Exponentielles et logarithmes
←
→
Transcription du contenu de la page
Si votre navigateur ne rend pas la page correctement, lisez s'il vous plaît le contenu de la page ci-dessous
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps exponentielles et logarithmes A la Renaissance, le développement de l’astronomie, du commerce et de la navigation fait émerger de nouveaux groupes, tels que les celui des astronomes-astrologues, qui génèrent au cours des XVIe et XVIIe siècles, une somme considérable d’œuvres, d’idées et de techniques nouvelles sur lesquelles la société va s’appuyer, et la science classique se construire. L’invention des logarithmes découle du besoin qu’ont les astronomes, les commerçants ou encore les navigateurs de disposer de méthodes de calcul simples pour effectuer des multiplications, des divisions, ou extraire des racines. C’est dans ce contexte qu’en 1614, John Neper crée des tables de calcul utilisant les logarithmes (dont la couverture est reproduite à gauche). Il n’imaginait pas créer de nouvelles fonctions, mais seulement une méthode pour calculer des produits en effectuant des sommes. Ce type de tables a été utilisé pendant plus de 300 ans, jusqu’à la deuxième moitié du XXe siècle, quand des calculatrices performantes sont devenues accessibles au grand public. La notion de fonction et le lien entre les exponentielles et les logarithmes n’apparaissent qu’à la fin du XVIIe siècle. Les exponentielles et les logarithmes dépasseront largement le cadre des calculs numériques imaginés par Neper pour s’imposer comme des notions fondamentales de l’analyse mathématique. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus particulièrement à cette nature fonctionnelle et aux utilisations pratiques des exponentielles et des logarithmes. Page 1
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.1 Rappel : les puissances Pour tout réel , et pour tous naturels , et . = ∙ ∙ ∙ … ∙ 1 − = = √ avec > 0, par exemple : 30 = 1 31 = 3 3-1 = 1/3 31/2 = √ 3 ≈ 1,73 3 32 = 9 3-2 = 1/9 32/3 = √32 ≈ 2,08 33 = 27 3-3 = 1/27 3-1/2 = 1/√ 3 ≈ 0,58 avec < 0, par exemple : (-3)0 = 1 (-3)1 = -3 (-3)-1 = -1/3 (-3)1/2 = √−3 racine carrée d’un nombre négatif : ne fait pas (-3)2 = 9 (-3)-2 = 1/9 partie de l’ensemble ℝ 3 (-3)3 = -27 (-3)-3 = -1/27 (-27)1/3= √−27 = −3 On remarque que si < 0, certaines puissances fractionnaires ne peuvent pas être calculées. Le résultat est toujours positif si est positif, et le résultat peut être négatif ou positif si est négatif. On peut étendre les définitions du début du paragraphe à tout exposant , et réel. Pour tous réels strictement positifs , et pour tous réels et , on a les propriétés suivantes: . = + = − ( . ) = . ( ) = ( ) = . Page 2
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.2 Exponentielle et logarithme : découverte 1.2.1 Introduction Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience. Les bactéries se reproduisent en se divisant, c’est-à-dire que chaque bactérie se divise en deux à intervalle régulier. Pour l’espèce étudiée, les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a doublé. a. Remplis le tableau suivant : Temps 0 1 2 3 5 10 (heures) Nombre de bactéries b. Combien y aura-t-il de bactéries après un nombre quelconque d’heures ? Donne l’expression du nombre de bactéries en fonction de . c. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ? d. Dans le repère de la page suivante, trace le graphe du nombre de bactéries en fonction du nombre d’heures. Page 3
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Nombre de bactéries Temps (heures) Page 4
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.2.2 Croissance et décroissance Tu as reçu un euro de ta grand-mère pour aller acheter des bonbons. Ta grand-mère ne se rend pas bien compte que tu as grandi et que tu n’es plus très intéressé par les bonbons. Plutôt que d’aller dépenser cet argent, tu décides de commencer à économiser pour tes vieux jours et d’aller placer cet euro à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve (à ce moment-là). a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ? b. Remplis le tableau suivant : Temps (années) 0 1 2 3 5 10 Capital Paul (euros) c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque d’années ? Donne l’expression de la valeur de ton capital en fonction de . d. En utilisant ta calculatrice, détermine après combien d’années tu auras plus de 2 euros. e. Dans le repère de la page suivante, trace en bleu le graphe de ton capital en fonction du nombre d’années. (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe avec le capital à 20, 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c) Tu voudrais essayer de gagner un peu plus d’argent, et tu décides d’aller voir une autre banque. Robert le banquier, bien qu’il n’ait pas l’air très honnête, te propose un taux d’intérêt de 6%. Cela te semble un meilleur placement et tu signes un contrat avec lui. Tu es pressé et le contrat fait 10 pages, tu décides de ne pas tout lire. Quand tu rentres à la maison et que tu annonces la bonne nouvelle à ton père, il demande à lire le contrat. Il te signale qu’il est écrit que la banque te réclamera comme frais de dossier 8% de ce qui se trouve sur ton compte en chaque fin d’année. a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ? b. Remplis le tableau suivant : Temps (années) 0 1 2 3 5 10 Capital Robert (euros) c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque d’années? Page 5
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps d. Dans le repère suivant, trace en rouge le graphe de ton capital en fonction du nombre d’années (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe capital à 20, 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c) Capital (euros) Temps (années) Page 6
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Les situations étudiées aux points 1.2.1 et 1.2.2 ont en commun que pour une augmentation d’une unité de la variable (le temps en heures pour l’exemple en biologie et en années pour l’exemple en finance), la quantité étudiée est multipliée par un nombre constant. Ce type de fonction est appelée exponentielle et le nombre par lequel la quantité étudiée est multipliée est appelé base. Comparons à l’aide du tableau suivant les propriétés des différentes exponentielles étudiées. Banque Bactérie Banque Robert Paul Base Expression analytique : quantité en fonction de Croissant / décroissant ? Nous avons remarqué que certaines exponentielles étaient croissantes et d’autres décroissantes. La base étant le facteur multiplicatif reliant le capital d’une année par rapport à la suivante, donne l’intervalle dans lequel peut varier la base des deux différents types d’exponentielles. Exponentielle croissante Exponentielle décroissante Intervalle de variation de la base Page 7
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.2.3 Logarithme Nous avons constaté que l’expression analytique des fonctions exponentielles placent la variable en exposant (voir points 1.2.1 et 1.2.2), les quantités calculées sont donc des puissances* du nombre appelé base. Observons l’évolution des quantités en terme de puissance de la base. Pour ce faire, remplis le tableau suivant en exprimant les quantités comme pour la ligne correspondant à = 3. Banque Bactérie Banque Robert Paul Base Unité de Quantité de départ ( = 0) Quantité pour = 1 (après 1 h / 1 an) Quantité pour = 2 (après 2 h / 2 ans) Quantité pour = 3 8 = 23 1.1576 = 1.053 0.9412 = 0.983 Quantité pour = 5 Quantité pour = 10 Le tableau précédent fait apparaître un autre type de fonction appelé logarithme. Dans nos exemples, le logarithme est le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée de bactéries dans le récipient, ou le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée d’argent sur le compte en banque. Nous avons remarqué que ce nombre correspond à l’exposant à appliquer à la base pour obtenir la quantité voulue. Ainsi par exemple : - on constate qu’il faudra attendre 3 heures pour avoir 8 bactéries dans le récipient. Donc, le logarithme en base 2 de 8 vaut 3, ou en notation mathématique : log 2 8 = car 2 = 8 - Il faudra attendre 3 ans pour avoir un capital de 1,1576 euros chez Paul le banquier. Donc, le logarithme en base 1,05 de 1,1576 vaut 3, ou en notation mathématique : log1,05 1.1576 = car 1,05 = 1,1576 * Puissance et exposant sont des synonymes Page 8
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Pour les cas moins évidents à calculer, on pourra utiliser la calculatrice. Ainsi si on veut déterminer combien d’heures il faudra attendre pour avoir 15 bactéries dans le récipient, il faudra attendre un nombre d’heures égal à log 2 15 , ce qui revient à déterminer l’exposant tel que 2 = 15. Malheureusement, les calculatrices permettent de calculer le logarithme en base 10, (noté log10, ou plus souvent simplement log), mais pas de calculer le logarithme dans n’importe quelle base. Il faudra dès lors utiliser la formule de changement de base, que nous démontrerons au paragraphe 1.4.4. Ainsi pour déterminer avec la calculatrice le temps à attendre pour avoir 15 bactéries dans le récipient, c’est-à-dire log 2 15, on calculera le quotient suivant : log 15 1,176 log 2 15 = = = 3,9 log 2 0,301 On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 3,9 heures pour avoir 15 bactéries dans le récipient. De façon similaire, pour que mon capital s’élève à 10 euros chez Paul le banquier, il faudra attendre un nombre d’années égal à log1,05 10, ce qui revient à déterminer l’exposant tel que 1,05 = 10. Avec la formule de changement de base, on calculera : log 10 1 log1,05 10 = = = 47,2 log 1,05 0,021 On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 47,2 années pour avoir 10 euros de capital. Remplis les tableaux suivants. N’utilise ta calculatrice que lorsque c’est nécessaire. Dans le cas où tu utilises ta calculatrice, veille à écrire dans chaque case le calcul effectué en mentionnant la formule de changement de base comme ci-dessus. Bactéries Base Temps pour avoir 2 bactéries Temps pour avoir 3 bactéries Temps pour avoir 5 bactéries Temps pour avoir 10 bactéries Temps pour avoir 20 bactéries Temps pour avoir 50 bactéries Page 9
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Paul le banquier Base Temps pour avoir 2 euros Temps pour avoir 3 euros Temps pour avoir 5 euros Temps pour avoir 10 euros Temps pour avoir 20 euros Temps pour avoir 50 euros Robert le banquier Base Temps pour avoir 90 centimes Temps pour avoir 80 centimes Temps pour avoir 70 centimes Temps pour avoir 60 centimes Temps pour avoir 50 centimes Temps pour avoir 40 centimes Page 10
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.2.4 Fonction réciproque Il apparaît de nos explorations des fonctions exponentielles et logarithmes qu’elles sont liées. En effet, si l’exponentielle donne la quantité (de bactéries, d’argent sur un compte, …) pour une valeur de la variable (le temps, …), on constate que le logarithme donne reciproquement le temps à attendre pour obtenir une quantité donnée. Le résultat de l’une est la donnée de l’autre, on dira que ces fonctions sont réciproques. Reprenons notre premier exemple, celui des bactéries, et comparons numériquement et graphiquement l’évolution des fonctions exponentielle et logarithme. Exponentielle Logarithme Variable Temps en heures Nombre de bactéries Expression analytique de la = 2 = log 2 fonction Valeur renvoyée par la Nombre de bactéries après Temps en heures pour fonction heures obtenir bactéries Valeur pour = 1 Valeur pour = 2 Valeur pour = 3 Valeur pour = 4 Valeur pour = 8 Valeur pour = 10 Valeur pour = 16 Page 11
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Trace les graphes des deux fonctions dans le repère suivant, utilise certains points du tableau précédent, ceux qui ne sortent pas de l’échelle du repère. y x On remarque que les graphes des deux fonctions ont pour particularité d’être symétriques par rapport à un axe, trace cet axe sur le graphe. A l’aide de tes connaissances sur les équations de droites, détermine l’équation de cet axe et indique-la sur le graphe. Page 12
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Puisque le logarithme de la quantité de bactéries est le nombre d’heures qu’il faut attendre pour obtenir cette quantité de bactéries, on peut dire que : ′ ℎ = log 2 ( ) Or le nombre de bactéries après un temps donné se calcule comme suit : ′ ℎ ) = 2( On peut en conclure que : ′ = log 2 2( ) Réciproquement, on peut aussi écrire : ′ ℎ ) = 2( Et puisque : ′ ℎ = log 2 ( ) On peut dire : = 2log2 ( ) Et plus généralement, pour toute variable (temps, quantité de bactéries…) et pour toute exponentielle et pour tout logarithme de même base notée ici : = log Et aussi : = log Cette relation exprime mathématiquement que les fonctions exponentielles et logarithmes sont réciproques, puisque « leurs effets se compensent ». Autrement dit, l’application successive des deux fonctions sur la variable renvoie la valeur de . Cette dernière relation est la définition même du logarithme qui est donc uniquement défini comme étant la réciproque de l’exponentielle. Plus généralement, pour une base , on écrira : = = Page 13
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.2.5 Caractérisation des exponentielles Reprenons l’exemple des bactéries et imaginons que l’équipe de scientifiques ait déposé des bactéries dans trois récipients différents, correspondant à trois milieux différents, décrits ci- dessous : a. Nous sommes dans la même situation que dans le point 1.2.1. Les bactéries se développent librement, le nombre de bactéries double toutes les heures. Il s’agit de l’expérience témoin. b. Les scientifiques étudient l’efficacité d’un désinfectant, ils observent que le nombre de bactéries vivantes est divisée par deux toutes les heures. c. Les scientifiques testent un produit dopant la croissance des bactéries, le nombre de bactéries est doublé toutes les demi-heures. Afin de pouvoir plus facilement observer l’évolution des bactéries, les scientifiques ont besoin d’une quantité significative de bactéries dans chaque milieu et décident de commencer leurs observations quand il y aura exactement 1 gramme de bactéries dans chaque récipient. Le début de l’observation correspondra au temps = 0. Remplis le tableau suivant : Expérience a. : Expérience b. : Expérience c. : expérience témoin désinfectant dopant Base Expression analytique : masse de bactéries en fonction de (temps en heures) Croissant / décroissant ? Masse de bactéries au début de l’observation ( = 0) Masse de bactéries après 1h ( = 1) Masse de bactéries après 2h ( = 2) Masse de bactéries après 3h ( = 3) Masse de bactéries après 4h ( = 4) Dans le tableau ci-dessus, les exposants sont des nombres naturels. En les utilisant, il est possible de prévoir l’évolution de la masse de bactéries après un nombre d’heures entières (et positives puisqu’on ne s’intéresse qu’à ce qui se passe après le début de l’expérience). Page 14
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Nous disposons d’outils mathématiques supplémentaires nous permettant de déterminer la masse de bactéries à n’importe quel moment. Les exposants fractionnaires (correspondant pour rappel aux racines carrées, cubiques, …) 1 permettent de connaître la masse de bactéries par exemple après une demi-heure ( = ), après 2 3 trois quarts d’heure ( = 4 ),… D’autre part, les exposants négatifs permettront de déterminer la masse de bactéries présentes dans le récipient par exemple une heure avant le début de l’expérience ( = −1), ou encore un 1 quart d’heure avant le début de l’expérience ( = − 4). En toute généralité, on pourra calculer à l’aide des exposants réels la masse de bactéries à n’importe quel moment, par exemple 2,3689 h avant ou après le début de l’expérience ( = −2,3689 = 2,3689). Remplis le tableau suivant : Expérience a. : Expérience b. : Expérience c. : expérience désinfectant dopant témoin Masse de bactéries 3,6 heures avant le début Masse de bactéries une heure avant le début Masse de bactéries un quart d’heure avant le début Masse de bactéries après 10 minutes Masse de bactéries après un quart d’heure A l’aide des résultats compris dans les deux tableaux précédents, trace dans le repère suivant les graphes représentant l’évolution du nombre de bactéries pour les trois expériences. Utilise une couleur différente pour chaque graphe. Il est à noter que certains résultats sont hors d’échelle, ils ne pourront pas être représentés (« ils sortiraient du graphique »). Représente pour chaque graphe les éventuelles asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations. Page 15
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps y (masse de bactéries) x (temps) Page 16
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps On a constaté que : • une base supérieure à 1 correspond à une fonction croissante, et que la croissance de la population sera d’autant plus rapide que la base est élevée. • une base comprise entre 0 et 1 correspond à une fonction décroissante, et que la décroissance sera d’autant plus rapide que la base sera proche de 0. † L’utilisation de bases négatives poserait problème d’un point de vue mathématique (par exemple 1 (−2)2 = √−2 n’est pas un réel) et sont proscrites dans le cadre de ce cours. Une base = 1 correspondrait à une quantité constante (facteur multiplicatif unitaire) et une base nulle correspondrait à une quantité nulle tout le temps. Ces deux cas particuliers ne sont donc pas considérés ici comme étant des exponentielles. On constate aussi que le domaine des fonctions exponentielles est l’ensemble des réels ℝ. En effet, dans notre exemple, on peut calculer le nombre de bactéries à n’importe quel moment. Les exponentielles ne sont définies que pour des bases strictement positives, et en conséquence la valeur renvoyée par une exponentielle ne pourra être que strictement positive, en effet toute puissance d’un nombre strictement positif donne un nombre strictement positif. Ainsi l’ensemble image d’une fonction exponentielle est ℝ+ 0 . Dans notre exemple, cela se traduit par le fait que nous n’aurons jamais une quantité de bactéries négative. En outre, le graphe d’une fonction exponentielle présente toujours une asymptote horizontale d’équation = 0. En effet, pour une fonction décroissante, après un temps infini, la quantité tendra vers 0. Pour une fonction croissante, la quantité à un moment infiniment éloigné dans le passé tendrait vers 0. On remarque en outre que tous les graphes des trois fonctions exponentielles étudiées passent par le même point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression analytique, explique pourquoi : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… † Ces observations découlent directement de la définition de la base qui est le facteur par lequel est multiplié la quantité étudiée (ici la masse de bactéries) pour une augmentation de 1 de la variable (ici le temps en h). Page 17
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.2.6 Caractérisation des logarithmes Continuons avec l’exemple des bactéries et reprenons les 3 expériences décrites au point 1.2.5. Remarquons tout d’abord que lorsqu’on étudie le problème à l’aide des fonctions logarithmiques, abscisses et ordonnées sont échangées par rapport aux fonctions exponentielles, les fonctions étant réciproques l’une de l’autre (voir 1.2.4). Ici donc, l’abscisse correspond à la quantité de bactéries et l’ordonnée correspond au temps. En effet le logarithme renvoie le temps nécessaire à obtenir une quantité de bactéries, là où l’exponentielle renvoie la quantité de bactéries à un moment donné. Remplis le tableau suivant. Expérience a. : Expérience b. : Expérience c. : expérience témoin désinfectant dopant Base Expression analytique : moment où l’on a une masse de bactéries Expérience a. : Valeur de la Expérience b. : Expérience c. : expérience variable désinfectant dopant témoin Moment où l’on a 0,1 g de bactéries Moment où l’on a 0,52 g de bactéries Moment où l’on a 0,75 g de bactéries Moment où l’on a 1 g de bactéries : début de l’observation Moment où l’on a 2 g de bactéries Moment où l’on a 3,7 g de bactéries Moment où l’on a 10 g de bactéries Dans le tableau ci-dessus, on obtient des valeurs négatives et positives. Que signifie une valeur négative ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Page 18
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps A l’aide des résultats compris dans le tableau précédent, trace dans le repère suivant les graphes représentant le temps en fonction de la masse de bactéries pour les trois expériences. Utilise une couleur différente pour chaque graphe. Représente pour chaque graphe les éventuelles asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations. y (temps) x (masse de bactéries) Page 19
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps On a constaté que ‡: • pour un phénomène représenté par une base supérieure à 1, la quantité augmente avec le temps et donc réciproquement, le temps nécessaire pour obtenir une quantité donnée augmente avec la quantité. Une fonction logarithmique à base supérieure à 1 est donc croissante. • Pour un phénomène représenté par une base comprise entre 0 et 1 correspond à une fonction décroissante. Les limitations sur la valeur des bases des phénomènes exponentiels s’étendent aux fonctions logarithmiques, puisqu’elles sont réciproques l’une de l’autre. Le domaine d’une fonction logarithmique couvre l’ensemble des réels strictement positifs ℝ+ 0. Dans notre exemple, quand on considère les fonctions logarithmiques, on se rappelle que l’abscisse correspond à la masse de bactéries et l’ordonnée correspond au temps. Il n’est pas possible d’obtenir une abscisse négative, c’est-à-dire une «masse négative » de bactéries, on ne pas non plus avoir masse nulle car, en se divisant en deux à chaque pas de temps, il en restera toujours une certaine quantité, même minime. Puisque la quantité de bactéries s’approche de 0 sans jamais être nulle, on observe sur le graphe la présence d’une asymptote verticale d’équation = 0. Pour une fonction logarithmique décroissante, la quantité de bactéries tendra vers 0 après un temps infini (ordonnée tend vers +∞). Pour une fonction logarithmique croissante, la masse de bactéries tendait vers 0 à un moment infiniment éloigné dans le passé (ordonnée tend vers −∞). Dans notre exemple, on peut étudier les phénomènes à des moments à la fois éloignés dans le passé et dans le futur. De façon plus générale, cela se traduit par le fait qu’il n’y a pas de limitation sur la valeur de l’ordonnée . Ainsi l’ensemble image d’une fonction logarithmique est couvre tout l’ensemble des réels ℝ. On remarque en outre que tous les graphes des fonctions logarithmiques passent par le même point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression analytique, explique pourquoi : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ‡On pourra constater que par réciprocité, l’ensemble des observations faites sur l’abscisse des exponentielles peuvent se faire sur l’ordonnée des fonctions logarithmiques et vice versa. Page 20
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.3 Synthèse 1.3.1 Fonction exponentielle 1.3.1.1 Définitions Le réel dont on calcule la puissance est appelé base et est noté . • >0 • ≠ 0 car 0 = 0 ∀ : fonction constante • ≠ 1 car 1 = 1 ∀ : fonction constante La fonction : ℝ → ℝ+ 0 : → = est appelée fonction exponentielle en base 1.3.1.2 Propriétés et graphes Avec > 1 Par exemple, soit ( ), la fonction exponentielle en base 2: : ℝ → ℝ+ 0: → = 2 Propriétés : • = ℝ • = ℝ+ 0 • les points (0,1) et (1, )appartiennent au graphe de • le graphe admet une asymptote horizontale à gauche en = 0, c’est-à-dire lim = 0 →−∞ • lim = +∞ →+∞ • la fonction est croissante Avec 0 < < 1 Par exemple, soit ( ), la fonction exponentielle en 1 base 2 : 1 : ℝ → ℝ+ 0: → =( ) 2 Propriétés : • = ℝ • = ℝ+ 0 • les points (0,1) et (1, )appartiennent au graphe de • le graphe admet une asymptote horizontale à droite en = 0, c’est-à-dire lim = 0 →+∞ • lim = +∞ →−∞ • la fonction est décroissante Page 21
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.3.2 Réciproque d’une fonction La réciproque d’une fonction est la relation qui, à chaque élément de , associe l’élément de dont il est l’image. : → réciproque de : → En inversant les et les dans graphe de la réciproque de f a. ( ) graphe=de2 f −3 On permute x et y l’expression analytique d’une x y x y fonction, on obtient l’expression 0 -3 -3 0 analytique de la réciproque: 2 1 1 2 3 y a. ( ) = − 2 = 2 − 3 graphe de f 1 ⇔ 2 = + 3 x graphe de la Tout d’abord, on isole 0 réciproque de f -4 -2 0 2 4 +3 -1 axe de ⇔ = symétrie 2 -2 Ensuite on permute et +3 -3 ⇔ = 2 -4 La relation réciproque de est la +3 relation → = 2 graphe de la réciproque de f b. ( ) 2f − 1 =de graphe On permute x et y (il s’agit ici d’une fonction) x y x y -2 3 3 -2 -1 0 0 -1 b. ( ) = − 0 -1 -1 0 1 0 0 1 2 3 3 2 = 2 − 1 ⇔ 2 = + 1 4 y Pour obtenir l’expression analytique 3 graphe de f de la réciproque, on isole 2 ⇔ = ±√ + 1 1 x graphe de la réciproque de f on permute et 0 axe de symétrie -4 -2 0 2 4 ⇔ = ±√ + 1 -1 La relation réciproque de est la -2 relation -3 → = ±√ + 1 -4 (il ne s’agit pas d’une fonction) Page 22
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps On remarque que : a. Les graphes d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite ayant pour équation = (bissectrice des axes et ) b. La réciproque d’une fonction est une fonction la fonction est injective, c’est-à-dire des abscisses différentes ont des images différentes, c’est-à-dire est strictement croissante ou strictement décroissante. 4 y graphe de f : décroissante (pour x 0) - Deux abscisses différentes 2 ont même image (ex: x=-1 et x =1 ont pour image y=0) 1 x => la réciproque n'est pas une fonction 0 -4 -2 0 2 4 graphe de f: -1 strictement croissante => la réciproque est une -2 fonction -3 -4 c. Si la réciproque d’une fonction est une fonction, on la note −1 et on parle de fonction inverse. Page 23
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.3.3 Fonction logarithme La fonction : ℝ+0 → ℝ : → = log est appelée fonction logarithme en base . Elle est définie comme étant la réciproque de la fonction exponentielle en base , c’est-à-dire : = log ⇔ = est donc l’exposant qu’il faut mettre à pour obtenir , c’est-à-dire : = Avec > 1 Par exemple, soit ( ), la fonction log2x logarithme en base 2: x y 1/4 -2 1/2 -1 : ℝ+ 0 → ℝ: → = log 2 1 0 2 1 Application numérique: 4 2 • log 2 2 = car 2 = 2 1 1 • log 2 2 = − car 2− = 2 3 y • log 2 8 = car 2 =8 5 2 • log 2 √64 = 5 car 2 = √26 2; 1 Avec 0 < < 1 1 Par exemple, soit ( ), la fonction 1 1; 0 x logarithme en base 2 : 0 0 1 2 3 4 5 : ℝ+ 0 → ℝ: → = log 1 2 -1 Application numérique : 1 − • log 1 2 = − car (2) =2 -2 2 1 1 1 • log 1 = car ( ) = 2 8 √ 2 √8 log1/2x 1 − x y • log 1 64 = − car (2) = 1/4 2 2 6 1/2 1 1 −1 ((2) ) = (2)6 = 64 1 0 2 -1 4 -2 Propriétés • log = ℝ+ 0 3 y • log = ℝ • les points (1,0) et 2 ( , 1)appartiennent au graphe de log 1 1/2; 1 • le graphe admet une asymptote x verticale en = 0, c’est-à-dire 1; 0 0 lim log = ±∞ 0 1 2 3 4 5 →0 • lim log = ±∞ -1 →+∞ • Pour > 1, la fonction est croissante. Si > 0 et < 1, la -2 fonction est décroissante Page 24
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Exercice 1 (P1: Connaître) Calcule sans calculatrice et donne l’exponentielle associée (comme dans l’introduction théorique ci-dessus). a. log 3 1 = car 3…. = b. log 3 9 = car 3…. = 1 4 c. log 3 27 = car 3…. = d. log 3 √81 = car 3…. = 1 … 1 … e. log 1 1 = car ( ) = f. log 1 9 = car ( ) = 3 3 3 3 1 1 … 4 1 … g. log 1 9 = car (3) = h. log 1 √243 = car (3) = 3 3 Exercice 2 (P1 : Connaître) Calcule les limites suivantes. a. lim 4 b. lim 2 →∞ →−∞ 1 1 1− c. lim (3) d. lim (3) →−∞ →−∞ e. lim 2− f. lim 2 2 →+∞ →−∞ g. lim log 1 h. lim log 2 →0 2 →0 i. lim log 1 j. lim log 1 →+∞ 2 →−∞ 2 k. lim log 0.55(− ) l. lim log 0.55( ) →−∞ →−∞ Page 25
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.4 Propriétés des logarithmes 1.4.1 Découverte Complète la deuxième ligne des 3 tableaux et indique les opérations correspondant aux flèches sous les tableaux en remplissant les pointillés. Trouve une formule générale en réécrivant les opérations en fonction des réels positifs et et du réel . Opération 1 100 ∙ 1000 = 100000 ∙ ∙ = 0,001 0,01 0,1 1 10 =100 =1000 10000 1000000 100000 log log … log … log 100000 = log(100 ∙ 1000) = log 100 … log 1000 ( ∙ ) = … Opération 2 100000 = 100 1000 = = 0,001 0,01 0,1 1 10 = 100 10000 1000000 1000 100000 log log … log … 100000 log 100 = log ( ) = log 10000 − log 1000 1000 ( ) = … Opération 3 1003 = 1000000 = 0,001 0,01 0,1 1 10 =100 1000 10000 100000 1000000 log log = … log … log 1000000 = log(1003 ) = … log 100 ( ) = … Page 26
Institut Montjoie
Mathématique 6ème année
M. Decamps
1.4.2 Propriétés immédiates
Pour tout ∈ ℝ+
0 \{1} , pour tout réel ∈ ℝ0 , pour tout réel ,
+
Par définition des exponentielles
0 = 1 1 =
(1.3.1)
log 1 = 0 log = 1
Par définition des logarithmes
(1.3.3)
=
Par réciprocité des
exponentielles et logarithmes = =
(1.3.2)
1.4.3 Opérations sur les logarithmes
Les propriétés découvertes au paragraphe 1.4.1 sont généralisées à toutes les bases et sont
démontrées dans ce paragraphe.
Pour tous réels positifs et , pour tout réel , pour tout réel ∈ ℝ+
0 \{1} :
Logarithme d’un produit
Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes
( ∙ ) = +
Démonstration
On pose = log ⇔ =
= log ⇔ =
log ( ∙ ) = log ( ∙ )
= log ( + )
= +
= log + log
Logarithme d’une puissance
= ∙
Démonstration
On pose = log ⇔ =
log ( ) = log ( )
= log ( ∙ )
= ∙
= ∙ log
Page 27Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Logarithme d’un quotient Le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes ( ) = − Démonstration log ( ) = log ( ∙ −1 ) = log + log ( −1 ) ( ℎ ′ ) = log + (−1) ∙ log ( ℎ ′ ) = log − log Exercice 3 (P1 : Connaître) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 2 et log 3, en utilisant uniquement les propriétés des logarithmes. Ecris la propriété utilisée appliquée à l’exercice. Sachant que log 2 = 0.,301 et log 3 =0,477, détermine le résultat avec ta calculatrice. a. log 4 = b. log 6 = c. log 8 = d. log 9 = 1 3 e. log = f. log = 2 2 Exercice 4 (P1 : Connaître) A l’aide des valeurs suivantes : log 15 = 1,09 et log 124 = 1,94, calcule sans calculatrice les logarithmes suivants. a. log 15 = b. log 154 = 124 c. log √124 3 d. log 124 3 1243 3 e. log f. log log 124 15 3 Page 28
Institut Montjoie
Mathématique 6ème année
M. Decamps
1.4.4 Changement de base
La formule de changement de base, utilisée au paragraphe 1.2.3 est démontrée ici. Pour tout réel
positif , pour tous réels , ∈ ℝ+
0 \{1} :
=
Démonstration
On pose = log ⇔ =
log = log
= ∙ log ( ℎ ′ )
= log ∙ log
D’où
log
log =
log
Exercice 5
(P1 : Connaître) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée
à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.
a. log 0.6 12 =
b. log 5.2 4.1 =
c. log 4 2000 =
d. log1.56 =
Page 29Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.5 Modélisation 1.5.1 Introduction Modéliser, c’est traduire une situation réelle dans un langage mathématique dans le but de lui appliquer des outils mathématiques, pour déduire des indications sur la situation réelle étudiée. Voici par exemple une situation réelle : « Un père de famille a un revenu net de 1500€ et a quatre filles. Chaque mois il doit payer les charges du ménage s’élevant à 1275 €, et il distribue le reste à ses filles. L’aînée reçoit le double de ce que reçoit la deuxième ou la troisième fille, et la plus petite reçoit la moitié de ce que reçoit la deuxième ou la troisième. La deuxième fille se demande combien elle recevra. » L’inconnue de ce problème est le montant que recevra la deuxième fille chaque mois, assignons à ce montant une valeur inconnue . On modélise ce problème en le traduisant en une équation mathématique, qu’on résoudra avec les outils qu’on a appris à maîtriser les années précédentes. Voici un exemple de modèle de cette situation : 1500 = 1275 + 2 + + + 2 9 ⇔ 225 = 2 225 ⇔ = 9 ⇔ = 25 Et on en déduit que la deuxième fille recevra 25€ chaque mois. Page 30
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.5.2 Modélisation par exponentielles et logarithmes Dans ce paragraphe, nous nous attacherons à modéliser des situations à l’aide des outils que nous venons de découvrir, les exponentielles et les logarithmes. Nous utiliserons des équations, qui font apparaître des égalités et des inéquations qui font apparaître des inégalités (>,
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 2. Après combien de temps y aura-t-il plus de 15 bactéries dans le récipient ? 2 > 15 Il s’agit d’une inéquation exponentielle, appliquons le logarithme en base 2 aux deux membres de l’équation : log 2 2 > log 2 15 Avec la propriété 1 : > log 2 15 On calculera le second membre à la calculatrice car 15 n’est pas une puissance de 2, on a : log 15 log 2 15 = log 2 = 3,9 Et on a, finalement : > 3,9 Il aura plus de 15 bactéries dans le récipient après 3,9 heures 3. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient après quatre heures ? Ici, on ne cherche plus à déterminer un temps, l’inconnue est le nombre de bactéries. On utilisera donc la fonction réciproque, c’est-à-dire le logarithme. Nous avons remarqué que le temps à attendre pour obtenir un nombre de bactéries valait log 2 . On modélisera donc le problème par l’équation suivante : log 2 = 4 Il s’agit d’une équation logarithmique, en effet, la variable apparaît dans le logarithme. Pour résoudre cette équation on utilisera une autre propriété illustrant la réciprocité des exponentielles et logarithmes de même base (voir 1.2.4) : = log (propriété 2) On utilisera cette propriété en appliquant l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation : 2log2 = 24 Avec la propriété 2 : = 24 ⇔ = 16 Il y aura 16 bactéries après 4 heures. 4. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient si on attend plus de 24 heures ? log 2 > 24 Il s’agit d’une inéquation logarithmique. La variable apparaît dans le logarithme, on appliquera l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation : 2log2 > 224 Avec la propriété 2 : > 224 c’est-à-dire : > 16 777 216 Il y aura plus de 16,77 millions de bactéries après 24 heures. Page 32
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Exercice 6 (P3 : Transférer) Modélise les situations suivantes, décrites au point 1.2.1, avec des équations ou des inéquations, et résous-les pour trouver la solution au problème posé : « Tu décides d’aller placer 1€ à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve. » a. Après combien d’années auras-tu plus de 2€ sur ton compte ? b. A combien s’élève ton capital après 10 ans ? c. Quelle somme auras-tu si tu attends plus de 50 ans ? Page 33
Institut Montjoie
Mathématique 6ème année
M. Decamps
1.5.3 Résolution
Les méthodes de résolution s’appuient sur les différentes définitions et propriétés des
logarithmes énoncées dans les paragraphes 1.3 et 1.4. Dans les tableaux suivants, des résolutions
sont données pour les différents types d’équations ou d’inéquations rencontrées.
1.5.3.1 Equations exponentielles
Pas de CE (condition d’existence) car = ℝ
égalité de 2 exponentielles de égalité entre une égalité de 2 exponentielles de
même base exponentielle et un réel base différentes
1
35 +1 = 32−4 22 = 22 +1 = 82−
4
on égale les exposants on utilise les propriétés des on utilise les propriétés des
⇔ 5 + 1 = 2 − 4 puissances pour se ramener à une puissances pour se ramener à une
⇔ 9 = 1 égalité de 2 exponentielles de même égalité de 2 exponentielles de même
base base
1
⇔ = ⇔ 22 = 2−2 ⇔ 22 +1 = 82−
9 ⇔ 22 +1 = (23 )2−
on égale les exposants ⇔ 22 +1 = 26−3
⇔ 2 = −2
⇔ = −1 on égale les exposants
⇔ 2 + 1 = 6 − 3
⇔ =1
ensemble solution ensemble solution ensemble solution
1
={ } = {−1} = {1}
9
Exercice 7
(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes.
1
a. 33 – 3 +1 = 0 b. 9 = 3 +2
1 1 4
c. 43 = 16 d. 2 (8) = 32
1
e. 32 −5 = 3 −2 f. 42 +3 = 4
Page 34Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.5.3.2 Inéquations exponentielles Pas de CE (condition d’existence) car = ℝ inégalité de 2 exponentielles inégalité entre une inégalité de 2 exponentielles de même base exponentielle et un réel de base différentes 1 1 1− (0,2)3 +4 < (0,2)5 +1 32 +1 ≥ 3 +1 5 + 1 on égale les exposants on égale les exposants ⇔ −2 > 5 ⇔ 2 + 1 ≥ −2 ⇔ + 1 < −3 + 3 5 ⇔ 2 ≥ −3 ⇔ −2 < −4 ⇔ < − 2 3 ⇔ ≥ − pour rappel ; en factorisant les deux 2 membres d’une inéquation par un nombre négatif (ici −2), on doit changer le sens de l’inégalité ⇔ >2 ensemble solution ensemble solution ensemble solution 5 3 = ←, − [ = [− , → = ]2, → 2 2 Exercice 8 (P2 : Appliquer) : Résous les inéquations suivantes : 1 a. 32 +2 > b. 475 +3 > 1 9 3 c. 4 −4 − 45 ≥ 0 d. 1 0,22 +1 − [0,04] ≥ 0 e. 53 +2 < 53 +1 f. 53 +2 < 52 +3 Page 35
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps 1.5.3.3 Equations logarithmiques On commence par déterminer les conditions d’existence (CE) car le domaine d’une fonction logarithme est ℝ+ 0 . Ainsi l’argument de la fonction logarithme doit être strictement positif. égalité de 2 logarithmes égalité entre logarithme et un cas où il faut utiliser les de même base réel propriétés des logarithmes log 4( − 2) = log 4 5 log 3 (5 − ) = 2 log 3 + log 3 2 = 1 conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence −2 >0 5− >0 >0 ⇔ >2 ⇔
Institut Montjoie
Mathématique 6ème année
M. Decamps
1.5.3.4 Inéquations logarithmiques
inégalité de 2 logarithmes de inégalité entre logarithme et cas où il faut utiliser les
même base un réel propriétés des logarithmes
log 0,4 (5 − 1) > log 0,4 (3x
log 2 (3 − 1) ≤ 5 ln − ln 2 ≤ ln(1 − 3 )
+ 4)
conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence
5 − 1 > 0 3 − 1 > 0 >0
{ {
3 + 4 > 0 1 1 − 3 > 0
⇔ >
3
> 1⁄5 >0
⇔ { ⇔ {
> −4⁄3 < 1⁄3
en combinant les deux conditions : en combinant les deux conditions :
1 1
⇔ > ⇔ 0 0
1 1
g. log 3 + log ( ) < 2 h. log 3 − log ( ) < 2
3 3
Page 37Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Exercice 11 (P3 : Transférer) La fonction suivante ( ) donne le niveau sonore exprimé en décibels, où est l’intensité du son mesuré (en 2) : ( ) = 10 log( −12 ) 10 a. Si le niveau sonore est de 100 décibels, quelle est l’intensité du son ? Modélise la situation à l’aide d’une équation logarithmique et résous-la pour trouver l’intensité du son. b. Mon cousin déclare que quand il met ses deux enceintes de 85 décibels ensemble, il produit 170 décibels, il se trouve qu’il se trompe car ce sont les intensités sonores qui s’additionnent, pas le niveau sonore exprimé en décibels. Détermine combien de décibels sont réellement produits, en utilisant les propriétés des logarithmes. c. Un mégaphone permet de multiplier par 10 l’intensité de la voix, calcule l’augmentation en décibels Page 38
Institut Montjoie Mathématique 6ème année M. Decamps Exercice 12 (P3 : Transférer) La fonction suivante ( ) donne la magnitude d’un tremblement de terre selon l’échelle de Richter, où est l’amplitude maximale mesurée sur un sismographe : ( ) = log( ) 2.48 a. En décembre 2004, Sumatra en Indonésie a subi un tremblement de terre, la magnitude du séisme était de 9.3 sur l’échelle de Richter. Modélise la situation à l’aide d’une équation logarithmique et résous-la pour trouver l’amplitude au sismographe. b. Ton cousin, qui ne s’y connaît pas plus en sismographie qu’en matériel sonore, déclare qu’une augmentation de 2 degré sur l’échelle multiplie l’amplitude par 1000. A-t- il raison ? c. Le plus gros séisme enregistré a eu lieu en 1960 au Chili, la magnitude a atteint 9.5 sur l’échelle de Richter. En utilisant uniquement les propriétés des logarithmes, détermine quelle est la magnitude d’un séisme dont l’amplitude est 100 fois plus petite. Page 39
Vous pouvez aussi lire
