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Exercice pythagore brevet corrigé

Fraction, puissances Racines carrées Calcul littéral Pourcentages Système Translation, vecteur, somme. Pythagore, réciproque Thalès, trigonométrie. Espace : cône, Thalès, réduction. Fonctions linéaires et affines. Repérage, vecteur, distance, milieu, symétrique, carré. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm, BC = 13 cm Questions :
Calculer la valeur exacte de AC. En donner la valeur arrondie au mm. Tout d’abord, pour accédez à la leçon sur le Théorème de Pythagore, cliquez sur le bouton ci-dessous pour lire rapidement cette leçon contenant d’autres exercices corrigés : Cliquez pour découvrir la leçon ! Résolution : Question 1 : ABC est un triangle rectangle en A, donc j’utilise
le théorème de Pythagore : On observe sur le triangle ci-dessus que AB = 5 cm et AC = 13 cm. On peut donc remplacer les valeurs de AB et AC dans la formule (1). Maintenant, on voit que BC est au carré (BC²) Ensuite, on sait que l’inverse du carré est la racine carrée. Cela signifie que le carré et la racine carrée se simplifient lorsqu’ils sont utilisés
ensemble. Donc, pour supprimer le carré présent sur BC, nous allons appliquer une racine carrée de chaque côté de l’équation. Allons-y ! Insérons une racine carré ! On voit bien ci-dessus que le carré et la racine carrée sont utilisés en même temps : c’est-à-dire que BC est à la fois au racine et sous un racine carré. C’est à ce moment que le carré et la
racine carrée se simplifient entre eux. C’est parti ! Simplifions Carré et Racine dans l’équation ATTENTION : On simplifie Carré et Racine uniquement quand ils sont ensemble) ! Donc, la valeur exacte de BC est Question 2 : Pour déterminer la valeur arrondie de BC, il nous suffit de calculer la valeur de la racine. Nous avons presque fini !
Convertissons maintenant le résultat en millimètres : Pour répondre correctement à la question nous devons maintenant arrondir au millimètre : La valeur arrondi au mm de BC est 139 mm. Si vous pensez que vous n’êtes pas encore suffisamment préparé pour votre examen de Brevet, vous pouvez toujours accéder aux différents « Packs de révision »
qui vont vous permettre de vous perfectionner à l’épreuve de Mathématiques du Diplôme du Brevet : Cliquez pour découvrir les « Packs de révision » Vous pouvez vous spécialiser encore plus dans chacun des domaines qui sont : L’Algèbre Venez découvrir le « Pack Algèbre » L’Arithmétique Venez découvrir le « Pack Arithmétique« La Maitrise des
tableurs Excel Découvrez le « Pack Fonctions et Gestion de données« Les différentes vidéos contenues en ligne vous permettent de réviser quand vous le souhaitez, à vie et partout dans le monde du moment que vous disposez d’une connexion internet. Articles récents Publié par Fabrice ARNAUD le vendredi 14 mai 2021Je vous propose ici pour vous
préparer un exercice de mathématique de type brevet par jour avec sa correction détaillée. J’ai ajouté des commentaires dans la correction (ils sont en violet) pour vous aider à écrire une rédaction de la réponse (elle est écrite en noir !) la plus précise possible. Pour chaque exercice les liens mènent à certaines de mes fiches de synthèse très utiles
pour préparer l’épreuve de mathématiques du brevet des collèges. J’utilise ces exercices rapides en classe pour les aider dans leur préparation. Cet article peut être complété par l’article : 100 exercices corrigés pour préparer le brevet qui propose plutôt des exercices techniques classés par thème. Voici les fiches à imprimer pour leur fournir ces
exercices : Les exercices J-27 à J-20 Les exercices J-19 à J-14 Les exercices J-13 à J-11 Les exercices J-10 à J-7 Les exercices #J-6, #J-5 et #J-2 Exercice 1 #J-27 (correction) Exercice 2 #J-26 (correction) Exercice 3 #J-25 (correction) Exercice 4 #J-24 (correction) Exercice 5 #J-23 (correction) Exercice 6 #J-22 (correction) Exercice 7 #J-21 (correction)
Exercice 8 #J-20 (correction) Exercice 9 #J-19 (correction) Exercice 10 #J-18 (correction) Exercice 11 #J-17 (correction) Exercice 12 #J-16 (correction) Exercice 13 #J-15 (correction) Exercice 14 #J-14 (correction) Exercice 15 #J-13 (correction) Exercice 16 #J-12 (correction) Exercice 17 #J-11 (correction) Exercice 18 #J-10 (correction) Exercice 19
#J-9 (correction) Exercice 20 #J-8 (correction) Exercice 21 #J-7 (correction) Exercice 22 #J-6 (correction) Exercice 23 #J-5 (correction) Exercice 24 #J-4 (correction) Exercice 25 #J-3 (correction) Exercice 26 #J-2 (correction) Exercice 27 #J-1 (correction) Exercice 28 #Jour J (correction) Exercice Bonus sur les ratios (correction) Exercice 1 #J-27
#unexerciceparjourjusquaubrevet Trigonométrie Brevet des collèges 2010 — Asie Correction Exercice 2 #J-26 Réciproque du théorème de Pythagore ,réciproque du théorème de Thalès, propriété des parallèles et des perpendiculaires Brevet des collèges 2010 — Asie Correction Exercice 3 #J-25 #unexerciceparjourjusquaubrevet Proportionnalité,
fonction linéaire, lecture graphique et pourcentages Brevet des collèges 2010 — Asie Correction Exercice 4 #J-24 #unexerciceparjourjusquaubrevet Probabilités Brevet des collèges Nouvelle-Calédonie 2014 Correction Exercice 5 #J-23 #unexerciceparjourjusquaubrevet Vitesse, tâche complexe Brevet des collèges Centres étrangers — 2014
Correction Exercice 6 #J-22 #unexerciceparjourjusquaubrevet Pourcentage Brevet des collèges Centres étrangers — 2014 Correction Exercice 7 #J-21 #unexerciceparjourjusquaubrevet Fonctions Correction Exercice 8 #J-20 #unexerciceparjourjusquaubrevet Statistiques Correction Exercice 9 #J-19 #unexerciceparjourjusquaubrevet Calcul littéral
,développer, factoriser, produit nul Correction Exercice 10 #J-18 Tâche complexe, équation Correction Exercice 11 #J-17 Volume Correction Exercice 12 #J-16 Tableur, probabilités Correction Exercice 13 #J-15 Volume, débit Correction Exercice 14 #J-14 Pourcentages Correction Exercice 15 #J-13 Échelle, volume, surface Correction Exercice 16 #J-
12 Transformations Correction Exercice 17 # J-11 Lecture graphique, temps, vitesse Correction Exercice 18 #J-10 Volume, coordonnées géographiques, sphère Correction Exercice 19 #J-9 Arithmétique, nombres premiers, décomposition Correction Exercice 20 #J-8 Lecture graphique, fonction, fonction linéaire Correction Exercice 21 #J-7
Modélisation, théorème de Pythagore Correction Exercice 22 #J-6 Scratch, Calcul littéral Correction Exercice 23 #J-25 Homothétie, agrandissement/réduction Correction Exercice 24 #J-4 Scratch Correction Exercice 25 #J-3 Transformations Correction Exercice 26 #J-2 Vitesse Correction Exercice 27 #J-1 Calcul littéral, développement, équation,
fonctions affines Correction Exercice 28 #Jour J Tâche complexe, trigonométrie, volume Correction Exercice 29 #J+1 (canicule) Ratio Correction Exercice 30 #J+2 (canicule) Triangles semblables, trigonométrie Correction Exercice 31 #J+3 (canicule) Scratch Correction Exercice 1 #J-27 — Correction 1) D’après la figure, les points F, R et S sont
alignés. $RF=FS-RS=18~m-1,5~m=16,5~m$ 2) Nous pouvons admettre d’après l’énoncé que le triangle $FRP$ est rectangle en R. Dans ce triangle, sont connues les mesures des côtés $RP=10~m$ et $FR=16,5~m$. Il faut identifier le nom des côtés en les observant depuis l’angle $\widehat{FPR}$ : $FP$ est la mesure de l’hypoténuse, $PR$ est la
mesure du côté adjacent à l’angle $\widehat{FPR}$ (adjacent veut dire qui touche l’angle) et $FR$ est la mesure du côté opposé à l’angle $\widehat{FPR}$. On connaît donc le côté opposé et le côté adjacent à l’angle $\widehat{FPR}$, d’après le cours de trigonométrie nous allons donc pouvoir calculer la tangente de l’angle $\widehat{FPR}$. Dans
le triangle $FPR$ rectangle en R, $\tan \widehat{FPR}=\dfrac{FR}{RP}$ $\tan \widehat{FPR}=\dfrac{16,5~m}{10~m}=1,65$ À la calculatrice on obtient $\widehat{FPR} \approx 59°$ Pour obtenir cette valeur il faut utiliser la fonction Arctan de la calculatrice. Les calculatrices Casio et Texas Instrument permettent d’accéder à cette fonction à
l’aide de la touche tan en appuyant au préalable sur la touche Seconde. Il faut penser à vérifier que la calculatrice est bien configurée pour calculer les angles en degré et penser à faire un arrondi à l’unité. 3) La question consiste à calculer la mesure de l’hypoténuse du triangle $FPR$ rectangle en R. On peut penser à deux méthodes : la plus
naturelle consiste à utiliser le théorème de Pythagore, l’autre fait passer à nouveau par la trigonométrie en utilisant le résultat de la question 2). Méthode 1 : en utilisant le théorème de Pythagore Dans le triangle $FPR$ rectangle en R, D’après le théorème de Pythagore on a : $RF^2+RP^2=FP^2$ $16,5^2+10^2=FP^2$ $FP^2=272,25+100$
$FP^2=372,25$ $FP=\sqrt{372,25}$ $FP \approx 19,29$ La distance $FP$ mesure environ $19,29~m$. L’échelle de $25~m$ est donc largement suffisante ! Méthode 2 : en utilisant la trigonométrie On sait que l’angle $\widehat{FPR}$ mesure environ $59°$. On cherche l’hypoténuse du triangle $FPR$ et on connaît le côté opposé et le côté
adjacent à l’angle $\widehat{FPR}$. On peut donc utiliser au choix le cosinus ou le sinus de cet angle. J’utilise ici le cosinus. Le raisonnement est identique avec le sinus. Dans le triangle $FPR$ rectangle en R, $\cos 59°=\dfrac{RP}{PF}$ $\cos 59°=\dfrac{10~m}{RF}$ Donc $RF=\dfrac{10~m}{\cos 59°} \approx 19,41~m$ Pour cette dernière
étape, une des méthodes pour obtenir la bonne expression consiste à se ramener à l’égalité de deux quotients et à utiliser la règle de trois issues de l’égalité des produits en croix. Voici comment s’en souvenir : $\cos 59°=\dfrac{10~m}{RF}$ donc $\dfrac{\cos 59°}{1}=\dfrac{10~m}{RF}$ on écrit un nombre sous forme d’un quotient. Ainsi en
appliquant la méthode de la quatrième proportionnelle ou règle de trois on arrive à l’expression ci-dessus. On remarque enfin l’écart entre le résultat avec le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Il est une conséquence de l’arrondi à 59° de l’angle. Le résultat avec le théorème de Pythagore est plus précis et reste à privilégier. Exercice 2 #J-26
— Correction On fera l’hypothèse que les points B, O et D ainsi que les points A, O et C sont alignés. On reconnaît une situation d’usage du théorème de Thalès dans sa forme papillon. 1) On voit ici un usage habituel de la réciproque du théorème de Pythagore puisqu’on connaît la mesure des trois côtés. Le plus grand côté de ce triangle est $AB$.
Comparons $OA^2+OB^2$ et $AB^2$. $OA^2+OB^2=4,8^2+3,6^2$ $OA^2+OB^2=23,04+12,96$ $OA^2+OB^2=36$ $AB^2=6^2$ $AB^2=36$ Ainsi on constate que $OA^2+OB^2=AB^2$, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. Il faut bien penser à faire les deux calculs de manière
indépendante puis de conclure ensuite. 2) On pense à une situation de Thalès dans la configuration papillon, les deux droites $(BD)$ et $(AC)$ sont sécantes en $O$. Comparons $\dfrac{OA}{OC}$ et $\dfrac{OB}{OD}$ $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{4,8}{6}=0,8$ $\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{6}{7,5}=0,8$ On constate que $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}
{OD}$, or les points $O$, $A$ et $C$ sont alignés et dans le même ordre que les points alignés $O$, $B$ et $D$, ainsi d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On pense dans la rédaction à parler de l’alignement et de l’ordre des points, c’est indispensable pour utiliser le théorème réciproque. Il faut
également faire les calculs des deux fractions de manière indépendante et conclure ensuite. 3) Nous avons vu dans la première question que les droites $(AB)$ et $(AO)$ sont perpendiculaires. Nous venons de démontrer dans la question 2) que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont paralléles. On sait que : Si deux droites sont parallèles alors toute droite
perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. On en conclut que $(AO)$ est perpendiculaire à $(CD)$, cela démontre que le triangle $OCD$ est rectangle en $C$. Bien penser à écrire clairement la propriété énoncée en sixième ! Exercice 3 #J-25 — Correction 1.a) Pour $6~L$ d’eau on obtient $6,5~L$ de glace. Cela revient à lire l’image de
$6~L$ par la fonction dont est tracée la représentation graphique. 1.b) Pour obtenir $10~L$ de glace il faut utiliser environ $9,3~L$ d’eau liquide. Cela revient à lire un antécédent de $10~L$ par la fonction dont est tracée la représentation graphique. 2) La représentation graphique du volume de glace en litre en fonction du volume d’eau liquide en
litre est une droite passant par l’origine, cela caractérise le fait que ces deux grandeurs sont proportionnelles. 3) Méthode 1 : recherche du coefficient d’augmentation. On cherche le nombre $k$ tel que $10 \times k=10,8$. $k=\dfrac{10,8}{10}=1,08$ Or $1,08=1+0,08=1+\dfrac{8}{100}$ En gelant le volume d’eau augmente de 8 %. Méthode 2 :
en utilisant un tableau de proportionnalité. Volume d’eau $10~L$ $100~L$ Volume de glace $10,8~L$ $\dfrac{10,8 \times 100}{10}=108$ On passe donc de $100~L$ à $108~L$ soit une augmentation de 8 %. Exercice 4 #J-24 — Correction 1.a L’expérience aléatoire consiste à choisir de manière équiprobable une des trois possibilités : pierre,
feuille ou ciseau. Il y a 3 issues possibles à cette expérience. Sur ces 3 issues, pierre perd seulement contre feuille. J’ai donc 1 chance sur 3 de perdre soit une probabilité de $\dfrac{1}{3}$ ou encore d’environ $0,33$ soit environ $33\%$. 1.b Ne pas perdre la partie signifie la gagner ou faire match nul. L’issue pierre produit un match nul, l’issue
ciseau fait gagner. Il y a donc 2 chances sur 3 de ne pas perdre soit $\dfrac{2}{3}$ ou encore d’environ $0,67$ soit environ $67\%$. Une seconde méthode consistait à remarquer qu’il s’agit de l’événement contraire de l’événement de la question 1.a. Ainsi la probabilité de ne pas perdre est égale à $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. 2. On peut
construire un arbre des possibles comme demandé dans l’exercice. On peut aussi présenter cette expérience aléatoire à deux épreuves dans un tableau. 3.a On déduit du tableau ou de l’arbre qu’il y a 9 issues possibles à cette expérience aléatoire à deux épreuves. Comme je joue systématiquement pierre, pour gagner deux fois il faut que l’adversaire
joue deux fois ciseau soit CC. Il n’y a qu’une issue CC. La probabilité de gagner deux fois est donc $\dfrac{1}{9}$ soit environ $0,11$ ou encore $11\%$. 3.b Pour ne perdre aucune partie il faut que l’adversaire joue ciseau (je gagne) ou pierre (match nul). Les issues CC, CP, PP et PC correspondent à cette situation. La probabilité de ne pas perdre est
donc $\dfrac{4}{9}$ soit environ $0,44$ ou encore $44\%$. Exercice 5 — #J-23 Correction 1. D’après le document, il est prévu de parcourir $993~km$ en $8~h~31~min$. Pour les calculs qui concernent le temps, il est souvent pratique de convertir les durées dans l’unité la plus précise de l’exercice. $8~h~31~min=8\times
60~min+31~min=511~min$ Quand on parle de vitesse moyenne, on suppose que le temps et la distance parcourue sont deux grandeurs proportionnelles. Distance $993~km$ $\dfrac{993~km \times 60~min}{511~min} \approx 117~km$ Temps 511~min$ $1~h=60~min$ La vitesse moyenne prévue sur autoroute est d’environ $117~km/h$ 2. Il
faut rouler pendant $8~h~47~min$ en faisant une pause d’au minimum $10~min$ toutes les $2~h$. Une pause de $10~min$ au bout de $2~h$, une autre au bout de $4~h$, puis $6~h$ et enfin $8~h$ même s’il reste moins d’une heure de route. Il faut donc faire 4 pauses d’au minimum $10~min$ soit $40~min$. Le trajet va donc durer au
minimum $8~h~47~min+40~min=9~h~27~min$ 3. Calculons le prix d’un plein ! $60 \times 1,42~€=85,20~€$ Un plein coûte 85,20 €, donc comme le site propose un prix de 89,44 €, il va falloir s’arrêter pour refaire le plein ! Exercice 6 — #J-22 Correction 1. Le magasin A et B proposent des réductions à partir de deux cahiers pour l’un et trois
pour l’autre. Pour l’achat d’un seul cahier, seul le magasin C est rentable. 2.a Comparons les prix pour les trois magasins. La difficulté de l’exercice réside dans le fait que le prix d’un cahier n’est pas précisé. Un raisonnement à partir d’un exemple générique serait acceptable. Un raisonnement en utilisant le calcul littéral est recommandé. À partir
d’un exemple générique… supposons que le cahier coûte 3 €. Le magasin A nous fait payer 6 €. Le magasin B fait payer 3 € + 1,5 €=4,5 €. Le magasin C propose 30 % de réduction. Comme $3 \times \dfrac{30}{100}=\dfrac{90}{100}=0,9$ cela fait 0,9 € de réduction par cahier. On paye donc 2,10 € + 2,10 €=4,20 €. Le magasin C est donc le plus
rentable pour deux cahiers ! À partir du calcul littéral… notons $c$ le prix d’un cahier. Le magasin A fait payer $2c$. Le magasin B fait payer $c+0,5c=1,5c$ Le magasin C diminue le prix de 30 %, il passe donc à $\right(1-\drac{30}{100}\left) \times c=0,70c$. On paye ainsi pour deux cahiers $0,70c+0,70c=1,40c$ Comme $c>0$ (c’est un prix) on
arrive à : $1,40c \simeq 1,50c \simeq 2c$ Le magasin C est le plus rentable ! 2.b On reprend le raisonnement précédent pour 3 cahiers. À partir du même exemple générique… Dans le magasin A on paye 6 €. (car le troisième est gratuit !) Dans le magasin B on paye 3 € + 1,5 € + 3 €=7,5 €. Dans le magasin C on paye 2,10 €+2,10 € + 2,10 €=6,30 €.
Le magasin A devient le plus rentable. À partir du calcul littéral… Dans le magasin A on paye $2c$. Dans le magasin B on paye $c+0,5c+c=3,5c$ Dans le magasin C on paye 3 \times 0,70c=2,10c$ Le magasin A est le plus rentable ! 3. Léa va obtenir 10 % de réduction sur un article soldé à 30 %. À partir d’un exemple générique… à nouveau 3 €. Le
cahier passe de 3 € à 2,10 €. Comme $2,10 \times \dfrac{10}{100}=0,21$, le prix final est $2,10~€-0,21~€=1,89~€$. Reste à déterminer le pourcentage de diminution qui permet de passer de 3 € à 1,89 €. Il y a deux méthodes possibles : Méthode antérieure à la troisième : une fréquence ou le tableau de proportionnalité $3~€ – 1,89~€=1,11~€$ Or
$\dfrac{1,11}{3}=0,37$ donc 1,11 € correspond à 37 % de 3 €. On pouvait aussi utiliser un tableau de proportionnalité entre le prix de départ et la réduction… Méthode de troisième : le coefficient de réduction On cherche le coefficient de réduction $k$ tel que $3k=1,89$ $k=\dfrac {1,89}{3}=0,63$ Or $0,63=1-0,37=1-\dfrac{37}{100}$ Il s’agit
bien d’une réduction de 37 % ! À partir du calcul littéral : Le prix de départ étant $c$, le prix diminué de 30% est 0,70c. On diminue encore de 10% donc $\right(1-\dfrac{10}{100}\left) \times 0,70c=0,90 \times 0,70c=0,63c$ Or $0,63=1-0,37$ On retrouve les 37 % de réduction ! On pouvait bien sur mélanger les différentes méthodes de résolution :
exemple générique, exemple littéral, coefficient de réduction, tableau de proportionnalité, raisonnement à partir du montant de la réduction… Exercice 7 #J-21 Correction 1. Il suffit d’observer la case C2. On constate que $f(0)=-7$ 2. On constate dans le tableau, case F2, on constate que $f(6)=47$ Par le calcul on trouve $f(6)=6^2+3\times 6-
7=36+18-7=47$ 3. L’expression $x^2+3x-7$ correspond à la fonction $f(x)$ et donc à la ligne 2. L’expression $4x+5$ correspond à la fonction $g(x)$ et donc à la ligne 3. En observant ces deux lignes, on constate qu’il y a une égalité dans la colonne E. Donc pour $x=4$ nous avons $x^2+3x-7=4x+5$. 4 est donc une solution de cette équation ! 4. La
fonction $h$ est affine, donc son expression est du type $h(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des nombres. On cherche à déterminer ces deux nombres. On constate dans le tableau que $h(0)=5$. Or $h(0)=a\times 0+b=b$ du coup $b=5$. La fonction affine $h$ s’écrit donc $h(x)=ax+5$. Utilisons une autre image connue, par exemple $h(2)=1$. Comme
$h(2)=a \times 2+5=2a+5$, le nombre $a$ est solution de l’équation $2a+5=1$ $2a+5=1$ $2a=1-5$ $2a=-4$ $a=-\dfrac{4}{2}$ $a=-2$ La fonction $h$ a donc pour expression : $h(x)=-2x+5$ Exercice 8 #J-20 Correction 1. Calculons $\frac{23+9+10+10+23+22+18+16+13+8+8+16+18+10+12}{15}=\dfrac{216}{15}=14,4$ La moyenne de
cette série est 14,4 cm. 2. Il faut classer les mesures dans l’ordre croissant. Il y a 15 valeurs, la médiane est donc la huitième puisque 7+1+7=15. On a : $8\simeq 8

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