PrintemPs-été 2017 - GRMS
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2810, 26e rue,
St-Prosper, Québec G0M 1Y0
No permis : 40043512
Printemps-été 2017
Printemps-été 2017 | • 169 [1]
7 ou r ès e R c r le0ngr u 5 16 20
MOT DU directeur
Chers membres,
Nous sommes dans le dernier blitz avant la fin de l’année scolaire.
Si vous vous sentez fatigué, prenez le temps de lire cette revue
Conseil dans laquelle vous trouverez sûrement de nombreuses idées pour
d’administration
préparer votre révision de fin d’année.
Jocelyn Nicol, président
Tout d’abord, vous pourrez divertir vos élèves avec 4 problèmes
jnicol@grms.qc.ca
Mathieu Thibault, vice-président tirés des éditions antérieures du concours Opti-Math.
mthibault@grms.qc.ca
M. Martin Loignon partage une activité qu’il a développée sur la
Annie Roy, trésorière
aroy@grms.qc.ca construction d’une maison en carton à l’aide des notions de construction en géométrie. Ce projet
Marie Auger, administratrice vous permettra d’exploiter de nombreuses notions du programme de 1re secondaire.
mauger@grms.qc.ca
Mme Catherine Michaud vous propose 7 activités qu’elle réalise avec ses élèves. Ce partage
François Pomerleau, administrateur
fpomerleau@grms.qc.ca d’activités a permis à Mme Michaud de se mériter le prix Fermat. Pourquoi ne pas faire comme elle
Guy Gervais, administrateur et prendre votre courage à deux mains et partager vos bons coups avec vos collègues.
ggervais@grms.qc.ca
M. Guy Gervais vous partage, dans un court article, ses réflexions concernant un retour possible de
Jocelyn Dagenais, administrateur
jdagenais@grms.qc.ca la programmation dans nos écoles. Prenez le temps de lire et d’expérimenter ses idées à l’aide des
nombreuses applications disponibles sur le Web.
Comment joindre M. Nil Poulin vous partage une 2e activité qu’il fait vivre à ses élèves sur la résolution de problèmes
un membre du GRMS
dans des situations réelles. Ce 2e article d’une série de 5 vous propose de changer votre façon de
En tout temps, si vous désirez les coordonnées
au travail d’un des membres du conseil d’ad- travailler avec vos élèves en les mettant en action.
ministration du GRMS, d’un des membres, d’un
auteur, d’un animateur d’ateliers ou simplement M. Franck Perret vous montre dans un article très détaillé comment vous pourriez préparer votre
avoir de l’information sur du matériel didactique révision de fin d’année en bâtissant des cartes de révision à l’aide des « Flippity Cards ». Même si
ou toute information relative à votre association,
vous doutez de vos compétences en informatique, n’hésitez pas à vous lancer dans cette aventure
vous pouvez appeler au secrétariat du GRMS.
S’il n’y a pas de réponse, vous pouvez laisser un informatique.
message sur le répondeur.
Finalement, Mmes Emmanuelle Makdissi et Claudia Corriveau présentent un jeu de cartes
Vous pouvez également utiliser le courrier
électronique du secrétariat et, en tout temps, logarithmiques qui permet une introduction ludique aux concepts de
visiter notre site Web. logarithme et d’exponentiation.
Sur ce, bonne découverte et n’hésitez pas à proposer un article
SECRÉTARIAT DU GRMS
pour VOTRE revue. Date de tombée, fin juin 2017. Au plaisir de
Monia Larochelle, secrétaire
2810, 26e rue découvrir l’auteur qui sommeille en vous….
St-Prosper (Québec) G0M 1Y0 Bonne lecture
Téléphone : 418-209-GRMS (4767)
secretariat@grms.qc.ca
www.grms.qc.ca
SECRÉTARIAT
DES CONCOURS OPTI-MATH
Pour information François Pomerleau
Robert Mercier Directeur de la revue Envol
T 450-471-7079
F 450-471-4960
opti-math@videotron.ca
Printemps-été 2017 | • 169 [1]
Revue
du groupe
169
des responsables
en mathématique
au secondaire
Directeur de la revue : François Pomerleau
Publicité : Monia Larochelle
T 418 209-GRMS (4767)
Sommaire
secretariat@grms.qc.ca
Graphisme et mise en page : Mot du directeur 1
Pierre Lavallée, Néograf Design inc. Mot du président 3
Impression : Impressions Lithosol inc. Opti-défi 4
Avertissement au lecteur Construction d’un modèle réduit 6
La direction de la revue publiera volontiers les articles et les d’une maison
lettres qui présentent un réel intérêt pour l’ensemble des Martin Loignon
membres du GRMS. Ces écrits engagent la seule
responsabilité des auteurs et ne reflètent en rien la Les 7 merveilles mathématiques 10
position officielle de l’organisme. Catherine Michaud
Date de tombée de la revue Envol
Il est très important de respecter les dates de tombée Concours Opti-Math 14
suivantes si vous souhaitez que vos articles soient publiés dans C’est l’heure du code! 16
le numéro en préparation. Après ces dates, ceux-ci pourraient Guy Gervais
être mis en banque pour une parution ultérieure.
Opération Mars 20
Parution Dates de tombée :
Nil Poulin
No 170, automne-hiver 2017 30 juin 2017
No 171, printemps-été 2018 28 février 2018 Les cartes Flippity 24
pour réviser son année scolaire
Matériel fourni
Textes : en Word ou en Pages (version mac de Word) Franck Perret
Images : Toutes images doivent avoir une version séparée du Un jeu de cartes logarithmique 28
Word en plus d’être dans le fichier Word pour savoir où elle doit
se retrouver dans le texte. En format vectoriel (.ai ou .eps) sinon Emanuelle Makdissi
en dernier recours en tiff, jpg haute qualité ou png. Claudia Corriveau
Toutes les images « rasterizées » (.tiff, .jpg, png, gif) doivent
avoir d’origine une résolution suffisante pour qu’au format Problèmes Opti-Math – Solutions 32
final nous ayons 300 dpi (dot per inch) au format final.
IMPORTANT : Il est strictement interdit d’utiliser des images
venant du WEB, à moins d’avoir les droits de reproduction.
Aucune image venant du web ne sera acceptée à moins
d’avoir les droits de reproduction écrits.
Sinon on cherche le trouble!!!
Pour plus de détails, consultez le site
www.grms.qc.ca/la-revue-envol/
ISSN : 0833-8566
Dépôt légal : Bibliothèque national du Québec
Bibliothèque national du Canada
Envol paraît 2 fois l’an, Port de retour garanti.
Convention de la Poste-Publications : 40043512
Au maître de poste :
Retourner toute correspondance ne pouvant
être livrée au Canada au :
GRMS
2810, 26e rue, St-Prosper Qc G0M 1Y0
secretariat@grms.qc.ca
[2] • 169 | Printemps-été 2017
MOT DU PRÉSIDENT
Changement de garde !
Bonjour à vous tous,
C’est avec un immense honneur et une grande fierté que j’ai accepté
de prendre la présidence du GRMS en novembre dernier. Enseignant
depuis 18 ans, déjà, au Collège Mont-Sacré-Cœur, chargé de cours
à l’Université de Sherbrooke et, évidemment, passionné des mathé-
matiques et de la technologie, j’espère de tout cœur que je pourrai
poursuivre le travail de l’association et surtout, de continuer de
faire avancer et de promouvoir les mathématiques. Je suis confiant,
avec l’équipe qui m’entoure sur le conseil d’administration, que nous
pourrons accomplir de très belles choses.
Le travail est déjà bien amorcé. Nous sommes en train de produire un
numéro spécial de la revue Envol (Repenser l’évaluation en mathé-
matiques) qui devrait paraître d’ici la fin de l’année. À suivre... Sur notre site Web,
un nouvel outil de recherche vous permettra de parcourir nos revues antérieures.
Nous espérons qu’il pourra vous être utile lorsque vous en aurez besoin.
REMERCIEMENTS
J’aimerais profiter de l’occasion pour remercier Jocelyn Dagenais qui a mené le
GRMS à un niveau supérieur au cours des 3 dernières années à titre de président
de notre association. Son travail acharné, sans compter son temps, a permis au
GRMS de refaire peau neuve tant au niveau des couleurs que de l’omniprésence
sur les réseaux sociaux. Les succès des 3 derniers congrès sont la preuve même de
tout le travail qu’il a accompli pour l’association. Merci infiniment!
J’ai eu le privilège de côtoyer de très bons présidents (Jacques Lagacé, Jacques
Jacob, Jean-Pierre Marcoux et puis, Jocelyn Dagenais) au cours de mes 10 années
sur le conseil d’administration. Je tiens donc à les saluer et les remercier pour la
passion qu’ils m’ont transmise.
CONGRÈS OCTOBRE 2017
En mon nom personnel et celui du conseil d’administration, je vous invite à
notre prochain congrès qui aura lieu à l’hôtel Le Dauphin de Drummondville, les
19 et 20 octobre prochain. Cette rencontre, dont le thème est : « Les mathéma-
tiques, un peu, beaucoup, à la folie! » permettra de venir partager ou d’échanger avec
nous sur vos passions. Ne tardez pas à vous y inscrire, car les places seront limitées
à 400 participants cette année. J’ai également l’honneur de vous annoncer que
M. Bernard Hodgson, professeur à l’Université Laval, a accepté de donner la
conférence d’ouverture afin de nous partager sa passion des mathématiques.
Finalement, je tiens à vous souhaiter une très bonne fin d’année scolaire et un bel
été reposant. En espérant vous revoir en octobre prochain…
Jocelyn Nicol
Président du GRMS
Printemps-été 2017 | • 169 [3]
Un défi mathématique OPTI-MATH 2000
Situation 7
pour tous les élèves Les soldats de plomb
Une armée de 125 soldats bleus affrontent une armée
du secondaire composée de 80 soldats rouges et de 50 soldats noirs.
À chaque assaut, 6 soldats bleus, 4 soldats rouges et 3 soldats
noirs succombent.
Entre chaque assaut, 3 soldats bleus, 2 soldats rouges et
Les Concours OPTI-MATH et OPTI-MATH+ sont organisés 1 soldat noir arrivent en renfort jusqu’à ce que tous les soldats
par un comité du GRMS et visent à encourager la pratique de la d’une même armée soient éliminés.
résolution de problèmes dans un esprit ludique et à démystifier,
auprès des jeunes, les modes de pensée qui caractérisent la a) Combien de soldats noirs y a-t-il avant le huitième
mathématique. assaut?
Voici des questions qui ont été sélectionnées parmi d’anciennes b) Combien de soldats bleus y a-t-il de plus que de
questions des Concours OPTI-MATH et OPTI-MATH+ du soldats rouges avant le seizième assaut?
GRMS. c) Combien d’assauts faut-il pour qu’il y ait un
vainqueur?
[4] • 169 | Printemps-été 2017
OPTI-MATH+ 2000
Situation 1
Le jeu de billes
Dans le fond de la cour d’école, cinq jeunes jouent aux billes. Alain,
Bianca, Carl, Denis et Émilie ont chacun leur paquet de billes.
Les deux filles ont 60 billes au total.
Les trois garçons ont 90 billes au total.
Si on enlève le nombre de billes du garçon et de la fille qui en ont
le plus, les autres ont en moyenne 26 billes.
Le garçon et la fille qui en ont le moins ont ensemble 48 billes.
Bianca, la fille qui en a le plus et Carl, le garçon qui en a le moins,
ont 62 billes ensemble.
Alain est le garçon qui a le plus de billes.
Combien de billes possède Denis?
OPTI-MATH+ 2013
Situation 5
OPTI-MATH 2009 Le partage équitable
Situation 1 Un gros lot a été partagé en parts égales entre un certain nombre
La calculatrice détraquée de participants.
On utilise le gabarit suivant pour illustrer les 10 chiffres de 0 à 9. S’il y avait eu 3 participants de moins, la part de chacun aurait été
augmentée de 140 $.
S’il y avait eu 2 participants de plus, la part de chacun aurait été
diminuée de 70 $.
Quelle était la valeur du gros lot ?
On obtient les représentations suivantes :
La calculatrice de Roberto est cassée.
Par exemple, en voulant écrire les chiffres 6 ou 9,
la calculatrice affiche :
Tous les chiffres de la calculatrice sont brisés de la même manière.
Quel sera le résultat affiché par cette calculatrice si Roberto
effectue les opérations pour calculer :
a) La somme de vingt-deux et seize?
b) La différence de quatre-vingt-trois et dix-sept?
c) Le produit de trente-cinq et douze?
d) Le quotient de trois cent trente-huit et vingt-six?
Printemps-été 2017 | • 169 [5]
L a construction de figures géométriques réinventée
Construction d’un modèle réduit
Martin Loignon
Commission scolaire
d’une
Beauce-Etchemin
maison
Mathématique 116
Merci à M. Martin Loignon de me permettre de publier ce
merveilleux projet que j’ai déjà fait avec mes élèves de
1re secondaire. Vos élèves pensent que de savoir construire
des formes géométriques est inutile? Montrez-leur le
contraire en leur faisant réaliser cette construction!
Imaginez le temps investit par cet enseignant
passionné pour préparer cet activité… Moi, je lui
lève mon chapeau.
Perspectives et Projections orthogonales (vues)
[6] • 169 | Printemps-été 2017
But du projet
Ce projet s’adresse aux élèves de première secondaire et a pour
but de fabriquer un modèle réduit d’une maison en utilisant le
carton comme unique matériau. La maison produite est de style
cottage anglais. L’élève devra produire différentes représenta-
tions de la maison (projections et perspective) et calculer l’aire
de certaines surfaces (plancher, murs et toiture).
Concepts utilisés
• Notions de figures géométriques et de nomenclature
des figures à l’aide de points.
• Construction de figures géométriques.
• Notion de figures adjacentes.
• Notion de quadrilatères
(carré, rectangle, trapèze rectangle et parallélogramme).
• Notion d’angles, de triangles, de triangles isocèles et de
triangles isoangles.
• Notion de dimensions.
• Notion de plan, de premier plan, d’arrière-plan, plans parallèles,
perpendiculaires et inclinés.
• Notion de surface et de surface latérale.
• Notion de périmètre et d’aire de certaines figures géométriques.
• Notion de projections orthogonales
Développement de la maison (Vue avant, arrière, de droite, de gauche et de dessus).
Une fois le tracer du développement terminé, l’élève devrait obtenir le dessin • Notion de perspective
suivant sur son carton. (représentation d’objet tridimensionnel sur une surface).
Les concepts mathématiques mis en oeuvre dans le cadre de ce
projet sont nombreux. En suivant des consignes précises, l’élève
devra dessiner une suite de figures adjacentes partageant ainsi
des côtés et des sommets communs. Toutefois, d’autres
sommets communs se retrouvant sur des figures disjointes
seront nommés à l’aide de lettres A, A’ ou A’’. Ces différents
sommets formeront, par pliage, un sommet commun sur l’objet
tridimensionnel.
Matériel requis
• Carton construction 66 cm x 50 cm
• Règle de 30 cm (ou un mètre)
• Crayon plomb et gomme à effacer
• Instruments de géométrie
• Ciseaux
• Colle en bâton
Parties de la réalisation
• Dessin du développement de la maison
• Ajout des bandes d’attache
L’élève devra aussi ajouter des bandes d’attache qui lui permettront de coller les
arêtes communes à deux surfaces. Si la maison en trois dimensions est considérée • Découpage
comme un solide, les points identifiés par les mêmes lettres (soient N, N’ • Pliage
et N’’) formeront lors de l’assemblage un seul et même sommet du solide. • Assemblage et collage
Les bandes d’attache doivent être bien pliées avant d’appliquer de la colle en
bâton dessus.
Printemps-été 2017 | • 169 [7]
L a construction de figures géométriques réinventée
Construction d’un modèle réduit
d’une
maison
Mathématique 116
(suite)
Partie 1 : Pour dessiner le développement de la maison, tu dois suivre
Dessin du développement exactement les étapes suivantes. Afin de te retrouver rapidement,
de la maison une fois que l’étape est faite, encercle son numéro.
Quelques conseils avant de commencer 1. Devant toi, place le carton dans le sens
le développement paysage. Le point de départ est le coin
• Trace toujours les segments d’un trait pâle. inférieur gauche du carton. En allant vers
le Nord, localise le point N en bordure du
• Sois le plus précis possible dans tes mesures carton à 16,4 cm du point de départ.
(segments et angles). N
2. En partant du point N, trace un segment
• Les mesures linéaires sont données en centimètres longitudinal (vers l’Est) d’une longueur de
et les mesure d’angles, en degrés. 66 cm. Ce segment doit être parallèle à la Le point de départ
• Pour nommer une figure géométrique, on nomme bordure du carton.
les points consécutivement en tournant dans le 3. Sur le segment de l’étape précédente, situe le point J à 10,4 cm du point N.
sens horaire sur la figure. Les sommets sont
identifiés les uns à la suite des autres. L’ordre 4. Construis maintenant le carré JNMK où chaque côté mesure 10,4 cm.
d’apparition des lettres est important. Le côté KM doit être tracé en pointillé.
• Voici un exemple : Le rectangle EFGH 5. Construis le triangle isocèle KML où les côtés KL et LM sont les côtés
isométriques mesurant chacun 6,75 cm.
6. Construis le rectangle JKGH où JK mesure 10,4 cm et KG mesure 5,9 cm.
7. Construis le rectangle HGCB où HG mesure 10,4 cm et GC mesure 7,4 cm.
8. Construis le rectangle BCDA où BC mesure 10,4 cm et CD mesure 8,9 cm.
Le côté CD doit être en pointillé.
9. Trace le trapèze rectangle CGFE dans lequel : CG est la petite base et
mesure 7,4 cm, l’angle GCE mesure 90°, le côté CE mesure 5,8 cm, le côté
• La plupart des formes géométriques sont
EF est la grande base du trapèze et mesure 11,9 cm.
adjacentes les unes avec les autres, donc il y a de
nombreux côtés communs. Identifie clairement 10. Construis un deuxième trapèze rectangle EFSD’ où EF est la grande base et
les sommets des figures construites et utilise mesure 11,9 cm, l’angle D’EF mesure 90°, le côté ED’ mesure 5,8 cm, le
ces derniers pour te repérer. Observe bien la côté D’S est la petite base et mesure 7,4 cm.
perspective avant de découper ou de plier. 11. Construis le triangle CE’D qui est isoangle et dans lequel, le côté CD mesure
• Le sens « longitudinal » détermine le sens de la 8,9 cm, les angles E’CD et CDE’ sont isométriques et mesurent 40°.
longueur du carton. Ce sens est aussi appelé « sens 12. Trace le rectangle ADQP où le côté AD mesure 10,4 cm, le côté AP mesure
paysage ». L’autre sens, le sens « transversal », 17,8 cm. Sur le côté DQ, place le point S’ qui se situe à 7,4 cm du point D.
indique le sens de la largeur du carton et on le Le segment S’Q doit être en pointillé.
nomme aussi le « sens portrait ». 13. Construis le triangle isocèle S’RQ qui est isométrique au triangle KML.
Le côté S’Q doit être en pointillé.
14. Trace le rectangle PQM’N’ où le côté PQ mesure 10,4 cm et le côté PN’
mesure 14,8 cm.
15. Dessine le rectangle QR’L’M’ dans lequel le côté QM’ mesure 14,8 cm et le
côté QR’ mesure 6,75 cm.
16. Trace le rectangle R’S’K’L’ dans lequel R’L’ mesure 14,8 cm et L’K’ mesure
6,75 cm.
[8] • 169 | Printemps-été 2017Première technique
17. Dessine le rectangle APN’’T où AP mesure 17,8 cm et PN’’ mesure 14,8 cm. Sur une ligne de pliage, place la bor-
dure d’une règle de 30 cm et soulève
18. Place le point B’ qui se situe sur le segment AT à 8,9 cm du point A. délicatement la partie non protégée
Place aussi le point U se situant sur le segment TN’’ à 7,4 cm du point T. du carton.
19. Dessine le rectangle TB’H’U dans lequel le côté TB’ mesure 5,9 cm Ainsi, tu produis une cassure dans le
et le côté B’H’ mesure 7,4 cm. carton et tu forces le pli pour qu’il
20. Efface le segment TB’ et le segment TU. soit exactement sur la ligne de pliage
21. Sur le segment S’K’ place le point G’’ qui se situe à 7,4 cm du point K’. tracée.
Le dessin du développement de la maison est terminé. Il faut maintenant Plie soigneusement le carton et
ajouter les bandes d’attache. avec un crayon, passe sur le pli de
manière à mieux le définir.
Partie 2 : Ajouts des bandes d’attache Une fois le pli bien défini, replie le
Quelques conseils pour l’ajout des bandes d’attache carton en sens inverse et passe à
nouveau un crayon sur le pli.
Les bandes d’attache servent à joindre diffé-
rentes surfaces de la maison. Ces bandes sont Deuxième technique
les surfaces sur lesquelles on appliquera de la Pour la deuxième technique, utilise
colle. Les bandes d’attaches ont toujours une la bordure d’une table. Cette bor-
largeur d’environ 1 cm et les extrémités doivent dure doit-être bien carrée. Aligne ligne de pliage
être coupées en diagonale (45°). Ces bandes la ligne à plier avec la bordure de
doivent être situées à l’extérieur des figures la table.
représentant des surfaces de la maison. bande Avec la paume de ta main, presse
Dessine une bande d’attache sur surface de d’attache sur la ligne pour produire une
les segments suivants : la maison
cassure dans le carton.
22. Place une bande d’attache sur le segment ML Cette cassure sera guidée par la
23. Place une bande d’attache sur le segment LK bordure de la table. Ainsi, le pli
sera bien droit. Comme pour la
24. Place une bande d’attache sur le segment GF
première technique, utilise un bordure de la table
25. Place une bande d’attache sur le segment FS crayon pour bien former le pli.
26. Place une bande d’attache sur le segment CE’
27. Place une bande d’attache sur le segment E’D Étape 5 : Collage
28. Place une bande d’attache sur le segment DS’ Quelques conseils pour le collage
29. Place une bande d’attache sur le segment S’R Avant de t’attaquer au collage de la maison, assure-toi que toutes
les lignes à plier le soient. Commence le collage par le toit de la
30. Place une bande d’attache sur le segment RQ
maison. Le plancher devra être la dernière partie à coller. Ainsi la
31. Place une bande d’attache sur le segment BA maison sera entièrement refermée.
32. Place une bande d’attache sur le segment BH Utilise toujours des feuilles
33. Place une bande d’attache sur le segment HJ brouillons pour éviter de
34. Place une bande d’attache sur le segment JN mettre de la colle sur d’autres
surfaces.
35. Place une bande d’attache sur le segment PN’
Mets de la colle seulement
36. Place une bande d’attache sur le segment N’M’ sur les parties ou les attaches
37. Place une bande d’attache sur le segment G’’K’ qui seront utilisées. Évite de
mettre de la colle sur un trop
Étape 3 : Découpage grand nombre de parties
38. Découpe le développement de la maison en gardant toutes les formes à la fois.
géométriques adjacentes jointes les unes aux autres ainsi que les bandes Prends le temps d’ajuster
d’attache. Le développement donne un seul grand morceau de carton et de fixer chaque attache
composé des différentes surfaces de la maison (toits, murs, plancher et afin que les jointures soient
bandes d’attache). Prends garde à ne pas découper les bandes d’attache précises.
et ne découpe pas sur les traits pointillés.
Étape 4 : Pliage
39. Pour obtenir des arêtes (coins formés par deux surfaces) bien droites et
bien précises, utilise une des deux techniques suivantes afin de plier le
développement de la maison.
Printemps-été 2017 | • 169 [9]Mme Catherine Michaud s’est
méritée le prix Fermat pour
l’ensemble des tâches qu’elle
présente dans cet article. Pour
plus d’informations concernant
ce prix, consultez l’avant dernière
Les 7merveilles
page de cette revue.
mathématiq
Dans cet article, je vous propose en toute humilité 7 activités
concrètes que je réalise avec mes élèves. Les tâches qui vous
Alors, prenez une grande inspiration pendant que je vous énu-
mère ma tâche: math 3, math CST 4, math TS 4 (une partie qui
seront présentées sont en fait les coups de cœur de mes élèves. faisait le pont pour faire l’examen en janvier, l’autre partie qui fait
Avant de commencer, je vais vous présenter un peu le contexte math de 4 pour la première fois, donc examen en juin), math TS
dans lequel je travaille, parce que je suis consciente que mes 5, Sciences ST 4, Sciences STE 4, Chimie et préparation au TENS
conditions de travail sont très différentes de la plupart des en sciences. Il me semble que j’ai fait le tour. L’an prochain, je vais
vôtres. Par contre, si ça ne vous intéresse pas, vous pouvez apprendre à dire non…
passer directement à la section sur les tâches. Vous devriez la Il est donc évident que ce que je vais vous présenter ne peut
reconnaître facilement en lisant en diagonale. Je ne serai pas pas être un clé en main. Je pourrais essayer de vous expliquer ce
fâchée ! Je ne le saurai même pas ! qu’est le programme Voie d’Avenir, mais ceux qui sont venus nous
voir vous le diront: on comprend vraiment seulement lorsqu’on
va voir ce que c’est…
Sans expliquer de long en large ma philosophie de l’enseignement
des maths, il y a quand même selon moi un élément clé pour
s’amuser et s’approcher de mon idéal quand on enseigne. Le voici…
Assumer qu’on est fou.
Vous avez une idée folle et un million de raisons de ne pas la faire ?
Voilà deux bons indicateurs que vous devriez le faire. Osez !
Faites-vous confiance ! Le pire des scénarios qui puisse arriver,
c’est que cela ne fonctionne pas. Faire des erreurs, c’est la base
Le logo de Voie d’avenir de l’apprentissage. Un élève qui a peur de se tromper n’essaie
J’enseigne au Collège St-Bernard de Drummondville dans le pas, il est anxieux et ne développe pas de confiance en lui. Leur
merveilleux, stimulant, mais exigeant, programme Voie d’Avenir. dire qu’ils doivent faire des erreurs c’est bien, mais leur donner
Mes élèves, ce sont tous des cocos qui ont une brochette pas l’exemple en se donnant soi-même droit à l’erreur, c’est encore
possible de troubles d’apprentissages. Oui, vous avez aussi votre mieux.
lot de dyslexie, dysorthographie et patati, et patata. Par contre, Ok, maintenant le vif du sujet ! LES TÂCHES, C’EST ICI QU’IL
nos élèves, ils n’auraient probablement pas dépassé un FAUT LIRE SI VOUS AVEZ SAUTÉ LE RESTE !!!!!!
2e secondaire au régulier. Notre travail, ce n’est pas d’enseigner
des mathématiques, du français ou de l’anglais. Notre travail,
c’est de réparer des êtres humains brisés qui ont accepté qu’ils
ne valaient rien et qu’ils n’ont absolument aucune intelligence.
C’est triste de même… Encore plus triste, ce sont souvent des
enseignants et des directeurs qui leur ont fait croire cela. C’est le
moment où je change de sujet, sinon ça risque de dégénérer…
[10] • 169 | Printemps-été 2017C’est une tâche que je fais en math de 4 (autant CST
que TS), sur la fonction affine définie par parties et le
rang centile. On n’a pas du tout parlé de ces notions
Catherine Michaud avant de faire l’activité.
Collège Saint-Bernard Les élèves doivent courir 1 km, faire 40 m de nage (on a la
cmichaud@etude.ca chance d’avoir une piscine intérieure) et courir un autre km. Je
prends leurs temps en note à chaque étape, incluant les transi-
tions. Je leur demande ensuite de représenter leurs
résultats dans un graphique et de me donner la règle associée
au graphique. Ensuite, ils doivent convaincre leurs pairs que leur
démarche est bonne. Lorsque j’ai approuvé le travail, ils doivent
tiques
trouver une ou plusieurs questions qu’ils pourraient se poser à
partir du graphique ou de la règle et y répondre. Ensuite je leur
demande de trouver leur rang centile parmi le groupe, et aussi
de trouver quel élève a eu, par exemple, le rang centile 70.
Avant, je faisais un petit triathlon, mais mon école n’offre plus le
programme de cyclisme. Si vous n’avez pas accès à une piscine,
je vous propose de faire une épreuve de course en trois étapes !
Uno algébrique
Tâche de math en 3e secondaire sur le vocabulaire de base
(« plate ») associé à l’algèbre: monôme, binôme, (...),
degré des polynômes.
C’est le jeu de UNO classique dans lequel j’ai remplacé les
chiffres par des expressions algébriques. On peut donc empiler
des cartes de mêmes couleurs, ou des expressions du même
Il n’y a pas d’ordre de priorité ou de popularité auprès de mes degré, ou un binôme avec un binôme. Je joue toujours une
élèves. L’ordre n’est que le résultat de ma mémoire… Je tiens à première partie avec les élèves et je leur demande de justifier
préciser que je n’enseigne jamais de façon magistrale. Jamais ! pourquoi ils croient avoir le droit de mettre une carte. Ils doivent
Et ça fonctionne ! Même avec des élèves en grande difficulté... nommer toutes les raisons possibles. Les élèves aiment vraiment
ce jeu et ils sont bons. Tellement bons qu’ils donnent une
Le duathlon correction à Jocelyn Dagenais…
Printemps-été 2017 | • 169 [11]Les 7merveilles
mathématiques
Cours TA C1 Troisième étape : Courir !
Tâche de math 4 secondaire (mais elle peut se faire à
e Quatrième étape : Comparer la forme obtenue avec la forme
tous les niveaux) sur un maximum de notions ! attendue. Et c’est là que le « fun » commence. Parce qu’il est rare
Les élèves créent en équipe de deux une C1 de fin d’année. que les formes soient identiques. Le débat s’installe donc entre
l’équipe qui a créé le parcours et l’équipe qui l’a résolu. Je ne sais
Première étape : Ils prennent le plan du centre-ville et tracent pas pour vous, mais moi quand mes élèves
une forme qui deviendra un parcours de course d’environ 5 km. se chicanent à grands coups d’arguments
Ensuite, ils doivent fournir des indices pour qu’une autre équipe mathématiques, c’est de la douce
réalise leur course. Quand ils vont courir (une vraie course avec musique à mes oreilles.
des espadrilles…), ils utilisent une application gratuite sur leur
cellulaire qui trace leur parcours (comme Nike Running). Et ils sont bons ! Et créatifs ! La
L’objectif est qu’ils réussissent à obtenir la forme de l’équipe qui majorité des enseignants que je
a tracé le parcours, seulement à partir d’indices mathématiques connais ont une difficulté immense
(longueur de segments à parcourir, angle avec lequel il faut à créer des C1 (et avec raison) et
tourner, certains points dans le plan cartésien, etc.). Plus la tâche mes élèves y parviennent ! Je leur
regroupe de notions différentes et plus les calculs à faire sont en fais passer une standard
complexes, plus c’est payant lors de la correction. ensuite, et ils la font tellement
les doigts dans le nez !
Deuxième étape : Résoudre les indices d’une autre équipe.
Ce qui est impressionnant,
c’est que mes élèves doivent
parfois prendre le temps
d’expliquer aux gens qu’ils
croisent sur la rue, pen-
dant leur course, qu’ils
sont en train de faire un
examen de math. Ils
sont fiers de me dire
que les gens restent
surpris !
[12] • 169 | Printemps-été 2017Le poulailler
Tâche de math 4e secondaire sur les relations métriques.
Très simple : mes élèves ont créé des plans pour mon futur
poulailler. Ils avaient des critères concernant les besoins des
poules, et la seule consigne était d’essayer d’intégrer un maxi-
mum de relations métriques. Par la suite, ils devaient convaincre
mon oncle Tony, l’expert en poules, de voter pour leur plan. Une
équipe a même décidé de « sketcher » leur plan dans Minecraft ! Hungry Human Hippos
Je pensais qu’ils iraient tous s’inspirer de plans existants, mais Celle-là, c’est un hit en début d’année ! Je la fais avec tous
personne ne l’a fait ! les élèves du programme (donc secondaire 1 à 5). J’écris sur
Maintenant, je suis rendue à l’étape où je dois acheter les des papiers des expressions équivalentes (équations avec des
matériaux pour qu’ils le construisent en techno. Parce que c’est nombres et équations algébriques). Je varie le degré de difficulté
un poulailler réel, pour chez-moi ! Je leur ai demandé de me le dépendamment du niveau.
faire en parties détachées parce que je ne pourrai le transporter Vous connaissez le jeu Hungry Hippos ? Les élèves sont les
chez-moi qu’avec une petite remorque. Leur réponse ? « OK, hippopotames… Ils sont couchés sur des plaquettes roulantes et
mais on aimerait l’assembler nous-mêmes, chez-vous, parce d’autres élèves les déplacent en prenant leurs jambes. Ils doivent
qu’on veut que ce soit bien fait. » Si c’est pas de l’engagement ça ! attraper, avec un panier à linge, un maximum de balles. Chaque
balle leur donne droit à un papier. Ils doivent ensuite regrouper
Bean Bozzled ensemble les papiers qui donnent le même résultat (il y a
Tâche de math 3e secondaire sur le volume et un petit 4 résultats possibles). Pour augmenter le niveau de compétitivité,
rappel des probabilités. je forme parfois des alliances et j’ajoute des balles de grosseurs
différentes qui font perdre des balles à l’équipe adverse. Les
Vous connaissez Bean Bozzled ? C’est un jeu où tu piges un Jelly
élèves sont bien avertis qu’en cas de contact, ils ne jouent plus.
Bean, et pour chaque couleur, tu peux tomber sur une saveur
Juste pour éviter un bain de sang…
succulente ou une saveur complètement dégueulasse. On a
donc joué (et même pas vomi…) et on a noté le nombre de bons
et mauvais Jelly Bean qu’on a mangés. Humanisez les maths
Mais on n’a pas vidé la boîte. En- Voilà donc quelques exemples de tâches que je réalise avec mes
suite, les élèves devaient tenter élèves. Toute l’année, mes élèves font des tâches semblables
de déterminer la probabilité à celles que je vous ai données en exemple. Ne croyez pas
de piger un bon Jelly Bean. Ils ce sont toutes des tâches que je crée moi-même ; heureu-
devaient donc utiliser le sement, il y a plein d’autres gens super généreux qui font
volume pour tenter d’estimer de belles choses et qui les partagent. Par exemple, Dan
le nombre total de Meyer, Jean-François Blanchet et Andrew Stadel (pour
Jelly Bean dans la boîte. ne nommer qu’eux).
On s’est aussi gâtés et tant J’espère que cela vous aura inspiré un peu si vous
qu’à faire un rappel de cherchiez de l’inspiration ! Au prochain congrès du GRMS
probabilité, on a aussi joué à en octobre 2017, j’animerai encore un atelier, en deux
Pie Face… Vidéos sur mon compte parties cette fois. Alors si vous avez envie d’être fou et de
Twitter (https://twitter.com/ beaucoup trop « tripper » pédagogie avec moi, surveillez l’atelier
CathM82) pour ceux qui ont envie de rire ! « Humanisez les maths » !
Chasse aux trésors
Math de 4e secondaire : géométrie analytique
(distance entre deux points, point de partage,
point milieu, positions relatives de deux droites
et on pourrait inclure plein d’autres choses !)
Je prends un plan du collège auquel je superpose
un plan cartésien et je passe toutes mes notions à
grand coup d’indices pour une chasse aux trésors.
À gagner ? Des privilèges au choix (ex : musique
en classe, manger des bonbons, etc.). Deux ou
trois cours et ces notions sont parfaitement
assimilées !
Je valide chaque indice avant qu’ils aient
l’autre, je les reprends sur leur démarche
et leur compréhension et le tour est joué !
Je leur fais réaliser cette tâche alors qu’ils
n’ont jamais utilisé ces notions.
Printemps-été 2017 | • 169 [13]Concours 20
OS E R ...C R É E vo us of fre un e inscription gratuit
, OP TI-M AT H
Pour sa 30 éditon en 2018 nement du GRMS d’octobre 2017. (maximum 20
e
ion
à la 44e session de perfect
ation :
Conditions de particip de prob lèm es, pouvant être utilisées
d
es de ré so lut ion
• Écrire 5 questions inédit rs OP TI-M AT H et OPTI-MATH-PLUS.
co nc ou
prochaine édition des pa r co urrie l au secrétariat du concou
et les so lut ion s
• Acheminer vos questions avant le 31 août 2017 pour la validation de vos qu
(opti-math@videotron.c a)
ige nces , vo us rece vr ez une confirmation de
ent aux ex
• Si vos questions répond
15 septembre 2017. t pe rs onnellement les procha
ine
sc rit es re ce vr on
Les personnes déjà in t, pa r co ur rie l à opti-math@video
votr e in té rê
Manifester maintenant cr éa te urs et créatrices présen e
ts g
y ait pl us ie ur s
Nous souhaitons qu’il d’autres participants qu
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r.
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et qu’il soit poss
osé c
[14] • 169 | Printemps-été 2017018
30 édition e
jeudi le 22 mars 2018
Les bourses 2017
pour OPTI-MATH!
GRAND PRIX OPTI-MATH-PLUS
(5e secondaire)
ÉER..
Scolarité d’un an de baccalauréat à l’Université Laval
(Montant maximal accordé 2 000 $)
Pour OPTI-MATH-PLUS 2017, l’Université Laval offre
3 bourses de 1000 $ aux 2e, 3e et 4e finalistes de 5e secondaire
2 bourses de 1000 $ aux 2 premiers finalistes de 4e secondaire
GRAND PRIX OPTI-MATH
gratuite (3e secondaire)
uites)
mum 20 inscriptions grat 1 bourse de 1 000 $ au premier finaliste de 3e secondaire
À chacun des niveaux pour
OPTI-MATH et OPTI-MATH-PLUS :
utilisées dans une 1er PRIX : Plaque souvenir et prix de 250 $
2e PRIX : Plaque souvenir et prix de 200 $
u concours OPTI-MATH 3e PRIX : Plaque souvenir et prix de 150 $
de vos questions. 4e PRIX : Prix de 125 $
gratuite avant le
mation de votre inscription 5e PRIX : Prix de 100 $
6e au 10e PRIX : Prix de 75 $
à la mi-mai.
ochaines informations
Le nom du gagnant est gravé sur les plaques souvenirs qui sont signées par
le président des Concours et le président du GRMS.
@videotron.ca À chacun des niveaux, un prix spécial de 50 $ est accordé pour la clarté
à cette session
ésents gracieusement
ou l’originalité de la démarche.
i comme eux auront
Suite à la correction nationale, les 150 premiers finalistes de chaque niveau
er...
reçoivent un certificat de distinction pour souligner leur performance à la
finale.
Université Laval (15 prix au hasard)
Aux finalistes OPTI-MATH-PLUS
prix de participation
50 prix de 50 $ au hasard parmi les 150 premiers finalistes.
(10 prix par niveau)
Plusieurs bourses d’études remises aux finalistes en région par diverses
constituantes de l’université du Québec : UQAC (1 bourse), UQAM
(4 bourses), UQAR (3 bourses) et UQTR (2 bourses)
(Description de ces bourses sur le site)
Printemps-été 2017 | • 169 [15]Guy Gervais
Enseignant Académie les Estacades
Chargé de cours à l’UQTR
gervaisg@csduroy.qc.ca
C’est l’heure d
Le codage et la programmation ne sont pas des éléments de commandes plutôt que du langage codé et ainsi s’affranchir des
nouveaux en éducation. Il y a plusieurs années, les programmes connaissances d’un nouveau langage aride dont la maîtrise était
du Québec et de bien d’autres pays (France, États-Unis, nécessaire préalablement à toutes tentatives de programmation.
Angleterre...) intégraient dans leur curriculum des cours d’infor-
matique. Ces cours ont lentement évolué passant de l’étude de
la programmation en Basic, Logo et autres vers une étude des
logiciels de bureautique et leur utilisation. Mais depuis quelques
années, les cours d’informatique ont pratiquement été abandonnés
dans nos écoles. La population étudiante ayant accès de plus en
plus tôt à des outils comme la tablette ou le téléphone intelligent,
ni les élèves, ni les écoles ne sentaient le besoin de conserver ces
cours à la grille horaire.
Récemment, notamment aux États-Unis, il y a un retour vers
l’utilisation de la programmation en classe. Le département de
l’éducation américain a créé en 2013 un site Web permettant
aux élèves de tout âge de s’initier à la programmation (Hour of
code). Pourquoi ? Parce que le gouvernement a remarqué que Cette nouvelle forme de codage permet à des élèves de tous les
nous nous dirigeons vers une pénurie grave d’informaticiens âges de programmer même à partir de la maternelle.
et le problème n’est pas propre aux États-Unis. Au Québec aussi, La création d’algorithmes permet donc de développer des éléments
on s’intéresse depuis peu au retour de l’informatique dans les importants du programme de mathématique, mais aussi de français.
écoles (Porter, 2016). L’idée est donc venue de créer une façon Autrement dit, la programmation devient un prétexte pour travailler
intéressante de programmer sans être dépendant d’un code la résolution de problème et, dans une moindre mesure,
barbare et complexe. Parmi les adultes qui ont touché à la la créativité et l’esprit critique.
programmation à l’école, qui ne se souvient pas d’un programme
qui ne fonctionnait pas à cause d’une simple virgule ou d’une Le codage en mathématique
parenthèse absente et qu’il fallait retrouver quelque part dans ce
charabia ? Beaucoup de frustrations qui nous faisaient oublier Le codage permet de créer des algorithmes, c’est-à-dire une
l’essentiel du codage qui est de développer la structure de sa séquence d’instructions qui mènent à une action précise. Ces
pensée, son esprit critique et sa créativité. En effet, l’idée de algorithmes apportent des effets positifs selon Beziat (2013)
ramener le codage à l’école a permis de réaliser que ces trois tel que :
éléments fort importants étaient omniprésents dans la création • la mise en œuvre de ses compétences spatiales favorisant
d’un algorithme. La rigidité du langage a amené les développeurs la décentration;
à créer des logiciels de programmation qui utilisent des briques • l’établissement d’un ordre chronologique et la définition
des étapes pour parvenir à un objectif;
• un va-et-vient entre l’action et la verbalisation favorisant
une attitude expérimentale;
• le développement des habiletés de description formelle;
• la traduction de ses intuitions sous la forme
d’un programme;
• le développement de l’imagination, de l’invention
et du raisonnement déductif;
• le travail sur les compétences linguistiques;
• le développement de comportements d’autonomie
et de collaboration;
[16] • 169 | Printemps-été 2017e du code!/
Ces effets sont relativement généraux et communs aux deux
disciplines que sont le français et les mathématiques. Mais lors
de la création d’un algorithme, on réalise rapidement la nécessité
d’utiliser des éléments précis du programme de mathématiques
comme:
• le repérage dans l’espace (plan cartésien) ;
• l’utilisation d’opérateurs logiques (et, ou)
à l’intérieur d’une syntaxe précise ;
• l’optimisation d’une tâche (éliminer les éléments
répétitifs par une commande unique) ;
• l’utilisation d’un ordre chronologique
(quelle action vient en premier) ;
• la démarche d’investigation
(observation et questionnement) ;
• le développement de la compétence à raisonner.
Globalement, nous sommes ici manifestement dans la résolution
de problème. Je veux aller du point A au point B alors je com-
mence où? Par quel chemin? Avec quels outils et de quelle façon?
En résumé, une suite d’instructions qui, une fois exécutées correc-
tement, conduisent à un résultat donné s’appelle à un algorithme.
Dowek (2015) pose la question suivante: « Si on ne sait pas
décrire l’algorithme qui permet de résoudre un problème, sait-on
vraiment le résoudre ? »
Le codage permet ainsi de travailler les mathématiques hors du
contexte habituel et dans un environnement très intuitif.
Printemps-été 2017 | • 169 [17]C’est l’heure du c
Le codage en français Liens entre les deux disciplines
Selon Régis et Dorville (2015) peu d’outils permettent le Certaines actions vont donc confondre les deux disciplines en
développement de la pensée analytique et séquentielle. même temps. Le langage formel peut dépendre de la capacité de
L’apprentissage du français, et en particulier de la lecture et de représentation dans l’espace. Si l’élève utilise le repérage dans le
l’écriture, repose sur ce mode de pensée. Le codage est donc un plan cartésien, par exemple pour déplacer un objet à l’écran, il
outil particulièrement intéressant dans cette optique. En français, peut se situer dans deux positions différentes qui vont influencer
on étudie les éléments nécessaires à la lecture d’un mot (voyelle, le langage formel utilisé. Voici deux séquences permettant le
consonne, syllabe), mais pas nécessairement la procédure pour déplacement d’un point selon le même trajet, mais utilisant deux
déchiffrer un mot. Pourtant, cette procédure s’apparente à celle langages différents :
du codage en informatique. Notre cerveau ne s’arrête pas au
niveau des lettres prises individuellement, mais plutôt en les
regroupant automatiquement pour créer des graphèmes. De
plus, elle permet le développement d’une écriture rigoureuse
utilisant un vocabulaire précis dans un ordre précis. Évidemment,
on peut ajouter les éléments de formalisation et de transmission
d’un message qui utilisent des règles de syntaxes. Il faut donc
apprendre à coder pour apprendre à décoder (Delacour 2015)
et cela permet de remplacer chaque phonème par un équivalent
écrit.
Régis et Dorville (2015) insistent d’ailleurs sur cet aller-retour
qu’est le codage vs le décodage en spécifiant l’importance de • avancer-avancer-avancer-tourner
l’utilisation d’un langage formel avec un nombre limité de mots. à droite-avancer-avancer
Une contrainte qui oblige l’élève à formaliser sa pensée. • droite-droite-droite-bas-bas
Ainsi l’élève est obligé de faire sans cesse des allers-retours
permettant de clarifier sa pensée et d’organiser ses actions de
Dans les deux cas, le nombre d’instructions n’est pas le même
la façon la plus cohérente possible. Il faut noter ici que lors de la
et surtout, le point de vue est différent. Dans le premier cas, le
phase de codage, l’élève n’en restera pas bloqué puisqu’intuitive-
point de vue de l’élève est indépendant de sa position alors que
ment, il va faire cette boucle de codage et décodage lorsque son
dans le deuxième cas, il dépend de l’orientation de la feuille.
algorithme ne fonctionnera pas. Il existe donc ici une forme de
valorisation de l’erreur. Celle-ci n’est pas vue comme un échec,
mais comme un élément à analyser pour continuer. Les outils
Plusieurs logiciels utilisent maintenant les briques de program-
mation pour concevoir des algorithmes dont le plus connu est
certainement « Scratch ». Déjà utilisé dans plusieurs écoles,
« Scratch » est un outil très performant et disponible gratui-
tement sur Internet autant sur PC que sur tablette. Google
(Blockly) et Apple (Swift) se sont aussi lancés dans l’aventure
du codage en utilisant les briques de commandes.
[18] • 169 | Printemps-été 2017u code!/
On comprend ici que le codage ne constitue finalement qu’un
prétexte pour travailler des éléments essentiels des programmes
de mathématique et de français dans un environnement ludique.
C’est pour cette raison que le département de l’éducation améri-
cain fait la promotion du site « code.org » utilisable à partir d’un
ordinateur, d’une tablette ou d’un téléphone intelligent sans
aucune installation logicielle. Ce site permet de travailler le code
et créer des algorithmes à l’aide de briques de commandes
intuitives dans des environnements de jeux très connus comme
« Minecraft », « Angry Birds » ou « Star Wars ». L’élève doit réaliser
une série de défis classés par niveaux en utilisant des briques de
commandes de plus en plus complexes à assembler. Le site a
surtout le mérite d’avoir créé des environnements parfaitement
autonomes c’est-à-dire que l’élève est guidé pas à pas sans
aucune intervention nécessaire de l’enseignant. Contrairement
à un logiciel comme Scratch, où toutes les commandes sont
disponibles dès le départ, sur code.org on commence avec très
peu d’outils au début et par la suite, étape par étape, ceux-ci
deviennent de plus en plus nombreux et complexes. Un des buts
du site est justement de permettre aux enseignants de faire
pratiquer le code par leurs élèves sans aucune préparation ni
connaissance préalable de la part des élèves ou des enseignants.
Une magnifique activité entièrement clé en main. Pour ceux qui
voudront aller plus loin, il y a des parcours plus longs et plus
complets et l’enseignant dispose même d’un outil permettant
de suivre la progression de ses élèves.
En résumé, des défis sous forme de jeux dans un environnement
connu des élèves pour travailler la résolution de problème à l’aide
du codage, mais sans connaître aucun langage de programmation !
Autrement dit :
faire de la résolution de problème
autrement !
Références
Béziat, J. (2013). Les TIC à l’école primaire en France : informatique et programmation, EpiNet n° 159, novembre 2013.
http://epi.asso.fr/revue/articles/a1311d.htm
Delacour, J. (2015). Pourquoi tant d’échecs en apprentissage de la lecture?, avril 2015.
https://www.meirieu.com/ECHANGES/DELACOUR_Pourquoitantdechecs.pdf
Dowek, G. (2015). Pourquoi enseigner l’informatique à toutes et tous? EpiAsso n° 172, février 2015.
http://epi.asso.fr/revue/articles/a1311d.htm
Porter, I. (2016). L’école à l’heure de la programmation, Le Devoir, 22 octobre 2016.
http://www.ledevoir.com/societe/actualites-en-societe/458435/l-ecole-a-l-heure-de-la-programmation
Dorville, S. et Régis, A. (2015). Initiation à l’algorithmique et à la programmation informatique au primaire :
quelques éléments pragmatiques tirés d’une expérience pratique EpiAsso n° 176, juin 2015.
http://epi.asso.fr/revue/articles/a1311d.htm
Printemps-été 2017 | • 169 [19]Vous pouvez aussi lire
