PROGRAMME D'APPROFONDISSEMENT MASTER 1 DE MATHÉMATIQUES - Année 2020 2021 - Gargantua

PROGRAMME D’APPROFONDISSEMENT
 MASTER 1 DE MATHÉMATIQUES

 Année 2020 – 2021

04 Programme d’approfondissement/Master 1 de mathématiques

 11 Programmes des modules
 12 Systèmes dynamiques MAT551
 14 Théorie algébrique des nombres MAT552
 16 Variétés, fibrés vectoriels et formes différentielles MAT553

SOMMAIRE 18 Équations d’évolutions MAT554
 20 Groupes, anneaux, modules et représentations MAT556
 22 Topologie algébrique MAT557
 24 Groupe de symétrie en physique subatomique MAT575/PHY575
 26 Fondements des probabilités et applications MAP575
 28 Théorie spectrale et mécanique quantique MAT561
 30 Introduction à la géométrie algébrique et courbes elliptiques MAT562
 32 Groupes compacts et groupes de Lie MAT563
 34 Surfaces de Riemann MAT565
 36 Transport et diffusion MAT567/MAP567
 38 Équation des ondes et relativité générale MAT568

4 5
MASTER 1 MASTER 1

 PROGRAMME Pour les périodes 1 et 2, les élèves doivent
 choisir au minimum 3 modules parmi
 Compatibilité avec les autres Parcours
 d’approfondissement du M1 de l’École
 D’APPROFONDISSEMENT ceux proposés. S’y ajoutent pour chacune
 des périodes, un module d’approfondisse-
 polytechnique.

 Master 1 de mathématiques ment consistant en un travail personnel en
 relation avec l’un des cours suivis, effectué Le cas des élèves inscrits au Programme
 sous la direction de l’enseignant concerné. d’approfondissement de Mathématiques
 et désirant choisir un module dans une
 Anne-Sophie de Suzzoni Certains modules sont proposés en colla- autre discipline pourra être examiné.
 Anne-Sophie.de-suzzoni@polytechnique.edu boration avec d’autres départements :
 ❯ Informatique :
 Théorie algébrique des nombres, Informatique
 Les mathématiques fascinent par la la fois par ceux qui souhaitent une forma- Introduction à la géométrie algébrique,
 rigueur et la perfection esthétique de tion par la recherche au plus haut niveau, Topologie algébrique. En collaboration avec le département
 leurs constructions. Elles sont le socle des et par ceux qui veulent poursuivre une ❯ Physique : d’Informatique, le département de
 mathématiques appliquées et ont toujours formation d’ingénieur dans le cadre d’une Équation des ondes et relativité générale, Mathématiques propose dans son pro-
 joué un rôle fondamental dans le dévelop- École en convention avec l’École poly- Groupes de symétrie en physique subato- gramme d’approfondissement/Master 1
 pement des sciences. L’une des spécifici- technique. Elle est indispensable à ceux mique. un parcours mathématiques et informa-
 tés de l’École polytechnique a d’ailleurs qui envisagent une carrière de recherche ❯ Mathématiques Appliquées : tique, destinés aux étudiants désirant se
 été, dès le début du xixe siècle, la place à fort contenu mathématique. Transport et diffusion, spécialiser dans les domaines de l’infor-
 centrale attribuée aux mathématiques et, Fondements des probabilités et applications. matique fondamentale et de la crypto-
 notamment, aux mathématiques fonda- Les sujets des cours ont été choisis à la graphie. Les modules de mathématiques
 mentales. fois pour leur importance théorique, leur Théorie algébrique des nombres, Groupes,
 beauté et pour leur ouverture aux appli- La filière d’excellence anneaux, modules et représentations, Intro-
 Les mathématiques sont une école de cations. « voie Hadamard » duction à la géométrie algébrique et courbes
 rigueur et d’abstraction ; elles sont égale- de l’Université de Paris-Saclay elliptiques, Topologie algébrique, Groupes
 ment le langage universel des sciences et (site de l’École polytechnique) compacts et groupes de Lie et les modules
 un instrument incontournable dans un d’informatique Algorithmique avancée,
 nombre croissant d’entre elles. La chimie, Règles de choix Les étudiants non polytechniciens qui sou- Computational logic, Constraint-based
 la biologie, l’économie ne peuvent plus et de validation haitent obtenir un Master 1 l’Université Modeling and Algorithms for Decision-
 se passer de mathématiques élaborées. Paris-Saclay ont la possibilité de demander making, Introduction to Cryptology, Topo-
 Les élèves polytechnicien sont reconnus, Le Programme d’Approfondissement se leur inscription dans une filière d’excel- logical Data Analysis, Théorie de l’ informa-
 en France comme à l’étranger, pour la compose de trois périodes : lence : la « voie Hadamard ». Il s’agit d’une tion, Randomization in Computer Science,
 solidité et la largeur du spectre de leurs ❯ Période 1 (septembre-décembre) : ensei- filière sélective pour laquelle l’inscription Advanced Cryptology font partie de ce
 connaissances mathématiques. gnements fondamentaux est soumise à approbation après examen parcours. Les enseignements d’approfon-
 (5 ECTS/module) préliminaire d’un dossier de candidature. dissement (EA) peuvent s’effectuer soit
 Les cours proposés dans le programme Les exigences pédagogiques se situent entre en relation avec l’un des cours de mathé-
 d’approfondissement de Mathématiques ❯ Période 2 (janvier-mars) : celles d’un master 1 traditionnel et le Par- matiques suivi (MAT570), soit selon les
 couvrent des domaines divers de l’ana- enseignements fondamentaux cours d’Approfondissement décrit dans modalités définies par le département
 lyse, de l’algèbre et de la géométrie. Avec (5 ECTS/module) ce document. Pour les modalités de cette d’informatique (INF571).
 leur mélange de théories fondamentales et filière d’excellence en Master 1, voir la page
 d’applications d’une grande actualité, ils ❯ Période 3 (avril-juillet) : web du département de mathématiques de
 constituent un cursus qui sera apprécié à stage de recherche (20 ECTS) l’École polytechnique :
 http://www.mathematiques.polytechnique.edu
 (rubrique Enseignement/Master 1).

6 7
MASTER 1 MASTER 1

 Mathématiques appliquées de Mathématiques Appliquées est proposé Enseignements
 dans le PA de Mathématiques. d’approfondissement
 Un élève s’inscrivant au Programme
 d’approfondissement de Mathématiques Un enseignement d’approfondissement 2e période :
 pourra choisir un des modules parmi ceux Physique correspond soit à un travail personnel MAT580 (M. Lewin, B. Schraen, J.
 offerts par le Département de Mathéma- (en général la lecture d’un article scienti- Fresán, C.M. Silva Santos, F. Golse,
 tiques appliquées et réciproquement, un Les modules Groupes de symétrie en phy- fique) en liaison avec l’un des cours suivis C. Huneau) : Même modalités que les EA
 élève s’inscrivant au Programme d’appro- sique subatomique et Équation des ondes pendant le trimestre soit la validation du de la 1re période.
 fondissement de Mathématiques appli- et relativité générale sont communs avec module MAT/PHY575 ou MAP575.
 quées pourra choisir un des modules le Programme d’Approfondissement de PHY568 EA : Les élèves suivant le cours
 parmi ceux proposés ci-dessus. Le module Physique. d’Équation des ondes et relativité Géné-
 Transport et Diffusion est commun avec 1re période : rale (MAT568) ont la possibilité de
 le PA de Mathématiques Appliquées. Le Les élèves souhaitant suivre un cours dans MAT570 : (D. Burguet, B. Stroh, choisir comme EA le cours de physique
 module Fondements des probabilités et un autre département pourront le faire S. Boucksom, Y. Martel, D. Renard, (PHY568) qui se déroule en parallèle.
 applications enseigné par le département avec l’accord des responsables concernés. G. Ginot) en relation avec un des cours L’évaluation consistera en un travail per-
 suivis et sous la direction de l’enseignant sonnel autour d’un texte scientifique fai-
 concerné, l’élève effectue un travail per- sant l’objet d’une soutenance orale. Réci-
 Offre de première période – P1 sonnel donnant lieu à la rédaction d’un proquement, les élèves du PA de Physique
 mémoire et à une soutenance orale. suivant le cours de PHY568 peuvent choi-
 MAT551 Systèmes dynamiques David Burguet Cours sir comme EA le cours de MAT568.
 MAT/PHY575 : (B. Rémy et S. Munier)
 MAT552 Théorie algébrique des nombres Benoît Stroh Cours
 Groupes de symétrie en physique suba-
 MAT553 Variétés, fibrés vectoriels et formes différentielles Sébastien Boucksom Cours tomique. Des séances animées par les
 enseignants mathématiciens et physiciens
 MAT554 Equations d’évolutions Yvan Martel Cours
 exposent les principes théoriques de base.
 MAT556 Groupes, anneaux, modules et représentations David Renard Cours Les élèves effectuent parallèlement un tra-
 vail personnel donnant lieu à la rédaction
 MAT557 Topologie algébrique Grégory Ginot Cours
 d’un mémoire et à une soutenance orale.

 MAP575 : (I. Kortchemski) Fondements
 Offre de deuxième période – P2 des probabilités et applications.

 MAT561 Théorie spectrale et mécanique quantique Mathieu Lewin Cours

 Introduction à la géométrie algébrique et courbes
 MAT562 Benjamin Schraen Cours
 elliptiques

 MAT563 Groupes compacts et groupes de Lie Javier Fresán Cours

 Carlos Matheus
 MAT565 Surfaces de Riemann Cours
 Silva Santos

 MAP/ François Golse
 Transport et diffusion Cours
 MAT567 Grégoire Allaire

 MAT568 Équation des ondes et relativité générale Cécile Huneau Cours

8 9
MASTER 1 MASTER 1

 En France : ❯ Master Logique Mathématique
 Pré-requis : Le département de Mathématiques pro- et Fondements de l’Informatique
 pose deux parcours dans la mention (LMFI), Paris 7
 Il est fortement conseillé d’avoir validé au moins deux modules de mathématiques Mathématiques et Applications de l’uni- (Parcours MAT-INFO, Transverse)
 en 2A pour suivre le PA de mathématiques. versité Paris-Saclay.
 ❯ A AG ❯ Master Mathématique et Informa-
 En outre, certains cours ont des pré-requis spécifiques : « Analyse, Arithmétique et Géométrie » tique appliqués à la Cryptologie
 ❯ M AT431 fortement conseillé pour MAT551, MAT553, MAT562, MAT563, ❯ A MS (MIC), Paris 7
 MAT565, MAT567, MAT568 « Analyse, Modélisation et Simulation » (Parcours MAT-INFO, Transverse)
 ❯ M AT432 fortement conseillé pour MAT554, MAT561, MAT567
 ❯ M AT451 fortement conseillé pour MAT552, MAT553, MAT556, MAT562, ❯ Autres Master 2, spécialité Informatique.
 MAT563 A l’ étranger :
 ❯ M AT452 fortement conseillé pour MAT551, MAT561 MPhil, DPhil, PhD Mathematics
 ❯ 1 des 4 cours suivants MAP411, MAP431, MAT431 ou MAT432 fortement A l’ étranger :
 conseillé pour MAT/MAP567 Tous les M.Sc. en Computer Science,
 Parcours MAT-INFO Computer Engineering, Computing, Sys-
 tèmes de communication…
 En France :
 ❯ Master Parisien de Recherche en Par exemple à ETH Zürich, EPF Lau-
 Offre de troisième période – P3 (Stage de recherche) Informatique (MPRI), co-habilité sanne, TU Karlsruhe, UPC Barcelona,
 École polytechnique Technion, RWTH Aachen, TU Delft,
 Le stage de recherche s’effectue sur une France ou à l’étranger. Il donne lieu à la (Parcours Transverse, MAT-INFO, Oxford, Imperial College, Berkeley, MIT,
 période de 3 à 5 mois débutant début rédaction d’un mémoire et à une soute- Algorithmique efficace, Conception Stanford, University of Michigan at Ann
 avril. Il s’effectue dans un laboratoire uni- nance. des Systèmes Informatiques) Harbor, University of Washington at
 versitaire ou d’institut de recherche, en Seattle, Carnegie Mellon University, Cor-
 ❯ Master Parisien de Recherche nell University
 Operationnelle (MPRO),
 co-habilité École polytechnique Quelques exemples plus précis
 MAT591 Groupes et représentations David Renard Stage
 (Parcours MAP-INFO Optimisation, ❯ Parcours MAT-INFO et Transverse :
 MAT592 Analyse et applications François Golse Stage Algorithmique efficace) M.Sc. Mathematics & the Foundations
 of Computer Science (MFoCS) Oxford
 MAT593 Géométrie et Systèmes dynamiques Sébastien Boucksom Stage
 ❯ Master Mathématiques/Vision/ University
 MAT594 Théorie des nombres et géométrie algébrique Benoît Stroh Stage Apprentissage, M.Sc. Computational Logic,
 co-habilité École polytechnique Université de Dresde
 (Parcours MAP-INFO « Image-
 Vision-Apprentissage », Algorithmique ❯ Thématique Algorithmique efficace :
 Débouchés efficace) Master of Science in Computation for
 Design and Optimization, ou Electrical
 Parcours MAT ❯ Master Conception et Management Engineering and Computer Science,
 Ce programme s’adresse aux élèves sou- Cette formation est un pré-requis pour des Systèmes Informatiques pour prendre l’exemple des intitulés du
 haitant une formation avancée en mathé- suivre une formation de Master 2 en Complexes (COMASIC), MIT.
 matiques pour la poursuite de leur cursus Mathématiques fondamentale. co-habilité École polytechnique
 scientifique. (Parcours Conception des Systèmes
 Informatiques, Transverse)

11
 MASTER 1

 PROGRAMMES
 des modules

Bathsheba Grossman

12 13
MASTER 1 Champ de plans non MASTER 1
 intégrable et courbe tangente
 à ce champ de plans.

 SYSTÈMES DYNAMIQUES
 MAT551

 David Burguet
 david.burguet@upmc.fr

 Dynamique des automorphismes hyper- 2. Orbites homoclines et comportement
 boliques linéaires du tore : chaotique en mécanique classique
 ❯ sous-décalages de type fini ; 3. Théorème de Furstenberg : preuve ergo-
 Les systèmes dynamiques occupent une
 place déterminante dans les mathéma-
 Programme ❯ partitions de Markov ; dique du théorème combinatoire de
 ❯ entropie. Szemerédi
 tiques comme dans leurs applications : « il
 est important de résoudre les équations Théorie ergodique : 4. Théorème KAM et diffusion d’Arnold :
 ❯ théorème de récurrence de Poincaré ; Niveau requis : stabilité et instabilité dans les systèmes
 différentielles » selon la devise secrète de
 ❯ notions d’irréductibilité: ergodicité, Les outils indispensables (en théorie de hamiltoniens
 Newton. C’était vrai à la fondation de
 mélange, Bernoulli; la mesure notamment) seront brièvement 5. Actions de groupes sur le cercle
 la mécanique céleste et de la physique
 ❯ théorèmes ergodiques en moyenne et rappelés ou introduits. Une certaine fami- 6. Comptage des géodésiques
 moderne, c’est encore le cas aujourd’hui
 ponctuel. liarité avec les notions de base de la topo- 7. Théorème de réalisation de Jewett-Krieger
 avec l’utilisation de modèles dont l’analyse
 ❯ Entropie mesurée ; logie sera un avantage. 8. L e Lemme de fermeture de Pugh
 relève souvent de la théorie des systèmes
 9. L 'argument de Hopf
 dynamiques (évolution d’une population,
 états d’un cristal…). Dynamique topologique :
 Toutes les propositions ayant un compo-
 ❯ théorème de récurrence de Birkhoff ; Approfondissements sant mathématique significatif, notam-
 Si l’analyse fonctionnelle et l’analyse ❯notions d’irréductibilité : transitivité,
 ment en lien avec d’autres cours (par
 numérique étudient l’existence, l’unicité mélange, minimalité ; Ces approfondissements sont une occa-
 exemple : théorie du contrôle, probabili-
 et les procédés d’approximation des solu- ❯simplexe des mesures invariantes sion de compléter et d’enrichir le cours
 tés, mécanique…), sont les bienvenues.
 tions de tels modèles, la théorie des sys- (unique ergodicité) ; MAT551 « Introduction aux Systèmes
 tèmes dynamiques cherche à en établir les ❯ entropie topologique. dynamiques ». Les sujets seront choisis
 La structure de ces enseignement est
 propriétés à long terme (par exemple : pré- après discussion et donneront lieu à un
 souple, le travail personnel sur documents
 visibilité statistique à long terme malgré Théorie des nombres : bref cours introductif. Voici quelques
 jouant un rôle prépondérant. L’évaluation
 l’imprévisibilité à moyen terme). ❯ développement en base entière et en sujets proposés ou traités les années pré-
 portera sur la rédaction d’un mémoire
 fraction continue ; cédentes :
 détaillé et une soutenance orale permettant
 De façon moins évidente pour le néo- ❯ équirépartition des valeurs de P(n), n 1. Stabilité des dynamiques hyperboliques
 de faire la preuve de son esprit synthétique
 phyte, les systèmes dynamiques appa- décrivant les entiers et P un polynome et exemples de systèmes robustement
 comme de sa capacité à répondre à des
 raissent également en mathématiques non constant ayant un coefficient irra- instables
 questions précises.
 pures. Certains problèmes de géométrie tionnel ;
 et de théorie des nombres se traduisent ❯ principe de correspondance de Fursten-
 ainsi élégamment et fructueusement en berg et Théorème de Szemerédi. Bibliographie
 questions de dynamique.
 Michael Brin and Garrett Stuck, (2002). Introduction to Dynamical Systems (2nd ed.). Cambridge University Press.
 Dynamique des homéomorphismes du Fathi, A., Systèmes dynamiques, Cours de l’École polytechnique.
 L’ambition de ce cours est de présenter les cercle : Shub, M., (1987). Stabilité globale des systèmes dynamiques, Astérisque, SMF.
 notions de bases de la théorie moderne
 ❯ nombre de rotation ; Yves Coudène, (2013) Théorie ergodique et systèmes dynamiques, EDPSciences.
 des systèmes dynamiques en lien avec
 ❯ thèorème et contre-exemple de Denjoy. Anatole Katok and Boris Hasselblatt, (1997) Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems,Volume 54 de Ency-
 quelques questions de géométrie et de clopedia of Mathematics and its Applications, Éditeur Cambridge University Press.
 théorie des nombres. Ricardo Mané, (1987) Ergodic Theory and Differentiable Dynamics (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3.
 Folge/A Series of Modern Surveys in Mathematics) Softcover reprint of the original 1st ed.

14 15
MASTER 1 MASTER 1

 THÉORIE ALGÉBRIQUE DES NOMBRES ( )( )
 p
 –
 q
 q
 –
 p
 = (–1)(p–1)(q–1) / 4

 MAT552
 Loi de réciprocité quadratique de Gauss

 Benoît Stroh
 benoit.stroh@imj-prg.fr

 La théorie algébrique des nombres est Le cas des « entiers quadratiques », c’est à Quelques notions abordées : loi de réci- anneaux, corps de nombres, entiers algé-
 l’étude des propriétés arithmétiques dire des anneaux de la forme de ℤ[ ] avec procité quadratique, géométrie des briques, anneau de Dedekind, groupe des
 des nombres algébriques. On s’intéresse de degré 2, est historiquement le plus nombres de Minkowski, formes qua- classes d’idéaux, fonctions L, formules du
 notamment à la propriété de factorisation, important et sera étudié en détail. Nous dratiques binaires, arithmétique des nombre de classes et du nombre de genre.
 unique des éléments comme produits verrons que leur arithmétique est reliée à
 d’éléments premiers, dans les anneaux de la classification des formes quadratiques
 la forme ℤ[ ] où est un « entier algé- binaires entières (Lagrange, Legendre,
 brique », (l’anneau des entiers de Gauss Gauss) et à la question élémentaire de
 par exemple), ou mieux, dans l’anneau décider quels sont les entiers représentés
 de tous les entiers algébriques d’un corps par une forme donnée.
 de nombres donné. Cette propriété a joué
 historiquement un rôle important dans Par exemples, nous savons depuis Fermat
 l’étude des équations diophantiennes, par que tout nombre premier congru à 1
 exemple dans le fameux travail de Kum- modulo 4 est somme de deux carrés, ou
 mer sur le « dernier théorème » de Fermat. encore que si est congru à 1, 3, 7 ou
 9 modulo 20 alors est (exclusivement)
 Elle intervient aussi dans de nombreuses soit de la forme 2 + 5 2, soit de la forme
 autres questions en apparence éloignées, 2 2 + 2 + 3 2 (Euler, Lagrange). Nous
 comme la théorie entière des formes développerons au long du cours des outils
 quadratiques, la réduction des endo- efficaces pour étudier ce type de ques-
 morphismes à coefficients entiers, ou la tion, comme la réduction de Gauss, ou
 théorie de la multiplication complexe… la notion de « genre » des formes quadra- Bibliographie
 Il se trouve que la propriété de factorisa- tiques (Lagrange, Gauss), qui est un point
 tion unique ne persiste en général qu’au de départ de la fameuse théorie du corps K. Ireland and M. Rosen, Springer, « A Classical Introduction to Modern Number
 Theory », GTM 84.
 sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et de classes.
 que son défaut peut être mesuré par un P. Samuel, Hermann, « Théorie algebrique des nombres ».
 groupe abélien fini « le groupe des classes
 d’idéaux » dont les mystères sont encore C. F. Gauss, « Disquisitiones arithmeticae ».
 au coeur de l’arithmétique moderne.

16 17
MASTER 1 MASTER 1

 VARIÉTÉS, FIBRÉS VECTORIELS
 ET FORMES DIFFÉRENTIELLES
 MAT553
 The Waterfall par M.C. Escher

 Sébastien Boucksom
 sebastien.boucksom@polytechnique.edu

 Les variétés différentielles sont des objets risant. Il peut être plus surprenant de Niveau requis
 géométriques localement paramétrés par prime abord que les variétés soient égale- Une familiarité avec la première partie du
 des systèmes de coordonnées, mais possé- ment le cadre naturel d’une riche théorie cours MAT431 (sous-variétés d’un espace
 dant une forme globale (c’est-à-dire une de l’intégration, où l’on intègre des élé- euclidien), si elle n’est pas absolument
 topologie) qui peut être très complexe. ments infinitésimaux de longueur, aire, indispensable, est toutefois vivement
 Elles sont de ce fait le langage naturel de volume, etc… incarnés par la notion de recommandée.
 la géométrie différentielle (riemannienne, forme différentielle. Le formalisme asso-
 symplectique, complexe, etc.), mais aussi cié est ici encore d’une magnifique conci-
 de nombreuses théories physiques (relati- sion, résumant par exemple d’un seul
 vité générale, théorie de jauge, etc.). trait les opérateurs gradient, divergence
 et rotationnel de la mécanique des fluides
 Ce cours a pour objectif de proposer une et de l’électromagnétisme, et les formules
 introduction aux variétés et à quelques- d’intégration par parties qui les accom-
 uns des concepts-clés qui leur sont asso- pagnent.
 ciés : fibrés vectoriels, formes différen-
 tielles, et cohomologie de Rham. La construction des formes différen-
 tielles s’appuie sur le concept tout aussi
 Il est aussi l'occasion de se familiariser au fructueux de fibré vectoriel, au cœur par
 passage avec quelques outils d'un usage exemple de la théorie de jauge. On en
 récurrent en mathématiques: topologie posera les bases, ce qui revient à faire de
 des espaces localement compacts, actions l’algèbre (multi)linéaire sur une famille
 de groupes topologiques, produit tensoriel lisse d’espaces vectoriels.
 et algèbre extérieure, et quelques bases
 d'algèbre homologique. Enfin, on introduira quelques rudiments
 de cohomologie de de Rham, qui encode Bibliographie
 Étant par définition localement mode- via une machinerie relevant de l’algèbre
 lées sur des espaces vectoriels, les variétés (linéaire) homologique l’idée que les Lee, Introduction to smooth manifolds.
 donnent lieu à un élégant formalisme de « trous » d’un espace peuvent être détectés
 Milnor, Topology from the differentiable viewpoint.
 calcul différentiel, qui permet d’étudier en intégrant autour, et offre un premier
 les applications entre variétés en les linéa- contact avec la topologie algébrique. Bott et Tu, Differential forms in algebraic topology.

t=0 t=0.5375
 3 3

 18 2 2 19
MASTER 1 MASTER 1

 u

 u
 1 1

 ÉQUATIONS D’ÉVOLUTIONS 0
 ï2 ï1 0
 x
 1 2
 0
 ï2 ï1 0
 x
 1 2

 MAT554
 t=1.25 t=2.45
 3 3

 2 2
 Simulation numérique d'un phénomène

 u

 u
 d'explosion en temps fini pour l' équation
 Yvan Martel 1 1
 yvan.martel@polytechnique.edu de Korteweg-de Vries généralisée.
 (source : C. Klein and R. Peter, arXiv:1307.0603v2)
 0 0
 ï2 ï1 0 1 2 ï2 ï1 0 1 2
 x x

 Figure 26. Solution to the gKdV equation (1) with ✏ = 0.1 for n = 5 and the
 initial data u0 = sech2 x for several values of t.
 Le cours Équations d'évolution est une général répondant aux questions ci-dessus. Chapitre 7. L'équation de Klein-Gordon Approfondissements
 2.8 4
 introduction à la résolution des équations Nous expliquerons ensuite comment les non-linéaire. 2.6 2

 aux dérivées partielles d'évolution sous équations linéaires de la chaleur, des ondes Chapitre 8. L'équation de la chaleur non- Quelques exemples d’enseignements d'ap-
 2.4
 0

 l'angle de la théorie des semi-groupes. Ces et de Schrödinger entrent dans ce cadre. linéaire. profondissement pouvant être proposés
 2.2
 ï2

 ï4

 équations apparaissent entre autres dans Pour cela, nous mettrons en œuvre des dans le cadre de ce cours :
 2

 log10|v|
 ||u||'
 ï6
 1.8
 la modélisation de systèmes non-station- résultats abstraits d’analyse fonctionnelle Le polycopié du cours sera en anglais et ❯ Inégalités de Strichartz et équation des
 1.6
 ï8

 ï10
 naires issus de la physique (par exemple : et des espaces de fonctions adaptés (notam- le cours est susceptible d'être enseigné en ondes semi-linéaires.
 1.4
 ï12

 mécanique des fluides, mécanique quan- ment les espaces de Sobolev). Dans la deu- anglais selon l'audience. ❯ Dispersion et équation de Schrödinger
 1.2 ï14

 tique, électromagnétisme, relativité) ou xième partie du cours, nous décrirons une non-linéaire.
 1
 0 0.5 1
 t
 1.5 2 2.5
 ï16
 ï2000 ï1500 ï1000 ï500 0
 k
 500 1000 1500 2000

 de la biologie (réaction-diffusion). Dans stratégie permettant de résoudre de façon Niveau requis ❯ Solutions de Leray des équations de
 Figure 27. L1 norm of the solution to the gKdV equation (1) with ✏ = 0.1 for
 de tels contextes, ces équations décrivent générale des problèmes d’évolution semi- Le seul prérequis est le cours de tronc Navier-Stokes.
 n = 5 and the initial data u0 = sech2 x in dependence of time on the left, and the
 l’évolution temporelle de quantités (vitesse, linéaires par point fixe de Banach. Pour commun, en particulier l’analyse hilber- ❯ L e théorème
 modulus ofde the Fujita-Kato pour
 Fourier coefficients of theles
 solution for t = 2.45 on the right.
 pression, fonction d’onde, concentration) les équations de la chaleur et d'onde non- tienne et la transformation de Fourier. équations de Navier-Stokes.
 The dependence of the physical time on ⌧ can be seen in Fig. 31 on the right. The final va
 qui dépendent aussi d’une variable spatiale. linéaires, nous montrerons des résultats Il est toutefois utile d'avoir suivi le cours La bestabilité
 
 ❯ can des ondes
 again interpreted solitaires
 as the blow-up time tpour
 ⇤
 = 2.4564. The relative change compared to t(1
 d’existence locale et d’existence globale. Distributions, Analyse de Fourier et EDP isl'équation
 of the order de Schrödinger
 of 10−5
 non-linéaire.
 which confirms that the shown situation is very close to the blow-up.
 However this is not yet the case for the location xm of the maximum of the solution as
 La première question mathématique Nous finirons par identifier quelques phé- et le cours d'Analyse Fonctionnelle de be seen in Fig. 32, where the asymptotic regime is not yet reached. This is in accordance w
 concerne le caractère bien posé de l'équa- nomènes d’explosion en temps fini. deuxième année.
 tion : toute configuration initiale donne-
 t-elle une solution de l’équation ? Quel est
 le cadre fonctionnel le plus adapté ? Quel Plan du cours
 sens faut-il donner à une telle solution ? La Bibliographie
 solution est-elle unique ? Est-t-elle définie Chapitre 1. Cas de la dimension finie. H. Brezis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. Masson, 1992.
 pour tout temps, ou au contraire cesse-t- Chapitre 2. Semi-groupes uniformément N. Burq and P. Gérard, Contrôle optimal des équations aux dérivées partielles. Cours de l'École
 elle d’exister en temps fini ? continus versus semi-groupes fortement polytechnique, 2002.
 T. Cazenave and A. Haraux, An Introduction to Semilinear Evolution Equations. Oxford Lecture
 continus.
 Series in Mathematics and its Applications, 13. The Clarendon Press, Oxford University
 Nous présenterons quelques résultats fon- Chapitre 3. Opérateurs non bornés. Press, New York, 1998.
 damentaux de la théorie des équations Chapitre 4. Le théorème de Hille-Yosida- K.-J. Engel and R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Graduate
 d'évolution. Concernant les équations Phillips. Texts in Mathematics, 19. Springer-Verlag, New York, 2000.
 L. C. Evans, Partial Differential Equations. Graduate studies in Mathematics, 19, AMS, 2010.
 linéaires autonomes, nous étudierons la Chapitre 5. Équations non homogènes. P. Lévy-Bruhl, Introduction à la théorie spectrale. Cours et exercices corrigés. Dunod, 2003.
 théorie des semi-groupes sur les espaces Chapitre 6. Équations d'évolution non- A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.
 de Banach, qui fournit un cadre abstrait linéaires. Springer-Verlag New York 1983.

20 21
MASTER 1 MASTER 1

 GROUPES, ANNEAUX, MODULES
 ET REPRÉSENTATIONS
 MAT556
 Boîte en laque à symétrie S 3
 (Chine, 16 e siècle, musée de Münster).

 David Renard
 david.renard@polytechnique.edu

 Ce cours introduit des notions fonda- sur un corps quelconque, ce qui généralise II. Anneaux et modules. Approfondissements
 mentales d’algèbre. Une première partie les résultats de la première partie. II.1. 
 A nneaux, idéaux, modules :
 est consacrée aux groupes finis et à leurs exemples, vocabulaire de base. Des approfondissements seront proposés.
 représentations linéaires (sur le corps des Nous essayons au fil de ce cours d’intro- II.2. Opérations sur les modules. Ato- Leur structure sera souple, le travail per-
 complexes). On y démontre les résultats duire progressivement et sans formalisme misation et reconstruction. Suites sonnel sur documents jouera un rôle pré-
 principaux du sujet : excessif le langage, les concepts et les de Jordan-Hölder. pondérant. Ils conduiront à la rédaction
 lemme de Schur, théorème de Maschke, outils de la théorie des catégories, devenus II.3. Modules sur un anneau principal. d’un mémoire et à une soutenance orale.
 théorème de Peter-Weyl, formule de Plan- indispensables à toute présentation avan- Théorème de structure et appli- ❯ Dualité de Tannaka pour les groupes
 cherel, orthogonalité des caractères… Le cée de nombreux domaines des mathéma- cations (classification des groupes finis.
 point de vue adopté est l’utilisation de la tiques. La théorie des représentations se abéliens de type fini, classes de ❯ Représentations des groupes symé-
 convolution et de la transformation de prête remarquablement à cette première conjugaison de GL(n,k), etc.) triques.
 Fourier. approche. ❯ Représentations des groupes linéaires
 III. Anneaux et algèbres semi-simples. sur les corps finis.
 Dans une seconde partie, on s’intéresse III.1. A nneaux semi-simples. Idempo- ❯ Etude des sous-groupes finis des groupes
 aux anneaux A (non nécessairement com- tents. linéaires.
 mutatifs) et aux modules sur ces anneaux. Plan du cours III.2. A lgèbres semi-simple et applica- ❯ A lgèbres de Hopf et groupes quantiques.
 Nous développons sous certaines hypo- tions à la théorie des représenta- ❯ Cohomologie des groupes.
 thèses de finitude, quelques méthodes I. Groupes et représentations tions des groupes.
 de classification (suites de composition, I.1. 
 Groupes et actions de groupes.
 étude des extensions, etc). Nous considé- Vocabulaire. Niveau requis
 rons le cas où A est principal et nous en I.2. Représentations linéaires des Il est conseillé d'avoir manipulé les objets
 déduisons, par exemple, la classification groupes finis : exemples, opérations algébriques de base (algèbre linéaire,
 des groupes abéliens de type fini ou des sur les représentations, lemme de groupes, anneaux, corps, notion de quo-
 classes de conjugaison de ��( , ). Schur, théorème de Maschke. tient) et, notamment, d’avoir validé le
 I.3. A lgèbre de convolution. Transfor- cours MAT451 (Algèbre et théorie de
 Dans une troisième et dernière partie, mation de Fourier. Théorème de Galois).
 nous étudions les algèbres semi-simples Peter-Weyl. Formule de Plancherel.
 et leur représentations, puis nous appli- I.4. Fonctions centrales et caractères.
 quons ceci à la théorie des représentations I.5. R
  eprésentations induites.
 linéaires des groupes finis, mais cette fois

22 23
MASTER 1 MASTER 1

 TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
 MAT557
 Visualisation de la topologie d'un jeu de
 donnée grâce à l'algorithme Mapper

 Grégory Ginot
 ginot@math.univ-paris13.fr

 Ce cours est une introduction à la topo- sera également introduit. La fin du cours
 logie algébrique, et est destiné aux élèves sera consacrée à des idées générales d'al-
 du PA de mathématiques, ainsi qu’aux gèbre homologique offrant des applica-
 élèves des PA de MAP et INFO intéres- tions différentes de la partie principale du
 sés par les DataScience, ou l’informatique cours à l'étude d'autres objets mathéma-
 théorique, et qui souhaitent acquérir un tiques. Tout au long du cours, les idées et
 bagage mathématique fort. Ce cours est notions de la théorie des catégories seront
 une bonne préparation (sans être un pré- introduites et utilisées.
 requis) au cours INF556 (Topological
 Data Analysis), les outils introduits ayant
 trouvé des applications récents à l’étude
 des nuages de points. Approfondissements
 Bibliographie
 Le cours se concentrera principalement L'EA de Topologie Algébrique, selon l'in- Glenn Bredon, (1997). Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 139.
 sur l'étude des invariants des espaces térêt des élèves, permettra soit d'étudier Springer-Verlag, New York.
 topologiques en particulier l'homologie. des applications de la topologie algébrique
 en informatique ou sciences de données, Allen Hatcher, (2002). Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge.
 Après quelques rappels de topologie et soit d'étudier des théorèmes et applica-
 Chuck Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in
 l'étude de la notion d'équivalence d'ho- tions importantes des outils du cours en Advanced Mathematics, 38.
 motopie, on introduit l'homologie simpli- topologie ou autre domaine des mathé-
 ciale et singulière ainsi que leurs proprié- matiques ou bien encore des invariants Cambridge University Press, (1994). Cambridge.
 tés principales. Le groupe fondamental différents.

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MASTER 1 MASTER 1

 « Voie octuple » de Gell-Mann : le diagramme
 GROUPE DE SYMÉTRIE EN PHYSIQUE des poids de la représentation adjointe du
 groupe SU(3) permet de classifier des parti-
 SUBATOMIQUE cules subatomiques sensibles à l' interaction
 forte (ici, des particules de la famille des
 MAT575/PHY575 baryons, dont le proton et le neutron).

 Bertrand Rémy Stéphane Munier
 bertrand.remy@polytechnique.edu stephane.munier@polytechnique.edu

 La mécanique quantique a conduit à exemple, la différence entre les groupes nées par des considérations physiques (E. En parallèle à l'enseignement, les élèves
 l’émergence de nouveaux concepts de �(2) et (�) correspond à l’existence Wigner). C’est dans cet esprit que seront préparent un projet bibliographique sur
 divers domaines mathématiques (en ana- de particules de spin demi-entier, objets présentés les rudiments de cette théorie un sujet de leur choix, donnant lieu à la
 lyse : espaces de Hilbert formalisés par qui n'ont pas d'interprétation classique. (diagrammes de poids, caractère de repré- rédaction d'un mémoire et à une soute-
 von Neumann ; en algèbre : théorie des Des extensions de groupes orthogonaux, sentations, tableaux et diagrammes de nance orale en fin de période.
 représentations suivant Cartan et Weyl). les groupes de Lorentz et de Poincaré, Young).
 En retour, ces concepts ont permis de s’interprètent comme groupes de symé-
 meilleures formalisations en physique trie des systèmes physiques relativistes. Il Les séances sont animées alternativement
 fondamentale, ainsi que des découvertes se trouve que les groupes unitaires, �(2) par un enseignant mathématicien et un
 importantes, comme par exemple le ainsi que �(1) et �(�), apparaissent enseignant physicien.
 modèle standard des particules élémen- aussi comme des groupes de symétrie
 taires (Glashow, Weinberg, Salam). Pour « interne » des particules élémentaires :
 cet EA, les mathématiques considérées cette découverte a conduit à la formula-
 relèveront de la théorie des groupes et la tion du modèle standard de la physique
 physique visée sera essentiellement celle des particules mentionné ci-dessus. Cette
 de l'infiniment petit. théorie classifie les briques élémentaires
 de la matière et décrit leurs interactions,
 En physique, que se soit au niveau clas- et ses nombreuses prédictions ont passé
 sique ou quantique, l'analyse des symé- tous les tests expérimentaux jusqu'à ce
 tries d'un système permet de simplifier jour.
 son étude car celles-ci impliquent en
 général l’existence de quantités conser- La notion mathématique de représenta-
 vées, de règles de sélection, etc. tion linéaire d’un groupe est centrale en
 mécanique quantique, et est une belle
 Les groupes de symétrie en jeu font par- illustration de l’interaction entre mathé-
 tie des outils quotidiens de nombreux matique et physique qu’on se propose de
 domaines de la physique fondamentale. présenter : c’est une notion qui pré-existait
 Certaines subtilités mathématiques de à la mécanique quantique, mais les direc-
 théorie abstraite des groupes s’incarnent tions dans lesquelles elle s’est développée
 de façon frappante en physique : par ont parfois été très fortement détermi-

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MASTER 1 MASTER 1

 FONDEMENTS DES PROBABILIÉS
 ET APPLICATIONS
 MAP575
 Igor Kortchemski
 igor.kortchemski@polytechnique.edu

 Une simulation d'un grand arbre aléatoire, approximant l'arbre
 brownien continu, qui est un objet fractale aléatoire codé par le
 mouvement brownien
 Les phénomènes aléatoires sont modé- aléatoires, le mouvement brownien, les
 lisés en utilisant la théorie moderne des fractales aléatoires, les graphes aléatoires,
 probabilités, définie dans les années 1930 etc.).
 par Kolmogorov et dont le socle est la
 théorie de la mesure. La compréhension Cet enseignement est conçu pour un
 théorique de ces fondements est un atout public avec des intérêts variés : il pourra
 pour forger l'intuition, pour comprendre d'une part intéresser les étudiantes et étu-
 les objets manipulés et pour les mobili- diants souhaitant approfondir l'étude des
 ser dans un cadre appliqué ou théorique. probabilités, et d'autre part intéresser les
 Sans prérequis nécessaire, le but de cet EA étudiantes et étudiants se destinant aux
 sera de prendre le temps pour consolider applications en entreprise (une bonne
 quelques fondements des probabilités liés compréhension de la théorie des pro-
 à la théorie de la mesure de manière acces- babilités est essentielle pour bien savoir
 sible et en insistant sur les idées. s'orienter dans le monde des applications
 et y innover).
 Les deux dernières séances sont consa-
 crées à des exposés donnant des applica- L'évaluation se fait par un exposé oral
 tions sur de nombreux modèles impor- présentant un article de recherche ou une
 tants en théorie des probabilités (comme application marquante.
 par exemple la percolation, les marches
 aléatoires en milieu aléatoire, les matrices Le cours peut être donné en anglais.

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MASTER 1 Simulation de la molécule C60 MASTER 1
 dans son état fondamental à
 partir de la

 THÉORIE SPECTRALE ET MÉCANIQUE théorie de la fonctionnelle de
 la densité, une technique qui

 QUANTIQUE
 approche
 l’ équation de Schrödinger

 MAT561
 Mathieu Lewin
 mathieu.lewin@math.cnrs.fr

 La théorie spectrale des opérateurs Contenu du cours Niveau requis
 auto-adjoints en dimension infinie est ❯ Éléments d’analyse de Fourier et de la ❯ Des connaissances préalables en méca-
 étonnamment plus subtile que celle des ❯
 Auto-adjonction, exemples et contre- théorie des distributions. nique quantique pourront aider, mais ne
 matrices hermitiennes en dimension exemples. sont pas nécessaires pour suivre le cours.
 finie. Pourtant, de nombreux problèmes ❯ Spectre.
 physiques ou mécaniques se ramènent à ❯ Théorie de Rellich-Kato et de Weyl.
 la résolution d'un problème aux valeurs ❯ Formes quadratiques, théorèmes de
 propres dont l'inconnue est une fonction, Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs.
 ou à une équation aux dérivées partielles ❯ Théorème spectral et calcul fonctionnel
 linéaire qui peut être étudiée avec des ❯ É quation de Schrödinger.
 méthodes spectrales. ❯ Opérateurs de Schrödinger pour une
 particule, oscillateur harmonique,
 Développée par Hilbert à la fin du 19e atome d'hydrogène.
 siècle, la théorie spectrale a connu une ❯ Propriétés spectrales des opérateurs
 envolée après la construction de la méca- décrivant plusieurs particules, atomes et
 nique quantique et de l'équation de molécules.
 Schrödinger dans les années 1920-30,
 avec en particulier les travaux de Stone et
 de Von Neumann.
 Approfondissements
 Dans ce cours, nous verrons les bases de
 la théorie spectrale des opérateurs auto- En relation avec le cours de MAT561 et
 adjoints en dimension infinie, et nous sous la direction de l’enseignant, l’élève
 donnerons quelques applications choisies effectue un travail personnel donnant lieu
 à la mécanique quantique, avec une atten- à la rédaction d’un mémoire et à une sou- Bibliographie
 tion particulière aux opérateurs décrivant tenance orale.
 Polycopié en français distributé aux élèves
 les atomes et les molécules.
 B. Davies, (1995). Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press.

 M. Reed, B. Simon, (1978). Methods of Modern Mathematical Physics. IV. Analysis of
 operators, Academic Press.

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MASTER 1 MASTER 1

 INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE
 ALGÉBRIQUE ET COURBES ELLIPTIQUES
 MAT562 Courbe elliptique

 Benjamin Schraen
 benjamin.schraen@polytechnique.edu

 Ce cours est une introduction à la géomé- nombre de points de ces courbes ellip-
 trie algébrique et à la géométrie arithmé- tiques, et sur le corps des nombres ration-
 tique à travers l'exemple des courbes ellip- nels, avec le célèbre théorème de Mor-
 tiques, c'est-à-dire des courbes projectives dell. L'étude des courbes elliptiques sur
 planes non singulières définies par une les corps finis sera illustrée de quelques
 équation de degré 3. Une propriété remar- applications, à la cryptographie et aux
 quable de ces courbes elliptiques est que algorithmes de factorisation. Dans le cas
 leurs ensembles de points peuvent être du corps des nombres rationnels, quelques
 munis d'une loi de groupe. exemples concrets où le groupe des points
 rationnels est déterminable seront étudiés.
 La première partie du cours sera consa-
 crée à la présentation du language des Le cas des courbes elliptiques sur les
 variétés algébriques, plus précisément au nombres complexes sera mentionné mais
 théorème des zéros de Hilbert et à la géo- ne donnera pas lieu à une étude appro-
 métrie projective. Quelques exemples du fondie. Bibliographie
 théorème d'intersection de Bezout seront
 étudiés. J. H. Silverman, (1986). Arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics,
 106. Springer-Verlag, New York.
 Niveau requis
 La seconde partie sera consacrée aux pro- Il est fortement conseillé d'avoir mani- L. C. Washington, (2008). Elliptic curves, Number theory and cryptography. Second
 priétés des courbes algébriques planes pulé les objets algébriques de base (algèbre edition. Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca
 et plus particulièrement des courbes linéaire, groupes, anneaux, corps, notion Raton, FL.
 elliptiques. Les propriétés des courbes de quotient) et, notamment, d’avoir validé
 M. Hindry, (2008). Arithmétique, Calvage & Mounet, Cambridge University Press.
 elliptiques seront étudiées sur différents le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de
 corps : sur les corps finis, avec le théorème Galois). J. H. Silverman, J. Tate, (1992). Rational points on elliptic curves, Springer-Verlag, New
 de Hasse qui donne une estimation du York.

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MASTER 1 MASTER 1

 GROUPES COMPACTS
 ET GROUPES DE LIE
 MAT563
 Javier Fresán
 javier.fresan@polytechnique.edu Systèmes de Racines

 Ce cours constitue la suite du cours Toutefois, on peut dans certains cas Nous définirons enfin les groupes de Lie et SUn (ℂ), et classifierons complètement
 de David Renard « Groupes, anneaux, aller beaucoup plus loin et obtenir une compacts, comme par exemple SOn (ℝ) leurs représentations irréductibles.
 modules et représentations » MAT556, classification précise des représentations
 mais en se plaçant dans une optique plus irréductibles. Nous donnerons l’exemple
 géométrique et analytique qu’algébrique. des deux groupes compacts non abéliens
 La connaissance du cours MAT556 paraît les plus simples, à savoir le groupe spé-
 indispensable, et celle de « Variétés dif- cial unitaire SU2(ℂ) et le groupe spécial
 férentielles, fibrés et formes » (MAT553) orthogonal SO3(ℝ), qui sont presque les
 pourra être utile. mêmes. Nous présenterons des applica-
 tions à la théorie des représentations des
 L’étude des groupes de matrices compacts groupes non compacts SL2(ℝ) et SL2(ℂ).
 permet à la fois d’illustrer la théorie géné-
 rale des représentations mais également Nous aborderons ensuite la théorie des
 de la raffiner en obtenant une classifica- groupes et des algèbres de Lie comme
 tion complète des représentations irréduc- outil pour la théorie des représentations. Bibliographie
 tibles. Cette théorie est centrale aussi bien Un groupe de Lie n’est autre qu’un groupe
 T. Bröcker, T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in
 en arithmétique qu’en physique. de matrices, et son algèbre de Lie est son Mathematics 98, Springer.
 plan tangent en l’origine. Les algèbres de
 Nous commencerons par étudier la théorie Lie capturent donc des phénomènes au J. F. Dat, (2012). Cours introductif de M2 « Groupes et Algèbres de Lie », note de cours.
 générale des représentations des groupes premier ordre. Permettant de linéariser la sur https://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GAL/GALM2.pdf.
 compacts. Une fois acquise l’existence théorie des groupes, elles sont omnipré-
 A. Kirillov, An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge Studies in
 de la mesure de Haar, cette théorie est sentes en mathématiques et en physique. Advanced Mathematics 113.
 complètement parallèle à celle des repré-
 sentations des groupes finis telle qu’elle Nous introduirons surtout du vocabulaire E. Kowalski, An introduction to representation theory, Graduate Studies in Mathema-
 a été abordée dans le cours MAT556. nécessaire pour la suite : caractères et sys- tics 155, American Mathematical Society.
 En effet, la mesure permet de moyenner tèmes de racine.
 F. Murnaghan, Representations of locally compact group, Fall 2013, notes de cours sur
 des fonctions sur le groupe, phénomène à http://www.math.toronto.edu/murnaghan/courses/mat1196/rnotes.pdf.
 l’origine de toutes les propriétés agréables
 des représentations des groupes compacts. M. Sepanski, Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 235, Springer.