Du hasard à la Bourse - Free

Du hasard à la Bourse

 Reconnaître le hasard: On
 demande à deux étudiants
 de jouer à pile ou face (H
 Heads T Tails)

 Est‐ce que les étudiants ont
 vraiment lancé des pièces ?

 Comment savoir si l’un des
 deux a « triché » ?

 Voir plus loin dans ces
 transparents pour répondre
 presque immédiatement à
 cette question. 1
 2

 3 4

Ouvrage recommandé en complément des
 Préambule transparents présentés dans cette partie du
 cours et des problèmes du TD1 : « L’ouverture
 au probable : éléments de logique inductive»,
 Pour ceux qui ne viennent pas de la L2 adaptation en français de l’ouvrage « An
 de l’EMS (et même pour ceux-ci !), la introduction to Probability and Inductive
 Logic ». Contient du cours et des exercices.
 (re)lecture du livre d’Erwan Le Saout
 Introduction aux Marchés Financiers, A lire :
 ‐ Partie 1 : logique
 6e édition (chapitres 1, 4, 6, 7, 8, 9 et ‐ Partie 2 : comment calculer les probabilités
 10) est très recommandée ! ‐ Partie 4 : Les divers types de probabilité
 ‐ Partie 5 : probabilité épistémique
 En fait, l’intégralité du livre est à ‐ Partie 6 : probabilité fréquentiste
 connaître, qu’il s’agisse du
 fonctionnement des principaux « Aucune maîtrise préalable en logique ou en
 mathématiques – hormis les quatre opérations
 marchés, des mathématiques – n’est requise pour prendre le risque de la
 financières, de la modélisation lecture.
 Mais ce livre constitue aussi une bonne révision
 financière, des corrélations entre des notions vues au Lycée ou dans le cycle L,
 rentabilités… tout en évitant les redondances.
 5 6

 La finance utilise de plus en
 plus de données, notamment
 via l’émergence du trading à
 haute fréquence, la
 multiplicité des plates formes
 de négociation, l’utilisation de
 données comportementales
 (sentiment de marché),
 souvent issues des réseaux
 sociaux, l’analyse textuelle,
 etc.
 Ces données font l’objet de
 traitement automatisés,
 économétrie et statistiques
 « classiques », mais aussi
 La finance moderne fait un large appel à la modélisation
 apprentissage profond, etc.
 probabiliste et statistique. Il est devenu essentiel de mieux
 7
 comprendre contexte et difficultés méthodologiques. 8

Fortuna, déesse de la chance, Tadeusz Kuntze, 1754
Outre les articles inclus dans les journaux
précédents, les ouvrages de N. Gauvrit,
« vous avez dit hasard ? Entre
mathématiques et psychologie et
« Complexités » de J‐P. Delahaye sont utiles
en complément de ces transparents

 Nicolas Gauvrit
 9 10

 L’émergence de la notion de hasard Le hasard pur est un pur concept
  La dimension poétique du hasard, de l’inattendu  « Le hasard, c’est Dieu qui passe
 incognito »
  « L’homme a appelé hasard la cause de toutes les  “I, at any rate, am convinced that He
 surprises, la divinité sans visage qui préside à tous les does not throw dice.”
 espoirs insensés, à toutes les craintes sans mesure, qui  Albert Einstein, 1926 A. Einstein (1921)
 déjoue les calculs les plus soigneux, qui change les
 imprudences en décisions heureuses ». Paul Valéry

  Ca et là quelqu’un joue avec nous – le cher hasard : il Einstein, stop
 mène notre main à l’occasion, et la providence la plus telling God
 sage ne saurait inventer plus belle musique que celle qui what to do!”
 réussit à notre main insensée. Nietzsche
 Niels Bohr
 11 Niels Bohr 12

L’émergence de la notion de hasard L’émergence de la notion de hasard
  Décrétale naviganti de Grégoire IX (Liber Extra)
 Au 13e siècle, le “traité des contrats” (Pierre de Jean
  Il ne suffit pas d’assumer le seul risque de mer (foenus nauticum,
 Olivi) énonce que le profit est juste s'il est le fruit puis prêt à la grosse aventure) ou invoquer l’incertitude du gain
 du « risque » (doute sur le résultat futur). final pour que l’apporteur de capital ait droit à une rémunération
  « De tels marchands exposent leur argent, ainsi que leurs (échappe à l’usure)
 personnes, puis les marchandises achetées par leur argent,  Mais Olivi fait appel aux « mathématiques financières »
 à de nombreux périls, et ils ne sont pas certains que les  « le marchand à qui il a remis ce capital lui a acheté la cause du
 marchandises achetées leur permettront de retrouver leur profit futur de ce capital, pour un prix équivalent à la probabilité
 capital. » du gain futur telle qu’elle peut être raisonnablement estimée
 periculum : dommage fortuit que peut subir un bien avant que le gain ne se réalise.
  la valeur de la probabilité appréciable ou de l’espoir probable de
  Si à l’origine, le risque est subi, dès le 13e siècle,
 gain qui pourra être tiré de ce capital (…). cette probabilité
 periculum recouvre la notion de risque délibérément pris possède une certaine valeur, appréciable par un certain prix
 temporel, elle peut donc être licitement vendue
 13 14

 L’émergence de la notion de hasard

 Piron, S. (2007). Le traitement de
 l’incertitude commerciale dans la
 scolastique médiévale. Electronic
 Journal for History of Probability and
 Pierre de Jean Olivi Statistics.

 Piron, S. (2004). L'apparition du
 resicum en Méditerranée occidentale,
 XIIe‐XIIIe siècles.
Grégoire IX
 Piron, S. (1997). Marchands et
 confesseurs. Le Traité des contrats
 Saint Thomas d’Aquin d'Olivi dans son contexte
 15 16

L’émergence de la notion de hasard L’émergence de la notion de hasard
 Alea désigne le dé, le jeu de dés et hasard en latin  Aristote : concept d’automaton
  Un passant marche le long d’une maison, une tuile se
 Le mot hasard apparaît dans la langue philosophique, détache à ce moment du toit et tombe sur la tête du passant.
 puis dans le langage courant à l’époque de la
  Relation de cause (efficiente) à effet entre la chute de la
 Renaissance
 tuile et la blessure du passant, mais pas d’intentionnalité
 Il dérive de az-zahr (jeu de dés), terme par les  C’est en ce sens qu’il faut entendre « accidentel », fortuit
 exégètes arabes d’Aritoste, qui ont ainsi (mal) traduit  Ce qui se passe n’est pas lié à la recherche d’un but, il n’y a pas de
 finalité ou cause finale, même si cette absence d’intention produits
 son concept d’automaton des effets
 Pour Aristote le hasard (automaton) est ce qui  Si quelqu’un avait lancé la tuile avec l’intention de frapper le passant
 produit en dehors de tout dessein humain ou divin et ou si le passant avait cherché à mettre fin à ses jours, Aristote n’aurait
 pas utilisé le terme « Automaton »
 de tout ordre stable.
  Automaton renvoie à la cause d’événements qui pourraient
  Triple négation être intentionnels, mais qui ne le sont pas
 17 18

  La dimension poétique du hasard, de l’inattendu
 L’émergence de la notion de hasard  Je t'ai rencontré par hasard
  Un passant marche le long d’une maison, une tuile se détache à
 Ici ailleurs ou autre part, (La Vie d’Artiste – Léo Ferré)
 ce moment du toit et tombe sur la tête du passant.
 Pour Cournot, il s’agit de la rencontre de deux séries
 causales « indépendantes »
  Le passant marche le long de la maison
  La tuile tombe du toit (sous l’effet du vent, de sa fragilité)
  « Les événements amenés par la combinaison ou la
 rencontre de phénomènes qui appartiennent à des
 séries indépendantes, dans l’ordre de la causalité, sont
 ce qu’on nomme des événements fortuits ou des
 résultats du hasard » (Cournot 1843, § 40, 55)
  Il ne s’agit pas de hasard, mais de coïncidence ; on parle
 parfois de « hasard objectif » Antoine Augustin Cournot
 19 20

L’émergence de la notion de hasard L’émergence de la notion de hasard
 Cournot adapte Saint Thomas d’Aquin  On voit apparaître une tension entre deux pôles
  Tout effet provenant du concours de deux volontés non contradictoires : le nécessaire et le contingent
 ordonnées entre elles, est un effet de hasard: c'est le cas de
 celui qui, voulant faire un achat, rencontre inopinément au  Le nécessaire : ce qui ne peut être autrement
 marché un créancier.  Spinoza, Laplace ou Leibniz introduisent une rationalité
  Thomas, Somme contre les Gentils, II, 44 et 83 dans le nécessaire, un enchaînement de causes et d’effets
 Bergson insiste sur le caractère subjectif de la notion de  Par opposition à la prédestination ou au bon vouloir et
 hasard qui nous amène à nous interroger sur le caractère aux superpouvoirs divins
 fortuit de certains événements qui attirent notre attention.  la nécessité telle qu’elle apparaît chez Spinoza :
  « Une énorme tuile, arrachée par le vent, tombe et assomme un  Il n’est rien donné de contingent dans la nature, mais tout
 passant. Nous disons que c’est un hasard ». y est déterminé par la nécessité de la nature divine à
  « Le dirions-nous, si la tuile s’était simplement brisée sur le exister et à produire quelque effet d’une certaine manière.
 sol ? il n’y a de hasard que parce qu’un intérêt humain est en
 jeu ». Bergson : Les deux sources de la morale et de la religion
 21 22

 L’émergence de la notion de hasard
 Spinoza
 Logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou
 classique) : 4 modalités Aristote
  Nécessaire (ce qui ne peut pas ne pas être vrai) (image de
  Contingent (ce qui peut être faux) synthèse)
  Contingent s’oppose à nécessaire
 Laplace
  Possible (ce qui peut être vrai)
 Leibniz
  Impossible (ce qui ne peut pas ne pas être faux)
  Possible s’oppose à impossible
 En termes d’événements
  nécessaire : , A contingent :
  possible : , A impossible :
  Ceci s’applique à une collection dénombrable d’événements
 23 24

L’émergence de la notion de hasard L’émergence de la notion de hasard
 Le contingent s’oppose au nécessaire  Il n’y a rien de contingent dans la nature des choses ;
 Ce qui arrive (ou pourrait arriver) sans nécessité : elles sont au contraire déterminées par la nécessité de
 la nature divine à exister et opérer d’une manière
 « hasard ontologique »
 certaine.
  Hasard ontologique au cœur de la physique moderne,
 notamment de la mécanique quantique  Spinoza, Ethique I, proposition 29
  Une particule peut se désintégrer à tout moment de par sa  Pour toute chose, il doit y avoir une cause, ou raison
 nature même, sans cause extérieure assignable, pourquoi elle existe ou pourquoi elle
 n’existe pas
 Spinoza, Laplace ou Leibniz réfutent que les lois de
  Raison assignable = ce que par quoi un événement
 la nature relèvent du contingent
 arrive = cause efficiente : « une pierre tombe à cause
  Mais reconnaissent la complexité d’une représentation du vent (vent : cause efficiente)
 déterministe du réel

 25 26

 L’émergence de la notion de hasard L’émergence de la notion de hasard
  Comme Spinoza comme pour Laplace, nous n’avons
 La raison (suffisante) déterminante de Leibniz
 qu’une connaissance imparfaite de toutes les causes, ce
  « C'est que jamais rien n'arrive, sans qu'il y ait une qui nous amène à nous imaginer plusieurs situations
 cause ou du moins une raison déterminante, c'est-à-
 possibles
 dire quelque chose qui puisse servir à rendre raison a
 priori, pourquoi cela est existant plutôt que non  la possibilité et la contingence (…) ont été tenues par
 existant, et pourquoi cela est ainsi plutôt que de toute quelques-uns pour des affections des choses, alors
 autre façon ». qu’elles ne sont rien cependant que les défauts de
 Le « démon (ou au génie) de Laplace notre entendement.
  Spinoza, pensées métaphysiques, Du nécessaire, de
  «Une intelligence qui, pour un instant donné,
 l'impossible, le possible et le contingent
 connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée
 et la situation respective des êtres qui la composent  Pour Laplace, ce qu’on appelle hasard n’est que
 (…) Rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, « l’expression de l’ignorance où nous sommes des
 comme le passé, serait présent à ses yeux. » véritables causes »
 27 28

L’émergence de la notion de hasard
 Laplace (Essai philosophique sur les probabilités,1814)
  https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96200351/f9.image.texteImage
  Mais l'ignorance des différentes causes à l'origine des
 événements et leurs complexités nous empêchent
 d'atteindre la même certitude dans la plupart des
 phénomènes.
  Ainsi il y a des choses qui sont incertaines pour nous, des Blaise Pascal
 choses qui sont plus ou moins probables, et nous
 cherchons à compenser notre impossibilité de les
 connaître en déterminant leurs différents degrés de
 vraisemblance.
  C'est ainsi que nous devons à la faiblesse de l'esprit
 humain l'une des plus délicates et des plus ingénieuses
 théories mathématiques, les probabilités.
 29 30

 31 32

L’émergence de la probabilité
 Jérôme Cardan mathématicien et joueur de dés
 invétéré explicite le concept d’équiprobabilité dans le
 Liber de ludo aleae vers 1564.
  Le « hasard » apparaît dans les jeux d’argent
  « Le principe le plus fondamental de tous, dans le jeu,
 est simplement des conditions égales en ce qui concerne
 (…) le dé lui-même ».
  « Dans la mesure où vous vous écartez de cette égalité,
 si c’est en faveur du joueur qui vous est opposé, vous
 êtes fou, et si c’est en votre faveur, vous êtes injuste. »
  Cardan s’intéresse à des « dés honnêtes », mais comment
 déterminer a priori si le dé est non pipé ?
 33 34

 L’émergence de la probabilité Ian Hacking, « l’archéologue
 de la probabilité »
 Mais pour Ian Hacking, « l’archéologue de la probabilité »,
 la « probabilité numérique » émergea vers 1660.
 L’analyse historique et conceptuelle de Hacking de
 Il met en avant une dualité fondamentale l’émergence de la probabilité numérique vers 1660
  Probabilité vue comme degré de croyance, épistémique (relative à permet d’ordonner les nombreuses et parfois
 la connaissance), subjective (mais non pas irrationnelle), logique complexes interprétations des probabilités, autour
 d’une dualité consubstantielle : probabilité épistémique
  Probabilité « statistique », « fréquentiste », plus centrée sur (degré de croyance) et probabilité de type fréquentiste.
 l’observation de fréquences aléatoires stables dans le long terme
 (loi des grands nombres) Cette dualité est au cœur de la finance. L’économétrie
 de la finance est marquée par l’approche fréquentiste.
 Persiste aujourd’hui malgré l’axiomatique de Kolmogorov Les marchés financiers, eux par la probabilité
 épistémique, à laquelle ils donnent objectivité et
 Quelques éléments à venir sur les probabilités en l’absence rationalité. En outre, ce sont les dynamiques de prix des
 d’observations (approche épistémique) marchés financiers (no free lunch) qui permettent de
 comprendre la notion mathématique complexe
  Cela s’étendra naturellement au cas où le nombre d’observations d’aléatoirité.
 est faible par rapport au nombre de « paramètres » d’un modèle
 35 36

Un aparté sur les prérequis et les « révisions » en Un aparté sur les prérequis et les « révisions »
 probabilités en probabilités
 Il est fait dans ce cours appel aux probabilités vues au  Un ouvrage sort du lot et est bien
 Lycée (y compris sections L) en phase avec le cours
  Sauf si aucune option maths choisie  Comprend aussi des exercices
  Bien écrit, adapté aux gestionnaires
 Les probabilités sont un domaine notoirement mal assimilé
  Pour de bonnes raisons
 Les ouvrages pour le niveau L en éco-gestion souffrent du
 même problème
  Mélange malheureux entre axiomatique abstraite de Kolmogorov
 et notions non définies d’expériences aléatoires, de tirage au
 hasard, issues du jeu de dés
  Articulation entre théorie des probabilités et « modélisation » ?
  Mélanges malheureux entre induction (data driven, statistiques
 descriptives) et approche fréquentiste (loi des grands nombres)
 37 38

 Un aparté sur les prérequis et les « révisions » http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article‐les‐des‐sont‐pipes‐23561.php

 en probabilités Des probabilités classiques au
 Le livre de Jean‐Pierre Lecoutre est disponible sur
 principe d’indifférence
 ScholarVox (se connecter via ENT/Domino):  Pascal, Laplace, …
 http://univ.scholarvox.com/catalog/book/docid/88870385
  Une nouvelle approche des jeux de «hasard »
  Tirage de dés, jeu à pile ou face
  Angle d’une aiguille lancée en l’air (Buffon)
  Souvent liée à une égale répartition des chances
  Probabilités uniformes
  Tirage à pile ou face
  Deux événements : pile et face
  Probabilité que la pièce tombe sur pile

  Le lancer de dé est alors vu comme une
 « expérience aléatoire » reproductible

 39 40

Des probabilités classiques au principe d’indifférence
 Le lancer d’une pièce illustre l’émergence du contingent
  Il n’y a pas de cause particulière (efficiente) à ce qu’une
 pièce retombe sur pile ou sur face
  La trop grande complexité à déterminer sur quel côté la
 pièce doit (nécessairement) tomber ouvre la voie à un Pièce ancienne : pile ou croix.
 ensemble de possibles
 Le principe de la raison suffisante (déterminante) de
 Leibniz vu comme un principe logique « rien n’arrive sans
 raison » aboutit (paradoxalement) à l’égale répartition
 des chances :
  Les forces qui gouvernent le mouvement de la pièce s’appliquent
 avec une égale intensité pour qu’elle retombe sur pile ou sur face
 Pièce républicaine : pile ou face.
  Probabilités déterminées a priori par symétrie
 41 42

 Des probabilités classiques au principe Des probabilités classiques au principe
 d’indifférence d’indifférence
  L’égale répartition des chances ouvre la voie à un  L’égale répartition des chances about aussi au concept de
 calcul(combinatoire) des probabilités : probabilité conditionnelle :
  Laplace (essai, p. 11) : « probabilité : rapport du nombre de cas  Probabilité d’obtenir un 3 « sachant » que le résultat est impair
 favorables à celui de tous les cas possibles ». ∩ ∈ , , ⁄
 ⁄
 ,
 ∈ , ,
  Et à la notion d’indépendance.
 ∩
  Soit 2 tirages d’une pièce, l’ensemble des possibles est PP, PF,  , probabilité de sachant 
 FP, FF. L’égale répartition des chances entre 2 tirages
 consécutifs implique que chacun des 4 états a une probabilité de
  Ce qui nous amène au théorème de Bayes
 ∩ |
 , ∩ , où , , 

  Les probabilités contemporaines (Kolmogorov) définissent
 d’abord l’indépendance par ∩ ,
  : probabilité a priori de A (ou probabilité marginale)
  On analyse ensuite des suites de tirages pour « savoir » s’ils sont  L’observation de , permet de réviser la probabilité de ,
 indépendants. est souvent appelée probabilité a posteriori

 43 44

Des probabilités classiques au principe Des probabilités classiques au principe
 d’indifférence d’indifférence
 Supposons maintenant que la pièce puisse être « biaisée »  Laplace n’exclut pas que
  Il est en pratique très difficile de biaiser une pièce, contrairement à
 un dé : essayez !  « Lorsque qu’on ne voit aucune raison qui rende l'une plus
 probable que l'autre, parce que, quand bien même il y aurait une
  L’absence de symétrie a priori ne permet alors pas de conclure
 inégale possibilité entre elles, comme nous ignorons de quel côté
 à l’équiprobabilité.
 est la plus grande, cette incertitude nous fait regarder l'une
  « Il pourroit se faire en effet (& je suis même porté à le croire), comme aussi probable que l'autre»
 que le cas pile croix ne fût pas exactement aussi probable que le
 cas croix seul ; mais le rapport des probabilités me paroit  « Mémoire sur la probabilité des causes par les événements »
 (1774), page 61, où Laplace analyse les jeux de dés pipés.
 inappréciable »
  d’Alembert Opuscules Mathématiques tome 2, pages 21-22, 1761  Laplace reprend le principe de la raison non suffisante de
  Pourtant pour Laplace (essai philosophique sur les probabilités, 1814),
 Bernoulli
 « s'il existe dans la pièce, une inégalité qui fasse paraître une des faces
 plutôt que l'autre, sans que l’on connaisse quelle est la face favorisée  “In the absence of any prior knowledge, we should assume that
 par cette inégalité ; la probabilité d'amener croix (pile) au premier the events have equal probability”
 coup sera toujours ».
  Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing), J. Bernoulli, 1713
 45 46

 Des probabilités classiques au principe
 d’indifférence
 Principe d’indifférence : Keynes (1921) dans son traité
 des probabilités renomme/reformule le principe de la
 raison non suffisante :
  « S'il n'y a aucune raison connue pour attribuer à notre
 sujet une alternative plutôt qu'une autre, parmi plusieurs
 alternatives possibles, alors, ces alternatives ont une
 probabilité égale relativement à notre connaissance.
  Des probabilités égales doivent donc être assignées à
 chacun des différents arguments, s'il n'y a pas de raison de
 leur assigner des probabilités inégales ».
 Il est à noter que Keynes est avant tout un critique du
 Ouvrage foisonnant et intéressant, mais difficile à appréhender. Une lecture critique en
 principe d’indifférence. est faite par C.P. Robert (2011) : Reading Keynes' Treatise on Probability. International
 Statistical Review ; elle nécessite néanmoins de (très) bonnes connaissances en
 probabilités.
 47 48

Des probabilités classiques au principe
 d’indifférence
 Bayes et Laplace abordent la question de tirages à pile ou
 face sous un angle nouveau.
  Par tirage à pile ou face, on entend expérience aléatoire où il n’y a que deux
 résultats possibles, 0 ou 1, hausse ou baisse des cours
  On ne connait toujours pas la probabilité …
  On procède à tirages et on tombe sur pile Références à l’essai sur la manière de résoudre un
  Que peut-on en déduire sur la valeur inconnue de ? problème dans la doctrine des risques :
 https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rstl.1763.00
  En l’absence d’information a priori sur la valeur de , 53
 https://www.jstor.org/stable/105741?seq=1#metadata_info_tab
 Bayes et Laplace supposent que suit une loi de probabilité _contents
 uniforme sur l’intervalle
  Ils montrent que la distribution de sachant est une loi
 dite Beta.
 Référence sur la biographie de Thomas Bayes:
  On peut alors construire des intervalles de confiance pour https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/bayespic.htm
 49 50

 Des probabilités classiques au principe
 Des probabilités classiques au principe d’indifférence
 d’indifférence
 Probabilités a priori et approches bayésiennes.  La distribution uniforme est-elle une nécessité logique ?
  En théorie de l’information, l’équiprobabilité correspond à une
  Principe d’indifférence et choix d’une distribution a priori
 entropie ∑ maximale
 uniforme pour la probabilité (Bayes, Laplace) : premiers jalons
  Plus précisément, si on maximise ∑ ∑ sous les contraintes,
  Dans certains contextes, le choix d’une distribution a priori est ,…, 0 et ⋯ 1, on obtient : ⋯ 
 guidé par des considérations logiques (symétrie)
  Approche défendue notamment par Jaynes à partir des années 1950
  Choisir une distribution uniforme pour dans le cas du lancer d’une pièce
  Jaynes a aussi contribué à éclairer (sinon à résoudre) le paradoxe de Bertrand
 n’est pas très logique… en cherchant à « bien poser » le problème du « tirage au hasard ».
 La distribution uniforme : nécessité logique ?  Cette approche est parfois présentée comme une extension du principe
 d’indifférence : « bayésianisme objectif ».
  Deux joueurs peuvent-ils s’accorder sur un jeu de pile ou face
 avec des mises différentes de 2 contre 1 ?  On maximise ∑ en intégrant des contraintes liées à
 des observations de prix d’actifs financiers
  Non, car toute distribution de probabilité « raisonnable » sur dans
  Jackwerth & Rubinstein (1996). Recovering probability distributions from
 ce contexte doit avoir une espérance égale à option prices. The Journal of Finance.
  Si l’un des joueurs a une information privilégiée sur l’asymétrie  Buchen & Kelly (1996). The maximum entropy distribution of an asset
 de la pièce, cette information est révélée par le pari (Aumann) inferred from option prices. Journal of Financial and Quantitative Analysis.

 51 52

Des probabilités classiques au principe Les limites de l’équiprobabilité : doit-on supposer
 d’indifférence le taux de change $/€ ou €/$ équiprobable ?
  Considérons le résultat d’une entreprise qui exporte pour
 $ aux US.
  On note le nombre de $ pour acheter un €.
  Aujourd’hui, 1,17$
  Le résultat en € est donné par : .
  Où est le taux de change « pour l’année à venir »
Fonction de densité des taux de change (à un  On suppose que peut varier de 10% autour de de
horizon de 60 jours), compatibles avec les primes
d’option de change :
 manière uniforme
Maximisation de l’entropie et fonction de  Hypothèse discutable d’un point de vue statistique et économique, choisie
densité a priori log‐normale (modèle de Black et ici par commodité de calcul
 Edwin Jaynes considère que deux
Scholes),
 agents rationnels ayant la même  Exercice TD 1 :
 information devraient aboutir aux  Calculer l’espérance du taux de change futur
 Multimodal Implied Risk‐Neutral Densities, Frachot et
 al (1999) mêmes lois de probabilités (par ex.
  Calculer l’espérance du résultat futur. Discuter ce résultat.
 sur les prix des actifs financiers).
 53 54

 Paradoxe de Bertrand : comment tirer une corde au
 Paradoxe de Bertrand : comment
 hasard ?
 tirer une corde au hasard ?
  3 procédures possibles pour choisir une corde au hasard :
  On considère un cercle. On se extrémités aléatoires, rayon aléatoire, milieu aléatoire
  Extrémités aléatoires : on choisit un premier point sur le cercle en tirant
 demande comment tirer une corde (en de manière uniforme (la mesure d’)un angle (par rapport à un axe de
 rouge) au hasard ? référence) dans 0∘ , 360∘ . On fait de même pour obtenir un second
  Rappels de géométrie : étant donné un triangle, point.
 il existe un unique cercle passant par les
  On trace le triangle équilatéral de sommet le premier point (voir dessin)
 sommets du triangle, dit cercle circonscrit.
  Le centre de ce cercle est le point de
  Les cordes à l’intérieur du triangle (en rouge) sont plus longues que le
 concourance des médiatrices du triangle. côté du triangle. Leur extrémité est située sur l’arc de cercle opposé au
  si est le rayon du cercle la longueur des côtés
 sommet. Sa longueur est le tiers de la circonférence du cercle.
 du triangle équilatéral est égale à 3
  Quelle est la probabilité que la corde
 Extrémités aléatoires :
 rouge, « tirée au hasard » soit plus On déduit de l’analyse géométrique que la
 longue qu’un côté du triangle ? probabilité que la corde soit plus longue qu’un
 côté probabilité 1/3
 Joseph Bertrand
 55 56

Paradoxe de Bertrand : comment tirer une corde au Paradoxe de Bertrand : comment tirer une
 hasard ?
 corde au hasard ?
  3 méthodes possibles pour choisir la corde : extrémités
 aléatoires, rayon aléatoire, milieu aléatoire
  En rouge, cordes plus longues que la longueur du côté du triangle, en
 bleu cordes plus courtes
  Dans chaque cas, la loi uniforme est utilisée, mais pas de la même
 manière

 Extrémités aléatoires Rayon aléatoire Milieu aléatoire
 Extrémités aléatoires Rayon aléatoire Milieu aléatoire 150 simulations
 probabilité 1/3 probabilité 1/2
 150 simulations 150 simulations
 probabilité 1/4
Principe et formalisation des calculs : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand Pour un tuto fait par des
étudiants du MIT : http://web.mit.edu/tee/www/bertrand/problem.html Pour des liens vers du code Python, R, Matlab
https://hpaulkeeler.com/the‐bertrand‐paradox/
 57 58

 Paradoxe de Bertrand : comment tirer une Paradoxe de Bertrand plus aiguille de Buffon :
 corde au hasard ? comment tirer une corde au hasard ?
  L’aiguille de Buffon ?
 On rajoute une
 quatrième
 méthode pour tirer
 des cordes « au
 hasard », celle
 utilisée par Buffon.
 Position du centre
 Aiguilles de Buffon de l’aiguille suivant
 une loi uniforme,
  On lance un grand nombre de fois une aiguille sur un parquet, angle de l’aiguille
 composé de planches parallèles de même largeur. suivant une loi
 uniforme.
  On comptabilise le nombre de fois où l'aiguille tombe à cheval sur
 une rainure du parquet par rapport au nombre total de lancers.
  La proportion d’aiguilles à cheval sur deux lames tend vers 2/ .
  Première illustration de calculs par simulation (méthode de Monte Carlo)

 59 60

Paradoxe de Bertrand et psychologie cognitive Paradoxe de Bertrand et psychologie cognitive
 Comment nos capacités cognitives nous permettent  Enquête 1 auprès de 35 personnes ayant une qualification
 d’appréhender le « tirage au hasard » des cordes universitaire en probabilités : 30% répondent 1/3 , 30% répondent ½,
 personne n’a répondu qu’il pouvait y avoir plusieurs réponses
 possibles.
  Enquête 2 : 75 universitaires ayant du temps pour répondre par écrit.
 Très peu ont noté l’ambiguïté de la question ou la possibilité de
 réponses multiples. 1/3 domine largement ½
  Enquête 3 : On demande de dessiner des cordes au hasard. Les
 cordes longues sont beaucoup plus fréquentes ; il n’y a pas
 indépendance entre les longueurs consécutives. Les cordes sont
 placées pour combler les « blancs ».
  The prevailing opinion among researchers appears to be that
 people are not very good at randomisation tasks
  Faulty conceptions of randomness, attention, information processing
Nickerson, R. (2005). Bertrand's chord, Buffon's needle, and the
concept of randomness. Thinking & reasoning
 61 62

 Paradoxe de Bertrand plus aiguille de Buffon : Le paradoxe de Bertrand et le principe
 comment tirer une corde au hasard ? d’indifférence
 TD : Questions simples (visuelles)  Le paradoxe de Bertrand et principe d’indifférence
  Est-ce que le problème de lancer d’aiguille de Buffon se ramène  Choisir une corde « au hasard » peut être fait de différentes
 à l’un des cas étudiés par Bertrand ? manières, toutes ayant un sens
  Que repère-t-on en regardant les trois simulations précédentes  On peut reformuler le problème de manière unifiée en termes de
 (à propos de la répartition des cordes) ? position du milieu d’une corde sur un rayon du cercle
  Est-ce que l’on peut reformuler le problème de « simulation »  Et se rendre compte que l’on fait tantôt des hypothèses de loi
 de corde de manière plus naturelle ? uniforme sur des angles, des distances ou des coordonnées
  Et à quelle solution cela correspond-il ? (Emile Borel) cartésiennes
  Loi uniforme : mais sur quels paramètres du modèle ?
 TD : Questions plus techniques (géométrie)
  Comment formuler « tirer des milieux » au hasard en  Utilité de cette analyse
 termes de position de la corde sur un rayon (géométrie) ?  Comprendre les différentes approches cognitives du hasard
  Comment formuler tirer des « extrémités au hasard » en  Bien formuler les méthodes de simulation aléatoire
 (rentabilités, compositions de portefeuilles, …)
 termes de position de la corde par rapport à un rayon ?
 63 64

Des probabilités classiques au principe
d’indifférence
 Références complémentaires sur l’origine du principe
 d’indifférence et les interprétations des probabilités
  En bleu, celles qui nécessitent des bonnes connaissances en
 mathématiques
  Cozic, & Drouet (2009). Interpréter les probabilités. Pour la science.
  Gerville-Réache (2017). A la recherche des lois de probabilités de
 D'Alembert.
  Gerville-Réache, & Rochel (2017). D’Alembert : controverses et
 probabilités.
  Henry (2009). Émergence de la probabilité et enseignement. Définition
 classique, approche fréquentiste et modélisation.
  Robert (2011). Reading Keynes' Treatise on Probability. International
 Statistical Review.
  Martin, Frazier & Robert (2020). Computing Bayes: Bayesian
 Computation from 1763 to the 21st Century

 65 66

 67 68

Ignorance des causes Ignorance des causes
  Le lancer d’une pièce « équilibrée »  En choisissant une distribution uniforme sur les
  La face sur laquelle la pièce retombe est parfaitement conditions initiales (vitesse de rotation, vitesse
 définie dès l’origine par les conditions initiales du lancer verticale)
  Il faut introduire de l’aléa dans les conditions uniformes
  Avec des bornes compatibles avec les lancers de pièces
 usuels.
  Keller (1986) trouve une borne sur la probabilité de
 tomber sur pile (ou face), qui ne ressemble pas aux
 résultats probabilistes (TCL, LLN) :

  Avec une machine à lancer des pièces, la pièce retombe
 toujours du même côté
 69 70

 Ignorance des causes Ignorance des causes
 Seconde expérience (Diaconis et al  Le hasard peut émerger d’un système déterministe
 (2007) : On rajoute une dimension dont les causes sont inconnues.
 réaliste, la précession (changement de
  Il y a néanmoins un élément de circularité car on est
 direction de l’axe de rotation)
 amené à utiliser une distribution de probabilité a
 Pour une distribution uniforme des priori sur les conditions initiales
 conditions initiales, la probabilité de
  Approche de type Bayésien
 retomber du même côté est de 0,51
 Ceci veut dire que pour 100 tirages  « La » distribution uniforme est souvent utilisée.
 avec gain ou perte d’un euro, on gagne  C’est ce qui se rapproche du principe d’indifférence
 en moyenne 2 euros.  Mais avec quelles valeurs maximales et minimales ?
 Par comparaison, la banque à la  Vitesse de rotation de la pièce au moment du lancer :
 roulette gagne 1 fois sur 37 dans l’expérience de Keller
 71 72

Ignorance des causes Ignorance des causes

 Le numéro qui apparaît au moment du tirage  Le numéro qui apparaît au moment du tirage d’un dé
 d’un dé (non pipé) est connu dès le lancer … (non pipé) est connu dès le lancer …
  Tout est gouverné par les équations de la  Tout est gouverné par les équations de la mécanique
 mécanique Jacques Bernoulli
  Vitesse de lancer, angle, capacité d’absorption de l’énergie
  Vitesse de lancer, angle, capacité d’absorption de cinétique de la surface
 l’énergie cinétique de la surface
  Mais forte dépendance du tirage observé par rapport à
  « Etant donné la position du dé, sa vitesse et une faible variation des conditions initiales
 la distance de la table, au moment où il quitte
  Dans des circonstances « normales », tout se passe
 la main du joueur, le dé ne peut tomber
 comme si l’on avait un tirage équiprobable
 autrement qu’il ne tombe en réalité : cela est
 tout à fait certain. »  Mais on peut s’en écarter fortement
  Voir le numéro du magazine Pour la Science, novembre 2009,
  Citation de Jacques Bernoulli, dans l’Art de
 n°385
 Conjecturer (publié en latin en 1713)

 73 74

 Ignorance des causes Ignorance des causes
  Le jeu de dés a été également étudié  S’il est difficile de prévoir un phénomène aussi
  Kapitaniak, Strzalko, Grabski, & Kapitaniak (2012). The simple que le résultat d’un lancer de dé
 three-dimensional dynamics of the die throw.  On connait les relations entre les causes et les effets
  La probabilité que le dé retombe sur la face opposée  Les équations de la mécanique

 à celle visible lors du lancer est  Mais les causes Sont entachées d’aléa
  Vitesse de lancer, angle, nature de la surface
  Il est peu crédible de prétendre prédire l’évolution du
 cours de l’euro par rapport au dollar
  Causes plus nombreuses
  mal identifiées
  mécanismes complexes entre causes et conséquences

 75 76

Ignorance des causes
 De même, l’expression des gènes issue des
 interactions avec l’environnement
 (épigénétique) est très complexe
  Difficile d’expliciter et de quantifier le lien entre
 causes et conséquences.
  D’où l’intérêt d’introduire de l’aléa.
 Expression Stochastique des Gènes (ESG)
  « Il est maintenant clairement démontré que le hasard se niche
 au cœur des organismes, dans le fonctionnement des gènes et des
 cellules »
  Le Hasard au Coeur de la Cellule, 2011
  Voir aussi https://www.pourlascience.fr/sd/genetique/du-hasard-
 dans-lexpression-des-genes-1034.php
 77 78

 79 80

Chaos déterministe Chaos déterministe
  Effet papillon  La théorie du chaos étudie le comportement des
  « Croyez-vous sincèrement que la ruade d'un cheval dans systèmes dynamiques non linéaires très sensibles aux
 la campagne française dérange le vol d'un papillon dans conditions initiales (effet papillon).
 les îles de la Sonde ? »  Chaos: When the present determines the future, but the
  Denis Diderot, Principes philosophiques sur la matière et le approximate present does not approximately determine the
 mouvement, 1770 future (Lorenz)
  « Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il  Cela concerne en particulier les systèmes purement
 provoquer une tornade au Texas ? » déterministes (Chaos déterministe)
  Edward Lorenz (1972)  Ce déterminisme non-linéaire est « quasi aléatoire »
  Et le corollaire qui nous rend les papillons sympathiques « Si le  Un attracteur (ou ensemble limite) est un ensemble
 battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il vers lequel un système évolue de façon irréversible
 peut aussi l'empêcher… »
  Les équations de la mécanique des fluides sont hautement non-
  Ces ensembles limites (ou attracteurs) sont des états de
 linéaires (turbulences) la nature pseudo-aléatoires
 81 82

 Du hasard à la Bourse Du hasard à la Bourse
 Les générateurs de nombres (pseudo)-aléatoires  Mille couples de nombres , tirés
  Alea (Excel) permet de simuler des valeurs entre 0 et 1 selon « aléatoirement » dans avec
 une loi uniforme avec des valeurs indépendantes
 Générateur de nombres pseudo‐aléatoires
  Microsoft a amélioré la qualité de son algorithme en 2003, mais 1,0

 il n’est plus à jour quand on veut faire des simulations 0,9

 intensives, par exemple dans le cadre de prédiction par machine 0,8

 learning 0,7

 Sont des algorithmes déterministes 0,6

  Un générateur de nombres pseudo-aléatoires est un algorithme 0,5

 qui génère une séquence de nombres 0,4

 0,3
  À partir d’une racine donnée, on peut parfaitement déterminer
 0,2
 la suite de nombres « pseudo-aléatoires »
 0,1

  Ces séquences déterministes sont « assez similaires » à de 0,0

 « véritables » suites de nombres aléatoires. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

 83 84

Du hasard à la Bourse Chaos déterministe
 En fait, est une fonction déterministe de  Suite logistique
  ,
  retourne la partie entière de
  renvoie le reste de la division de par
  2147483647, 16807 De la non‐
  Suite précédente initialisée avec proportionnalité
 Ce qui veut dire qu’il suffit d’une seule valeur pour entre causes et
 prédire parfaitement à l’infini, les valeurs suivantes effets
 Le coefficient de corrélation entre et est de

 Application avec Excel (voir TD)
 85 86

 Chaos déterministe : sensibilité aux conditions Chaos déterministe : sensibilité aux conditions
 initiales initiales
  Suite logistique avec les conditions initiales
 ,
 A droite les points de
 coordonnées ,

 Si les première itérations
 donnent des résultats proches,
 d’où les points sur la
 diagonale, les deux suites n’ont
 plus rien à voir et la corrélation
 est nulle ; attention à la
 précision algorithmique

 87 88

« Quiconque considère des méthodes arithmétiques pour
 Chaos déterministe produire des nombres aléatoires est, bien sûr, en train de
 commettre un péché » (Joseph Von Neumann)
On ne plus reconstruire le passé (mélange des trajectoires) :
 en rouge, , en noir
 .
 « La génération de nombres
 aléatoires est trop importante
 pour être confiée au hasard »

 Joseph Von Neumann
 Clifford Pickover
 89 90

 91 92

Ordinateurs quantiques et génération de
 Du hasard à la Bourse nombres aléatoires
 Les exemples précédents relèvent d’un pseudo hasard ou  lancers de dés, générateur de nombre pseudo-aléatoires :
 hasard épistémique (relatif à la connaissance), lié à une déterminisme, éventuellement complexe et linéaire.
 ignorance ou une incapacité pratique à prévoir le futur.  Mécanique quantique de nature probabiliste
 La mécanique quantique donne au hasard pur (ou  On peut utiliser ordinateurs et algorithmique quantiques,
 ontologique) une position centrale. pour générer de vraies suites aléatoires
  C’est le concept même de déterminisme dans la  IBM met à disposition des ordinateurs quantiques avec 5
 représentation du monde qui est remis en question qubits
  Quand un effet survient par pur hasard, il n’a pas de cause  “Programming a quantum computer: generating true random
  Un objet quantique n'a pas de localisation tant que la numbers” https://blog.red-badger.com/2018/9/24/generate-true-random-
 position n'est pas mesurée numbers-with-a-quantum-computer
  Principe d’incertitude d’Heisenberg (ou d’indétermination)  Voir aussi “Quantum random number generation”
  Un prix d’actif financier n’est pas connu tant qu’il n’y a pas https://www.nature.com/articles/npjqi201621
 de transaction (committed quote ?)
 93 94

 Ordinateur et algorithmique quantique sont
 liés aux probabilités
 Un bit élémentaire peut prendre deux états 0 ou 1,
 Pbit (bit probabiliste) : loi de probabilité sur ces 2 états
  avec probabilité , avec une probabilité
 Codage décimal avec
 Qubit (quantum bit) : exemple, spin d’électron
 superposition d’états
  Superposition de deux états (combinaison linéaire), |0 et |1 ,

 Avec 53 qbits (ou qubits), on peut
 représenter toutes les suites
 binaires de longueur 53, soit
 états, contre un seul

 état en informatique classique
 Codage classique sur cinq
 décimales
 95 96

Le calculateur quantique a permis de simuler et traiter des
 données aléatoires en 3 minutes et 20 secondes quand il aurait
La puce Sycamore de Google, dans le cadre d’un partenariat fallu 10 000 ans à un super calculateur « classique » pour faire
avec la NASA, travaille avec des entités de 53 qbits. Elle ne peut de même : « suprématie quantique » (Nature, 23 octobre 2019)
fonctionner qu’à des températures proches du zéro absolu.
 https://ai.googleblog.com/2019/10/quantum‐supremacy‐using‐programmable.html
 97 98

 99 100

Biais cognitifs : comment reconnaître Biais cognitifs : comment reconnaître
 l’aléatoire ? l’aléatoire ?
 L’appréhension cognitive de l’aléatoire n’est pas  Si l’hypothèse de marche aléatoire est vérifiée, alors les valeurs
 successives de 0 ou de 1 sont indépendantes et la probabilité
 naturelle et demande un « effort » et une éducation de d’obtenir la valeur 0 ou 1 est ½
 l’esprit (Kahneman)  Comme dans un jeu de pile ou face
  Recherche de causalités a posteriori donnant l’illusion de liens de  Considérons maintenant les suites de valeurs suivantes
 cause à effet (narrative fallacy)  11111111 (le marché boursier est haussier à toutes les dates)
  Le « système 1 » du cerveau humain est une « machine  10101010 (les hausses compensent les baisses afin qu’il y ait autant de
 interprétative » (jumping to conclusions) hausses que de baisses)
 Exemples de biais cognitifs courants  11110000 (le marché suit d’abord une tendance haussière régulière et se
 retourne)
  On suppose que les rentabilités boursières suivent une marche  10110011 (le marché évolue de manière erratique avec une tendance à la
 aléatoire hausse).
  À la date courante, le « hit » prend la valeur 1 si la rentabilité est
  Quelles sont les évolutions qui vous semblent typiques d’une
 positive, 0 sinon.
 marché aléatoire et celles qui ne le sont pas ? Quelles sont les
  Une chronique boursière va alors induire une suite de valeurs 101101
 évolutions les plus probables, les moins probables ?
 101 102

 Comment reconnaître la complexité et Biais cognitifs : comment reconnaître
 l’aléatoire l’aléatoire ?
  L’exemple précédent illustre les problématiques associées au big
  Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under
 data et au data mining en matière financière
 uncertainty: Heuristics and biases. Science.
 Si l’on considère un tirage de pièces (H Heads, T Tails)
 La suite H-T-H-T-T-H est considérée comme plus
 probable que H-H-H-T-T-T qui n’apparaît pas comme
 aléatoire.
 Et comme plus probable également que H-H-H-H-T-H,
 qui ne semble pas associée à l’équiprobabilité.
  Graphique de gauche : distribution équirépartie
 Ceci est lié à l’idée que les propriétés d’une suite doivent
 « uniforme » totalement non aléatoire
 se retrouver dans tout petit échantillon, supposé
  Graphique de droite : distribution tirée d’une loi de
 « représentatif » (biais de représentativité)
 probabilité uniforme
 103 104

Biais cognitifs : comment Biais cognitifs : comment reconnaître
 reconnaître l’aléatoire ? l’aléatoire ?
  Reprenons notre graphique et divisons le en 4 parties égales séparées par
 Répartition des impacts des V1 sur Londres au les diagonales
 moment de la seconde guerre mondiale
  Le Nord-Est et le Sud-Ouest de Londres sont épargnés
  On a supposé que les Allemands évitaient de bombarder
 ces zones pour protéger leurs (supposés) espions

  Les impacts sont maintenant régulièrement répartis …
  How We Know What Isn't So: The Fallibility of Human Reason in
 Everyday Life, T. Gilovitch, http://bias123.com/clustering_illusion
  Un test statistique formel (Clarke, 1946) ne permet pas de rejeter
 l’hypothèse d’une distribution uniforme
  http://jumpthecurve.net/change/unlearning-lesson-26-stop-looking-for-patterns/
  http://www.squawkpoint.com/2013/01/patterns-in-data/
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 Gestion financière et corrélations
 fictives
  Implication pour la gestion
 financière…
  En abscisses, la rentabilité
 en , , ), en
 ordonnées la rentabilité en
 ( , )
 , 
  Les points de coordonnées
 , , sont situés
 en haut à gauche (deuxième
 , 
 quadrant) et en bas à droite
 (quatrième quadrant)

 107 108