Elementary Abelian Subgroups in p-Groups of Class 2
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Elementary Abelian Subgroups in p-Groups of Class 2
THÈSE NO 4458 (2009)
PRÉSENTÉE le 23 juillet 2009
À LA FACULTé SCIENCES DE BASE
INSTITUT DE GEOMETRIE, ALGEBRE ET TOPOLOGIE
CHAIRE DE THEORIE DES GROUPES
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
David Bornand
acceptée sur proposition du jury:
Prof. M. Troyanov, président du jury
Prof. J. Thévenaz, directeur de thèse
Prof. S. Bouc, rapporteur
Prof. K. Hess Bellwald, rapporteur
Dr R. Stancu, rapporteur
Suisse
2009Résumé
Tous les résultats de ce travail concernent les p-groupes finis, où p est un nom-
bre premier arbitraire. Le premier chapitre traite de classifications de certaines
classes de p-groupes de classe 2. Il n’y a pas de résultats significativement
nouveau dans ce chapitre, qui sert essentiellement d’introduction à la suite du
travail. Cependant, l’approche “géométrique” que nous présentons diffère de
l’approche standard, et cela plus particulièrement dans le cas des p-groupes
de classe 2 avec centre cyclique. Cette “géométrie” se révèle toutefois parti-
culièrement utile pour la description des groupes d’automorphismes, qui fait
l’objet du Chapitre 3.
Les résultats obtenus au Chapitre 2 sont de nature géométrique, puisqu’ils
concernent l’étude des intervalles supérieurs dans l’ensemble ordonné Ap (P ),
lorsque P est un p-groupe. Grâce aux travaux de Bouc et Thévenaz [8], nous
savons déjà que l’ensemble ordonné Ap (P )≥2 a le type d’homotopie d’un bouquet
de sphères. A la Section 2.4, nous obtenons une borne supérieure, dépendant
uniquement de l’ordre du groupe, pour la dimension des sphères présentes dans
le type d’homotopie de l’ensemble ordonné Ap (P )≥2 . Plus précisément, nous
montrons que si P est un p-groupe d’ordre pn , alors H̃k (Ap (P )≥2 ) = 0 lorsque
k ≥ " n−12 #. Dans cette même section, nous donnons de plus une caractérisation
des p-groupes pour lesquels cette borne est atteinte.
Les résultats principaux de la Section 2.3 sont des valeurs numériques pour le
nombre de sphères apparaissant dans le type d’homotopie de l’ensemble ordonné
Ap (P )≥2 et leur dimension, lorsque P est un p-groupe dont le sous-groupe dérivé
est cyclique.
En nous appuyant sur les résultats de la Section 2.3, nous déterminons
à la Section 2.5 pour lesquels des p-groupes avec sous-groupe dérivé cyclique
l’ensemble ordonné Ap (P ) est homotopiquement Cohen-Macaulay.
La Section 2.7 est une tentative de généralisation des travaux de Bouc et
Thévenaz [8] concernant le type d’homotopie de l’ensemble ordonné Ap (P )≥2 .
Comme résultat principal de cette section, nous montrons l’existence d’une
suite spectrale Ers 1
convergeant vers H̃r+s (Ap (P )>Z ), pour n’importe quel sous-
groupe Z ∈ Ap (P ). En guise d’exemple, nous montrons par ailleurs comment
cette suite spectrale peut être utilisée pour retrouver les résultats de Bouc et
Thévenaz.
A la Section 2.8, nous donnons des contre-exemples à certains résultats de Fu-
magalli [12]. Comme principale conséquence, la question de savoir si l’ensemble
ordonné Ap (G) a le type d’homotopie d’un bouquet de sphères lorsque G est
résoluble, semble rester une question ouverte.
Les résultats obtenus au Chapitre 3 sont de nature plus algébrique et con-
1cernent les groupes d’automorphismes de p-groupes. Le résultat principal de
ce chapitre est une description de Aut(P ), lorsque P est un p-groupe d’un des
deux types suivants:
(I) p-groupes avec un sous-groupe de Frattini cyclique (p ≥ 2).
(II) p-groupes de classe 2 avec centre cyclique et dont le quotient par le centre
est homocyclique (p impair).
Mots clés: Groupes finis, Ensembles ordonnés, Posets, Complexes de sous-
groupes, Intervalles supérieurs, Automorphismes.
2Abstract
All the results in this work concern (finite) p-groups. Chapter 1 is concerned
with classifications of some classes of p-groups of class 2 and there are no partic-
ularly new results in this chapter, which serves more as an introductory chapter.
The “geometric” method we use for these classifications differs however from the
standard approach, especially for p-groups of class 2 with cyclic center, and can
be of some interest in this situation. This “geometry” will for instance, prove to
be particularly useful for the description of the automorphism groups performed
in Chapter 3. Our main results can be found in chapters 2 and Chapter 3.
The results of Chapter 2 have a geometric flavour and concern the study
of upper intervals in the poset Ap (P ) for p-groups P . We already know from
work of Bouc and Thévenaz [8], that Ap (P )≥2 is always homotopy equivalent
to a wedge of spheres. The first main result in Section 2.4, is a sharp upper
bound, depending only on the order of the group, to the dimension of the spheres
occurring in Ap (P )≥2 . More precisely, we show that if P has order pn , then
H̃k (Ap (P )≥2 ) = 0 if k ≥ " n−1
2 #. The second main result in this section is a
characterization of the p-groups for which this bound is reached.
The main results in Section 2.3 are numerical values for the number of the
spheres occurring in Ap (P )≥2 and their dimension, when P is a p-group with
a cyclic derived subgroup. Using these calculations, we determine precisely
in Section 2.5, for which p-groups with a cyclic center, the poset Ap (P ) is
homotopically Cohen-Macaulay.
Section 2.7 is an attempt to generalize the work of Bouc and Thévenaz
[8]. The main result of this section is a spectral sequence Ers 1
converging to
H̃r+s (Ap (P )>Z ), for any Z ∈ Ap (P ). We show also that this spectral sequence
can be used to recover Bouc and Thévenaz’s results [8].
In Section 2.8, we give counterexamples to results of Fumagalli [12]. As an
important consequence, Fumagalli’s claim that Ap (G) is homotopy equivalent
to a wedge of spheres, for solvable groups G, seems to remain an open question.
The results of Chapter 3 are more algebraic and concern automorphism
groups of p-groups. The main result is a description of Aut(P ), when P is any
group in one of the following two classes:
(I) p-groups with a cyclic Frattini subgroup.
(II) odd order p-groups of class 2 such that the quotient by the center is
homocyclic.
Keywords: Finite groups, Posets, Subgroup complexes, Upper intervals,
Automorphisms.
3Contents
Introduction 9
1 Classifications 13
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Preliminaries on p-groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Classification of p-groups with a cyclic Frattini subgroup . . . . . 20
1.4 Classification of odd order p-groups of class 2 with a cyclic center 37
2 Subgroup complexes 53
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Preliminaries on posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 The poset Ap (P )≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Maximal Dimension of spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5 Cohen-Macaulay property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6 Homology with non-constant coefficients . . . . . . . . . . . . . . 89
2.7 A spectral sequence for upper intervals . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.8 Fiber theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 Automorphisms 117
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2 Preliminaries and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3 Automorphisms of direct products of groups . . . . . . . . . . . . 121
3.4 Automorphisms of p-groups with cyclic Frattini subgroup . . . . 122
3.5 Automorphisms of p-groups of class 2 with cyclic center . . . . . 148
A Alternating forms 159
B A note on the orthogonal group O(2! + 1, 2) 165
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