ASPECT DEVELOPPEMENTAL DE LA COGNITION MATHEMATIQUE - L2 UE 5.3.1 - UniversiTICE

UE 5.3.1

ASPECT DEVELOPPEMENTAL DE LA
 COGNITION MATHEMATIQUE

 L2

Présentation du contrôle continu

HISTOIRE des chiffres et des nombres

Chiffre / nombre

 5432

Nombre = quantité
Chiffre = représentation graphique

Le nombre 2 s’écrit avec le chiffre 2
Le nombre 34 s’écrit avec les chiffres 3 et 4
etc

Extrait de film : « L’extraordinaire
 aventure du chiffre 1 », Terry Jones.

 https://youtu.be/kjxPNH8CYVA

 Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres, Tome 1, 1994, Editions
 Laffont.

Moments clés de la création et de
l'évolution des nombres

HISTOIRE DES NOMBRES
DE LA PREHISTOIRE A AUJOURD’HUI
Tout commence avec un os…

Apparition de la numération:

Indispensable de pouvoir
 compter les objets ou animaux…

Méthode du « berger » :
 numération unaire

Correspondance terme à terme: assemblage-
 modèle
Quantités désignées par une collection
 d’objets
Pas de nom de nombre

À l’aide de cailloux, de coquillages…
À l’aide d’entailles
À l’aide de nœuds
À l’aide des parties du corps…

Un, deux, beaucoup…

Un deux : concret
Plus: abstrait

Comment représenter des quantités
 de plus en plus grandes?
Comment conserver le souvenir du
 dénombrement?

Des petits cailloux aux « calculi »…

Valeur
numérique
1

10 (x10)

60 (x6)

600 (x10)

3600 (x6)

36000 (x10)

Apparition de
l’écriture…

Modes et systèmes de numération

dans la numération verbale

Elle désigne les chiffres par leur nom oral
 ou écrit « trois »

Différentes cultures, différentes organisations

 IIIIIIIIIIIIIIIIIII
 En français: dix-huit IIIIIIIIII IIIIIIII dix huit
 En irlandais: ocht-deec IIIIIIII IIIII IIIII huit deux cinq
 En breton: tri-wec’h IIIIII IIIIII IIIIII trois six
 En gallois: deu-naw IIIIIIIIII IIIIIIIII deux neuf
 En mexicain: caxtulli-om-ey IIIIIIIIIIIIIII III quinze trois

Des organisations basées sur le corps

en base 5

En base 10

En base 12

En base vingt

1 Anusi : petit doigt de la main droite.
 2 3 4 doro.
 5 Ubei pouce droit.
 6 Tama poignet droit.
 7 Unubo : coude droit.
Et plus… 8 Visa : épaule droite.
 9 Denoro - oreille droite
 10 Diti oeildroit.
 11 Diti oeil gauche
 12 Medo : nez.
 13 Bec: bouche.
 14 Denoro : oreille gauche.
 15 Visa : épaule.
 16 Unubo : coude.
 17 Tama poignet.
 18 Ubei pouce.
 19 20 21 Doro.
 22 Anusi : petit doigt de la main
 gauche.

Une numération verbale originale…

Modes et systèmes de numération

Dans la numération écrite chiffrée

De nombreux modes de numération écrite particuliers:
▪ Systèmes additifs
▪ Systèmes hybrides
▪ Systèmes positionnels
 Notion de « bases »

Systèmes additifs

 PRINCIPE :

Différents symboles pour représenter les
 puissances de la base
juxtaposition de ces symboles.
Addition des valeurs de ces symboles

Systèmes additifs: quelques exemples

La numération égyptienne

La numération forestière

 Nombre 137

Griffe de marquage

La numération romaine: Une utilisation
 contemporaine

 MDCCLXXXIX

Quel est le plus grand nombre
représentable avec ce système?

Système de numération hybride:
 le système chinois et Japonais

 Utilisation de la multiplication
 et de l’addition.

 1999

Système positionnel

Définition:
Système où un même chiffre a une valeur
différente selon la place qu’il occupe. Il
introduit forcément une notion de base.

Notion de « bases », de groupements

Utilisation d’un seul et même nombre pour
constituer des groupements: la base

Système binaire
Système hexadécimal
Base sexagésimale
Base décimale

Système Binaire
 Système de numération positionnel en base deux.
 Deux valeurs notées 0 et 1.
 Base des systèmes informatiques.

 Décimal Binaire Décimal Binaire
 0 0 7 111
 1 1 8 1000
 2 10 9 1001
 3 11 10 1010
 4 100 11 1011
 5 101 12 1100
 6 110 13 1101

Système hexadécimal

 Système de numération positionnel en base 16.
 16 valeurs
 Plus compact que le binaire
 Conversion binaire / hexadécimale
 Très développé en informatique

Base sexagésimale

Exemple d’un système de numération sumérien :

Autre exemple: le système de numération babylonien:

…Après 59

 Zéro babylonien

Base décimale

 Base dix.

 10 symboles notés de 0 à 9.

Numération
Incas

Les bases
dans les
manuels
scolaires.

Numération

Définition

La numération permet d’énoncer ou d’écrire les
nombres.

Pour compter il existe donc :
 une chaîne numérale verbale : code verbal
Une écriture numérique: code arabe

Construction de la notion de nombre

Nombre de…

Nombre en tant qu’idée purement
 mathématique

Comment discerner une quantité ?

Par comparaison
Par perception directe
Par groupement mental
Par comptage abstrait

Par comparaison

Quatre: perception maximale
Par perception directe
 pour l’œil humain

Modèles explicatifs du subitizing

 Mandler et Shebo (1982)
Le subitizing reposerait sur la reconnaissance de configurations canoniques

 Gallistel et Gelman (1991)
le subitizing serait un dénombrement, même très rapide.

Trick et Pylyshyn (1991-1994)

introduisent le concept nouveau de Finst (finger
of indentation Theory). Selon eux, le subitizing
aurait son origine dans une étape pré-
attentionnelle de la vision. La limite à 4 serait la
conséquence du nombre limité de Finst : le finst
serait une indexation visuelle qui viendrait
automatiquement s’attacher aux objet d’une
collection ( et dans le cas du subitizing, une
étiquette numérique qui s'accolerait
automatiquement).

Cowan (2001) conserve l’idée que l’étendue du subitizing dépende d’une limite
structurelle (la taille du focus attentionnel). Les adultes ne peuvent appréhender
simultanément que les éléments faisant l’objet d’une seule focalisation attentionnelle. La
taille du focus s’accroissant durant l’enfance, l’étendue des quantités subitizables
augmenterait jusqu’à atteindre 4 chez l’adulte.

Répercussions linguistiques de cette
perception maximale:
Sur les prénoms Romains
Sur les mois Romains
Dans les Accords grammaticaux de
 certaines peuplades d’ Océanie
Dans la déclinaison des quatre premiers
 nombres en latin

Répercussions de cette perception
maximale dans les représentations :
Représenter un nombre par l’addition de traits
successifs

IIII IIIIIIIIIIIII
Comment procède-t-on au-delà de quatre ?

Différents groupements selon les peuples

 I II III IIII IIII IIII I IIII II IIII III IIII IIII

Principe de
 I II III IIII III III IIII IIII
dédoublement
 II III III IIII
 I II III III III III III III III
 Principe
 Ternaire I II III III III III
 I II III

Par groupement mental

Par comptage abstrait:

LE COMPTAGE semble se développer parallèlement, et possiblement de manière
dissociée du subitizing.

« Comment compter » de Gelman et Gallistel (1978).

• le principe de correspondance terme à terme : il consiste à assigner à chacun des
 objets à compter un et un seul mot

• le principe de suite stable : il consiste à utiliser au cours de différents comptages
 toujours la même suite de mots

• le principe cardinal : il consiste à conclure que le dernier mot de la suite utilisée au
 cours d'un comptage désigne le cardinal de l'ensemble des objets comptés.

• Le principe d’abstraction : l'hétérogénéité relative des éléments de la collection n'a
 pas d'impact sur leur quantité,

• Le principe de non-pertinence de l'ordre : l'ordre dans lequel les éléments sont
 dénombrés n'a pas d'incidence sur le cardinal de la collection

Compter
Faire correspondre à
chaque constituant
d’une collection un
symbole (mot, geste,
signe graphique).

Importance de ne
dénombrer
ensemble que les
éléments de
même nature.

Aspect cardinal
Aspect ordinal

Cardinal/ordinal

Notre système de numération usuel :

Système décimal positionnel

Numération verbale: code verbal

▪ vingt-six mots, une infinité de nombres
▪ comportant des pièges et des particularités

Les mots-nombres de onze à seize
On dit : Au lieu de dire : (Et on écrit en chiffres )

Onze dix-un 11

Douze dix-deux 12

Treize dix-trois 13

Quatorze dix-quatre 14

Quinze dix-cinq 15

Seize dix-six 16

-ZE = DIX
 Prenons l'exemple du mot "quatorze" :

- en anglais, c'est fourteen, (quatre dix) ;
- en allemand, vierzehn (quatre dix) ;
- en néerlandais, veertien (quatre dix).
- en français, quatorze --> quator-ze (quatre dix).

Les six premiers nombres en latin :
unus, duo, tres, quattuor, quinque, sex

Le nom des dizaines
 20, 30,… 60 pourraient se lire : deux-dix, trois-dix, … six dix au
 lieu de vingt, trente, … soixante.

 Vingt ne s’apparente pas phonétiquement à « deux »
 contrairement à trente, quarante, cinquante…

 soixante-dix , quatre-vingts, quatre-vingt-dix: la règle
 change.

 Origine du quatre-vingts

Les « séparateurs »/ les classes.

Cent considéré à tort comme un séparateur et générateur d’erreurs.
Milles millions milliards ….

 Particularité du 1 Cent qui se dit Cent
 Particularité du 1 mille qui se dit mille

Numération écrite chiffrée : code arabe
 Système et progression

Système:

L’écriture chiffrée des nombres ne nécessite
que la connaissance des chiffres et un
ensemble de règles constantes, que l’on
applique systématiquement.

Progression dans l’apprentissage de
 la numération:

celle des manuels scolaires (voir cours E. Petitfour)

Une progression originale: Stella Baruk

▪Les chiffres et les nombres de 1 à 9.

Reconnaître les diverses représentations du nombre.

Les différentes représentations
d’un nombre:

-analogique: discret et continu
-symbolique: code verbal et arabe

Les représentations
géométriques…

Le 2 et la notion de paire…

Ambiguïté du « un »

 Le « un » n’a pas toujours valeur de quantité.

 Différence entre: il y a une solution à ce problème ou il y
 a 1 solution à ce problème!

15 étourneaux sont sur …. arbre. Au moment où Bruno lève
la tête 3 étourneaux s'envolent et … autre vient se poser.
Léa a … joli ruban doré de …mètre de long. Elle en donne
la moitié à sa copine Alix.
….jour, … libraire a vendu 10 paquets de 5 images et
…paquet de 10 images.

▪découvrir la notion
de système décimal
en commençant par
découvrir la
régularité du système
tant oral que écrit.

Et enfin vient le zéro!

Zéro chiffre
▪ Utilisé pour indiquer une place vacante dans notre système
 de numération de position.
▪ Différence entre les nombres parlés et leur écriture chiffrée:

Quand on parle on dit ce qu’on a: « Deux mille six »

Quand on écrit en chiffres, on est obligé d’écrire ce qu’on a
et ce qu’on n’a pas:
 2 0 0 6
 Deux mille /pas de cent/ pas de dix/ six

Trente, quarante, cinquante, soixante : Entendre ce
 que disent les mots puis…

▪Revenir sur les disparités entre un système écrit
parfaitement régulier et une oralisation qui
comporte des particularités.

 Descendre sur le vingt puis le dix…
 Puis expliquer le soixante-dix, quatre-
 vingt, quatre-vingt-dix…

▪présenter le système dans sa « globalité » pour en
percevoir la régularité. Notion de classes, et répétition du
système unité/ dizaine/centaine, dans chaque classe.

Zéro nombre

Nombre qui représente la "quantité nulle".
Pour des raisons théoriques « zéro » n’est devenu un nombre que tardivement.
Les mathématiciens indiens sont à l’origine de son introduction. En 628, le savant
Brahmagupta définit le zéro: a–a=0
et il en décrit les propriétés: a+0=a
 a–0=a
 aX0=0

Les mathématiciens en ont fait le premier nombre de l’ensemble des naturels.

Importance d’aborder les deux aspects

« Stratégie » d’évitement du zéro dans les
 manuels.

Première apparition dans 10.

Risque de considérer que 10 est un symbole
 unique qui désigne tout simplement le suivant
 de 9…

Réflexions sur…

L’écriture fractionnaire
Avant de se « décimer », les nombres se sont « fractionnés »

Comment partager équitablement?
En fractionnant

Dès 3000 ans avant JC.

En Mésopotamie En Egypte les babyloniens

 En Occident

 Au XIVème siècle, le mathématicien français Nicole Oresme :
 - barre fractionnaire empruntée à l’écriture Arabe.
 - Apparition des termes numérateur et dénominateur

 En 1579, un autre français, François Viète incite l’usage des
 fractions décimales devant les fractions sexagésimales

 A la même époque le belge Simon Stevin donne naissance
 aux nombres décimaux à partir de l’écriture fractionnaire
 décimale.

 Une fraction est une division non effectuée entre deux
 nombres entiers. (n et d ≠ 0)

 Le dénominateur indique en combien de parts égales on a
 partagé l’unité.

 Le numérateur indique le nombre de parts utilisées.

 Une fraction décimale est une fraction qui a pour
 dénominateur 10, 100, 1000…

Toute fraction possède un développement
décimal fini ou infini périodique qui s'obtient en
posant la division de n par d.

 1
 = 0,25
 4
 2
 = 0,666...(période 6)
 3
 17
 = 2,428571428571...(période 428571)
 7

Propriété fondamentale des fractions:

 On peut compliquer ou simplifier une fraction en l’exprimant en unités plus
 petites ou plus grandes: elle change de forme mais pas de valeur

L’écriture décimale
 Prolonge l’écriture des entiers

 Calquée sur le même procédé que la base dix en
 divisant l’unité par dix, cent, mille…

 Dixièmes, centièmes, millièmes…

 En relation avec l’écriture fractionnaire.

La virgule…

 La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.

 Attention : un nombre « à virgule » n’est décimal que s’il a un nombre fini
 de décimales.

 On peut donner cependant une écriture décimale d’un nombre non
 décimal.