Unité 3 : La multiplication et la division - La Librairie des Ecoles

 
Unité 3 : La multiplication et la division - La Librairie des Ecoles
Unité 3 : La multiplication et la division
                                 Consolider l’automatisation de ces deux techniques écrites de calcul et les étendre à de plus
                                 grands nombres. Contrôler la vraisemblance de ses résultats. Revoir les différents sens
                                 de ces opérations et les utiliser dans des résolutions de problèmes à une ou plusieurs étapes.

                                   Introduction                                                acquises à l’unité 2 sur les arrondis à la dizaine, cen-
                                                                                               taine ou millier puis d’effectuer un calcul mental. Les
                                 Malgré l’usage de calculettes dans la vie courante, le
                                                                                               trois séances suivantes introduisent les multiplications
                                 travail sur les opérations posées est essentiel à plus d’un
                                                                                               par des nombres à deux chiffres, ce qui est une nou-
                                 titre : outre son importance culturelle, il permet aux
                                                                                               veauté par rapport au cycle 2. Pour cela, on commence
                                 élèves d’approfondir leur connaissance des propriétés
                                                                                               par revoir la règle des zéros et la multiplication par
                                 des nombres et en particulier leur décomposition en
                                                                                               des dizaines. Les produits partiels sont bien mis en évi-
                                 milliers, centaines, dizaines et unités. De plus, par la
                                                                                               dence, pour que l’élève ne perde pas le sens des étapes
                                 pratique de ces algorithmes les élèves sont amenés à
                                                                                               de son calcul. Les quatre dernières séances de cette
                                 mettre en œuvre les propriétés de ces opérations. Il
                                                                                               unité mettent en œuvre ces opérations, leurs sens et
                                 est donc essentiel que les élèves en comprennent les
                                                                                               leurs techniques, à travers de nombreux problèmes
                                 mécanismes, avant de les automatiser grâce à une pra-
                                                                                               concrets, à une ou plusieurs étapes.
                                 tique régulière. La vérification de la pertinence des
                                 résultats est essentielle. Les différents sens de ces opé-
                                                                                                 Difficultés générales d’apprentissage
                                 rations sont, bien entendu, revus par la résolution de
                                                                                               Les études montrent que le principal obstacle à la
                                 nombreux problèmes concrets.
                                                                                               réussite des élèves dans les multiplications réside dans
                                                                                               la mauvaise connaissance des tables. Un entraîne-
                                   Choix didactiques
                                                                                               ment régulier est nécessaire. Cet entraînement doit
                                 La méthode de Singapour a fait le choix, dans cette           comporter non seulement des questions telles que
                                 unité, de limiter considérablement le recours à l’utilisa-    « 9 × 8 = ? », mais également des questions telles que :
                                 tion de calculatrices, hormis pour quelques (rares) véri-     « En 72 combien de fois 8 ? », essentielles pour effec-
                                 fications de calculs. Signalons qu’en CM2, en revanche,       tuer les divisions. Les divisions qui nécessitent d’écrire
                                 son usage sera plus fréquent. L’objectif est de rendre        des zéros au quotient sont une source d’erreurs fré-
                                 les élèves capables de calculer de manière autonome.          quentes. (Ex. : « En 5 combien de fois 8 ? » « 0 fois ! »).
                                 Ils doivent être en mesure, grâce à des calculs appro-        C’est pourquoi les élèves doivent systématiquement
                                 chés effectués mentalement, de vérifier si leur résultat      vérifier le nombre de chiffres du quotient et/ou esti-
                                 est raisonnable. La résolution de problèmes est l’un des      mer la valeur du quotient à l’aide d’arrondis. Pour
                                 points forts, unanimement reconnu, de la méthode              beaucoup d’élèves, la division est d’abord l’opération
                                 de Singapour. Ainsi, une place très importante lui est        qui permet de trouver la valeur d’une part dans un
                                 accordée. Les élèves sont systématiquement entraînés          partage. Il est essentiel de poursuivre le travail réalisé
                                 à utiliser ses célèbres « modèles en barres », qui per-       au cycle 2 pour qu’ils perçoivent également la division
                                 mettent de visualiser les données et les inconnues et         comme l’opération permettant de trouver le nombre
                                 constituent une aide essentielle à la résolution.             de parts, connaissant la valeur d’une part. Il est impor-
                                                                                               tant de montrer aux élèves que la division ainsi que
                                   Progression                                                 la multiplication permettent de résoudre de nom-
                                 Après une première séance de révision de ces deux             breuses catégories de problèmes. Par ailleurs, quand
                                 opérations par des calculs et des problèmes simples,          une division possède un reste non nul, on veillera aussi
                                 deux séances sont consacrées aux multiplications par          à donner du sens à ce reste. Les nombreux problèmes
                                 des nombres à un chiffre (déjà travaillées au cycle 2)        concrets proposés, visualisés grâce aux modèles en
                                 et à l’estimation des produits. Suivent trois séances         barres, vont aider les élèves à reconnaître les diffé-
                                 dédiées à la révision d’une technique de la division          rentes situations de multiplications et de divisions. De
                                 par un nombre à un chiffre, ainsi également qu’à l’es-        plus, en pratiquant un entraînement méthodologique
                                 timation du quotient. Estimer un produit ou un quo-           systématique, ils vont appréhender des problèmes à
©La Librairie des Écoles, 2018

                                 tient permet aux élèves de réinvestir les connaissances       plusieurs étapes de plus en plus complexes.

                                                                                                                   Unité 3 • La multiplication et la division
Unité                                                 3                                    La multiplication et la division

                                   Objectifs Observation de l’illustration page 46 : problèmes de multiplication et de division.
                                   Compétence du programme 2016 : Problèmes relevant des quatre opérations. Algorithme de calcul posé
                                   pour la multiplication et la division.

                                                                                                                                                              DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE                    – durée de la séance : 30 minutes
                                  Introduction de l’unité
                                  Le scénario de cette page montre
                                                                                                                                                                      Étapes de la séance                              Modalité
                                  Maël et Idris, avec un de leurs
                                                                                                                                                              Observer l’illustration page 46                  Collectif et individuel
                                  parents, en train d’acheter des pro-
                                                                                                                                                              Manuel : p. 46                          Matériel pédagogique : les ardoises
                                  duits informatiques. Ils vont déter-
                                  miner, respectivement, le prix total                                                                                        Vocabulaire : multiplication, division, multiplication « à trou »

                                  de plusieurs produits identiques et
                                  le prix unitaire d’un produit. Ici, les                                                                                        Observer l’illustration page 46
                                  élèves vont devoir synthétiser des
                                                                                                                                                             Projetez à la classe la page 46 du manuel, ou dites aux élèves d’ouvrir
                                  informations, en identifiant le prix
                                                                                                                                                             leur manuel à cette page. Interrogez-les : « Où se situe cette scène ?
                                  sur la bonne étiquette. Ils doivent
                                                                                                                                                             Comment pouvez-vous le dire ? Où trouve-t-on des ordinateurs ? Qui
                                  ensuite déterminer quelle est l’opé-
                                                                                                                                                             achète des ordinateurs, et pour quel usage ? »
                                  ration requise pour trouver la
                                                                                                                                                             Attirez l’attention sur Maël. Vous allez poser des questions pour véri-
                                  réponse : multiplication ou division ?
                                                                                                                                                             fier que les élèves se souviennent de l’équivalence entre multipli-
                                                                                                                                                             cation et addition itérée : « Que veut trouver le papa de Maël ? »
                                  Modèles en barres                                                                                                          Dessinez au tableau le modèle en barres du phylactère de pensée
                                  Les élèves connaissent ces modèles en                                                                                      de Maël. « Que représente 1 unité sur ce modèle ? Que représentent
                                  barres depuis le cycle 2. Cette séance                                                                                     3 unités ? » Demandez aux élèves de prendre leur ardoise et d’écrire
                                  permet de réactiver un des sens de la                                                                                      par quel calcul Maël peut trouver la valeur de 3 unités. « Écrivez
                                  multiplication (addition itérée, sens                                                                                      l’opération, sans calculer le résultat. » Faites lever les ardoises et
                                  « tant de fois plus ») et un des sens                                                                                      commentez : si des réponses fausses apparaissent, signalez à la classe
                                  de la division (valeur d’une part dans                                                                                     qu’elles sont erronées.
                                  un partage en parts égales). Ils vont                                                                                      Certains auront peut-être écrit 825 + 825 + 825, d’autres 825 × 3 ou
                                  aussi prendre conscience à nouveau,                                                                                        3 × 825. Écrivez au tableau ces trois propositions et rappelez l’équi-
                                  que ces deux opérations sont inverses                                                                                      valence entre l’addition itérée et la multiplication, ainsi que la pro-
                                  l’une de l’autre. Ils vont revoir ces                                                                                      priété essentielle de la multiplication qui permet de choisir l’ordre
                                  deux techniques opératoires.                                                                                               des facteurs. Ces trois écritures sont correctes cependant dans ce type
                                                                           Manuel p. 46                                                                      de problèmes, il est préférable d’utiliser une multiplication.
                                                                                                    Unité
                                                                                                                                                             Attirez l’attention sur Idris. « Combien la maman d’Idris a-t-elle payé
                                                                                                    3          La multiplication
                                                                                                               et la division                                pour 3 disques durs ? Que veut trouver Idris ? » Faites dessiner le
                                                                                                                                                             modèle en barres correspondant à cette question avec sa légende.
                                                                                                                                                             Faites lever les ardoises puis validez les réponses. Faites venir au
                                                                   62 €
                                                         62 €
                                            62 €
                                                                          123 €

                                                       123 €
                                                                                                                                                             tableau un élève qui a réussi : dites-lui de dessiner le modèle en
                                                                           123 €

                                                      123 €                                                                                                  barres qui convient et l’expliquer. Mettez en évidence que c’est le
                                                                                                                                                             même dessin que précédemment. Seulement pour cette question on
                                                                                                                                                             connaît la valeur de plusieurs unités et on cherche la valeur d’une
                                                                                                                                                             unité. Demandez ensuite aux élèves d’écrire sur leur ardoise l’opé-
                                                                                   Modèle A                                Modèle B
                                                                                    2 950 €                                 1 825 €

                                                        Modèle C

                                                                                                                                                             ration correspondante sans l’effectuer. Validez : « C’est la division
                                                         825 €                         Modèle A
                                                                                        299 €

                                             Combien coûtent
                                                                                        Ma mère a payé 186 €
                                                                                        pour 3 disques durs.
                                                                                                                                                             186 ÷ 3 = … » Rappelez que ces deux opérations sont inverses l’une
©La Librairie des Écoles, 2018

                                            trois exemplaires
                                            de l’ordinateur C ?                                                               Je voudrais
                                                                                                                             aussi acheter
                                                                                                                            4 imprimantes.
                                                                                                                                                             de l’autre. « Ici, la division correspond à la multiplication à trou :
                                                                                                                                                             3 × … = 186 ». Annoncez : « Dans cette unité, nous allons revoir les
                                    825 €                                                                                                                    techniques de multiplication et de division, effectuer ces opérations
                                            à venir

                                              ?                                                                                                              sur des grands nombres et résoudre de nombreux problèmes. »

                                    46                                                                          Unité 3 • La multiplication et la division

                                                                                                                                                                                                   Unité 3 • La multiplication et la division
Séance              24 Multiplier et diviser
 Objectifs Multiplier et diviser un nombre par un nombre à un chiffre.
 Compétence du programme 2016 : Techniques opératoires de la multiplication et de la division.

                                                    DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE                   – durée de la séance : 1 heure
Encadré spécial
Recherche du nombre de chiffres                                 Étapes de la séance                             Modalité
du quotient
                                                     1 Observer une multiplication                   Collectif, puis individuel
Prenons par exemple 615 divisé par
                                                    et une division
4 : il suffit de regarder le chiffre le
plus à gauche, ici le 6, (chiffre des                2 Effectuer quelques multiplications et         Individuel et en binôme
                                                    divisions
centaines). 6 peut être divisé en
4. On peut partager les centaines,                   3 Pratique autonome : exercices                        Individuel
alors le quotient aura le même                      du fichier photocopiable
nombre de chiffres que 605, c’est-                  Manuel : pp. 47-48
                                                                                                  Matériel pédagogique :
                                                    Fichier photocopiable : pp. 53-54
à-dire trois.                                                                                     pour la différenciation :
                                                    Annexe : dessin de la potence à insérer
En revanche, dans la division 615                                                                 des disques-nombres.
                                                    dans l’encadré
divisé par 8 : 6 ne peut pas être                   Vocabulaire : multiplication, division, quotient et reste
divisé en 8. On ne peut pas parta-
ger les centaines. Il faut donc par-
tager les dizaines. Alors le quotient               1 Observer une multiplication et une division
aura un chiffre de moins que 605,                  « Nous allons revoir comment effectuer en colonnes une multiplica-
c’est-à-dire deux.                                 tion et une division ». « Rappelez-vous, chaque imprimante coûte
Ainsi, 7 504 divisé par 5 aura un                  123 € dans ce magasin » Demandez à la classe : « Quelle opération
quotient de quatre chiffres.                       effectuer pour calculer le prix de quatre imprimantes ? » Dessinez le
Tandis que 7 504 divisé par 8 aura                 petit diagramme en barres correspondant, puis posez cette opération
un quotient de trois chiffres.                     au tableau, en ligne : 123 × 4 = …, puis en colonnes. Avec l’aide des
                                                   élèves qui s’en souviennent, reprenez les étapes décrites dans l’encadré
                                                   « J’observe » page 47, en détaillant bien et à l’aide de couleurs. Il s’agit
                                                   de la table de 4 qui est, en principe, bien connue des élèves. Expliquez
                                                   clairement le rôle de la retenue, qui est ajoutée après avoir multiplié
                                                   (et non pas avant, comme dans une addition). Reprenez deux fois, si
                                                   cela vous paraît nécessaire. Procédez de même pour le petit problème
                                                   des 3 disques durs, et la division de 186 par 3. Montrez bien qu’on ne
                                                   peut pas, au début, partager une centaine en trois : c’est la raison pour
                                                   laquelle on partage 18 dizaines en trois. Pour trouver le résultat de 18
                                                   divisé par 3, verbalisez sous la forme : « En 18 combien de fois 3 ? »
                                                   (6 fois). Ici aussi, il peut être utile de faire deux fois le calcul devant la
                                                   classe. Faites remarquer que pour effectuer en colonnes une multipli-
                                                   cation on commence par multiplier les unités, c’est-à-dire le chiffre le
                                                   plus à droite. En revanche, pour effectuer une division, il faut commen-
                                                   cer par le chiffre qui représente la plus grande valeur, c’est-à-dire le
                                                   chiffre le plus à gauche. Pour que les élèves puissent acquérir de bons
                                                   réflexes, montrez à haute voix comment vous allez vérifier que le résul-
                                                   tat est raisonnable : Dites : « 123 est plus grand que 100, donc le pro-
                                                                                                                                    ©La Librairie des Écoles, 2018

                                                   duit de 123 par 4 doit être plus grand que 400. 492 est plus grand que
                                                   400. Donc 492 est une réponse raisonnable ». Faites maintenant ouvrir
                                                   le manuel page 47, invitez les élèves à prendre connaissance de l’enca­
                                                   dré « J’observe », et à compléter les cases réponses. Puis après avoir
                                                   fermé le livre, demandez aux élèves de refaire ces deux opérations sur
                                                   leur cahier. Passez dans les rangs. Ré-expliquez si nécessaire. Annoncez

      Unité 3 • La multiplication et la division
aux élèves : « Aujourd’hui, nous allons revoir quelques multiplications                                                   Manuel p. 47
                                 et divisions de nombres à 3 ou 4 chiffres par des nombres à un chiffre. »           Séance             24 Multiplier et diviser
                                                                                                                                                                                          Calcul mental Exercice 24 - Guide pédagogique

                                  2 Effectuer quelques multiplications et divisions
                                                                                                                                                                                               Exercices pp. 53-54 - Fichier photocopiable

                                                                                                                            J’observe

                                                                                                                            La mère d’Idris veut acheter 4 imprimantes identiques.                          123 €
                                 Invitez maintenant les élèves à ouvrir leur manuel page 48 et à effectuer                  Chaque imprimante coûte 123 €.
                                                                                                                            Combien coûtent 4 imprimantes ?

                                 individuellement l’exercice 1. Pour cet exercice, ce sont les tables de 6 et               123 € × 4 =                €                                                                    ?

                                                                                                                            Multiplie les unités           Multiplie les dizaines              Multiplie les centaines

                                 7 qui sont sollicitées, en général moins bien mémorisées. Pour les élèves                  par 4.
                                                                                                                                        1
                                                                                                                                       1 23
                                                                                                                                                           par 4 puis additionne.
                                                                                                                                                                           1
                                                                                                                                                                        1 23
                                                                                                                                                                                               par 4.
                                                                                                                                                                                                                    1
                                                                                                                                                                                                                 1 23
                                                                                                                                   ×      4
                                 qui en ont besoin, autorisez la consultation de la table de Pythagore. Pas-
                                                                                                                                                                    ×       4                              ×         4
                                                                                                                                          2                               9 2                                    4 9 2
                                                                                                                            4 × 3 unités = 12 unités       4 × 2 dizaines = 8 dizaines         4 × 1 centaine
                                 sez dans les rangs pour valider et aider. Corrigez au tableau. [Réponses :                 Échange 12 unités
                                                                                                                            contre 1 dizaine
                                                                                                                                                           8 dizaines + 1 dizaine
                                                                                                                                                           = 9 dizaines
                                                                                                                                                                                               = 4 centaines

                                                                                                                            et 2 unités.
                                 a) 17 700 b) 62)] Procédez de même pour les exercices 2 et 3 : passez                      4 imprimantes coûtent                  €.

                                 dans les rangs et corrigez successivement. Pour le 3, rappelez aux élèves                  La mère d’Idris a payé 186 € pour 3 disques durs externes.                                      186 €
                                                                                                                            Combien a-t-elle payé pour chaque disque dur externe ?
                                 la notion de quotient et de reste, en montrant et expliquant le schéma                     186 € ÷ 3 =                €                                                                                ?

                                 ci-contre (voir encadré). La réponse se présente sous la forme : Quotient                  Divise 18 dizaines par 3.
                                                                                                                                          1 8 6 3
                                                                                                                                                                               Divise 6 unités par 3.
                                                                                                                                                                                              1 8 6 3

                                 =… Reste =… Faites vérifier que pour chaque division le reste est infé-
                                                                                                                                        – 1 8   6                                           – 1 8   6 2
                                                                                                                                            0                                                   0 6
                                                                                                                                                                                              –   6

                                 rieur au nombre par lequel on divise. Pour le 2 c) et le 3 b) il sera utile                Échange 1 centaine contre 10 dizaines.
                                                                                                                                                                                                  0

                                                                                                                                                                               6 unités ÷ 3 = 2 unités

                                 lors de la correction au tableau de bien expliquer la gestion des zéros
                                                                                                                            18 dizaines ÷ 3 = 6 dizaines

                                                                                                                            La mère d’Idris a payé                € pour chaque disque dur externe.

                                 intermédiaires. Pour le 3 b), verbalisez ainsi : « 8 centaines ÷ 4 = 2 cen-
                                                                                                                                                                                                Unité 3 • La multiplication et la division    47

                                 taines. 2 × 4 = 8 ; 8 – 8 = 0. Il reste zéro centaine et zéro dizaine. Donc 0
                                 dizaine ÷ 4 = 0 dizaine 5 unités divisées par 4 donnent 1 unité… Le quo-                                                  Manuel p. 48
                                 tient est 201 et il reste 1 unité. » Pour le 3 c) : « … en 2 combien de fois
                                                                                                                   1 Calcule le produit et le quotient.
                                 9 : 0 fois puis en 21 combien de fois 9 ÷ 2 fois ….. » Ces zéros sont les              a) 2 950 × 6 =                                     b) 434 ÷ 7 =

                                 principales sources d’erreurs. Pour les éviter, montrez aux élèves com-                ×
                                                                                                                               2        9          5       0
                                                                                                                                                           6               –
                                                                                                                                                                                  4        3           4             7

                                 ment on peut savoir, avant d’effectuer les calculs, combien le quotient
                                 comportera de chiffres : voir encadré ci-contre. C’est un moyen très utile        2 Calcule les produits suivants.

                                 de contrôle ! L’exercice 4 sera cherché en binômes : passez dans les rangs             a) 123 × 3 =                        b) 127 × 7 =                         c) 308 × 8 =

                                 pour valider et arbitrer les éventuels différends. Demandez à des élèves          3 Trouve le quotient et le reste de ces divisions.
                                                                                                                        a) 693 divisé par 3                 b) 805 divisé par 4                  c) 921 divisé par 9
                                 volontaires d’expliquer à la classe les stratégies gagnantes.
                                                                                                                   4 Joue avec ton voisin.

                                  3 Pratique autonome : multiplier et diviser
                                                                                                                        Étape 1 Lance trois dés.
                                                                                                                        Étape 2 Utilise les trois chiffres obtenus pour former un nombre à trois chiffres
                                                                                                                                de ton choix.
                                                                                                                        Étape 3 Multiplie ce nombre par l’un des trois chiffres obtenus en lançant
                                 Faites chercher individuellement les exercices du fichier photoco-                             les dés, de manière à obtenir le plus grand produit possible.

                                 piable pages 53 et 54. Pour le 2 et le 3, incitez les élèves à contrôler
                                 leurs réponses en cherchant (avant d’effectuer les calculs) le nombre
                                 de chiffres du quotient, et à vérifier que le reste est inférieur au
                                 nombre par lequel on divise.                                                           Quelle est la stratégie pour obtenir le plus grand produit possible ?
                                                                                                                        Quelle est la stratégie pour obtenir le plus petit produit possible ?

                                                                                                                   48                                                                                  Unité 3 • La multiplication et la division

                                 Différenciation
                                 Soutien : Proposez aux élèves qui ne maîtrisent pas les tables de mul-
                                 tiplication de pouvoir les consulter. Revenez avec eux sur les exemples
                                 de l’encadré « J’observe », en réexpliquant bien chaque étape. Expli-
                                 quez à nouveau la recherche du nombre de chiffres du quotient.
                                 Reprenez des verbalisations telles que par exemple : « En 18 combien
                                 de fois 3 ? (6 fois). 6 × 3 = 18 ; 18 – 18 = 0 J’abaisse le 6… »
                                 Approfondissement : Proposez aux élèves avancés de contrôler les
                                 résultats de l’exercice 3 en effectuant les multiplications. Ex : pour
                                 le b) : 201 × 4 = 804. 804 + 1 = 805. En binôme, s’il reste du temps,
                                 demandez aux élèves avancés de se poser mutuellement des calculs
                                 analogues, puis de les corriger. Arbitrez les différends.
©La Librairie des Écoles, 2018

                                                            Synthèse de la séance
                                  • Je sais effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre.
                                  • Je sais effectuer des divisions par un nombre à un chiffre.
                                  • Je sais que le reste doit être inférieur au nombre par lequel on divise.
                                  • Je sais prévoir le nombre de chiffres du quotient : pour cela je regarde
                                    si le chiffre le plus à gauche peut être divisé.

                                                                                                                 Unité 3 • La multiplication et la division
Séance             25 Multiplier des nombres à 3 ou 4 chiffres
Objectifs S’entraîner à multiplier des nombres à 3 ou 4 chiffres par des nombres à 1 chiffre.
Compétence du programme 2016 : Techniques de la multiplication posée et de la division posée pour les nombres
entiers.

                                                   DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE                    – durée de la séance : 1 heure

                                                                Étapes de la séance                             Modalité
                                                   1 Multiplier des nombres à 3 ou 4 chiffres          Collectif et individuel

                                                   2 Exercices guidés                                           Individuel

                                                   3 Pratique autonome                                          Individuel
                                                                                                    Matériel pédagogique :
                                                   Manuel : p. 49
                                                                                                    ardoises pour les élèves,
                                                   Fichier photocopiable : pp. 55-56
                                                                                                    disques-nombres
                                                   Vocabulaire : Multiplication, division, quotient et reste.

                                                   1 Multiplier des nombres à 3 ou 4 chiffres
                                                  Demandez : « Qui se rappelle ce que nous avons vu à la dernière
                                                  séance ? Nous avons revu certaines situations de multiplication et
                                                  division. » Projetez la page 46 du manuel. « Que veut acheter le père
                                                  de Maël ? » Dessinez le modèle en barre au tableau correspondant à
                                                  cette question et montrez à nouveau comment il permet de simplifier
                                                  le problème : demandez « Que représente une unité ? Que devons-
                                                  nous chercher ? Quelle est l’opération qui donnera la réponse ? »
                                                  Posez au tableau, en colonne, la multiplication 825 × 3. Détaillez
                                                  alors les calculs, comme dans l’encadré « ­J’observe » page 49, en
                                                  posant les questions suivantes et en complétant au fur et à mesure
                                                  les différentes étapes de l’opération écrite au tableau (selon le
                                                  modèle de la page 49) : « Que valent 5 unités multipliées par 3 ? Que
                                                  valent 2 dizaines multipliées par 3 ? Que valent 6 dizaines ? » (60)
                                                  « Combien valent 8 centaines multipliées par 3 ? Que valent 24 cen-
                                                  taines ? » (2 400)
                                                  « Combien vaut 825 × 3 ? » Écrivez au tableau :
                                                  825 × 3 = (3 × 5 unités) + (3 × 2 dizaines) + (3 × 8 centaines)
                                                           = (3 × 5) + (3 × 20) + (3 × 800)
                                                           = 2 475
                                                  « Comment pouvons-nous vérifier cette réponse ? 825 c’est un peu
                                                  moins que 1 000, donc 825 × 3, c’est un peu moins que 3 000. On a
                                                  trouvé 2 475 ; la réponse est raisonnable ». Faites ouvrir le manuel
                                                  page 49 et demandez aux élèves de prendre connaissance de l’enca-
                                                  dré « ­J’observe » : relisez ce paragraphe, répondez aux questions et
                                                  demandez aux élèves de compléter la réponse dans le cadre. Projetez
                                                  à nouveau la page 46 et posez la question : « Imaginez maintenant
                                                  que nous voulons acheter trois ordinateurs de modèle B, quel sera le
                                                                                                                                 ©La Librairie des Écoles, 2018

                                                  prix total ? » Demandez aux élèves de prendre leur ardoise et de des-
                                                  siner le modèle en barres correspondant. Faites lever les ardoises, puis
                                                  validez. Dessinez ce modèle en barres au tableau. Demandez mainte-
                                                  nant aux élèves d’écrire l’opération sur leur ardoise. Levez les ardoises,
                                                  validez et concluez avec les élèves qu’il faut calculer 1 825 × 3.

     Unité 3 • La multiplication et la division
Posez l’opération en colonnes au tableau, selon la même technique                                                              Manuel p. 49
                                 que page 47. En dialoguant avec la classe, effectuez cette opération,               Séance          25 Multiplier des nombres
                                                                                                                                        à 3 ou 4 chiffres
                                 d’une manière analogue et concluez, en écrivant au tableau :                                                                                                   Calcul mental Exercice 25 - Guide pédagogique
                                                                                                                                                                                                    Exercices pp. 55-56 - Fichier photocopiable

                                 « 1 825 × 3 = (3 × 5) + (3 × 20) + (3 × 800) + (3 × 1 000)                           J’observe

                                                                                                                      Le père de Maël veut acheter
                                 1 825 € × 3 = 5 475 €.
                                                                                                                                                                                              On multiplie pour
                                                                                                                      3 ordinateurs portables.                                                trouver la réponse.
                                                                                                                      Chaque ordinateur coûte 825 €.                         825 €

                                 3 ordinateurs de modèle B coûtent 5 475 € »
                                                                                                                      Combien coûtent 3 ordinateurs ?

                                                                                                                                                                                          ?
                                 « Comment pouvons-nous vérifier que cette réponse est raison-                        Multiplie les unités                       Multiplie les dizaines              Multiplie les centaines
                                                                                                                      par 3.                                     par 3.                              par 3 puis additionne.

                                 nable ? » Amenez les élèves à exprimer oralement que « 1 875 est un                             ×
                                                                                                                                   8 2 5
                                                                                                                                       3                                 ×
                                                                                                                                                                           8 2 5
                                                                                                                                                                               3                                 ×
                                                                                                                                                                                                                   8 2 5
                                                                                                                                                                                                                       3
                                                                                                                                     1 5                                     1 5                                     1 5
                                 peu moins que 2 000 etc. »                                                                                                                  6 0                                     6 0
                                                                                                                                                                                                                 2 4 0 0
                                                                                                                                                                                                                 2 4 7 5
                                 Posez les questions : « Comparez ces deux multiplications (d’un                      3 × 5 unités = 15 unités                   3 × 2 dizaines = 6 dizaines         3 × 8 centaines
                                                                                                                                                                                                     = 24 centaines

                                 nombre à 4 chiffres et d’un nombre à 3 chiffres par un nombre à un                   825 × 3 = (3 × 5 unités) + (3 × 2 dizaines) + (3 × 8 centaines)
                                                                                                                              = (3 × 5) + (3 × 20) + (3 × 800)
                                 chiffre). Quelles étapes sont les mêmes ? Quelles étapes sont diffé-                         = 2 475                                 3 ordinateurs coûtent                                                       €.

                                 rentes ? ». Annoncez aux élèves l’objectif de la séance : « Aujourd’hui,           1 Écris les nombres manquants.
                                                                                                                             2          6              3          4                                  3             9             8                6
                                 nous allons effectuer plusieurs multiplications par des nombres à un                 ×
                                                                                                                                                       1
                                                                                                                                                                  3
                                                                                                                                                                  2
                                                                                                                                                                                  ×                                                               4

                                 chiffre. »                                                                                  1          8              0          0
                                                                                                                                                                                          1          2             0             0                0

                                  2 Exercices guidés                                                                  Utilise des 10 000 1 000   100   10   1   pour vérifier tes réponses.
                                                                                                                                                                                                     Unité 3 • La multiplication et la division        49

                                 Demandez aux élèves de chercher l’exercice 1 page 49. Guidez-les
                                 pour cet exercice, en passant dans les rangs, pour rectifier les erreurs et
                                 réexpliquer si besoin. Ensuite, faites chercher individuellement l’exer-
                                 cice 2. Envoyez quelques élèves au tableau pour présenter leur travail.
                                 Corrigez les erreurs et mauvaises conceptions avant de passer à la suite.

                                  3 Pratique autonome
                                 Invitez les élèves à chercher individuellement les pages 55 et 56 du
                                 fichier photocopiable. Expliquez la gestion des zéros intermédiaires en
                                 traitant collectivement le 1 e) : « …8 × 0 dizaines = 0 dizaine = 0. Cette
                                 ligne sera vide ! » Signalez que l’exercice 2 comporte aussi des divisions.
                                 Pour s’aider, dites aux élèves qu’ils peuvent revoir la séance précédente.
                                 Dites aux élèves que la dernière division peut être astucieusement réso-
                                 lue d’une autre manière qu’en posant la division ! (Par exemple par une
                                 multiplication à trous ou en raisonnant sur les dizaines). Assurez-vous
                                 de la compréhension de l’exercice 2 b) où Idris va suivre un chemin qui
                                 part en haut à gauche (12 096) pour s’achever en bas à droite (28 872).
                                 Rappelez la signification des mots « produit » et « quotient » : résultats
                                 (respectivement) des multiplications et des divisions.

                                 Différenciation
                                 Soutien : Revoyez avec les élèves fragiles les décompositions des
                                 nombres en milliers, centaines, dizaines et unités. Reprenez les
                                 exemples du manuel en détaillant bien chaque étape.
                                 Proposez aux élèves qui en ont besoin d’utiliser encore les tables de
                                 multiplication. Montrez-leur comment se servir des disques-nombres
                                 pour vérifier les réponses des multiplications.
                                 Approfondissement : Demandez aux élèves avancés de vérifier les
                                 divisions par les multiplications inverses puis, s’il reste du temps, de
                                 se poser mutuellement de nouvelles multiplications analogues.
©La Librairie des Écoles, 2018

                                                             Synthèse de la séance
                                  • Je sais effectuer les multiplications d’un nombre à 3 ou 4 chiffres par
                                    un nombre à 1 chiffre : je dois multiplier successivement les unités, les
                                    dizaines, les centaines et les milliers, puis je dois additionner tous les
                                    résultats.

                                                                                                                 Unité 3 • La multiplication et la division
Séance              26 Multiplier et estimer
 Objectifs Multiplier des nombres à 3 ou 4 chiffres par des nombres à 1 chiffre. Estimer le résultat
           d’une multiplication.
 Compétence du programme 2016 : Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé : la multiplication. Vérifier
 la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.

                                                    DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE                  – durée de la séance : 1 heure
Encadré spécial
Multiplications                                                Étapes de la séance                         Modalité
Les élèves ont déjà étudié les tech-                                                                       Collectif
                                                    1 Une autre méthode de multiplication
niques de la multiplication. Le pro-
                                                    2 Exercices guidés                                     Individuel
pos ici est de remettre en place ces
techniques et de s’assurer que les                  3 Pratique autonome                                    Individuel
élèves les comprennent bien.                        Manuel : pp. 50-51                           Matériel pédagogique :
                                                    Fichier photocopiable : pp. 55-56
Estimations                                         Vocabulaire : arrondir, estimer, environ, valeur approchée.
Discutez avec les élèves de l’intérêt
d’une estimation : elle permet de
trouver de manière rapide et simple
                                                    1 Une autre méthode de multiplication
la valeur approchée d’un produit,                  Demandez : « Qui peut dire comment nous avons fait hier pour
ce qui est très utile dans la « vraie              effectuer une multiplication ? » Amenez les élèves à rappeler qu’il
vie » : par exemple, une personne                  fallait multiplier successivement les unités, les dizaines, les centaines,
qui veut acheter beaucoup d’exem-                  les milliers. On mettait ces résultats les uns en dessous des autres puis
plaires d’un même objet va estimer                 on les additionnait. Dites : « Aujourd’hui, nous allons voir une autre
le coût total de ses achats pour s’as-             façon de multiplier par un nombre à un chiffre ». Posez au tableau,
surer que son budget le lui permet.                en colonnes 1 258 × 6. Explicitez les étapes du calcul, comme montré
Demandez aux élèves s’ils pensent                  dans l’encadré « J’observe » page 50. Détaillez particulièrement la
à d’autres exemples où une estima-                 gestion de la retenue : il est essentiel que les élèves comprennent que
tion d’un produit est utile.                       les retenues sont ajoutées après avoir multiplié et pas avant. Met-
Exemple : Payer dans une monnaie                   tez en évidence que ces deux méthodes sont fondamentalement les
étrangère, etc.                                    mêmes : on multiplie d’abord les unités, puis les dizaines, etc. La pré-
                                                   sentation des deux techniques est cependant différente. Demandez :
                                                   « Comparez les deux méthodes. En quoi sont-elles semblables ? En
                                                   quoi sont-elles différentes ? Quelle méthode préférez-vous ? Pour-
                                                   quoi ? » Assurez-vous que les élèves comprennent bien la gestion
                                                   des échanges. Faites alors ouvrir le manuel page 50, pour prendre
                                                   connaissance de l’encadré « J’observe » et compléter le résultat. Reli-
                                                   sez les différentes étapes. Répondez aux questions. Annoncez aux
                                                   élèves l’objectif de la séance : « Aujourd’hui nous allons utiliser cette
                                                   méthode de multiplication. Nous allons aussi comprendre comment,
                                                   en arrondissant un des nombres, nous pouvons estimer la valeur d’un
                                                   produit. Nous pourrons ainsi nous rendre compte si notre résultat est
                                                   raisonnable. »

                                                    2 Exercices guidés
                                                   Guidez les élèves pendant qu’ils cherchent l’exercice 1 a) en passant
                                                                                                                                ©La Librairie des Écoles, 2018

                                                   dans les rangs, en aidant et en validant. Puis laissez-les travailler
                                                   seuls pour le 1 b). Envoyez quelques élèves présenter leur travail au
                                                   tableau. Corrigez les erreurs et mauvaises conceptions avant de pas-
                                                   ser à la suite. Pour l’exercice 2, rappelez d’abord aux élèves le rôle
                                                   de l’arrondi : « Il s’agit de trouver un arrondi de l’un des nombres,

      Unité 3 • La multiplication et la division
qui permettra un calcul plus simple, un calcul mental la plupart du                                                    Manuel p. 50
                                 temps. Le résultat sera moins précis mais on pourra quand même                      Séance               26 Multiplier et estimer
                                 s’assurer qu’il est raisonnable. »                                                                                                                          Calcul mental Exercice 26 - Guide pédagogique
                                                                                                                                                                                                 Exercices pp. 57-58 - Fichier photocopiable

                                 « Quel est le nombre le plus proche de 4 025, est-ce 4 000 ou 4 100 ?                   J’observe
                                                                                                                     Voici une autre méthode :
                                 En quoi arrondir un nombre nous aide-t-il à estimer la valeur d’un                    Multiplie                Multiplie                   Multiplie                              Multiplie
                                                                                                                       les unités.              les dizaines                les centaines                          les milliers

                                 produit ? » Laissez les élèves compléter puis corrigez. Pour l’exer-                                 4
                                                                                                                                  1 2 58
                                                                                                                                                puis additionne.
                                                                                                                                                        1 32 45 8
                                                                                                                                                                            puis additionne.
                                                                                                                                                                                       1
                                                                                                                                                                                       1 32 5 8
                                                                                                                                                                                                                   puis additionne.
                                                                                                                                                                                                                        1
                                                                                                                                                                                                                         12 5 8

                                 cice 3, guidez les élèves pour estimer la valeur du produit, en arron-
                                                                                                                              ×        6            ×           6                  ×          6                    ×           6
                                                                                                                                       8                      4 8                         5 4 8                          7 5 4 8
                                                                                                                       6 × 8 unités              6 × 5 dizaines                 6 × 2 centaines                     6 × 1 millier
                                 dissant l’un des facteurs au millier le plus proche. « Pour estimer le                = 48 unités
                                                                                                                       Échange 48 unités
                                                                                                                                                 = 30 dizaines
                                                                                                                                                 30 dizaines +
                                                                                                                                                                                = 12 centaines
                                                                                                                                                                                12 centaines +
                                                                                                                                                                                                                    = 6 milliers
                                                                                                                                                                                                                    6 milliers +
                                                                                                                       contre 4 dizaines         4 dizaines                     3 centaines                         1 millier
                                 produit, on arrondit 2 648 au millier le plus proche. Regardez la ligne               et 8 unités.              = 34 dizaines
                                                                                                                                                 Échange
                                                                                                                                                                                = 15 centaines
                                                                                                                                                                                Échange
                                                                                                                                                                                                                    = 7 milliers

                                 numérique : 2 648 est-il plus proche de 2 000 ou de 3 000 ? Pour esti-
                                                                                                                                                 34 dizaines                    15 centaines
                                                                                                                                                 contre 3 centaines             contre 1 millier
                                                                                                                                                 et 4 dizaines.                 et 5 centaines.

                                 mer la valeur de 2 648 × 3, on effectue 3 000 × 3. Pourquoi est-il                  1 258 × 6 =

                                 important de ne pas oublier le mot “environ” dans la réponse ? »                    1 Effectue les multiplications suivantes :

                                 Utilisez la même démarche dans l’exercice 4 : guidez les élèves pour                    a) 2 389 × 4 =
                                                                                                                                  2        3    8        9
                                                                                                                                                                            b) 6 324 × 9 =
                                                                                                                                                                                                6              3             2             4

                                 estimer la valeur du produit en arrondissant un des facteurs à la cen-                  ×                               4                  ×                                                              9

                                 taine la plus proche. L’exercice 5 est semblable à l’exercice 3. Laissez            2 Estime la valeur de 4 025 × 5.                                      4 025

                                 les élèves le chercher seuls puis corrigez au tableau. Pour l’exercice 6,                                                   3 900                  4 000                      4 100                         4 200
                                                                                                                         4 025 est plus proche de 4 000 que de 4 100.

                                 invitez les élèves à effectuer les multiplications selon la nouvelle tech-              4 000 × 5 =

                                                                                                                    50                                                                                         Unité 3 • La multiplication et la division

                                 nique, puis à estimer les produits selon la méthode de l’exercice 4
                                 (arrondi à la centaine) ou selon la méthode de l’exercice 5 (arrondi                                                   Manuel p. 51
                                 au millier). Invitez des élèves à partager leurs résultats avec la classe.
                                                                                          Multiplier et estimer
                                 Rappelez la nécessité de faire une estimation pour s’assurer que sa                  3 Estime la valeur de 2 648 × 3.
                                                                                                                                                          2 648

                                 réponse est raisonnable.                                                                    1 000             2 000                3 000                   4 000

                                                                                                                             2 648 est plus proche de 3 000 que de 2 000.

                                  3 Pratique autonome                                                                        3 000 × 3 =
                                                                                                                             La valeur de 2 648 × 3 est environ                                     .

                                 Demandez aux élèves de chercher individuellement les pages 57 et
                                                                                                                      4 Estime la valeur de 589 × 7.
                                 58 du fichier photocopiable. Les multiplications sont à réaliser selon                                                                589 × 7
                                                                                                                                                                                     500 × 7 ?
                                                                                                                                                                                     600 × 7 ?
                                                                                                                             La valeur de 589 × 7
                                 la nouvelle technique. Pour l’exercice 3, annoncez aux élèves que
                                                                                                                                                                       589 est plus proche de 600 que de 500.
                                                                                                                             est environ                        .      600 × 7 =

                                 certaines multiplications sont justes, d’autres fausses. À eux de corri-
                                                                                                                      5 Estime la valeur de 3 458 × 4.
                                 ger les erreurs et de poser les multiplications correctes !                                                                          3 458 × 4
                                                                                                                                                                                      3 000 × 7 ?
                                                                                                                                                                                      4 000 × 7 ?
                                                                                                                             La valeur de 3 458 × 4                   3 458 est plus proche de 3 000 que de 4 000.
                                                                                                                             est environ                        .     3 000 × 4 =

                                                                                                                      6 Multiplie, puis estime le résultat pour vérifier si ta réponse est raisonnable.

                                 Différenciation                                                                             a) 251 × 4 =                                       b) 319 × 7 =
                                                                                                                             c) 2 137 × 5 =                                     d) 3 402 × 7 =

                                 Soutien : Proposez aux élèves qui en ont besoin d’utiliser encore les                       e) 4 783 × 6 =                                     f) 5 279 × 8 =

                                 tables de multiplication. Mettez les élèves en garde contre la ges-
                                 tion erronée de la retenue. Pour ces élèves, il peut être pertinent de                                                                                                 Unité 3 • La multiplication et la division    51

                                 ne pas mettre les retenues au-dessus des chiffres (comme pour une
                                 addition), mais de les écrire à part, plus loin, puis de les barrer au fur
                                 et à mesure de leur prise en compte.
                                 Approfondissement : Demandez aux élèves avancés d’estimer tous
                                 les résultats des produits des pages 57 et 58 du fichier photocopiable.

                                                             Synthèse de la séance
                                  • Je sais effectuer d’une manière plus rapide les multiplications
                                    d’un nombre à 3 ou 4 chiffres par un nombre à 1 chiffre : je dois
                                    multiplier successivement les unités, les dizaines, les centaines
                                    et les milliers. Quand c’est nécessaire, je procède à des échanges,
                                    qui se traduisent par des retenues.
                                  • Je sais que ces retenues ne fonctionnent pas comme les retenues
                                    des additions : on les ajoute après la multiplication suivante.
                                  • Je sais estimer le résultat d’un produit, en arrondissant l’un des facteurs
©La Librairie des Écoles, 2018

                                    à la centaine la plus proche ou au millier le plus proche.

                                                                                                                  Unité 3 • La multiplication et la division
Séance              27 Diviser avec échange
 Objectifs S’entraîner à diviser avec échanges des nombres à 3 ou 4 chiffres par des nombres à 1 chiffre.
 Compétence du programme 2016 : Algorithme de la division posée pour les nombres entiers.

                                                    DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE                    – durée de la séance : 1 heure
Encadré spécial
Divisions                                                     Étapes de la séance                           Modalité
Cette technique s’appuie sur la
                                                     1 Diviser des nombres à 3 ou
« division-partage » : on partage,                                                                   Collectif et individuel
                                                    4 chiffres par un nombre à 1 chiffre
successivement, les différentes uni-
                                                    2 Pratique autonome                                    Individuel
tés, en commençant par celle qui a
la plus grande valeur. Il est aisé de               Manuel : p. 52                             Matériel pédagogique : ardoises
                                                    Fichier photocopiable : pp. 59-60          pour les élèves, disques-nombres
réaliser ce partage « en vrai » avec
des disques-nombres, ce qui peut                    Vocabulaire : facture, « abaisser un chiffre », « reste partiel »
être utile pour les élèves fragiles.
Les élèves ont déjà travaillé sur l’al-             1 Diviser des nombres à 3 ou 4 chiffres
gorithme de la division posée, pour                Demandez : « Quelle opération avons-nous revue à la dernière
des nombres jusqu’à trois chiffres.                séance ? » (Nous avons revu une méthode de multiplication). Projetez
Le but, ici, est de le réinstaller, en             la page 46 du manuel. « Observez les ordinateurs sur la table ; com-
s’assurant de sa compréhension et                  bien y a-t-il de modèles différents ? » Expliquez à la classe que l’école
de le pratiquer avec des nombres à                 Jules Ferry a commandé 4 ordinateurs identiques et a payé 7 300 €.
4 chiffres.                                        Écrivez au tableau : « 4 ordinateurs. Prix total 7 300 €. » « Comment
Pour les élèves fragiles, mieux vaut               faire pour trouver quel est, parmi ces quatre modèles, le modèle de
qu’ils effectuent moins de calculs,                l’ordinateur commandé par l’école ? Comment pouvons-nous utiliser
mais en les comprenant. On peut,                   un modèle en barres pour représenter ce problème ? » Demandez
par exemple, ne leur faire chercher,               aux élèves de dessiner sur leur ardoise le modèle en barres corres-
dans cette séance, que l’exercice 1                pondant à cet achat. Faites lever les ardoises, validez et dessinez au
page 69 du fichier photocopiable.                  tableau le modèle en barres (tel qu’il est sur le manuel page 52).
                                                   « Que représentent les quatre unités ? Que devons-nous chercher ? »
                                                   Dites : « Écrivez sur votre ardoise l’opération qui donnera le prix
                                                   d’un ordinateur ». Certains élèves proposeront peut-être de faire les
                                                   calculs de multiplications avec les prix des quatre modèles. Expliquez
                                                   alors que ce n’est pas faux, mais que la division est une manière plus
                                                   rapide de trouver le modèle de l’ordinateur, en calculant son prix.
                                                   Posez alors au tableau, en colonnes, la division de 7 300 par 4, telle
                                                   qu’elle est posée dans l’encadré « J’observe ». Commencez par
                                                   demander combien de chiffres comportera le quotient. Invitez les
                                                   élèves qui s’en rappellent à expliquer à la classe la méthode, comme
                                                   cela a été montré à la séance 24 : « 7 300 a 4 chiffres. Le 7, (chiffre
                                                   des milliers) peut être divisé par 4, (car 7 est plus grand que 4.) Donc
                                                   le quotient aura 4 chiffres. » Expliquez ensuite les étapes du calcul,
                                                   en disant par exemple : « On divise 7 milliers par 4 », c’est-à-dire
                                                   qu’on cherche « en 7 combien de fois 4 ». 1 fois, donc j’écris 1 millier
                                                   au quotient.
                                                   1 millier × 4 = 4 milliers. 7 – 4 = 3. Il reste 3 milliers, que j’échange
                                                                                                                                  ©La Librairie des Écoles, 2018

                                                   contre 30 centaines. En y ajoutant les 3 centaines, on trouve
                                                   33 centaines, ce qui revient à « abaisser » 3, à côté du 3. Je par-
                                                   tage 33 centaines en 4, donc je cherche « en 33 centaines com-
                                                   bien de fois 4 ? » 8 fois, donc 8 centaines, que j’écris au quotient.
                                                   8 centaines × 4 = 32 centaines 33 – 32 = 1. Il reste une centaine, que
                                                   j’échange contre 10 dizaines, auxquelles j’ajoute 0 dizaine.

      Unité 3 • La multiplication et la division
Ce qui revient, en fait, à « abaisser » le 0. Etc. Il peut être éventuel-                                           Manuel p. 52
                                 lement nécessaire de recommencer l’explication une deuxième fois.                  Séance          27 Diviser avec échange (1)
                                 Mettez en évidence que, contrairement aux multiplications, on com-                                                                                  Calcul mental Exercice 27 - Guide pédagogique
                                                                                                                                                                                         Exercices pp. 59-60 - Fichier photocopiable

                                 mence par diviser les unités les plus grandes (ici les milliers) c’est-                J’observe

                                 à-dire les chiffres les plus à gauche. Faites remarquer également
                                 que chaque reste, obtenu par soustraction, est toujours inférieur
                                                                                                                                                              7 300 €
                                 au nombre par lequel on divise. Annoncez aux élèves l’objectif de                      Quel modèle d’ordinateur
                                                                                                                        l’école Jules Ferry a-t-elle
                                                                                                                                                                                 Pour trouver le prix
                                                                                                                                                                                 d’un ordinateur, je dois
                                                                                                                        acheté ?                                                 diviser 7 300 € par 4.

                                 la séance : « Aujourd’hui, nous allons effectuer des divisions de                       Divise les             Divise les
                                                                                                                                                                         ?
                                                                                                                                                                       Divise les                   Divise

                                 nombres jusqu’à 4 chiffres par des nombres à 1 chiffre. Pour effec-                     milliers par 4.
                                                                                                                              7 3 00 4
                                                                                                                                                centaines par 4.
                                                                                                                                                    7 3 00 4
                                                                                                                                                                       dizaines par 4.
                                                                                                                                                                          7 3 00 4
                                                                                                                                                                                                    les unités par 4.
                                                                                                                                                                                                       7 3 00 4
                                                                                                                            – 4      1            – 4      18           – 4      18 2                – 4       18 2 5

                                 tuer ces divisions, nous aurons besoin de faire des échanges : 1 mil-                        3                     3 3
                                                                                                                                                  – 3 2
                                                                                                                                                                          3 3
                                                                                                                                                                        – 3 2
                                                                                                                                                                                                       3 3
                                                                                                                                                                                                     – 3 2
                                                                                                                                                      1                     1 0                          1 0

                                 lier contre 10 centaines, 1 centaine contre 10 dizaines et 1 dizaine                                                                     – 8
                                                                                                                                                                              2
                                                                                                                                                                                                       – 8
                                                                                                                                                                                                           20
                                                                                                                                                                                                         – 20

                                 contre 10 unités. »                                                                     7 milliers ÷ 4         Échange 3 milliers     Échange 1 centaine
                                                                                                                                                                                                             0
                                                                                                                                                                                                    Échange 2 dizaines

                                 Faites maintenant ouvrir le manuel page 52, pour prendre connais-
                                                                                                                         Quotient : 1 millier   contre 30 centaines.   contre 10 dizaines.          contre 20 unités.
                                                                                                                         Reste : 3 milliers     33 centaines ÷ 4       10 dizaines ÷ 4              20 unités ÷ 4
                                                                                                                                                Quotient :             Quotient :                   Quotient : 5 unités

                                 sance de l’encadré « J’observe ». Posez des questions pour vous assu-
                                                                                                                                                8 centaines            2 dizaines
                                                                                                                                                Reste : 1 centaine     Reste : 2 dizaines

                                 rer de la compréhension de la situation : « Qu’est-ce que le morceau                   7 300 € ÷ 4 =                         €
                                                                                                                                                                                         Regarde les prix de

                                 de papier déchiré en haut de la page ? Qu’est-ce qu’une facture ? »                    L’école Jules Ferry a payé
                                                                                                                        pour chaque ordinateur. Il s’agit du modèle
                                                                                                                                                                             €
                                                                                                                                                                                 .
                                                                                                                                                                                         l’illustration page 46.
                                                                                                                                                                                         Quel modèle coûte
                                                                                                                                                                                         1 825 € ?

                                 Lisez le phylactère de Maël, et faites remarquer le modèle en barres,
                                                                                                                   52                                                                             Unité 3 • La multiplication et la division

                                 qui est donc analogue à un modèle en barres utilisé lorsqu’on fait
                                 une multiplication : comparez avec celui de Maël page 49. Relisez
                                 les étapes du calcul de la division. Lisez le phylactère d’Adèle et invi-
                                 tez les élèves à compléter les réponses, en s’aidant de la page 46 du
                                 manuel. Corrigez de suite.

                                  2 Pratique autonome
                                 Invitez les élèves à chercher individuellement les pages 59 et 60 du
                                 fichier photocopiable. Faites observer que les divisions qu’ils ont à
                                 effectuer sont guidées au départ, puis de moins en moins. Pour l’exer-
                                 cice 2, ils ne sont plus guidés du tout. Pour cet exercice 2, invitez les
                                 élèves à chercher avant tout calcul, le nombre de chiffres du quo-
                                 tient et à écrire ce nombre dans le cadre de la division. Rappelez-leur
                                 de vérifier que les restes partiels obtenus par soustraction sont bien
                                 inférieurs aux nombres par lesquels on divise. (On remarque que
                                 toutes ces divisions « tombent juste » : leur reste est égal à 0.)

                                 Différenciation
                                 Soutien : Proposez aux élèves qui en ont besoin de s’appuyer sur
                                 les tables de multiplication et montrez-leur comment les utiliser
                                 pour trouver les « bons » quotients. Aidez les élèves à manipuler
                                 des disques-nombres pour partager et effectuer les échanges néces-
                                 saires : pratiquez avec eux la manipulation pour 7 300 : 4 (7 disques
                                 milliers et 3 disques centaines à partager en 4). Faites utiliser les
                                 disques-nombres pour vérifier les résultats trouvés.
                                 Approfondissement : Demandez aux élèves avancés de vérifier par
                                 des multiplications posées tous les résultats des divisions, puis de se
                                 poser mutuellement de nouvelles divisions analogues.

                                                             Synthèse de la séance
©La Librairie des Écoles, 2018

                                  • Je sais effectuer des divisions d’un nombre à 3 ou 4 chiffres
                                    par un nombre à 1 chiffre avec échanges : je dois partager d’abord
                                    l’unité de plus grande valeur, calculer ce qu’il reste (par soustraction),
                                    l’échanger dans l’unité inférieure, abaisser l’unité suivante, qui vient
                                    s’y ajouter et ainsi de suite.
                                  • Je sais que chaque reste partiel, obtenu par soustraction, doit être
                                    inférieur au nombre par lequel on divise.

                                                                                                                 Unité 3 • La multiplication et la division
Séance              28 Diviser et estimer
 Objectifs Estimer le résultat d’une division d’un nombre à 3 ou 4 chiffres par un nombre à 1 chiffre.
 Compétence du programme 2016 : Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre
 de grandeur.

                                                    DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE                    – durée de la séance : 1 heure
Encadré spécial
Estimations
                                                                Étapes de la séance                          Modalité
Estimer un résultat est un exercice
                                                    1 Estimer le résultat d’une division                      Collectif
difficile pour les élèves : Plusieurs
estimations sont souvent possibles                  2 Exercices guidés                                       Individuel
selon le degré de précision souhaité                3 Pratique autonome                                      Individuel
et la facilité des calculs recherchée.              Manuel : p. 53                                 Matériel pédagogique :
                                                    Fichier photocopiable : pp. 61-62
Arrondis                                            Vocabulaire : arrondir à la dizaine, à la centaine, multiples.
Les arrondis, pour ces calculs, ne
s’effectuent pas à la dizaine (ou                   1 Estimer le résultat d’une division
centaine ou millier) la plus proche,
                                                   Posez la question : « Qu’avons-nous travaillé lors de la dernière
comme les élèves ont appris à le
                                                   séance ? » (La division d’un entier de 3 ou 4 chiffres avec échanges par
faire dans l’unité 2 ! Ici, le nombre
                                                   un nombre à 1 chiffre.) « Qu’est-ce qui était difficile ? » (Trouver les
est encadré par 2 multiples succes-
                                                   bons chiffres au quotient). « Qu’est-ce qui nous a permis de réussir ? »
sifs se terminant par 1, 2 ou 3 zéros.
                                                   (La connaissance des tables de multiplication, qui permet de répondre
On choisit le plus proche comme
                                                   à la question : En…, combien de fois… ?). Effectivement, rappelez aux
arrondi.
                                                   élèves que la connaissance des tables de multiplication est essentielle
                                                   pour réussir les divisions. « Comment pouvait-on s’apercevoir que
                                                   le chiffre placé au quotient n’était pas bon ? Que se passe-t-il si on
                                                   a choisi un chiffre trop grand ? » (Le produit suivant est trop grand
                                                   pour être soustrait) « Et si le chiffre choisi est trop petit ? » (Le reste
                                                   partiel obtenu par soustraction, est supérieur au nombre par lequel
                                                   on divise.) Effectivement, annoncez aux élèves que c’est un moyen
                                                   de contrôler les chiffres écrits au quotient. « Aujourd’hui, nous allons
                                                   étudier un moyen d’estimer le quotient, pour s’assurer que le résultat
                                                   de la division est raisonnable » Écrivez au tableau la division : « 358
                                                   divisé par 4 » Expliquez aux élèves : « Comme on l’a vu pour la multi-
                                                   plication, nous allons arrondir 358, de sorte que la division puisse être
                                                   faite “de tête” ». Tracez la ligne numérique, comme dans le manuel
                                                   page 53, entre 300 et 400. « Il nous faut trouver un nombre, entre
                                                   300 et 400, qui se termine par un 0, proche de 358 et qui soit facile à
                                                   diviser par 4. Quels sont les nombres faciles à diviser par 4 ? » (Les mul-
                                                   tiples de 4). « Quels sont les premiers multiples de 4 ? » Amenez les
                                                   élèves à vous énoncer la table de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
                                                   Soulignez… 32, 36, 40… Écrivez dessous : …320, 360, 400… Demandez
                                                   « Ces nombres sont-ils aussi multiples de 4 ? » (Oui) Demandez « Quel est
                                                   le plus proche multiple de 4 auquel nous devons arrondir 358 ? » (360)
                                                   « Pourquoi ? » (358 est plus proche de 360 que de 320 ou de 360) « Com-
                                                                                                                                 ©La Librairie des Écoles, 2018

                                                   ment trouver une estimation du quotient ? » (En divisant 360 par 4)
                                                   « Combien de dizaines représente 360 ? » Écrivez : 360 = 36 dizaines.
                                                   Puis : 36 dizaines : 4 = 9 dizaines. « Quelle estimation pouvons-nous
                                                   donner du quotient ? » (90).
                                                   « Pourquoi ? » (Parce que 360 ÷ 4 = 90)
                                                   Concluez : « 90 est une valeur estimée de 358 divisé par 4 ».

      Unité 3 • La multiplication et la division
Recommencez l’explication si nécessaire.                                                                         Manuel p. 53
                                 Écrivez maintenant 1 193 divisé par 5 pour chercher à estimer le                      Séance      28 Diviser et estimer
                                 résultat. « Quels sont les multiples de 5 ? » (5, 10, 15…) « Et aussi ? »                                                                         Calcul mental Exercice 28 - Guide pédagogique
                                                                                                                                                                                       Exercices pp. 61-62 - Fichier photocopiable

                                 (50, 100, 150…) « Et aussi ? » (500, 1 000, 1 500…).                                 1 Estime le résultat des divisions.
                                                                                                                        a) Estime la valeur de 358 divisé par 4.

                                 Parmi ces nombres, quel est le nombre le plus proche de 1 193 ?                                                                Pense aux multiples de 4 :
                                                                                                                                                                …, 32, 36, 40, …

                                 [1 000] « Quel est le quotient de 1 000 par 5 ? » Pour aider les élèves
                                                                                                                                                                …, 320, 360, 400, …
                                                                                                                                                                358 est plus proche de 360 que de 320.
                                                                                                                          300                      400          36 dizaines ÷ 4 = 9 dizaines
                                                                                                                                                                360 ÷ 4 = 90

                                 à trouver la réponse, demandez : « Combien de centaines représente
                                                                                                                        b) Estime la valeur de 1 193 divisé par 5.
                                 1 000 ? » (10) « Combien valent 10 centaines divisées par 5 ? » (2).                                                        Pense aux multiples de 5 :

                                 « Donc le résultat est 2 centaines, soit 200 » Concluez : « 200 est une
                                                                                                                                                             …, 5, 10, 15, …
                                                                                                                                                             …, 500, 1 000, 1 500, …
                                                                                                                                                             1 193 est plus proche de 1 000 que de 1 500.
                                                                                                                         1 000       1 500        2 000      10 centaines ÷ 5 = 2 centaines

                                 estimation de 1 193 divisé par 5 ». Ici aussi, si besoin, reprenez l’expli­                                                 1 000 ÷ 5 = 200

                                 cation une deuxième fois. Maintenant écrivez au tableau : 2 391                        c) Estime la valeur de 2 391 divisé par 3.

                                 divisé par 3. Procédez de la même façon, en écrivant les multiples                                                          Pense aux multiples de 3 :
                                                                                                                                                             …, 21, 24, 27, …
                                                                                                                                                             …, 2 100, 2 400, 2 700, …
                                                                                                                                                             2 391 est plus proche de 2 400 que de 2 100.

                                 de 3, pour trouver un arrondi à la centaine de 2 391, facile à diviser                  2 000       2 500        3 000      24 centaines ÷ 3 = 8 centaines
                                                                                                                                                             2 400 ÷ 3 = 800

                                 par 4 (voir l’exercice 1 page 53).
                                 Écrivez 2 400 = 24 centaines, 24 centaines ÷ 3 = 8 centaines. Une                    2 Estime le résultat de ces divisions.
                                                                                                                        a) 358 divisé par 2               b) 633 divisé par 4
                                 estimation de 2 391 divisé par 4 est 800. Concluez avec les élèves :                   c) 2 201 divisé par 5             d) 6 023 divisé par 3

                                 « Si le nombre a 3 chiffres, parfois il est simple de l’arrondir à la cen-
                                                                                                                                                                                        Unité 3 • La multiplication et la division   53
                                 taine. Sinon, on va l’arrondir à la dizaine, c’est-à-dire à un nombre
                                 se terminant par 1 zéro, en cherchant les multiples du nombre par
                                 lequel on divise. Si le nombre a 4 chiffres, parfois il est simple de
                                 l’arrondir au millier. Sinon, on va l’arrondir à la centaine, c’est-à-dire
                                 par un nombre se terminant par 2 zéros. » Invitez les élèves à ouvrir
                                 leur manuel page 53. Lisez l’exercice 1, ainsi que les différents phy-
                                 lactères de pensée, puis invitez les élèves à le compléter. Corrigez de
                                 suite au tableau.

                                  2 Exercices guidés
                                 L’exercice 2 sera cherché individuellement. Passez dans les rangs
                                 pour aider et répondre aux questions. N’hésitez pas à reprendre col-
                                 lectivement les explications si nécessaire. Puis corrigez au tableau,
                                 selon le même schéma que pour l’exercice 1.

                                  3 Pratique autonome
                                 Invitez les élèves à chercher individuellement les pages 61 et 62 du
                                 fichier photocopiable. Faites remarquer aux élèves qu’ils doivent éga-
                                 lement effectuer les divisions. Lisez les phylactères de la page 62. Pré-
                                 cisez aux élèves que les flèches qu’ils voient signifient que les nombres
                                 ont été arrondis. Ainsi, 2 475 ➘ 2 500 signifie que 2 475 a été arrondi
                                 à 2 500. Corrigez l’exercice 1 avant de passer à l’exercice 2.

                                 Différenciation
                                 Soutien : Reprenez avec les élèves fragiles le 2 a) et 2 c) du manuel
                                 page 53, pas à pas, en détaillant bien tous les calculs.
                                 Approfondissement : Demandez aux élèves avancés de vérifier les
                                 divisions par les multiplications inverses, puis de se poser mutuelle-
                                 ment de nouvelles estimations analogues.

                                                             Synthèse de la séance
©La Librairie des Écoles, 2018

                                  • Je sais estimer le résultat d’une division d’un nombre à 3 ou 4 chiffres
                                    par un nombre à 1 chiffre. La plupart du temps, si le nombre
                                    a 3 chiffres, je l’arrondis à la dizaine, en choisissant un multiple
                                    du nombre par lequel je divise. S’il a 4 chiffres, je l’arrondis
                                    à la centaine, toujours en choisissant un multiple du nombre par lequel
                                    je divise. Pour estimer le résultat, il me restera à diviser, selon les cas,
                                    le nombre de dizaines ou le nombre de centaines.

                                                                                                                   Unité 3 • La multiplication et la division
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