Traversée du choc terrestre à partir des observations de CLUSTER

Traversée du choc terrestre à partir des observations de CLUSTER

Introduction
Dans un gaz ordinaire, les collisions permettent le transfert d’énergie et de quantité de
mouvement et transportent l’information (quantité de mouvement, énergie,…) de proche en
proche tant qu’il y a des particules en collision. Ce phénomène permet la propagation d’une
onde classique. En revanche les plasmas spatiaux sont pour la plupart non-collisionnels (sauf
dans les ionosphères planétaires), c’est-à-dire que le libre parcours moyen est très grand
devant les échelles spatiales qui caractérisent la dynamique des particules (ions et électrons) et
c’est au moyen des champs électromagnétiques que les ondes se propagent.

La plupart des fluides, y compris les plasmas, ont une tendance remarquable à former des
discontinuités. Le système solaire est baigné dans un plasma composé essentiellement de protons et
d’électrons, ce plasma est appelé le vent solaire et provient de l’expansion de la couronne solaire. On
trouve ainsi une variété de discontinuités dans le vent solaire et au voisinage des planètes.

On s’intéresse aujourd’hui à un type de discontinuités : les chocs. Comme pour les fluides non
magnétisés (par exemple l’air), lorsque l’écoulement de ce fluide est supérieur à une vitesse
caractéristique (la vitesse du son, pour l’air), et que ce fluide rencontre un obstacle, une onde de choc
se forme en amont de l’obstacle (par exemple au nez des avions supersoniques s’ils volent à des
vitesses supérieures à Mach 1). Ces chocs sont également présents en amont des planètes car le vent
solaire est un écoulement supersonique et super-Alfvénique (c’est-à-dire grand devant la vitesse
d’Alfvén du milieu). Les propriétés des chocs en amont des planètes partagent quelques similitudes
avec les chocs qu’on peut trouver dans des fluides non-magnétisées mais présentent toutefois des
caractéristiques bien particulières car le champ électromagnétique joue un rôle essentiel. Tous les
objets n’ont pas les mêmes caractéristiques et par conséquent les interactions entre le vent
solaire et ces objets sont différentes. De plus, la nature non collisionnelle de ce plasma et
l’existence d’un grand nombre de vitesses caractéristiques font qu’il y a une multitude de
chocs différents en physique des plasmas.

         D’après la théorie cinétique des gaz, une onde de choc est une onde non réversible. En
effet le choc modifie le système car le choc induit une dissipation. L’énergie transportée par le
choc est transmise peu à peu au système sous forme de chauffage dû à la viscosité, aux
frictions, que l’on peut transposer ici au plasma en voyant une pseudo-viscosité si on admet
que la « viscosité » est perçue lors des variations de champ magnétique et électrique modifiant
ainsi la course des particules chargées. Une onde de choc, même dans un plasma, laisse celui-
ci modifié (accroissement de la densité, de la pression et de la température). Une onde de
choc modifie donc le système qu’elle a traversé.

       En adoptant une description MHD (les populations d’ions et d’électrons sont
considérées comme un seul et même fluide, et les échelles de temps et d’espace du système
sont grandes devant les temps et longueurs caractéristiques) on peut caractériser un choc en
termes de vitesse fluide, débit de masse, etc. Ce point de vue macroscopique ne nous
renseigne cependant pas sur la dissipation et autres phénomènes que l’on peut apprécier au

niveau microscopique. En tant que fluide, on peut finalement décrire un choc en termes d’aval
et d’amont.

        Au voisinage d’un choc, l’énergie, la masse, et la quantité de mouvement sont
conservées. En MHD, on ne peut expliquer ce qui se passe à l’endroit du choc (le choc
s’apparente ici à une discontinuité), on ne peut que savoir comment le système est avant et
après celui-ci. Dans notre étude, on va considérer que dans le repère du choc, celui-ci est
stationnaire, que l’énergie contenue dans le choc n’est pas importante et que les particules ont
une fonction de distribution Maxwellienne. Nous ferons également l’hypothèse que le choc
est plan et que l’on peut considérer les relations entre l’état amont et l’état aval en discutant
les variations des quantités suivant la direction perpendiculaire au plan du choc. Ces
conservations de masse, de quantité de mouvement, d’énergie, entre l’amont et l’aval du choc
se traduisent par des relations : les relations de saut de Rankine-Hugoniot (RH).

Les relations de Rankine-Hugoniot
       Les relations de Rankine-Hugoniot correspondent aux relations de conservation au
passage d’un choc. Un choc est non réversible et laisse le système dans un état différent après
son passage. Néanmoins le système se doit de respecter certaines conditions.

        Au passage d’un choc, la densité de masse est changée ainsi que la vitesse du fluide,
la pression et le champ magnétique. Toutes ces grandeurs physiques, Q (de flux F), doivent
respecter des relations de conservation du type :

                                                                   (1)

       On a considéré que le choc est stationnaire dans le repère du choc, donc (1) devient :

                                                             (2)

        On a aussi considéré que le choc est à 1 dimension ou plan, et donc qu’il n’y a des
variations que dans la direction perpendiculaire au choc :

                                                               (3)

       On a donc ici un gradient dans la direction perpendiculaire au choc. Dans la suite on
adoptera la forme suivante signifiant la conservation d’une grandeur au travers du choc :

                                                 (4)   et                      avec Fn2 faisant
référence à l’état aval et Fn1 à l’état amont.

Les relations de Rankine-Hugoniot représentent la conservation du débit de masse, de la
quantité de mouvement dans la direction perpendiculaire au choc et transverse, et finalement
de l’énergie.

-Conservation du débit de masse :

En reprenant l’équation de continuité de la MHD,

                                                                                   (5)

 En faisant l’hypothèse de stationnarité du choc (1) et que le choc est plan (3), l’équation de
continuité se traduit par la condition de Rankine–Hugoniot suivante :

                                                              (6)

Avec       densité de masse et        la vitesse fluide orientée perpendiculairement au choc.

Par la suite, on notera cette condition la condition de Rankine-Hugoniot n°1

En partant de l’équation de conservation de la quantité de mouvement de la MHD,

                                                                                   (7)

En utilisant le fait que           (cf équation 12), en projetant la conservation de l’équation
(7) selon la direction normale au choc (ici la direction normale est selon l’axe x) :

-Conservation de la quantité de mouvement normale au choc :

                                           =0     (8a)

Avec « p » la pression que l’on prend isotrope,          la permittivité du vide

Par la suite, on notera cette condition la condition de Rankine-Hugoniot n°2a et la suivante 2b.

-Conservation de la quantité de mouvement transverse au choc :

                                                               (8b)

                                                 Est la vitesse fluide parallèle au choc.

-On suppose toujours dans l’approximation MHD, que l’équation de fermeture est :

                                                             (9)

Hypothèse adiabatique, relativement correcte qualitativement (avec

-Conservation de l’énergie :

      De même que précédemment, en partant de l’équation de conservation de l’énergie de
la MHD :

                                                                                            (10)

Avec l’hypothèse de stationnarité et de conservation, l’équation précédente devient :

                                                                                     (11)

Il s’agit de la condition de Rankine-Hugoniot N°3.

Evidemment comme le flux de champ magnétique est conservé, la composante normale au
choc est aussi conservée :

                                                                   (12)

Finalement cette condition sera repérée comme étant la condition de Rankine-Hugoniot n°4

       Pour qu’une discontinuité soit considérée comme un choc, il faut que                   .

Observations de chocs

       1. Choc perpendiculaire observé par ISEE1

Théorème de co-planarité : la normale au choc, et les vecteurs champs magnétiques amont et
aval sont dans le même plan (i.e. Bm=0 sur la figure ci-dessous). La composante normale (Bn)
est conservée.

2. Choc parallèle observé par Cluster 1 & 3

L’angle (champ magnétique amont, normale au choc) est nommé θBn et est calculé à partir de
données ACE sur la figure ci-dessous.

                                   C1                 C3