Gestion active des risques pour une épargne-retraite pérenne

Gestion active des risques pour une épargne-retraite pérenne
 Aymeric Kalife – September 30th, 2020

Compte tenu du vieillissement rapide de la population, des difficultés de financement de la Sécurité
sociale, et des taux d’intérêt nuls couplés à des krachs financiers récurrents, le développement
pérenne de l’épargne-retraite requiert un produit à fort potentiel de hausse associé à une protection
à la baisse.

Deux catégories de placements d’épargne-retraite sont disponibles :

 • le « fonds en euros » où l’assuré paie une prime pour des rendements d’obligations, combinés
 à une garantie en capital à tout instant. Malheureusement, la persistance de rendements
 obligataires quasi-nuls rend cette opportunité non rentable pour l’assuré, et non soutenable
 pour l’assureur en raison de son coût en capital très élevé.

 • L’alternative est un « placement en actions garanti à long terme », offrant un potentiel de
 hausse significatif et une protection à la baisse, en échange du paiement d’une prime.

Pourquoi la couverture des risques de baisse des actions est-elle nécessaire ?
et comment la mettre en oeuvre ?
Étant donné la garantie à la baisse, l’assureur peut subir une perte significative en cas de chute des
actions:

 Considérons un assuré qui investit
 100 € en actions, dont l’assureur
 garantit un minimum K de 80 € à un
 horizon T d’un an. Le gain pour
 l’assuré est donné par la ligne bleue
 (décomposable en l’action - bleu
 pointillé - et en la protection à la
 baisse de l’action, dite « Put » - rouge
 pointillé). Trois cas sont possibles :

 • Si la valeur terminale S(T) de
 l’action est supérieure à 100 €, le
 client réalise un gain

 • Si la valeur terminale est entre 100
 et 80 €, le client subit une perte
 limitée (entre 0 et 20 €)

 • Si la valeur terminale S(T) est
 inférieure à la garantie K de 80 €, la
 perte du client est plafonnée à 20 €
 (100€ - 80€), tandis que l’assureur
 paie la différence – potentiellement
 massive - entre la garantie K (80 €) et

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la valeur terminale S(T), différence
 appelée « Put » de garantie K 80 € et
 de maturité T 1 an. Ce risque de
 pertes doit être pris en compte dans
 la prime d’assurance, car les pertes
 ultérieures potentielles ne seront
 pas répercutées sur le client.

Ce risque de pertes doit être « couvert », en investissant dans des « actifs de couverture » - dont les
variations compenseront celles de la garantie à la baisse des actions. Compte tenu des montants
(€1800 milliards en France et $6000 milliards aux Etats-unis pour l’épargne-retraite individuelle), les
assureurs sont d’importants acheteurs d’actifs de couverture ($786 milliards en 2010, $2 300 milliards
en 2018 aux Etats-Unis).

Comme la garantie à la baisse est assimilable à un « Put », la couverture des risques de baisse des
actions peut s’effectuer via l’achat de Puts sur actions. Néanmoins leur quantité disponible, limitée,
implique une hausse du prix d’achat, suite à l’impact sur le prix de la quantité significative achetée –
effet appelé « impact de marché ».

Une gestion active des risques permet alors de minimiser le coût de couverture (et in fine le prix du
produit), via la prise en compte explicite de l’impact de marché, et l’optimisation de la stratégie d’achat
de Puts.

Comment la gestion active des risques réduit-elle le coût de couverture ?

1/ La gestion active des risques minimise l’impact de marché des achats de Puts,
adaptée à l’aversion au risque de l’assureur

 Le prix d’équilibre du Put sur l’action S, de
 garantie K et de maturité T, est défini comme = ℚ′ [ − {( − )+ |ℱ }]
 son gain potentiel (K-ST) actualisé moyen.
 Il est croissant avec la hausse de la volatilité σ
 de l’action S.

 L’impact de la quantité achetée de Puts est ici
 intégré au prix du Put, via une fonction
 d’impact f qui accroit la volatilité et par suite le
 prix du Put.
 f dépend du temps, de la volatilité, du nombre
 de Puts achetés.

 Le prix du Put avec « impact de marché » est
 alors équivalent
 • au prix ‘sans impact de marché’ du
 Put
 • dont la volatilité augmente avec la
 quantité de Puts achetée.

 2

A chaque instant t, Puts sont achetés au
prix unitaire , pour un nombre total x de
Puts, et un coût cumulé sur [0,T] C(x) :

En fonction de son aversion au risque λ, •
l’assureur cherche à minimiser :
 •le coût moyen d’achat des Puts
 (correspondant à une aversion au
 risque nulle) •
 où λ pénalise l’aversion au risque de variance du
 •ou le coût moyen pénalisé par la coût.
 dispersion des coûts unitaires des
 Puts (et ce proportionnellement à son
 aversion au risque positive)

Dans le 1er cas (aversion au risque nulle), le
rythme d’achat des Puts minimisant le cout de
couverture
 • est peu influencé par le cours de
 l’action
 • et est croissant à mesure que
 l’échéance T se rapproche.

En revanche, dans le second cas, plus
l’aversion au risque s’accroît
 • Plus l’assureur doit acheter au plus tôt
 les Puts, à un rythme décroissant au
 cours du temps (permettant ainsi de
 réduire la dispersion des prix d’achats)

 • Plus le rythme d’achat dépend du
 cours de l’action : il s accroit à mesure
 que le cours baisse (compte tenu de la
 hausse induite du prix du Put)

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2/ Si les Puts deviennent illiquides ou trop coûteux, la gestion active des risques
implique leur réplication par des ventes massives d’actions en minimisant l’impact
haussier induit sur le coût de réplication

L’assureur réplique les achats massifs de Puts dynamiquement par la vente d’un grand nombre
d’actions, pour un coût de réplication qui augmente avec le nombre d’actions vendues :

 L’impact de la quantité d’actions
 vendues sur le prix est à nouveau St
 = dWt + ρt dαt
 intégré au prix, ici à travers la St
 dynamique du rendement de l’action S,
 décomposable en deux
 parties additives :
 • dWt traduit la dynamique du
 rendement de l’action hors
 impact de marché (σ est la
 volatilité de l’action, W la
 dynamique de trajectoire de
 l’action),

 • ρt dαt désigne la contribution de
 l’impact de marché (α la
 quantité d’actions vendues, ρ
 l’intensité de l’impact de
 marché).

 = ℚ′ [ − {( − )+ |ℱ }]
 Le prix d’un Put étant croissant avec la
 baisse de l’action S, ses variations sont
 approximativement réplicables par des
 ventes dynamiques d’actions.

 Néanmoins la vente d’un grand nombre
 d’actions renforce la baisse initiale de
 l’action, ce qui en retour accroit le prix
 du Put (« effet feedback »)

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 � =
 Compte tenu de cet effet feedback, le 1 − | |
 coût de réplication est alors équivalent
 • au prix ‘sans impact de marché’
 du Put
 • dont la volatilité � augmente
 avec
 o la baisse de l’action S
 o et la hausse de la
 quantité d’actions
 vendues| |

 La gestion active des risques permet
 alors
 • de minimiser la hausse induite
 du prix des Puts
 • en intégrant « l’effet feedback »
 dans la stratégie de réplication
 des Puts par les ventes
 d’actions, de tailles
 dépendantes du cours de
 l’action

Conclusion
Compte tenu de l’environnement démographique et économique, le développement pérenne de
l’épargne-retraite requiert un investissement en actions associé à une protection à la baisse.

La garantie à la baisse et l’ampleur des montants d’épargne-retraite exigent l’achat d’un grand nombre
de Puts sur actions, dont le coût est minimisé via une gestion active des risques, tenant compte de
l’impact de marché et adaptée à l’aversion au risque de l’assureur.

Si les Puts deviennent illiquides ou trop couteux, la couverture des risques implique leur réplication
par la vente d’un grand nombre d’actions, dont il faut minimiser l’impact baissier sur le cours et la
hausse induite du coût de réplication des Puts (effet « feedback »). La gestion active des risques
minimise alors cette hausse induite du coût de réplication des Puts, via une stratégie de vente
dynamique, dépendant du cours de l’action et de l’impact de marché.

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