CIEAEM 66 Actes / Proceedings
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Actes / Proceedings
CIEAEM 66
Lyon
21-25 juillet / July 2014
Dessin de Victor Bousquet
Editor : Gilles Aldon
Editor of the Journal : Benedetto Di Paola and Claudio Fazio
International program committee : Gilles Aldon (F), Peter Appelbaum (USA), Françoise Cerquetti-Aberkane
(F), Javier Diez-Palomar (ES), Gail Fitzsimmons (AU), Uwe Gellert (D), Fernando Hitt (Ca), Corinne Hahn (F),
François Kalavasis (Gr), Michaela Kaslova (CZ), Corneille Kazadi (Ca), Réjane Monod-Ansaldi (F), Michèle Prieur
(F), Cristina Sabena (I), Sophie Soury-Lavergne (F).
Quaderni di Ricerca in Didattica (Mathematics) n. 24, Supplemento n.1, 2014
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Mathematics and realities
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Chapitre 6
Multiculturalism and reality /
Multiculturalisme et réalité
6.1 Stage Hippocampe-Math et jeunes décrocheurs
Jeannette Tambone, Teresa Assude
Université d'Aix-Marseille & IFE-ENSL
Résumé : La recherche que nous présentons ici s'intéresse dans le processus de décrochage-raccrochage scolaire, au moment où des
jeunes stagiaires inscrits à l'Ecole de la Deuxième Chance raccrochent. Comment ces jeunes reprennent-ils le cours de leurs apprentissages ?
A partir de l'observation du fonctionnement et des eets d'un dispositif innovant, intitulé stage Hippocampe-Math , nous analysons
l'évolution du rapport au savoir mathématique de ces jeunes raccrocheurs.
Abstract : The research presented here is interested in the process of school dropout and return to school (décrochage-raccrochage)
for young trainees registered on the second chance foundation (Ecole de la deuxième chance). How do these young people to re-engage
their learning ? We analyze the evolution of the relationship of these young people to mathematical knowledge based on observation of the
functioning and the eects of an innovating device, entitled Stage Hippocampe.
Contexte
La lutte contre le décrochage scolaire est devenue une priorité nationale, la loi du 8 juillet 2013 pour la refondation
de l'École de la République précise que Tout jeune sortant du système éducatif sans diplôme béné cie d'une durée
complémentaire de formation quali ante qu'il peut utiliser dans des conditions xées par décret . Le ministère de
l'éducation nationale s'est xé pour objectif d'une part de prévenir le décrochage et d'autre part de faciliter le retour
à la formation pour les jeunes qui ont déjà quitté l'école sans diplôme et sans niveau de quali cation su sant d'ici
2017. La France s'inscrit dans la stratégie européenne de lutte contre le décrochage avec un objectif n'excédant pas
9,5 % de décrocheurs de 18-24 ans en 2020. .
Berthet (2014) distingue trois phases dans le processus de décrochage - raccrochage : le parcours qui conduit au
décrochage, le décrochage à proprement parler et le processus de raccrochage. Si les travaux concernant la première
phase sont les plus nombreux avec des indicateurs sociaux et familiaux, (Berthet & Zaran 2014, Bernard 2011,
Blaya 2010, Bonnery 2007, Bautier et all 2002). Les travaux concernant les deux autres catégories sont plus rares. La
constitution d'un savoir scienti que sur le décrochage scolaire est assez récent et on dispose encore de peu d'éléments
de recherche sur ce moment qui débute quand le décrocheur commence à chercher une solution à sa situation et
s'achève avec l'installation d'une solution durable (Berthet 2014). Notre recherche qui s'intéresse au rapport au savoir
mathématique dans un dispositif visant le raccrochage scolaire, se situe dans cet angle mort de la connaissance des
parcours .
Nous présentons dans le cadre de ce colloque, une recherche que nous avons menée auprès de stagiaires de l'Ecole de
la Deuxième Chance (E2C) de Marseille. L'E2C fait partie des dispositifs innovants mis en place pour lutter contre le
décrochage scolaire. Ce dispositif appartient au monde l'entreprise et s'adresse à des jeunes adultes de 18 à 25 ans qui
sont sortis du système scolaire depuis plus d'un an sans diplôme, sans quali cation et sans expérience professionnelle.
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Il a pour but d'assurer l'insertion professionnelle et sociale de ces jeunes raccrocheurs . La formation se fait en
alternance entre E2C et l'entreprise.
Dans le cadre de sa formation, l'E2C de Marseille propose notamment des stages Hippocampe-math qui ont
lieu à l'IREM de Luminy à l'Université d'Aix-Marseille. Le public visé par ce type de stage est à l'origine un public
de classes de première et de terminale, leur projet étant de renouveler l'attractivité des lières scienti ques et des
métiers de la recherche auprès des jeunes des lières S. Depuis 2011, ce stage est aussi proposé aux jeunes adultes
fréquentant l'E2C. Les stagiaires sont placés en situation de chercheur dans un laboratoire universitaire. Un problème
mathématique leur est soumis. Ils doivent le résoudre en petit groupe avec l'accompagnement de vrais chercheurs .
Au terme du stage, ils présentent leur travail sous la forme d'un poster aux chercheurs et aux doctorants du laboratoire.
Ce stage vise à la fois, la capacité à résoudre des problèmes et la valorisation de la ré exion et du travail.
Caractéristiques de la recherche
Dans le cadre de cette étude nous nous intéressons à l'évolution du rapport au savoir et aux mathématiques de
jeunes adultes décrocheurs qui fréquentent l'E2C. Nous avons plus particulièrement observés 24 stagiaires qui se
sont inscrits au stage Hippocampe-math dans le cadre de leur formation. Ce stage se déroule sur trois jours, il propose
un large choix de problèmes mathématiques qui s'appuient sur des questions concrètes issues du quotidien ou sur des
situations de jeu, ce sont des problèmes qu'on peut toucher avec les mains . Parmi les treize problèmes proposés
six ont été choisis par les stagiaires qui se sont répartis en six groupes de travail. En accord avec l'équipe qui encadre
ce stage, nous avons choisi d'observer plus particulièrement un groupe de quatre stagiaires qui a travaillé à partir du
jeu intitulé Tout couleurs (Figure 6.1).
Figure 6.1 Enoncé du problème Tout couleurs
Méthodologie
Le dispositif de recherche mis en place nous a permis d'observer la phase de présentation du stage et les trois
journées de travail à l'IREM de Luminy. Des entretiens ont été réalisés avant et après le stage auprès des stagiaires.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Présentation Entretiens Présentation Travail Travail Exposés Travail en Présentation Entretiens
du stage ante du stage en petit en petits devant groupe J3 des posters post
à l'ensem- aux sta- groupe J1 groupes J2 le grand aux
ble des giaires groupe chercheurs
stagiaires participant
E2C au stage
E2C Jour 1 à l'IREM Jour 2 à l'IREM Jour 3 à l'IREM E2C
Table 6.1 Dispositif de recherche
Chaque phase a fait l'objet soit d'un enregistrement audio pour les phases 1-2-3-9, soit d'un enregistrement audio-
visuel pour les phases 4-5-6-7-8. Nous avons aussi recueilli un ensemble de traces : les brouillons ou les photographies
de documents utilisés ou réalisés par les stagiaires. Nous avons choisi d'observer le dispositif Hippocampe E2C en
centrant nos analyses sur : les phases de présentation du stage (phases 1&3) auprès de tous les stagiaires car ces
phases peuvent nous donner accès aux attentes institutionnelles concernant ce stage ; la manière dont les stagiaires se
saisissent du problème dans le travail qu'ils mènent en petit groupe le premier jour (phase 4) ; le discours tenu par les
stagiaires sur leur rapport au contenu du stage, à son déroulement, à leur place de stagiaires E2C (phases 2 & 9)
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Nous ne livrons ici qu'une partie de nos analyses et de nos résultats, cette partie concerne la manière dont les
stagiaires se saisissent du problème mathématique donné au cours de la première journée de stage (Phase 4 de notre
dispositif ).
Méthodes d'analyse (phase 4 du dispositif)
Nous avons réalisé un synopsis à partir de la transcription des séquences lmées de la première journée de stage. Le
synopsis (Schnewly, Dolz, Ronveaux 2006) nous permet de faire une analyse séquentielle et hiérarchique de la séquence
observée, de faire un recentrage sur ce qui est transmis et appris en suivant les objets de savoir liés à la situation
mathématique et sur les relations que les acteurs entretiennent avec ces objets en tenant compte des dimensions
chronogenétique, topogenétique et mésogenétique, permettant de décrire la progression du savoir, la place et le milieu
d'apprentissage des acteurs (Chevallard, 1992 ; Sensevy & Mercier, 2007). Nous avons eu recours à l'analyse a priori
en tant qu'outil permettant de dé nir un univers des possibles (Sensevy, Mercier 2007) du problème soumis aux
stagiaires.
Des résultats
Nous avons pu décrire l'activité menées par les stagiaires en suivant la progression de leur questionnement math-
ématique. Nous avons pu établir une temporalité liée à la progression du savoir (Chevallard & Mercier 1987) en
déterminant cinq étapes.
T1 : Le temps pour comprendre :Ce premier temps de l'activité est une phase exploratoire durant laquelle les
stagiaires vont devoir décrire les cubes qui composent le jeu Tout couleurs , plusieurs formes de codages vont être
envisagées, ils repèreront le cube qui n'est pas comme les autres (cube avec 3 faces jaunes), ils vont manipuler le jeu
avec une première règle (avoir une même couleur sur les trois côtés visibles de la boite) et feront un premier constat :
avec cette règle le jeu ne fonctionne pas.
T2. Un nouveau problème et une première solution : un nouveau problème (problème 2) est posé par Lau, membre
de l'équipe des chercheurs : disposer les cubes dans la boite avec les quatre couleurs présentes sur chacun des trois
côtés. Il apporte aussi une nouvelle manière de faire qui se révèle e cace : en respectant la règle, il s'agit de placer
les trois premiers cubes, pour le quatrième on régule en revenant sur le troisième, puis sur le deuxième et en n sur le
premier.
T3. S'approprier une technique : chaque stagiaire va tenter en prenant le jeu en main de retrouver la stratégie
gagnante donnée par Lau, sans y parvenir
T4. Une deuxième manière pour résoudre le problème posé : Jul, un autre chercheur, ouvre sur un nouveau
questionnement et une autre manière de faire e cace pour résoudre le problème posé : on s'intéresse aux deux côtés
opposés de la boite, et on aligne les cubes toujours avec la même règle (quatre faces de couleurs diérentes), puis on
régule avec les faces des cubes, situées sur le dessus de la boite. Le groupe s'approprie cette technique et trouve alors
deux solutions au problème.
Temps 5. : Trois puis quatre solutions vont être trouvées, ce qui va à nouveau faire évoluer le questionnement sur
le nombre de solutions que l'on peut trouver avec cette technique.
Eléments de conclusion
L'analyse montre comment les chercheurs ont guidé au plus près la ré exion des stagiaires à partir de l'identi cation
des cubes puis par leur codage. Ce passage par la représentation permet ainsi de s'émanciper de l'enfermement de la
manipulation. Plusieurs représentations ont été ainsi élaborées. Les chercheurs ont montré au moins deux manières de
faire, dont une plus accessible pour les stagiaires, des manières de faire qu'il s'agissait de rendre compréhensibles et
transmissibles d'abord par la manipulation (faire la même chose) puis par la représentation et l'écriture.
Cependant les stagiaires restent dans l'attente de solutions apportées par les chercheurs. Ce phénomène d'attente
relève du contrat didactique (Brousseau 1998). Les stagiaires se placent ici dans le topos de l'élève et les chercheurs
dans celui du professeur, ce qui correspond à un système d'enseignement plus traditionnel que celui annoncé dans les
objectifs d'Hippocampe-Math (mettre les stagiaires en position de chercheur). Dans une précédente enquête (Assude,
Feuilladieu, Dunand, Mercier 2012), où nous observions des jeunes décrocheurs toujours dans le cadre d'un stage
hippocampe, nous avions fait le même constat :
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Ces postures s'éloignent des topos prévus au départ, mais permettent néanmoins de faire émerger des éléments
importants du rapport institutionnel au savoir des mathématiciens chez ces jeunes. L'objectif est donc atteint, même
si c'est par une voie diérente.
Concernant le rapport au savoir mathématique, nos observations dièrent de cette première enquête. Notre analyse
montre que les stagiaires retiennent peu ou pas d'éléments mathématiques liés à la situation proposée. La dimension
ludique de la situation reste prégnante pour les stagiaires qui considèrent le jeu tout couleurs comme un casse-tête à
résoudre par la manipulation. Le problème lié aux combinaisons n'est pas su samment visible, le savoir mathématique
parait ici trop embusqué pour que les stagiaires puissent le saisir. Ils ne peuvent pas mobiliser des savoirs anciens
pour aller vers des savoirs nouveaux. Ils ne disposent pas des outils mathématiques qui pourraient leur permettre
d'accéder au niveau didactique de la situation, soit parce qu'ils ne les ont jamais rencontrés au cours de leur scolarité,
soit parce qu'ils les ont oubliés.
REFERENCES
Assude, T.,Feuilladieu, S., Dunand, C., Mercier, A. (2012) Un dispositif pédagogique et didactique pour les jeunes
décrocheurs :quel fonctionnement, quels eets, Communication au colloque Sociologie et didactique, Lausanne :
HEP Vaud
Berthet, T. (2014). Conclusion in Berthet, T. & Zaran, J. (2014). Le décrochage scolaire. Enjeux, acteurs et
politiques de lutte contre la déscolarisation. Rennes : PUR, p175-182
Berthet, T. & Zaran, J. (2014). Le décrochage scolaire. Enjeux, acteurs et politiques de lutte contre la déscolari-
sation. Rennes : PUR
Blaya, C. (2010). Décrochages scolaires. Bruxelles : De Boeck.
Bautier E., Bonnéry S., Terrail J-P., Bebi, A., Branca-Roso, S, Lesort, B. (2002). Décrochage scolaire : Genèse et
logique des parcours. Paris : DPD/MEN.
Bernard, J-P. (2011). Le décrochage scolaire, Paris : PUF
Bonnéry, S. (2007). Comprendre l'échec scolaire : élèves en di cultés et dispositifs pédagogiques. Paris : La Dispute.
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques, Grenoble : La Pensée Sauvage
Chevallard, Y (1992) Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthro-
pologique, Recherche en didactiques des mathématiques, 12, 1, pp73-112
Chevallard, Y & Mercier, A. (1987). Sur la formation historique du temps didactique, Marseille : IREM d'Aix-
Marseille
Schneuwly, B., Dolz, J., Ronveaux, C. (2006). Le synopsis : un outil pour analyser les objets enseignés, Perrin-
Glorian, M-J. & Reuter, Y. (Eds) Les méthodes de recherche en didactique, Villeneuve d'Asq : Les Presses Universitaires
du Septentrion, pp 175-189
Sensevy & Mercier, (2007) Agir ensemble. L'action conjointe du professeur et des élèves, Rennes : PUR, p13-49
Annexe
Tous les stagiaires E2C sont inscrits dans un projet qui est soit dans une continuité et une évolution soit dans une
réorientation et une rupture par rapport à la formation suivie initialement.
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Stagiaire Niveau scolaire & Projet E2C
Saï 5ième CAP Carrossier
Ami 3ième Métier ASH (Niveau d'accès : CAP ou équiv-
alent source ONISEP)
Man 3ième Préparation d'un diplôme d'état d'aide
médico- psychologique auprès des personnes
handicapées
Ana 3ième Métier de réceptionniste (niveau de base exigé
Bac ou équivalent - source ONISEP)
Edd 3ième Formation de magasinier ELS (grandes sur-
faces)
Dja CAP Cuisine CAP Assistante Maternelle
Char CAP Restauration Préparation au concours d'auxiliaire- ambu-
lancière
You CAP Tapissier CAP Plomberie
Zgy CAP EAT (Pressing) Remise à niveau pour s'inscrire dans un lycée
pour préparer un bac pro vente
Sou BEP carrière Sanitaire et Sociale Métier Aide-soignante
Faï 1ière Engagement dans Armée de Terre
Had Bac pro vente CAP Petite Enfance
Table 6.2 Les parcours scolaires et les projets E2C des stagiaires observés
6.2 Odysseus' proving journeys to proof : an investigation on cognitive
and aective realities
Andreas Moutsios-Rentzos* & Faidra Kalozoumi-Paizi**
* Department of Mathematics, University of Athens,
** Department of Trauma Surgery, Johann Wolfgang Goethe-University, Frankfurt, Germany,
Résumé : Dans cette étude de cas, nous étudions les voyages cognitifs et aectifs d'un étudiant en mathématiques de la 2
e année,
Ulysse, comme il tente de répondre aux questions de prouver, au type d'examen. L'analyse préliminaire a révélé que les voyages à la fois
aectifs et cognitifs d'Ulysse se passent à deux réalités distinctes : sa réalité interne sur ce qui constitue une réponse à la question donnée
et la réalité sociale des examens.
Abstract : In this case study, we investigate the cognitive and aective journeys of a 2
nd year mathematics student, Odysseus, as he at-
tempts to answer exam-type proving questions. The preliminary analysis revealed that both Odysseus' aective and cognitive journeys occur
at two potentially separate realities : his inner reality about what constitutes an answer to the given question and the social reality of exams.
Thinking about exam-type proving questions
The notion of proof is at the crux of modern mathematics and, as such, mathematics educators have investigated
the students', teachers' and mathematicians' understandings of proof, their identi cation of the functions of proof, their
proving process and the links between cognitive and aective factors in proving (Boero, 2007 ; Furinghetti & Morselli,
2009 ; Hanna & De Villiers, 2012 ; Moutsios-Rentzos, 2003 ; Reid & Knipping, 2010). In this study, we identify the
students' emotions (Ekman & Friesen, 1978) when they deal with exam-type proving questions, considering at the
same time both their proving strategies (Moutsios-Rentzos, 2009) and their thinking styles (Sternberg, 1999). Through
a case study of an undergraduate mathematics student (named Odysseus), we map aspects of the multiplicity and the
complexity of the cognitive and aective realities that co-exist during the Odysseus' proving process.
Moutsios-Rentzos (2009) contrasted : a) task-speci c (actual) thinking, b) domain-speci c thinking preferences
(e.g. a mathematical thinking style ; Borromeo-Ferri & Kaiser, 2003), and c) general thinking preferences (that appear
to transcend a variety of contexts and situations).
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In this study, within the context of exam-type proving questions, we focus on the links between general think-
ing preferences - viewed through Sternberg's (1999) thinking styles - and task-speci c thinking strategies (identi ed
through the A−B −∆ proving strategy classi cation scheme ;) Moutsios-Rentzos, 2009 ; Moutsios-Rentzos & Simpson,
2011).
Thinking styles refer to the preferred way[s] of using the ability one has, Sternberg, 1999, p. 8). Thirteen thinking
styles are identi ed, organised in ve dimensions (which parallel the ways society is governed).
The A − B − ∆ proving strategy classi cation scheme was introduced to map the students' qualitatively dierent
proving strategies when they deal with exam-type given that . . .prove that . . .questions. At the crux of the scheme
lies the potential tension between proving to oneself and proving to others (respectively, ascertaining and persuading ;
Harel & Sowder, 1998), emphasising the individual's view of the proof, rather than the proof itself. Three strategy
types are identi ed, comprising ve strategies :
The a-type strategies. The students demonstrate a need to rst investigate the 'truth' of the given statement
(whether it makes sense or not). They nd an ascertaining argument and, subsequently, a potentially dierent
persuading argument, thus separating proving to oneself and proving to others. Two strategies are identi ed α
-type :
the A (alpha) strategy (the ascertaining argument is appropriately mathematised to serve as a persuading argu-
ment), and
the ∆α (delta-alpha) strategy (persuading appears to be a new process, completely distinct from ascertaining).
The β -type strategies. The students do not appear to have any truth reservations about the given statement
and they immediately start the persuading process (not explicitly dierentiated from the ascertaining process).
Two strategies are identi ed as β -type :
the β (beta) strategy (the students rely on their memory to recall either the proof of the statement or a proof
that may serve as a template for proving the given statement), and
the ∆β (delta-beta) strategy (the students focus on producing memory-based mathematical expressions that
are utilised in constructing a proof ).
The δ -type strategies. The students focus on meeting the requirements of the given task (namely to produce a
proof that would get the maximum grade in exams) employing a variety of tools (including, amongst others,
theorems, proofs, images and examples). Truth investigations may appear in this strategy, but only as means
to producing an exam-appropriate proof. One strategy is included in this type :
the ∆∆ (delta-delta) strategy (multiple representations and registries are employed in producing mathematical
expressions that are utilised to construct a proof ).
Exam-type questions are a goal-directed activity, characterised by the fact that the students are expected to provide
answers that meet externally-set requirements. Skemp (1979) theorised that the learners' goal-directed thinking occurs
perceptual reality (actuality ) and inner reality. Thus, the learners' survival is dierentiated amongst biological survival,
social survival (realised in co-existing and collaborating with others) and inner survival (linked with the notion of
internal consistency).
Moutsios-Rentzos (2009) dierentiated the students' initial attack of the question (initial strategy ) from their
subsequent, qualitatively dierent attacks (back-up strategies ). By utilising the aforementioned A-B-D classi cation,
he linked the students' initial strategies (task-speci c thinking) with their thinking styles (general thinking prefer-
ences) : the students with ground breaking thinking styles (preference for originality, creativity and non-hierarchy)
appeared to prefer α-type initial strategies, whereas the students with ground building thinking styles (preference
for conformity, implementation and hierarchy) seemed to favour β -type initial strategies.
Drawing upon Skemp's theory, Moutsios-Rentzos (2009) posited that the students' general thinking preferences
reveal aspects of their inner realities, which aect their initial strategy choices. In contrast, their back-up strategy
choices indicate a qualitative shift on their experiencing the given question : the ineectiveness of the initial attack
leads them to re-evaluate the situation, thus choosing a strategy that more appropriately ts with this new perspective.
Emotions, proofs and facial expressions
Mathematics educators have investigated the links between proof and the aective domain, including beliefs (Fur-
inghetti & Morselli, 2009 ; Moutsios-Rentzos, 2003) and emotions (Rodd, 2002). Skemp (1979) stresses the importance
of emotions in our successfully surviving a situation, since they give information about progress, or ability to progress,
relative to goal states and anti-goal states (p. 18). Russell mentioned a conversation with Hardy (cited in Homan,
1998, p. 85) : if he could nd a proof that I [Russell] was going to die in ve minutes he would of course be sorry to lose
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me, but this sorrow would be quite outweighed by pleasure in the proof. I entirely sympathised with him and was not
at all oended. Tutte (cited in Hirschfeld, 2001, p. 3) in an attempt to describe what is mathematics stressed amongst
other that mathematics is the Humanity that hymns eternal logic [. . .] the Science that studies the phenomenon
called logic [. . .] the Art that fashions structures of ethereal beauty out of the raw material called logic [. . .] Much
more [. . .] Mathematics is Fun. Nevertheless, the everyday classroom reality appears to be in stark contrast with these
aective descriptions of professional mathematicians. Strong but hardly positive emotions are evident when high
school students encounter mathematics (Brown, Brown & Bibby, 2008) or even mathematics undergraduates (Rodd,
2002). For example, 16 year old students note that I enjoy it when I get it right, but I didn't choose it because I hate
it when I get it wrong and get frustrated or stress that I hate mathematics and I would rather die (Brown, Brown
& Bibby, 2008, p. 10).
Considering the human quality of arguments and judgement with respect to their emotional state, Oatley and
Jenkins (1996) summarised research ndings revealing that the positive aective state is linked with more super cial
judgements, while positive emotions seems to make humans more amenable to authority gures. Importantly, the
higher quality of an argument does not appear to signi cantly aect the judgements. In contrast, a negative/neutral
aective state appears to be linked with more thorough judgements, to reduce the eect of authority, while the quality
of the argument is strongly linked with the human's judgement of the professed statement.
In this study, we adopt Ekman's (Ekman & Friesen, 1978) dierentiation of emotions between basic and compos-
ite. In speci c, our interest is in the seven basic emotions that Ekman considers to be universally manifested in the
humans' facial expressions, namely : sadness, anger, contempt, fear, happiness, disgust, surprise. Certain combinations
of micro-movements of the facial muscles are linked with speci c basic emotions, forming two coding systems : the
'Facial Action Coding System' (Ekman & Friesen, 1978) and the 'Emotional Facial Action Coding System' (EMFACS ;
Ekman, Irwin & Rosenberg, 1994).
Method
Odysseus was in the 2
nd year of a 4-year BSc-equivalent degree in Mathematics in a large Greek University. His
grades were above average.
Odysseus' thinking styles pro le was identi ed through a translated to Greek version of Sternberg's (1999) Thinking
Styles Inventory (see Moutsios-Rentzos & Simpson, 2010).
In this paper, we report Odysseus' proving process when he dealt with three exam-type proving questions (drawing
upon the tasks utilised in Moutsios-Rentzos, 2009) :
a a
1. Let a, b, c ∈ Z and (a, b) = 1 and
bc . Prove that c (a divides c)
2. Let a sequence (an ) ∈ R, n ∈ N. Prove that if (an is convergent, then (an ) is bounded (convergent-bounded )
3. Let A, B non-empty subsets of R and A, B are bounded. Does the sup(A ∪ B) exist ? If yes, nd it. Justify in
full your answer (supremum of union ).
1
The clinical interview (Ginsburg, 1981) was conducted by the rst author and it was video-recorded. Odysseus
was asked to produce an exam-appropriate proof and to think aloud during that process. In our eort to elucidate his
strategies rather than his mathematical knowledge, he was directed to ask for any mathematical information he would
need in order to prove the questions (de nitions, examples, gures etc).
The video-recording was independently analysed : the rst author identi ed Odysseus proving strategies according
to the -B-∆ scheme, while the second author utilised EMFACS to identify his emotions. Subsequently, the two authors
discussed their ndings in order to map the cognitive and aective realities that Odysseus experienced during the
proving process.
Odysseus' proving journeys to proof : an outline of the results
Odysseus' thinking styles pro le was identi ed as ground breaking, which has been linked with a higher preference
for α-type initial strategies (Moutsios-Rentzos, 2009). This link is evident in Odysseus' strategy choices that were
identi ed as being mostly of α-type (see Table 1).
1. The authors would like to thank Anastasios Tsigkros for his valuable help in the initial stages of the study.
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Figure 6.2 Odysseus' parallel aective and cognitive proving journeys to proof.
In Table 1, we outline Odysseus' cognitive and aective journeys across the three questions. Notice that Odysseus
produced both draft answers and exam answers for each question, in order to produce an exam-appropriate answer.
Regarding Odysseus' emotions, in the same column of Table 1 two emotions may be identi ed indicating an
emotional blend. Following Ekman's guidelines, both these blends and all the identi ed emotions were interpreted
within the context they occurred.
The analysis of Odysseus' emotions revealed that they were either internally referenced or externally referenced.
An internally referenced emotion appears to be linked with Odysseus' inner reality (in the sense of Skemp, 1979),
not necessarily linked with the task requirements. In this study, a means for characterising aspects of Odysseus' inner
reality was his thinking styles, his preferred ways of thinking. An externally referenced emotion is related to the
perceived social reality (in the sense of Skemp, 1979), the externally set requirements of the given task. In the case
investigated in this study, such requirements include the exam-status of the given questions, the grades and about
performing.
For example, in the 'convergent-bounded' question Odysseus employed an A strategy. In his draft answer, in
17' he manifested an internally referenced happiness emotion when he is convinced of the truth of the statement
(ascertaining) : It makes sense to me that it is bounded and so I'll try [to prove] it. In contrast, in the end of his
draft answer, when he completed the persuading process, he expressed a sadness-anger blend (21'). This emotional
blend was externally referenced, because although he realised that more or less I am done, he almost immediately
wondered How much time do I have left ?.
Odysseus knew that he hadn't met the externally set requirements of exams and experienced negative emotions
of having to accomplish this new aspect of the situation within certain time limits. That is, he realised that he
hadn't met the externally set requirements of the social reality he had to survive and experienced a clash with his
internal consistency that was nevertheless satis ed in the ascertaining stage of the strategy. The emotional clash of
having to prove what you know it makes sense and that mathematically is correct, when you also know that more
(mathematically questionably relevant) has to be done to successfully survive exams. In the case of Odysseus this
clash is hypothesised to be manifested as an externally referenced sadness-anger blend.
Concluding remarks
Exam-type proving is emotionally demanding and both the students' emotional and pragmatic stakes are extremely
high. In this study, we introduced a novel approach to investigating the students' proving processes. In the proposed
approach, we synthesised dierent theoretical frameworks and methodologies with the purpose to obtain a more
comprehensive mapping of both the cognitive and the aective proving processes.
Odysseus' journeys to proof proved to be complex, co-occurring in multiple dimensions. The proposed multi-faceted,
cognitive and aective, approach helped in gaining deeper understanding about his proving process by enabling our
posing and addressing questions that treat the phenomenon as a complex whole, rather than a sum of isolated parts.
Hence, the proposed approach allows for our subsequent designing more appropriate pedagogies in order to facilitate
the students' proving process.
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Drawing upon the fact that emotions are fast, evolutionary developed, in-built aective reactions upon which
more stable aective constructs are based (such as attitudes and beliefs ; see Oatley & Jenkins, 1996), the pedagogical
implication of our approach concern both everyday pedagogies and the assessment processes. On the one hand, everyday
pedagogy should attempt to emotional reinforce doing mathematics in the sense of performing in a mathematical
way (including what if analyses, problem posing etc). On the other hand, emotional rewarding assessment linked
with deeply mathematical processes (mathematical discovery, what if , multiple approaches/ solutions) and not only
performance-measuring assessment is crucial in highlighting the importance of the aforementioned aspects of everyday
pedagogy, since the assessment process is strongly linked with the learning outcome of any educational system (Boud
& Falchikov, 2007).
Bearing in mind that Odysseus was an over-average attaining, ground breaking student, current research inves-
tigates below average attaining, ground building students, while future research will expand in non-explicitly linked
with exams contexts.
REFERENCES
Boero, P. (Ed.). (2007). Theorems in school : from history, epistemology and cognition to classroom practice.
Rotterdam : Sense Publishers.
Brown, M., Brown, P., & Bibby, T. (2008). I would rather die : reasons given by 16-year-olds for not continuing
their study of mathematics. Research in mathematics education, 10 (1), 3-18.
Borromeo Ferri, R., & Kaiser, G. (2003). First results of a study of dierent mathematical thinking styles of
schoolchildren. In L. Burton (Ed.), Which way in social justice in mathematics education ?. (pp. 209-239). London :
Greenwood.
Boud, D., & Falchikov, N. (2007). Rethinking assessment in higher education learning for the longer term. London :
Routledge.
Ekman, P., & Friesen, W. V. (1978). Facial action coding system : a technique for the measurement of facial
movement. Palo Alto, Calif. : Consulting Psychologists Press.
Ekman, P., Irwin, W., & Rosenberg, E. L. (1994). The emotional facial action system coding (EMFACS). London,
UK.
Ekman, P., Irwin, W., & Rosenberg, E. L. (1994). The emotional facial action system coding (EMFACS). London,
UK.
Furinghetti, F., & Morselli, F. (2009). Every unsuccessful problem solver is unsuccessful in his or her own way :
aective and cognitive factors in proving. Educational studies in mathematics, 70 (1), 71-90.
Ginsburg, H. (1981). The clinical interview in psychological research on mathematical thinking : aims, rationales,
techniques. For the learning of mathematics, 1(3), 57-64.
Hanna, G., & De Villiers, M. D. (Eds.). (2012). Proof and proving in mathematics education. Dordrecht : Springer.
Hannula, M. S. (2012). Exploring new dimensions of mathematics-related aect : embodied and social theories.
Research in mathematics education, 14 (2), 137-161.
Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students' proof schemes : results from exploratory studies. In A. H. Schoenfeld, J.
Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in collegiate mathematics education III (pp. 234-283). Providence, RI : AMS.
Surveys in Combinatorics, 2001. Cambridge, UK : Cambridge University Press.
Hirschfeld, J. W. P. (2001).
Homan, P. (1998). The man who loved only numbers. New York : Hyperion.
Moutsios-Rentzos, A. (2009). University mathematics students : thinking styles and strategies (unpublished PhD
thesis). University of Warwick, UK.
Moutsios-Rentzos, A. (2003). Proofs, beliefs and maths students (unpublished MSc dissertation). University of
Warwick, UK.
Moutsios-Rentzos, A., & Simpson, A. (2010). The thinking styles of university mathematics students. Acta didactica
napocensia, 3(4), 1-10.
Moutsios-Rentzos, A., & Simpson, A. (2011). University mathematics students and exam-style proving questions :
The A-B-∆ strategy classi cation scheme. International journal for mathematics in education, 3, 45-64.
Oatley, K., & Jenkins, J. M. (1996). Understanding emotions. Oxford, UK : Blackwell Publishers.
Reid, D. & Knipping, C. (2010). Proof in Mathematics Education. Research, Learning and Teaching. Rotterdam :
Sense Publishers.
Chapitre 6 Mathematics and realitiesQuaderni di Ricerca in Didattica (Mathematics) n. 24, Supplemento n.1, 2014
Lyon G.R.I.M. (Department of Mathematics and Computer Science, University of Palermo, Italy) 294
Rodd, M. (2002, July). Hot and abstract : emotion and learning undergraduate mathematics. Paper presented at the
Proceedings of the 2
nd ICTM. Crete, Greece : John Wiley & Sons. Retrieved from : http :// www.math.uoc.gr/ ictm2/Proceeding
pap203.pdf.
Skemp, R. R. (1979). Intelligence, learning and action. New York : John Wiley & Sons.
Sternberg, R. J. (1999). Thinking styles. Cambridge : Cambridge University Press.
CHAPITRE 6. WORKING GROUP 4 Mathematics and realitiesQuaderni di Ricerca in Didattica (Mathematics) n. 24, Supplemento n.1, 2014
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6.3 Contraintes d'un problème et raisonnement mathématique
Teresa Assude, Anne Crumière & Jeannette Tambone
Université d'Aix-Marseille & IFE-ENSL
Résumé : Quelles sont les conditions favorables aux apprentissages mathématiques notamment à la résolution de problèmes math-
ématiques ? Pour étudier cette question, nous avons identi é des épisodes de la biographie didactique d'une élève en di culté face à la
résolution de problèmes qui nous montrent l'importance pour le raisonnement de la prise en compte des contraintes du problème.
Abstract : What are the good conditions for learning mathematics, mainly for problems solving ? In order to manage this question,
we identi ed episodes of a didactical biography of a low attainer facing problem solving. They show the importance for reasoning to take
into account the problem's constraints.
Introduction
En France, dans les programmes o ciels de l'enseignement des mathématiques, il y a une volonté institutionnelle
de mettre l'accent sur la résolution de problèmes pour apprendre ce qu'est une activité mathématique. Les résultats
de l'enquête PISA (Programme International de Suivi des Acquis des élèves) de l'OCDE montrent qu'en France, entre
2003 et 2012, il y a autant d'élèves avec un très bon score dans les compétences mathématiques mais qu'il y une
augmentation des élèves en di culté en mathématique. Il semble aussi que les élèves ouverts à l'idée de résoudre
des problèmes mathématiques - qui ont le sentiment d'être capables de traiter beaucoup d'informations, qui
comprennent vite la situation, qui cherchent à expliquer les choses, qui établissent aisément des liens entre des faits et
qui prennent plaisir à résoudre des problèmes complexes ' obtiennent en mathématiques 31 points de plus, en moyenne,
que les élèves moins ouverts à la résolution de problèmes. (OCDE, 2013). L'augmentation des élèves en di culté pose
problème du point de vue social et éducatif, comme nous avons pu voir avec toutes les réactions publiques lors de la
communication de ces résultats.
Notre questionnement se place dans ce contexte. Nous nous intéressons aux conditions et aux obstacles qui permet-
tent et/ou entravent les apprentissages mathématiques, notamment à la résolution de problèmes mathématiques. Nous
allons focaliser cet article sur l'épisode biographique d'une élève en di culté qui nous montre l'un de ces obstacles.
Contexte de la recherche
Notre travail s'insère dans le cadre de la mise en place et du développement des LéA (Lieux d'éducation associé)
à l'IFÉ-ENS Lyon (Institut Français d'Education de l'Ecole Normale Supérieure). Ces lieux visent la rencontre de
plusieurs acteurs (enseignants, chercheurs, chefs d'établissement, artistes, etc.) autour d'un projet pour développer un
travail coopératif sur un problème ou une question essentielle à la vie de ce lieu. Dans notre cas, le LéA est un collège
situé dans les quartiers nord de Marseille avec une population d'élèves issus de milieux défavorisés. Dans le cadre de ce
Collège, nous avons décidé de travailler sur les mathématiques avec les élèves de l'ULIS (Unité Localisée pour l'Inclusion
Scolaire) qui sont des élèves reconnus dyslexiques par la MDPH (Maison départementale des personnes handicapées).
Notre équipe est constituée par deux enseignants (un enseignant spécialisé et un enseignant de mathématiques) et
trois chercheurs. Notre projet est d'étudier les situations qui favorisent les activités mathématiques à partir de deux
axes : le premier concerne la résolution de problèmes mathématiques et l'apprentissage du raisonnement ; le deuxième
concerne les mathématiques utiles au citoyen autour de la gestion de données. Pour cela, nous avons observé quatre
élèves d'ULIS qui sont intégrés dans une classe de mathématiques en troisième (élèves d'environ 15 ans). C'est une
classe de vingt élèves composée par ces quatre élèves d'ULIS, des élèves de l'option 3ème DP6 (Troisième de découverte
professionnelle qui ont 6h de découverte professionnelle au lieu d'avoir une deuxième langue) et d'autres élèves. Cette
classe de troisième accueille beaucoup d'élèves en di culté en mathématiques. Dans cette communication, nous allons
rendre compte de l'observation d'une élève dyslexique, Romane.
Eléments théoriques et méthodologiques
Nous allons nous placer dans le cadre d'une approche anthropologique et biographique qui nous permettra de
donner sens à nos observations. Dans le cadre de l'approche anthropologique du didactique (Chevallard, 1992), on
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s'intéresse à l'activité mathématique comme une activité humaine qui peut être décrite par la notion de praxéologie.
La praxéologie est un quadruplet formé par le type de tâches, les techniques qui permettent d'accomplir ces tâches, et
les discours justi catifs de ces techniques (technologies ou théories). Dans le cadre de l'approche biographique (Mercier,
1995), on s'intéresse à l'histoire des sujets en tant qu'élèves (sujets d'une institution) aux prises avec un savoir (ou
plus généralement avec des ÷uvres humaines). La biographie didactique (Mercier, 1995) est l'ensemble des fragments
de la vie d'un élève qui correspondent aux rencontres de cet élève avec un savoir (ou son ignorance), soit qu'il ait
appris soit qu'il n'ait pas appris. Ainsi, nos catégories d'analyse sont les notions de biographie didactique, de contrat
didactique, de milieu (Brousseau, 1997, Assude & al., 2007) et de praxéologie.
Le dispositif de recherche mis en place depuis deux ans comporte des séances observées dans la classe et des séances
de travail conjoint entre chercheurs et enseignants. Toutes ces séances ont été lmées et retranscrites, et les productions
des élèves ont été recueillies.
Dans cette communication, nous allons nous intéresser au début du travail proposé aux élèves sur le problème
suivant : trouver trois nombres consécutifs dont la somme S est donnée. Nous n'avons pas l'espace ici pour présenter
dans le détail les diérentes phases du problème (voir ERMEL, 1997) ni pour présenter l'analyse a priori. Ce problème
a été travaillé en classe pendant trois séances de 45minutes chacune. Pour situer l'épisode biographique que nous avons
choisi, nous présentons ici le synopsis de la première séance :
Temps Déroulement Episodes
0 - 7 min Mise en place des groupes
7 - 14 min Distribution d'une feuille de tra-
vail avec l'énoncé du problème
Travail individuel
Tâche 1 : chercher 3 nombres qui
se suivent dont la somme est 96
14 - 35 min Travail en groupe (4 ou 5 élèves) Épisode 1 : De la di culté à ren-
Tâche 1 trer dans le milieu du problème
Les deux professeurs se déplacent Épisode 2 : Émergence d'une
et interviennent dans les groupes technique et expansion du milieu
Pas de synthèse collective
35 - 45 min Travail en groupe Épisode 3 : Techniques et stabil-
Tâche 2 : chercher trois nombres ité relative du milieu
qui se suivent dont la somme est
354
Les deux enseignants se dépla-
cent et interviennent dans les
groupes
Pas de synthèse collective
Table 6.3 S1
Analyse d'un épisode de la biographie didactique de Romane
Les élèves ont eu cinq minutes pour lire l'énoncé du problème qui a été donné sur une feuille et essayer de trouver
une solution. Romane, même avant de se plonger dans la lecture de cet énoncé, a rme tout de suite moi, j'ai pas
compris et ensuite Il faut faire quoi, comme rédaction ' . Le professeur P ne donne pas de réponse mais insiste
auprès de toute la classe pour ce premier travail individuel tout en donnant peu de temps pour le faire. Puis le travail
en groupe commence, et nous allons nous intéresser au groupe de Romane. Ils sont cinq élèves (trois garçons et deux
lles). Ils ne travaillent pas vraiment en groupe, les lles, étant spatialement proches, parlent entre elles. Le professeur
P se rapproche de ce groupe.
Romane, après avoir dit qu'elle ne comprenait rien sans avoir lu l'énoncé du problème, se place tout de suite dans
un contrat didactique où on doit donner une réponse numérique. Le professeur demande une réponse, donc l'élève
donne une réponse, n'importe laquelle. La donnée numérique 96 y apparaît déterminante. Il faut faire des calculs
CHAPITRE 6. WORKING GROUP 4 Mathematics and realitiesQuaderni di Ricerca in Didattica (Mathematics) n. 24, Supplemento n.1, 2014 Lyon G.R.I.M. (Department of Mathematics and Computer Science, University of Palermo, Italy) 297 pour obtenir 96, ce qu'elle fait : 7 fois 12 est égale à 84 . Face à la réaction du professeur P, Romane a rme que : j'ai rien compris alors . Un premier élément d'analyse du milieu : les contraintes du problème ne sont pas prises en compte et l'élève se place dans un contrat didactique de calcul tous azimuts . Ce n'est pas seulement Romane qui se place dans un tel rapport au problème mais les autres élèves du groupe aussi, puisque le professeur P est obligé de poser la question : Qu'est ce qu'il faut faire, c'est quoi la consigne ' . Le professeur intervient alors en demandant à une autre élève de lire l'énoncé du problème. Les interventions qui suivent montrent que, pour ces élèves, l'énoncé indiquant les contraintes du problème (soit les règles dé nitoires de la situation), n'est pas un élément du milieu. Le milieu de ce problème à ce stade est constitué par trois éléments essentiels : trois nombres naturels ; trois nombres consécutifs ; la somme de ces nombres est 96. Or les élèves ont beaucoup de di cultés à repérer ces trois éléments du milieu, et ils restent dans une approche contractuelle. L'usage du mot calculer ou faire des calculs est symptomatique de cet état. L'action du professeur est ici d'accompagner les élèves dans la lecture de l'énoncé, et de créer les conditions pour qu'ils puissent entrer dans un autre type de rapport au milieu : les contraintes du problème font partie du milieu, et c'est ce milieu qui donne les moyens d'action aux élèves. Ce n'est pas évident comme nous pouvons le voir dans plusieurs passages où le professeur revient sur les trois contraintes du problème. Il insiste deux fois sur qu'est-ce qu'il faut chercher ' , et essaie d'avoir l'adhésion des élèves sur l'une des contraintes : Trois nombres, tout le monde est d'accord avec ça ? C'est la question, c'est la consigne . Ensuite, il essaie de reprendre une autre des contraintes, la somme . Ce mot pose des di cultés comme on peut le voir dans les formulations des élèves. Par exemple, Romane parle de calculer , et donne même un exemple On pourrait faire 4 fois 12 égal 84 plus 13, plus 11 . D'autres élèves parlent de soustraction ou de division , et c'est seulement après que le mot addition apparaît. A la n de cet épisode, Romane n'a pas encore pris conscience de l'existence de ces trois contraintes et se focalise sur le nombre 96 : Il faut trouver ce qui fait 96. C'est facile . Le professeur insiste sur les contraintes mais combien je dois utiliser de nombres ' et Romane répond On fait la moitié de 96 . Le professeur est alors directif : Attends, réponds aux questions. Combien ' . C'est un autre élève qui répond trois . Face à la question du professeur Ils doivent être comment ces trois nombres' , Romane est encore dans son idée : La moitié de 96 . Le professeur n'insiste pas et doit se retenir car il ne peut pas donner la réponse, et il renvoie les élèves aux contraintes et au travail de groupe : combien il faut de nombres, qu'est-ce que je vais faire comme opération. Quel doit être mon résultat ? Ces questions, vous les avez. Travaillez ensemble et essayer de trouver ça. Cet épisode et sa durée montre la di culté pour Romane de rentrer dans un autre rapport au milieu. Pour elle, le milieu est contractuel au sens où il y a des nombres et il faut calculer pour avoir ces nombres, cependant il n'est pas résistant et consubstantiel au problème lui-même. Nous ne pouvons pas ici voir comment pour la suite, cette élève a pu construire un autre rapport au milieu. Eléments de conclusion Comme nous l'avons vu au départ, les résultats de l'enquête PISA, montrent qu'il y a de plus d'élèves français en di culté en 2012 notamment en ce qui concerne la résolution de problèmes. Nous pouvons dire que Romane est aussi en di culté pour rentrer dans la résolution du problème posé. Elle se place dans une posture d'élève qui répond contractuellement à ce qu'elle pense être les attentes du professeur. Nous avons montré qu'elle ne tient pas compte d'une condition essentielle qui est celle que toutes les contraintes du problème font partie du problème, et que ce milieu minimaliste au départ doit être résistant . L'une des conditions du milieu pour les apprentissages, c'est que l'élève puisse se rendre compte que le milieu est résistant au sens où ce sont les contraintes du problème qui constituent la référence. Nous pourrions dire ici que cette première condition consiste à passer d'un contrat didactique (calculer tous azimuts) à un milieu résistant. Ce n'est plus ce que l'élève suppose être les règles de ce contrat, et les attentes du professeur qui doivent être premiers, mais bien la confrontation à un milieu résistant. Cela nous paraît une condition essentielle pour que l'élève puisse rentrer dans un raisonnement mathématique. REFERENCES Assude, T., Mercier, A. & Sensevy, G. (2007). L'action didactique du professeur dans la dynamique des milieux. Recherches en didactique des mathématiques, 27.2, 221-252. Brousseau, G. (1997). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage. Chapitre 6 Mathematics and realities
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