourront pas être représentés (« ils sortiraient du graphique »). Représente pour chaque
graphe les éventuelles asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations.

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 y (masse de bactéries)

 x (temps)

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On a constaté que :

 • une base supérieure à 1 correspond à une fonction croissante, et que la croissance de la
 population sera d’autant plus rapide que la base est élevée.
 • une base comprise entre 0 et 1 correspond à une fonction décroissante, et que la
 décroissance sera d’autant plus rapide que la base sera proche de 0. †

L’utilisation de bases négatives poserait problème d’un point de vue mathématique (par exemple
 1
(−2)2 = √−2 n’est pas un réel) et sont proscrites dans le cadre de ce cours.

Une base = 1 correspondrait à une quantité constante (facteur multiplicatif unitaire) et une base
nulle correspondrait à une quantité nulle tout le temps. Ces deux cas particuliers ne sont donc pas
considérés ici comme étant des exponentielles.

On constate aussi que le domaine des fonctions exponentielles est l’ensemble des réels ℝ. En effet,
dans notre exemple, on peut calculer le nombre de bactéries à n’importe quel moment.

Les exponentielles ne sont définies que pour des bases strictement positives, et en conséquence
la valeur renvoyée par une exponentielle ne pourra être que strictement positive, en effet toute
puissance d’un nombre strictement positif donne un nombre strictement positif. Ainsi l’ensemble
image d’une fonction exponentielle est ℝ+
 0 . Dans notre exemple, cela se traduit par le fait que nous
n’aurons jamais une quantité de bactéries négative.

En outre, le graphe d’une fonction exponentielle présente toujours une asymptote horizontale
d’équation = 0. En effet, pour une fonction décroissante, après un temps infini, la quantité
tendra vers 0. Pour une fonction croissante, la quantité à un moment infiniment éloigné dans le
passé tendrait vers 0.

On remarque en outre que tous les graphes des trois fonctions exponentielles étudiées passent
par le même point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression
analytique, explique pourquoi :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

† Ces observations découlent directement de la définition de la base qui est le facteur par lequel est multiplié la quantité

étudiée (ici la masse de bactéries) pour une augmentation de 1 de la variable (ici le temps en h).

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1.2.6 Caractérisation des logarithmes
Continuons avec l’exemple des bactéries et reprenons les 3 expériences décrites au point 1.2.5.
Remarquons tout d’abord que lorsqu’on étudie le problème à l’aide des fonctions logarithmiques,
abscisses et ordonnées sont échangées par rapport aux fonctions exponentielles, les fonctions
étant réciproques l’une de l’autre (voir 1.2.4). Ici donc, l’abscisse correspond à la quantité de
bactéries et l’ordonnée correspond au temps. En effet le logarithme renvoie le temps nécessaire
à obtenir une quantité de bactéries, là où l’exponentielle renvoie la quantité de bactéries à un
moment donné. Remplis le tableau suivant.

 Expérience a. : Expérience b. : Expérience c. :
 expérience témoin désinfectant dopant

 Base
 Expression
 analytique :
 moment où l’on a
 une masse de
 bactéries

 Expérience a. :
 Valeur de la Expérience b. : Expérience c. :
 expérience
 variable désinfectant dopant
 témoin
 Moment où l’on a
 0,1 g de bactéries
 Moment où l’on a
 0,52 g de
 bactéries
 Moment où l’on a
 0,75 g de
 bactéries
 Moment où l’on a
 1 g de bactéries :
 début de
 l’observation
 Moment où l’on a
 2 g de bactéries
 Moment où l’on a
 3,7 g de bactéries
 Moment où l’on a
 10 g de bactéries

Dans le tableau ci-dessus, on obtient des valeurs négatives et positives. Que signifie une valeur
négative ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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A l’aide des résultats compris dans le tableau précédent, trace dans le repère suivant les graphes
représentant le temps en fonction de la masse de bactéries pour les trois expériences. Utilise une
couleur différente pour chaque graphe. Représente pour chaque graphe les éventuelles
asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations.

 y (temps)

 x (masse de bactéries)

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On a constaté que ‡:

 • pour un phénomène représenté par une base supérieure à 1, la quantité augmente avec le
 temps et donc réciproquement, le temps nécessaire pour obtenir une quantité donnée
 augmente avec la quantité. Une fonction logarithmique à base supérieure à 1 est donc
 croissante.
 • Pour un phénomène représenté par une base comprise entre 0 et 1 correspond à une
 fonction décroissante. Les limitations sur la valeur des bases des phénomènes
 exponentiels s’étendent aux fonctions logarithmiques, puisqu’elles sont réciproques l’une
 de l’autre.

Le domaine d’une fonction logarithmique couvre l’ensemble des réels strictement positifs ℝ+ 0.
Dans notre exemple, quand on considère les fonctions logarithmiques, on se rappelle que
l’abscisse correspond à la masse de bactéries et l’ordonnée correspond au temps. Il n’est pas
possible d’obtenir une abscisse négative, c’est-à-dire une «masse négative » de bactéries, on ne
pas non plus avoir masse nulle car, en se divisant en deux à chaque pas de temps, il en restera
toujours une certaine quantité, même minime.

Puisque la quantité de bactéries s’approche de 0 sans jamais être nulle, on observe sur le graphe
la présence d’une asymptote verticale d’équation = 0. Pour une fonction logarithmique
décroissante, la quantité de bactéries tendra vers 0 après un temps infini (ordonnée tend vers
+∞). Pour une fonction logarithmique croissante, la masse de bactéries tendait vers 0 à un
moment infiniment éloigné dans le passé (ordonnée tend vers −∞).

Dans notre exemple, on peut étudier les phénomènes à des moments à la fois éloignés dans le
passé et dans le futur. De façon plus générale, cela se traduit par le fait qu’il n’y a pas de limitation
sur la valeur de l’ordonnée . Ainsi l’ensemble image d’une fonction logarithmique est couvre tout
l’ensemble des réels ℝ.

On remarque en outre que tous les graphes des fonctions logarithmiques passent par le même
point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression analytique, explique
pourquoi :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

‡On pourra constater que par réciprocité, l’ensemble des observations faites sur l’abscisse des exponentielles peuvent
se faire sur l’ordonnée des fonctions logarithmiques et vice versa.

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1.3 Synthèse
1.3.1 Fonction exponentielle

1.3.1.1 Définitions
Le réel dont on calcule la puissance est appelé base et est noté .

 • >0
 • ≠ 0 car 0 = 0 ∀ : fonction constante
 • ≠ 1 car 1 = 1 ∀ : fonction constante

La fonction : ℝ → ℝ+ 
 0 : → = est appelée fonction exponentielle en base 

1.3.1.2 Propriétés et graphes
Avec > 1

Par exemple, soit ( ), la
fonction exponentielle en
base 2:

 : ℝ → ℝ+
 0: → = 2
 
Propriétés :
 • = ℝ
 • = ℝ+ 0
 • les points (0,1) et
 (1, )appartiennent au graphe de 
 • le graphe admet une asymptote horizontale à gauche en = 0, c’est-à-dire lim = 0
 →−∞
 • lim = +∞
 →+∞
 • la fonction est croissante

Avec 0 < < 1

Par exemple, soit ( ), la
fonction exponentielle en
 1
base 2 :

 1 
 : ℝ → ℝ+
 0: → =( )
 2

Propriétés :

 • = ℝ
 • = ℝ+ 0
 • les points (0,1) et (1, )appartiennent au graphe de 
 • le graphe admet une asymptote horizontale à droite en = 0, c’est-à-dire lim = 0
 →+∞
 • lim = +∞
 →−∞
 • la fonction est décroissante

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1.3.2 Réciproque d’une fonction
La réciproque d’une fonction est la relation qui, à chaque élément de , associe l’élément de
 dont il est l’image.
 : → 

 réciproque de : → 

En inversant les et les dans graphe de la réciproque de f
 a. ( )
 graphe=de2 
 f −3 On permute x et y
l’expression analytique d’une
 x y x y
fonction, on obtient l’expression 0 -3 -3 0
analytique de la réciproque: 2 1 1 2

 3 y
a. ( ) = − 
 2
 = 2 − 3 graphe de f
 1
 ⇔ 2 = + 3
 x graphe de la
Tout d’abord, on isole 0 réciproque de f
 -4 -2 0 2 4
 +3 -1 axe de
 ⇔ = symétrie
 2
 -2
Ensuite on permute et 
 +3 -3
 ⇔ =
 2 -4
La relation réciproque de est la
 +3
relation → = 2
 graphe de la réciproque de f
 b. ( ) 2f − 1
 =de
 graphe On permute x et y
(il s’agit ici d’une fonction) x y x y
 -2 3 3 -2
 -1 0 0 -1
b. ( ) = − 0 -1 -1 0
 1 0 0 1
 2 3 3 2
 = 2 − 1
 ⇔ 2 = + 1 4 y
Pour obtenir l’expression analytique 3
 graphe de f
de la réciproque, on isole 2
 ⇔ = ±√ + 1 1 x graphe de la
 réciproque de f
on permute et 0 axe de symétrie
 -4 -2 0 2 4
 ⇔ = ±√ + 1 -1
La relation réciproque de est la -2
relation
 -3
 → = ±√ + 1
 -4
(il ne s’agit pas d’une fonction)

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On remarque que :

a. Les graphes d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite
 ayant pour équation = (bissectrice des axes et )

b. La réciproque d’une fonction est une fonction

 la fonction est injective,
 c’est-à-dire des abscisses différentes ont des images différentes,
 c’est-à-dire est strictement croissante ou strictement
 décroissante.
 4 y graphe de f : décroissante
 (pour x 0) -
 Deux abscisses différentes
 2 ont même image (ex: x=-1
 et x =1 ont pour image y=0)
 1 x
 => la réciproque n'est pas
 une fonction
 0
 -4 -2 0 2 4 graphe de f:
 -1 strictement croissante
 => la réciproque est une
 -2 fonction

 -3

 -4

c. Si la réciproque d’une fonction est une fonction, on la note −1 et on parle de fonction
 inverse.

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1.3.3 Fonction logarithme
La fonction : ℝ+0 → ℝ : → = log est appelée fonction logarithme en base .
Elle est définie comme étant la réciproque de la fonction exponentielle en base , c’est-à-dire :
 = log 
 ⇔ = 
 est donc l’exposant qu’il faut mettre à pour obtenir , c’est-à-dire :

 = 
Avec > 1
Par exemple, soit ( ), la fonction log2x
logarithme en base 2: x y
 1/4 -2
 1/2 -1
 : ℝ+
 0 → ℝ: → = log 2 1 0
 2 1
Application numérique: 4 2
• log 2 2 = car 2 = 2
 1 1
• log 2 2 = − car 2− = 2 3 y

• log 2 8 = car 
 2 =8
 
 5 2
• log 2 √64 =
 5
 
 car 2 = √26
 2; 1
Avec 0 < < 1 1
Par exemple, soit ( ), la fonction
 1 1; 0 x
logarithme en base 2 : 0
 0 1 2 3 4 5

 : ℝ+
 0 → ℝ: → = log 1 
 2 -1
Application numérique :
 1 − 
• log 1 2 = − car (2) =2 -2
 2
 
 1 1 1
• log 1
 
 = car ( ) =
 2 8
 √ 2 √8
 log1/2x
 1 − x y
• log 1 64 = − car (2) = 1/4 2
 2
 6 1/2 1
 1 −1
 ((2) ) = (2)6 = 64 1 0
 2 -1
 4 -2
Propriétés
• log = ℝ+ 0 3 y
• log = ℝ
• les points (1,0) et 2
 ( , 1)appartiennent au graphe de
 log 1 1/2; 1
• le graphe admet une asymptote
 x
 verticale en = 0, c’est-à-dire 1; 0
 0
 lim log = ±∞ 0 1 2 3 4 5
 →0
• lim log = ±∞ -1
 →+∞
• Pour > 1, la fonction est
 croissante. Si > 0 et < 1, la -2

 fonction est décroissante

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Exercice 1

(P1: Connaître) Calcule sans calculatrice et donne l’exponentielle associée (comme dans
l’introduction théorique ci-dessus).
 a. log 3 1 = car 3…. = b. log 3 9 = car 3…. =

 1 4
 c. log 3 27 = car 3…. = d. log 3 √81 = car 3…. =

 1 … 1 …
 e. log 1 1 = car ( ) = f. log 1 9 = car ( ) =
 3 3 3 3

 1 1 … 4 1 …
 g. log 1 9 = car (3) = h. log 1 √243 = car (3) =
 3 3

Exercice 2

(P1 : Connaître) Calcule les limites suivantes.
 a. lim 4 b. lim 2 
 →∞ →−∞

 1 1 1− 
 c. lim (3) d. lim (3)
 →−∞ →−∞

 e. lim 2− f. lim 2 
 2
 →+∞ →−∞

 g. lim log 1 h. lim log 2 
 →0 2 →0

 i. lim log 1 j. lim log 1 
 →+∞ 2 →−∞ 2

 k. lim log 0.55(− ) l. lim log 0.55( )
 →−∞ →−∞

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1.4 Propriétés des logarithmes
1.4.1 Découverte
Complète la deuxième ligne des 3 tableaux et indique les opérations correspondant aux flèches
sous les tableaux en remplissant les pointillés. Trouve une formule générale en réécrivant les
opérations en fonction des réels positifs et et du réel .

Opération 1 100 ∙ 1000 = 100000
 ∙ 

 ∙ =
 0,001 0,01 0,1 1 10 =100 =1000 10000 1000000
 100000
 log 

 log … log 
 …
 log 100000 = log(100 ∙ 1000) = log 100 … log 1000
 ( ∙ ) = … 

Opération 2 100000
 = 100
 1000

 = =
 0,001 0,01 0,1 1 10 = 100 10000 1000000
 1000 100000
 log 

 log … log …
 100000
 log 100 = log ( ) = log 10000 − log 1000
 1000
 
 ( ) = … 
 
Opération 3
 1003 = 1000000
 
 =
 0,001 0,01 0,1 1 10 =100 1000 10000 100000
 1000000
 log 

 log = … log 
 …

 log 1000000 = log(1003 ) = … log 100
 ( ) = … 

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1.4.2 Propriétés immédiates
Pour tout ∈ ℝ+
 0 \{1} , pour tout réel ∈ ℝ0 , pour tout réel ,
 +

 Par définition des exponentielles
 0 = 1 1 = 
 (1.3.1)

 log 1 = 0 log = 1
 Par définition des logarithmes
 (1.3.3)
 = 
 Par réciprocité des
 exponentielles et logarithmes = = 
 (1.3.2)

1.4.3 Opérations sur les logarithmes
Les propriétés découvertes au paragraphe 1.4.1 sont généralisées à toutes les bases et sont
démontrées dans ce paragraphe.

Pour tous réels positifs et , pour tout réel , pour tout réel ∈ ℝ+
 0 \{1} :

Logarithme d’un produit

Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes

 ( ∙ ) = + 

Démonstration

On pose = log ⇔ = 
 = log ⇔ = 

log ( ∙ ) = log ( ∙ )
 = log ( + )
 = + 
 = log + log 

Logarithme d’une puissance

 = ∙ 

Démonstration

On pose = log ⇔ = 

log ( ) = log ( ) 
 = log ( ∙ )
 = ∙ 
 = ∙ log 

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Logarithme d’un quotient

Le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes

 ( ) = − 
 
Démonstration
 
log ( ) = log ( ∙ −1 )
 
 = log + log ( −1 ) ( ℎ ′ )
 = log + (−1) ∙ log ( ℎ ′ )
 = log − log 

Exercice 3

(P1 : Connaître) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 2 et log 3, en utilisant
uniquement les propriétés des logarithmes. Ecris la propriété utilisée appliquée à l’exercice.
Sachant que log 2 = 0.,301 et log 3 =0,477, détermine le résultat avec ta calculatrice.
 a. log 4 = b. log 6 =

 c. log 8 = d. log 9 =

 1 3
 e. log = f. log =
 2 2

Exercice 4

(P1 : Connaître) A l’aide des valeurs suivantes : log 15 = 1,09 et log 124 = 1,94, calcule sans
calculatrice les logarithmes suivants.
 a. log 
 15
 = b. log 154 =
 124

 c. log √124
 3
 d. log 124 3

 1243 3
 e. log f. log log 124
 15 3

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1.4.4 Changement de base
La formule de changement de base, utilisée au paragraphe 1.2.3 est démontrée ici. Pour tout réel
positif , pour tous réels , ∈ ℝ+
 0 \{1} :

 =
 
Démonstration

On pose = log ⇔ = 

log = log 
 = ∙ log ( ℎ ′ )
 = log ∙ log 
D’où
 log 
log =
 log 

Exercice 5

(P1 : Connaître) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée
à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.

 a. log 0.6 12 =

 b. log 5.2 4.1 =

 c. log 4 2000 =

 d. log1.56 =

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1.5 Modélisation
1.5.1 Introduction
Modéliser, c’est traduire une situation réelle dans un langage mathématique dans le but de lui
appliquer des outils mathématiques, pour déduire des indications sur la situation réelle étudiée.

Voici par exemple une situation réelle :

« Un père de famille a un revenu net de 1500€ et a quatre filles. Chaque mois il doit payer les charges
du ménage s’élevant à 1275 €, et il distribue le reste à ses filles. L’aînée reçoit le double de ce que
reçoit la deuxième ou la troisième fille, et la plus petite reçoit la moitié de ce que reçoit la deuxième
ou la troisième. La deuxième fille se demande combien elle recevra. »

L’inconnue de ce problème est le montant que recevra la deuxième fille chaque mois, assignons à
ce montant une valeur inconnue .

On modélise ce problème en le traduisant en une équation mathématique, qu’on résoudra avec les
outils qu’on a appris à maîtriser les années précédentes. Voici un exemple de modèle de cette
situation :
 
 1500 = 1275 + 2 + + +
 2
 9 
 ⇔ 225 =
 2
 225
 ⇔ = 
 9

 ⇔ = 25

Et on en déduit que la deuxième fille recevra 25€ chaque mois.

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1.5.2 Modélisation par exponentielles et logarithmes
Dans ce paragraphe, nous nous attacherons à modéliser des situations à l’aide des outils que nous
venons de découvrir, les exponentielles et les logarithmes.

Nous utiliserons des équations, qui font apparaître des égalités et des inéquations qui font
apparaître des inégalités (>,
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 2. Après combien de temps y aura-t-il plus de 15 bactéries dans le récipient ?

 2 > 15

 Il s’agit d’une inéquation exponentielle, appliquons le logarithme en base 2 aux deux
 membres de l’équation :

 log 2 2 > log 2 15
 Avec la propriété 1 :
 > log 2 15
 On calculera le second membre à la calculatrice car 15 n’est pas une puissance de 2, on a :
 log 15
 log 2 15 = log 2 = 3,9
 Et on a, finalement :
 > 3,9

 Il aura plus de 15 bactéries dans le récipient après 3,9 heures

 3. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient après quatre heures ?

 Ici, on ne cherche plus à déterminer un temps, l’inconnue est le nombre de bactéries. On
 utilisera donc la fonction réciproque, c’est-à-dire le logarithme. Nous avons remarqué que
 le temps à attendre pour obtenir un nombre de bactéries valait log 2 . On modélisera
 donc le problème par l’équation suivante :

 log 2 = 4

 Il s’agit d’une équation logarithmique, en effet, la variable apparaît dans le logarithme.
 Pour résoudre cette équation on utilisera une autre propriété illustrant la réciprocité des
 exponentielles et logarithmes de même base (voir 1.2.4) :

 = log (propriété 2)

 On utilisera cette propriété en appliquant l’exponentielle de même base que le logarithme
 aux 2 membres de l’équation :

 2log2 = 24

 Avec la propriété 2 :
 = 24
 ⇔ = 16
 Il y aura 16 bactéries après 4 heures.

 4. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient si on attend plus de 24 heures ?

 log 2 > 24

 Il s’agit d’une inéquation logarithmique. La variable apparaît dans le logarithme, on
 appliquera l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation :
 2log2 > 224

 Avec la propriété 2 :
 > 224 c’est-à-dire : > 16 777 216

 Il y aura plus de 16,77 millions de bactéries après 24 heures.

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Exercice 6

(P3 : Transférer) Modélise les situations suivantes, décrites au point 1.2.1, avec des équations ou
des inéquations, et résous-les pour trouver la solution au problème posé :

« Tu décides d’aller placer 1€ à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte
pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de
chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve. »

 a. Après combien d’années auras-tu plus de 2€ sur ton compte ?

 b. A combien s’élève ton capital après 10 ans ?

 c. Quelle somme auras-tu si tu attends plus de 50 ans ?

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1.5.3 Résolution
Les méthodes de résolution s’appuient sur les différentes définitions et propriétés des
logarithmes énoncées dans les paragraphes 1.3 et 1.4. Dans les tableaux suivants, des résolutions
sont données pour les différents types d’équations ou d’inéquations rencontrées.

1.5.3.1 Equations exponentielles
Pas de CE (condition d’existence) car = ℝ

 égalité de 2 exponentielles de égalité entre une égalité de 2 exponentielles de
 même base exponentielle et un réel base différentes
 1
 35 +1 = 32−4 22 = 22 +1 = 82− 
 4
 on égale les exposants on utilise les propriétés des on utilise les propriétés des
 ⇔ 5 + 1 = 2 − 4 puissances pour se ramener à une puissances pour se ramener à une
 ⇔ 9 = 1 égalité de 2 exponentielles de même égalité de 2 exponentielles de même
 base base
 1
 ⇔ = ⇔ 22 = 2−2 ⇔ 22 +1 = 82− 
 9 ⇔ 22 +1 = (23 )2− 
 on égale les exposants ⇔ 22 +1 = 26−3 
 ⇔ 2 = −2
 ⇔ = −1 on égale les exposants
 ⇔ 2 + 1 = 6 − 3 
 ⇔ =1
 ensemble solution ensemble solution ensemble solution
 1
 ={ } = {−1} = {1}
 9

Exercice 7

(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes.
 1
 a. 33 – 3 +1 = 0 b. 9 = 3 +2

 1 1 4 
 c. 43 = 16 d. 2 (8) = 32

 1
 e. 32 −5 = 3 −2 f. 42 +3 = 4

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1.5.3.2 Inéquations exponentielles
Pas de CE (condition d’existence) car = ℝ

 inégalité de 2 exponentielles inégalité entre une inégalité de 2 exponentielles
 de même base exponentielle et un réel de base différentes
 1 1 1− 
 (0,2)3 +4 < (0,2)5 +1 32 +1 ≥ 3 +1
 5 + 1 on égale les exposants on égale les exposants
 ⇔ −2 > 5 ⇔ 2 + 1 ≥ −2 ⇔ + 1 < −3 + 3 
 5 ⇔ 2 ≥ −3 ⇔ −2 < −4
 ⇔ < −
 2 3
 ⇔ ≥ − pour rappel ; en factorisant les deux
 2
 membres d’une inéquation par un
 nombre négatif (ici −2), on doit
 changer le sens de l’inégalité
 ⇔ >2
 ensemble solution ensemble solution ensemble solution
 5 3
 = ←, − [ = [− , → = ]2, →
 2 2

Exercice 8

(P2 : Appliquer) : Résous les inéquations suivantes :
 1
 a. 32 +2 > b. 475 +3 > 1
 9

 3
 c. 4 −4 − 45 ≥ 0 d.
 1
 0,22 +1 − [0,04] ≥ 0

 e. 53 +2 < 53 +1 f. 53 +2 < 52 +3

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1.5.3.3 Equations logarithmiques
On commence par déterminer les conditions d’existence (CE) car le domaine d’une fonction
logarithme est ℝ+
 0 . Ainsi l’argument de la fonction logarithme doit être strictement positif.

 égalité de 2 logarithmes égalité entre logarithme et un cas où il faut utiliser les
 de même base réel propriétés des logarithmes
 log 4( − 2) = log 4 5 log 3 (5 − ) = 2 log 3 + log 3 2 = 1

 conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence
 −2 >0 5− >0 >0
 ⇔ >2 ⇔ 
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1.5.3.4 Inéquations logarithmiques
 inégalité de 2 logarithmes de inégalité entre logarithme et cas où il faut utiliser les
 même base un réel propriétés des logarithmes
 log 0,4 (5 − 1) > log 0,4 (3x
 log 2 (3 − 1) ≤ 5 ln − ln 2 ≤ ln(1 − 3 )
 + 4)
 conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence
 5 − 1 > 0 3 − 1 > 0 >0
 { {
 3 + 4 > 0 1 1 − 3 > 0
 ⇔ >
 3
 > 1⁄5 >0
 ⇔ { ⇔ {
 > −4⁄3 < 1⁄3
 en combinant les deux conditions : en combinant les deux conditions :
 1 1
 ⇔ > ⇔ 0 0

 1 1
 g. log 3 + log ( ) < 2 h. log 3 − log ( ) < 2
 3 3

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Exercice 11

(P3 : Transférer) La fonction suivante ( ) donne le niveau sonore exprimé en décibels, où est
 
l’intensité du son mesuré (en 2) :

 ( ) = 10 log( −12 )
 10

 a. Si le niveau sonore est de 100 décibels, quelle est l’intensité du son ? Modélise la
 situation à l’aide d’une équation logarithmique et résous-la pour trouver l’intensité du son.

 b. Mon cousin déclare que quand il met ses deux enceintes de 85 décibels ensemble,
 il produit 170 décibels, il se trouve qu’il se trompe car ce sont les intensités sonores qui
 s’additionnent, pas le niveau sonore exprimé en décibels. Détermine combien de décibels
 sont réellement produits, en utilisant les propriétés des logarithmes.

 c. Un mégaphone permet de multiplier par 10 l’intensité de la voix, calcule
 l’augmentation en décibels

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Exercice 12

(P3 : Transférer) La fonction suivante ( ) donne la magnitude d’un tremblement de terre selon
l’échelle de Richter, où est l’amplitude maximale mesurée sur un sismographe :
 
 ( ) = log( )
 2.48

 a. En décembre 2004, Sumatra en Indonésie a subi un tremblement de terre, la
 magnitude du séisme était de 9.3 sur l’échelle de Richter. Modélise la situation à l’aide
 d’une équation logarithmique et résous-la pour trouver l’amplitude au sismographe.

 b. Ton cousin, qui ne s’y connaît pas plus en sismographie qu’en matériel sonore,
 déclare qu’une augmentation de 2 degré sur l’échelle multiplie l’amplitude par 1000. A-t-
 il raison ?

 c. Le plus gros séisme enregistré a eu lieu en 1960 au Chili, la magnitude a atteint 9.5
 sur l’échelle de Richter. En utilisant uniquement les propriétés des logarithmes, détermine
 quelle est la magnitude d’un séisme dont l’amplitude est 100 fois plus petite.

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