DSCHRIFT VOOR STATISTIEK, EN OPERATIONEEL ONDERZOEK - DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE HERCHE OPERATIONNELLE - ORBEL

 
DSCHRIFT VOOR STATISTIEK, EN OPERATIONEEL ONDERZOEK - DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE HERCHE OPERATIONNELLE - ORBEL
DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE
HERCHE OPERATIONNELLE

DSCHRIFT VOOR STATISTIEK,
EN OPERATIONEEL ONDERZOEK
DSCHRIFT VOOR STATISTIEK, EN OPERATIONEEL ONDERZOEK - DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE HERCHE OPERATIONNELLE - ORBEL
The Belgian Journal of Statistics, Computer Science and Operations Research
appears 4 times a year and is published with the support of the Ministry of
National Education and Culture, and following societies:

SOGESCI - B.V.W.B.: Société Belge pour |’Application des Méthodes Scientifiques
de Gestion, Belgische Vereniging voor Toepassing van Wetenschappelijke Metho-
des in het Bedrijfsbeheer, 53, rue de la Concorde, B-1050 Brussels.

EDITORIAL BOARD: J.P. BRANS, M. DESPONTIN, R. SNEYERS, Ph. VINCKE

SUBSCRIPTION FOR ONE YEAR (4 issues)

BELGIUM : 600 BF ; OTHER COUNTRIES : 700 BF.
SOGESCI - B.V.W.B., 53, rue de la Concorde, B-1050 Brussels, Belgium

La Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Opérationnelle
parait 4 fois par an et est publiée avec l’appui du Ministére de |’Education
Nationale et de la Culture et des sociétés suivantes :

SOGESCI - B.V.W.B.: Société Belge pour l'Application des Méthodes Scientifiques
de Gestion, 53, rue de la Concorde, 1050 Bruxelles.

COMITE DE REDACTION : J.P. BRANS, M. DESPONTIN, R. SNEYERS, Ph. VINCKE

ABONNEMENT ANNUEL (4 numéros)

BELGIQUE: 600 FB; ETRANGER: 700 FB.
SOGESCI - B.V.W.B., 53, rue de la Concorde, 1050 Bruxelles.

Het Belgisch Tijdschrift voor Statistiek, Informatica en Operationeel Onderzoek
verschijnt 4 maal per jaar en wordt met de steun van het Ministerie van Nationale
Opvoeding en Kultuur en volgende verenigingen uitgegeven :
SOGESCI - B.V.W.B.: Belgische Vereniging voor Toepassing van Wetenschappe-
lijkke Methodes in het Bedrijfsbeheer, Eendrachtstraat 53, 1050 Brussel.

REDACTIERAAD : J.P. BRANS, M. DESPONTIN, R. SNEYERS, Ph. VINCKE.

JAARABONNEMENT (4 nummers)

BELGIE : 600 BF; BUITENLAND : 700 BF.
SOGESCI - B.V.W.B., Eendrachtstraat 53, 1050 Brussel.
DSCHRIFT VOOR STATISTIEK, EN OPERATIONEEL ONDERZOEK - DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE HERCHE OPERATIONNELLE - ORBEL
REVUE BELGE DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE ET DE

                       RECHERCHE OPERATIONNELLE

          BELGISCH TIJDSCHRIFT VOOR STATISTIEK, INFORMATICA

                      EN OPERATIONEEL ONDERZOEK

Vol. 24 n° 4                                                 Vol. 24 nr 4

                           SOMMAIRE - INHOUD

  BROECKX F., J. BERTELS          : Linear programming with an infinite
  DE VYLDER F., M. GOOVAERTS       number of inequalityconstraints,
                                   solving an insurance problem

  MORAY Myriam : Le taux d'actualisation social en univers certain          19
                 et incertain

  BAETS Walter : Liquidity budgetting in a public enterprise by             51
                 means of regressionanalysis

  CAUWENBERGHS M. : Projectmanagement - Een overzicht van sofware-          72
                      pakketten

  NOTE : Ce numéro ne comprendra pas de tutorial paper étant donné
         la publication d'articles présentés au Congrés ORBEL II.

  NOTA : Dit nummer  bevat geen tutorial paper om de publicatie van
         bijdragen tot het ORBEL II Congres toe te laten.
[ rromtaL Paver |

        The Belgian Journal of Statistics, Computer Science and Operations Research
Pursues two objectives, the one of scientific, the other of didacticel nature.

        On the scientific level it is intended for scholars willing to publish their
results which can be either theoretical or applied in economics, industry or
management.
        On the didactical level each issue will contain a “tutorial paper” devoted
to a specific theme.  It will be written in order to be comprehensible for non-
specialists also.
        In pursueing this double goal, the editors hope the reader will have the
opportunity of enriching his knowledge in an efficient way and that the formule will
encourage and increase the contacts between theoreticians and prectitioners.

        La Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Opérationnelle
poursuit deux objectifs, l'un d'ordre scientifique, l'autre d’ordre dicactique.
        Sur le plan scientifique elle s'adresse aux chercheurs désireux de feire
Peraitre les résultats de travaux soit & caractére théorique, soit orientés vers les
applications économiques, industrielles ov de gestion.
        Sur le plan didactique, chaque numéro de la revue contiendra un "tutoriel
Peper” consacré & un théme particulier et rédigé de facon & étre compréhensible
par les non-spécialistes du domaine.
        —n poursuivant ce Gouble but les éditeurs espérent que le lecteur trouvere
l'occasion d’enrichir efficacement ses connaissances et que la formule sera de
nature & promouvoir les contacts entre théoriciens et praticiens.

        Het Belgisch Tijdschrift voor Statistiek, Informatica en Opsrationeel
Oncerzoek beoogt twee doelstellingen, enerzijds van wetenschaopelijke en ander
van dicactische aard.
        Dp wetenschappelijk vlak richt het zich tot de vorsers Gie hun onderzoeks-
resultaten wensen kenbaar te maken.  Deze kunnen zowel theoretische onderwerpen
als toepessingen in de economie, de nijverheid of het beheer behancelen.

        Op dicactisch vlak zal elk nummer een “tutorial paper" bevetten cie ean een
bepsald thema zel gewijd zijn.    thet zal opgesteld worden om tevens leesbear te
zijn voor personen die niet in het comein gespecialiseerc zijn.

        Door dit dubbel doel   na te streven hopen de uvitgevers cat de lezer de
gelegenheic krijgt zijn kennis op doeltreffende wijze te verrijken en cet de
formele de kontakten tussen theoretici en practici zal stimuleren.
Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Opérationnelle, Vol.24, n° .4
Belgisch Tijdschrift voor Statistiek, Informatica en Operationeel Onderzoek, Vol.24,Nr 4.

                          LINEAR PROGRAMMING WITH AN INFINITE NUMBER OF INEQUALITY-
                          CONSTRAINTS, SOLVING AN INSURANCE PROBLEM

      F. BROECKX                                             F. DE VYLDER
      Universiteit Antwerpen (RUCA)                          Université Catholique de Louvain

      J. BERTELS                                             M. GOOVAERTS
     Agfa-Gevaert N.V.                                       K.U. Leuven

     Abs tract

              We consider the problem of the numerical determination of the maximum and
     minimum of the stop-loss premium E(X-t) 5 where t is a fixed retention limit
     under various constraints on the distribution of the risk X. A solution is
     proposed and illustrated by means of a practical insurance problem.                The problem
     at hand is transformed into a Linear Program with an infinite number of inequality
     constraints. This problem is approximated by a L.P. with a finite number of
     inequalities.

   1. Introduction

             De Vylder and Goovaerts (1982) consider programs of the type

                          sup (f(x-t) ,aF(x)/1(F))                          (1)
                          Fe }

     where } is a given set of distribution functions and I(F) a finite number of
     integral equality constraints of the type ffdF=z (f and z fixed). If n is the
     number of constraints in I(F), such a program is often equivalent to e dual program
     of the type

                   n-1             n-1
            inf( £ ¥u2gty,         2 y;f; (0) +y,? £0), (8eJ)),                   (2)
                   i=              i=

     where the infimum is over all y = (yy o+++9¥, Joe         satisfying the constraints
     indicated after the slash.          Mostly the set J is infinite and then there are thus
     an infinite number of linear constraints on y.
             De Vylder (1982) indicates how the dual can be solved analytically.               But
     the method, general in theory, can only be worked out in practice if n< 3.
             In this paper we illustrate how, for any n, the dual can be treated
     numerically.        The very simple idea is to replace J by a large finite subset of J
     and then to solve the so obtained usual linear program by one of the well-known
                                                                                                3
methods, say the revised simplex method.        ‘The validity of this approximation

results from the unique theorem proved in this paper.
           Needless to say that the method also works in case of primal minimization
problems and corresponding dual maximization problems.

General method        for sokving the original problem

Let fyoeeeo fy be functions on &.      Let j be a convex set of probability distribu-

tions on ®.     For any z' = (2yseeeot yg lea| we consider the primal maximization
problen,

    P(z') = sup (sfaP | sf,aF = 2, (451,.+.sn-1), sar=1)                      (3)
               Fe }
and the primal minimization problem

    p(z') = inf (sfar | sfyaF = 2; (i=1,.-.,n-1, sa¥=1)                       (4)
               Fe }
           Unless stated otherwise, the integrals are over @.       All involved integrals
are supposed to be finite.
           Of course, the constraint saF = 1 is redundant, because we assumed from
the start that j; is a family of probability distributions.         In view of the
formation of the dual problems, it is nevertheless interesting to repeat that
constraint.        We call the subset p= {H, le el}   of }, an integral basis of     tif
each Fe} can be displayed as a mixture.

     F(x) = sH,(x)aw(o)                                                       (5)
               I
of functions in é.
           The set } may have several integral bases g.      Most interesting are the
bases with a small number of elements.         In the sequel we assume that ® is a fixed

integral basis of } and we call the distributions in 8, the basic distributions.
           The functions r (is1,...,n) are defined on I, by

     fle) = sey(eda8 (x), (et)                                                (6)
It is readily seen that the dual of problem P(z') is the problem
                        n=1          n=]   4          a         \
     att) = int ("T ysoyty, |B yitj(0My,> 2,(6)(0e0))/                        (1)
                    a \iel           1=1

where y = (Yyo++09¥,)+

The dual of problem p(z') can be displayed as
tet        tek    =o         A
           a(z') = sup/ yr yjzsty,     2 yyfy(@)ty, < £,(0), (eZ)                    (8)
                      n\   i=1        ist
                   YeR

    As is shown by De Vylder (subm.) we have : if P< », then P = Q(a.e.) and if
    p> -@, then p = q(a.e.).
            In order to obtain a numerical solution to the problems (7) and (8),
    both problems are approximated by the two following L.P.'s respectively :

                            yn-1      port        «         a
               tyeint | 2 2st, | se eata'es in? £,(05))
           Q,(2!)                                                    »               (9)
                  ys \
                                             (j=1,---5k)
    where 8 jel   (j = 1,.--5k)

                            /n-1       m-1        4         ~
                sh = sup 1D
                         i  yaa,       | ¥47,(@;)+y, < £(05)             >           (10)
            a,(2')
                           n\i=1       i=l
                     yeh
                                                      (j=1,.-+5k)

    It is shown analytically in Goovaerts, Haezendonck and De Vylder (1982) that

            Lim Q,(2') = Q(2")
            ko

            Lim a,(2')      a(2")
            koe

    In order to get numerical results it is sufficient to solve the problems
     (9) and (10) for sufficiently large values of k.       In what follows we will
    examine numerically the rate of convergence when k increases.            The numerical

    calculations have been performed on an IBM 3032 computer with a 052/MVS Operating
    System, connected with a DEC 20-60 computer.      The L.P.'s (9) and (10) have
    been solved by the MPSX system.

    Numerical ikkustrations of the method

3.1. The case of numerical bounds on stop-loss premiums in case of known mean and
    variance of the risk variable.

             In case of a stop-loss treaty the insurer takes over that part of the
     risk that exceeds a given amount Yy:     We now suppose that the stop-loss treaty

     is modified in such a way that the liability of the reinsurer is limited to
     Yo Vy in case the claim amount exceeds the amount Yo:          Hence, the risk of the

     reinsurer can be cast into the form
{        0                      x Sy,
         X =         f    Xx - yy                ¥,  Yp> F(a) = 0, F(b) = 1. (with a = 100, b =
                                                      1000)

Me suppose that B(x) = 2, (=555), E(x") = 2, (=356000), hence o°(x) = 47975).
          For the present application the problems (7) and (8) can be solved
analytically as has been shown by De Vylder, De Pril and Goova
                                                               erts (1982).               The
results are displayed in appendix A.            We have to consider the problem (7) and
(8) with 21 = 555, 2 = 356000, n = 3, (0) =6,
                                              f5(8) = 0°,
f3(0) = max { min(@-y,, Yo-¥,), 0} , I =[ 100, 1000] or a = 100 and b =
                                                                        1000.
Both problems (7) and (8) are approximated by the problems (9)
                                                               and (10) respec-
tively.    The following results are obtained for different values
                                                                   of k:

  (z")          y4                 y. 2    k          value          analytical result
                                                                     (from app. A)

               4so            |   650     15         157.22               163.53
                                          60         162.97
               450                550     15          86.32               88.70
               300                400     15         100.                100.
               400                800     15,        210.83              211.66
               350                800     15         251.53              252.03
               300                800     15,        292.22              292.63
               500                800     15         139.79              1ho 41
               700                900     15         55.98                55.45
               700                800     15         40.32       |        Wh be
                                          60         43.44
On the other hand we obtained :

    a, (2! )           vy        Yo       k         value             analytical result
                                                                      (from app. A)

                      700       900   |   15   {       oO.                      0
                      600       800       15          19.36                    15.28
                                          60         16.33
                      500       800       15         56.29                     48.67
                                      |   60         50.68
                      350       600       15         116 .96                  115.70
                      hoo       600       15         66.96                     66.74
                      as        490       15          15.07                     9.06
                                          60           9.06
                      350   |   700   |   15         146 9b                   146.16
                      400       150   |   15         106.62                   106.24
                 |    400       800       45         116.29                   116.00

3.2. The case of bounds on the stop-loss premium for a set of distributions concen-
    trated on[0,b].
                Let b be a fixed positive number.   We denote by      7! the set of all

    probability distributions concentrated on[0,b]           .   A basis of   } is the set

    a! = (H!         '0
According to (6) we have to consider

                  ch : file) =e                                             (0 < 9< db)
                   a 21               = 2                                   (0 < 9
a                                                        |
                      10              20              4O      80             160

   a | 8.00                          8.00            8.00   8.00             8.00
     ci,            5.20             5.22            5.23    5.23            5.23
     C5             8.00             8.00            8.00    8.00            8.00
     Clos           5.20             5.22            5.23    5.23            5.23

         k
               |     10               20              bo      80             160
   case        |               |                 |                     |

    c|     |        0.0             0.0              0.0     0.0            0.0
     1
    Cl,
           |
                    0.0             0.0              0.0     0.0            0.0
    Ci,
     1
                    0.0             0.0              0.0     0.0            0.0
    Sing
     1   ||         0.0             0.0              0.0     0.0            0.0

+ The case of bounds on the stop-loss premium for a set of
                                                           unimodal distributions
 on[0,b] with mode m.

             Let m (= 1 in the numerical application) be a fixed mode in[0
                                                                           ,b] .              We
 denote by 2 the family of all unimodal probability distribu
                                                             tions concentrated
 on[0,bd] with mode at m.                A basis of e is the set a -       {He | 0
Of course         :

                                          (0-+) He
                           fF (0) =   2    6-m
                                                                    (0
3.4. The case of bounds on the stop-loss premium for the set of mixtures of
    exponentials on[ 0, » ]

    Let 6 3 ={Plo< 6 < b }where

                       Hx) = (1 -   eX /(041 )) 1                    (o<
NN *
              .           10                20           ho              80                    160
          case                                                  |

             oe          0.00              0.00         0.00            0.00                  0.00

             c3,         0.00              0.00         0.00            0.00                  0.00
             Cts         2.55              1.30         0.67            0.36                  0.36
              3                                                                     ||
             Clog        2-55              1.30         0.67            0.36                  0.36

     BO The case of bounds on the stop-loss premium for the set of mixtures of
         Pareto distributions on[1, ~ ]

                    Let c (= 1.05 in the numerical illustrations) be a number larger
         than 1 and gp = ( 1 |o
’
Values for qy(2")

         k
SN            10      20      ho          80     160
 case

                                     t
        ot
         1   0.00    0.00    0.00        0.00    0.00
        ch   2.718   2.718   0.010   |   0.010   0.010

                                                         13
Appendix A

P(z') =          Sup ( fmax {min (6-¥ 4 o¥o-¥4) > 0 jar | soar =m, so aF=n,, saF=1)
                 Fe j

where } denotes the set of distributions on the interval[ a,b] , and
     2              2            a             2
so       =m, —m, s\=s                + (x-y)

                                                   Value of the problem         |        Atoms
                 Conditions

agm< Yo                                        i

                        P                      :            (ara) (oty,-m-a)-s" |
 (m-a)(ys-m) < s°
82
2y,-Yn
  2
2yQ-b
References

 BUHLMAN H.     : Ein anderer Beweis fiir die Stop-Loss-Un
                                                           gleichung in der Arbeit
 Gagliardi/Straub. Mitt.der Ver. Schw.Vers.Math.,
                                                  p. 284-285 (197h)

 BOWERS Jr. N.L.     : An upper bound on the stop-loss net
                                                           premium.     Transactions
 of the Society of Actuaries 21, p. 211-216
                                            (1969).

 DE VYLDER F.    : Best upper bounds for integrals wit
                                                       h respect to measures
 allowed to vary under conical and integr
                                          al constraints.     Insurance Mathematics
 and Economics V1, Nr 2. p. 109-130, (1982)
                                            .

 DE VYLDER F., GOOVAERTS M.    : Upper and lower bounds on stop-l
                                                                  oss premiums
 in case of known expectation and varian
                                         ce of the risk variable.       Mitt. der
 Ver. Schw. Vers. Math. (1982).

 DE VYLDER F., GOOVAERTS M.    : Analytical best upper bounds for
                                                                  stop-loss
 premiums.     Insurance Mathematics and Economics V1, Nr
                                                          3, p. 197-212 (1982).

 DE VYLDER F., GOOVAERTS M., DE PRIL
                                     N.    : Bounds on modified stop-loss premiu
                                                                                 ms
 in case of known mean and variance of the
                                           risk variable, Astin Bulletin (1982).

EKELAND I., TEMAM R.     : Convex Analysis and Variational Proble
                                                                  ms.    North-
Holland Publishing Company (1976).

GABLIARDI B, STRAUB E. : Ein obere Grenze
                                          fir Stop-Loss-Praémien.       Mitt. Ver.
Schw. Math. 74, p. 215-221 (1974).

GOOVAERTS M., DE VYLDER F.    : Upper bounds on stop-loss premiums
                                                                   under
constraints on claim size distribution as
                                          derived from representation theorems
for distribution functions.     Scandinavian Actuarial Journal 1980, p. 141
                                                                            -148
(1980).

GOOVAERTS M., HAEZENDONCK J., DE VYLDER
                                        F.     : Numerical best bounds on stop-
loss premiums.     Insurance Mathematics and Economics (1982).

HEILMAN W.R.    : Improved methods for calculating and
                                                       estimating maximal stop-
loss premiums.    Blatter Deutschen Ges. Vers. Math., p. 21-49 (1981)
                                                                      .

                                                                                  EF
IOFFE A.D., TIHOMOROV V.M.   : Theory of extremal Problems.   North-Holland

     Publishing Company (1979).

     Taylor G.C. : Upper bounds on stop-loss premiums under constraints on claim
     size distribution.   Scandinavian Actuarial Journal 1977, p. 94-105 (1977).

     VERBEEK H.   : A stop-loss inequality for compound Poisson processes with a

     unimodal claimsize distribution.     The ASTIN Bulletin 9, 247-256 (1977).

     Acknowledgement : We are obliged to Mr. J. De Kerf, head of the Agfa-Gevaert
     N.V. Computer centre, for providing the computer facilities as well as for
     giving several important comments.

18
Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Cpérationnelle, Yol.24, n° .4
Balgtsch Tijdschrift voor Statisttek, Informatica en Operattoneel Onderzoek, Yol.o4, Nr a+

                          LE TAUX D'ACTUALISATION SOCIAL EN UNIVERS

                                     CERTAIN ET INCERTAIN

                                         Myriam MORAY

                                Université Libre de Bruxelles,

                        Centre d'Economie Mathématique et d'Econométrie.

     Abstract: The paper discusses the problem raised by the estimation of the social

     discount rate. It presents a critical review of the literature by drawing upon

     arguments from financial theory. We start with a simple model which is progressi-

     vely generalized by lifting some of the restricting hypotheses. Building upon

     existing results, we present an approach to compute the social discount rate for

     an open economy with several consumers and producers, on n periods, with unem-

     ployment and under uncertainty. In particular, we propose a method to estimate

     a specific risk premium for a public investment.

      1. Introduction

             L'estimation du taux d’actualisation social (TAS) a été et reste un sujet

     trés controversé. Ce taux est la rentabilité minimale que la collectivité attend

     d'un -investissement public.

     Ce texte présente des résultats de recherches du Programme national R-D Energie

     (Services du Premier Ministre - Programmation de la Politique Scientifique}. La

     responsabilité scientifique est assumée par son auteur .

                                                                                        19
Un investissement public utilise des capitaux qui ne sont plus disponi-

     bles pour le secteur privé. Si la rentabilité que peut générer le secteur privé

     a partir de ces capitaux est p, la collectivité ne devrait accepter le transfert

     de ces ressources vers un investissement public que si celui-ci génére au moins

     p. Ce taux p ast le TAS, c’est-a-dire le coit d’opportunité du capital pour la

     société.

                C'est ce taux qui doit étre utilisé dans le calcul de la valeur actualisée

     nette (VAN) d'un investissement public. L'utilisation de la VAN positive donnera

     alors un critére de décision d'investissement public qui permettra d'atteindre

     l’optimum social 4 partir de décisions décentralisées.

                Nous commehcerons par expliquer les problémes que souléve la question du

     calcul du TAS. Ensuite, nous proposerons une synthése critique des réponses qui

     y ont été apportées dans la littérature, en empruntant notamment des arguments

     A la théorie financiére. Nous compléterons cette synthése en développant 1’ana-

     lyse du TAS en avenir incertain et en établissant une méthode d’estimation de la

     prime de risque pour un investissement public.

                Pour la clarté de cette synthése, nous partirons d'un modéle simplifié,

     qui nous servira de référence, et nous léverons successivement les hypothéses

     contraignantes. Par ailleurs, nous n'aborderons pas ici la trés large probléma-

     tique des externalités et des analyses "coiits-bénéfices”.

     2. Présentation du modete

                Les controverses concernant le taux d'actualisation social se situent 4

     deux niveaux. Le premier a pour origine la multiplicité des taux d'intérét obser-

     vables dans le secteur privé. Le deuxiéme a trait au risque relatif que présente

     un investissement entrepris par le secteur public plutét que par le secteur privé.

20
Nous présenterons successivement ces deux problémes.

2.1. Mubtiplicité des taux d'intérét

          Dans un univers of l'avenir est connu avec certitude, of les marchés des

capitaux sont parfaits et of il n'y a pas de distorsions,   le cofit d'opportunité

du capital est le m&éme pour tous. Par conséquent, le TAS est unique et directement

observable: c'est le taux du marché.

          Supposons maintenant qu'il y ait des distorsions dans cette économie sous

la forme de taxes (non uniformes). Le codt d'opportunité du capital cesse alors

d’étre unique.

          Tllustrons cette situation. Pour la simplicité, considérons deux types de

contribuables dans cette économie

(1) une entreprise privée qui paie 50% d'impéts sur les bénéfices;

(2) un particulier qui ne paie pas d'impéts.

Supposons par ailleurs que la rentabilité des obligations d'Etat soit de 10%.

          Dans cet exemple, on détermine facilement le coft d’opportunité du capi-

tal pour l’entreprise privée. Elle doit fournir & ses actionnaires une rentabilité

aprés impét de 10%. Or, pour elle, une rentabilité de 10% aprés impét représente

20% avant impét. Donc,   le coit d'opportunité du capital de cette entreprise est

de 20%,   tandis que celui qui refléte les préférences temporelles du particulier

n’est que de 10%.

          Cette constatation amena BAUMOL (1968) & écrire 4 propos du TAS que

"given our institutional arrangements, there is an avoidable indeterminancy in

the choice of that rate.   The figure which is optimal from the point of view of

allocation of ressources between the private   and the public sector is necessarily

higher than that which accords with the public's subjective time preference. As a

result (...) we find ourselves forced to hunt for a solution in the dark jungles.

                                                                                     21
of the second best”.

             A 1'époque ot BAUMOL écrivit ces mots,   la controverse concernant deux

     candidats-TAS était latente. Le premier était le taux social de préférence tempo-

     relle ou taux d’intérét a la consommation (r). De nombreux auteurs l'ont assimilé

     au taux d’intérét aprés impét de 1’épargne privée. Le second était le taux de

     rentabilité brut des investissements privés, appelé aussi taux d’intérét des in-

     vestissements (R). Ces deux taux sont de niveau fort différents: r est générale-

     ment beaucoup plus faible que R.

             BAUMOL a eu le mérite de mettre en évidence qu'en présence de taxes, il

     n'y a pas de fondements théoriques pour défendre exclusivement l'un ou l'autre

     candidat-TAS et que. d&és lors, il est nécessaire de chercher une solution de

     "second best".

     2.2. Prime de risque des investissements publics

             D’éminents économistes considérent qu'un investissement public est moins

     risqué qu'un investissement privé, voire non risqué (SAMUELSON (1964), VICKREY

     (1964), ARROW et LIND (1970), ARROW et KURZ (1970)), tandis que d'autres écono-

     mistes, non moins éminents, estiment qu'un méme investissement est aussi risqué

     qu'il soit entrepris par le secteur public ou le secteur privé (BAUMOL (1968),

     HIRSHLEIFER (1966a), HIRSHLEIFER et SHAPIRO (1969), DIAMOND (1967), SANDMO (19725),

     voire plus risqué (BAILEY et JENSEN (1971)).

             Nous commencerons par présenter les différents points de vue de ces éco-

                                                               évidence les hypothéses
     nomistes. Ensuite, nous les interprétercns et mettrons en

     qui les sous-tendent.

             Pour juger les arguments de ces économistes, quelques éléments de la théo-

     rie financiére sont nécessaires. Pour le détenteur d'un actif isolé,    le risque peut

     @tre mesuré par la variance de la rentabilité attendue. Cependant,    l'existence d'un

22
marché des capitaux permet une diversifigation des actifs détenus. Dans la mesure

ol ces actifs ne sont pas parfaitement corrélés, la diversification permet d'élimi-

ner une part du risque. La part du risque qui ne peut &tre éliminée par une diver-

sification est appelée "risque systématique”.

         L'argument de SAMUELSON (1964) en faveur du taux sans risque comme TAS

est le méme que celui de VICKREY (1964):     le marché des capitaux est imparfait

dans la mesure of l'ensemble des actifs de la société présenterait une diversifi-

cation parfaite mais & laquelle les particuliers ne pourraient pas accéder.

D’aprés eux, cette diversification parfaite permettrait a tout investissement

public d'étre non risqué. Ils en concluent que le TAS devrait étre égal au taux

sur le marché des obligations sans risque.

         ARROW et LIND (1970) aboutissent A la méme conclusion par un raisonnement

un peu différent. Pour eux, le risque total supporté par le secteur public est

réparti entre tant d'individus que chaque risque individuel deviendrait négli-

geable. C'est le "pooling argument”.

         HIRSHLEIFER et SHAPIRO (1969) font remarquer que "the pooling argument

rests ultimately for support. upon market imperfections which
                                                              hinder the trading

that would otherwise tend to eliminate private risks not reflective of social

risk”.

         BAUMOL, HIRSHLEIFER et SHAPIRO ainsi que SANDMO s'opposent aux points

de vue de SAMUELSON, VICKREY, ARROW et LIND et estiment, comme 1’écrit SANOMO

(1972) que dans une économie of il y a un marché boursier,     "there are perfect

opportunities for pooling of risks in the private sector and the market risk

margins represent a social evaluation of the risk associated with each type of

investment (...). Thus,   in this economy,   the rule governing public investment

should be:   imitate private investment”.

         BAILEY et JENSEN (1971) exposent eux des raisons pour lesquelles

                                                                                23
"efficient allocation of risk bearing is usually more difficult for government

     projects than it is for private ones”. Une de celles-ci étant que "the benefits

     and costs of government projects belong to particular private households and firms

     whom the project affects; it is their portfolio risk, not that of the portfolio

     of government projects, that matters (...). Thus Samuelson not withstanding, it

     is precisely "regional dams" and not "atomic bomb treaties” that are more likely

     to need "strong discounting for risk” when undertaken in the public sector.    In

     contrast, if there were perfect risk market (and we assert that the present

     equity markets seem quite efficient) and if the regional dam project were under-

     taken in the private sector, its (zero variance} claims would sell with no risk

     discount".

             L'issue du débat repose clairement sur des éléments d'ordre empirique et

     non analytique, puisque comme 1’écrit SANDMO (1972)   "a close examination of the

     set of arguments reveals that they are really based on entirely different assump-

     tions concerning the relationship between private and public investment with

     respect to risk”. HIRSHLEIFER et SHAPIRO (1969) font le méme type de remarques.

             Considérons & présent les hypothéses sous-jacentes aux différents points

     de vue exposés ci-dessus.

             SAMUELSON, comme VICKREY, fait une double hypothése. La premiére consiste

     a dire que le secteur public, et lui seul, a accés 4 une diversification parfaite.

     Le deuxiéme suppose que la totalité du risque peut étre éliminée par cette diver-

     sification. Pour le secteur public il n'existerait donc pas de risque systématique.

             ARROW et LIND estiment eux, que les investissements publics et privés

     ainsi que les investissements publics entre eux sont parfaitement non corrélés.

     Dés lors, un investissement public a une contribution nulle au portefeuille d'actifs

     de la société. Ils estiment done aussi qu’il n'y a pas de risque systématique pour

     les investissements publics. Il est alors normal de considérer que le TAS correct

     est le taux sans risque.
24
SANDMO, HIRSHLEIFER et SHAPIRO sont en Oppositi
                                                          on avec les trois hypo-

  théses ci-dessus. Pour eux, l’opportunité de dive
                                                    rsification, qui est parfaite

  pour tous, ne peut éliminer tout le risque. Il subs
                                                      iste donc généralement un
 risque systématique.   Ils considérent de plus que, pour tout investis
                                                                        sement public,

 il est possible de trouver une entreprise dont la rent
                                                        abilité serait trés corrélée
 avec celle de cet investissement. Si on admet que cett
                                                        e entreprise présente un

 risque, il faut donc aussi admettre qu'un risque existe
                                                         pour 1’investissement

 public. Pour présenter la situation théoriquement, ils
                                                        utilisent le concept de

 Classes de risque de MODIGLIANI et MILLER (1958) de tell
                                                          e sorte qu'on puisse
 comparer la rentabilité de tout type d’investissement
                                                       public avec celle d’inves-

 tissements privés appartenant & la méme classe de
                                                   risque.

         Il nous semble que les hypothéses de SANDMO, HIRSHLEI
                                                               FER et SHAPIRO s'adap-

 tent le mieux aux réalités des économies mixtes d'Europe
                                                          occidentale ot productions
 privées et publiques coexistent fréquemment dans un méme
                                                          secteur d'activité. Elles

 sont aussi compatibles avec la théorie financiére
                                                   moderne selon laquelle 1'opportu-

nité de diversification est parfaite pour tous mais
                                                    la totalité du risque n'est
généralement pas diversifiable.

        Tl est cependant possible d'aboutir aux conclusions de
                                                               SANDMO, HIRSHLEIFER
et SHAPIRO tout en restreignant l'hypothése de non-corr
                                                        élation entre les renta-

bilités de 1’investissement public et d'une entrepri
                                                     se privée, nécessaire pour

utiliser le concept de risque de MODIGLIANI et MILLE
                                                     R. En effet, on peut définir

des classes de risque au sens du CAPM (Capital Asset
                                                     Pricing Model). Deux actifs

appartiendront & la méme classe de risque si la corrélat
                                                         ion de leur rentabilité

attendue avec celle du portefeuille de l'ensemble des
                                                      actifs de l'économie est la

méme. Si la rentabilité attendue de l'investissement publ
                                                          ic présente une corréla-

tion avec celle du portefeuille de marché, alors cet inve
                                                          stissement présente

un risque et il faut tenir compte d'une prime de risque dans
                                                             le calcul du TAS.

                                                                                    25
3. Caleuk du TAS en avenir certain

3.1. Caleuk du TAS en prtsence de taxes

       HARBERGER (1968), le premier, proposa une solution au probléme de "second

best” mis en évidence par BAUMOL. Il calcula le coft d’opportunité social des capi-

taux consacrés aux investissements publics (p) comme une moyenne des différents

cofits d’opportunité marginaux sectoriels, pondérée par la contribution relative

de chacun de ces secteurs aux fonds investis par le secteur public.

        HARBERGER proposa également un mode de calcul de ces coefficients de pon-

dération. L’idée est qu'une augmentation des emprunts de 1'Etat affecte le taux

d’intérét (4) qui, en équilibre néo-classique, détermine l’allocation des ressour-

ces entre consommation et investissements. Cet emprunt de 1'Etat prive les inves-

tissements privés et la consommation privée de ressources dans des proportions

qui sont fonction de 1’élasticité au taux d'intérét de la demande d'investissement

et de l’offre d'épargne. Formellement:

                 oI/oi               ac/oi                                       1)
        p=   ———R + ———_
             OI/di + 3C/di    oI/ai + OC/di

of P est le taux d’actualisation social

   I est l'investissement privé

   C est la consommation privée

   i est le taux d’intérét du marché des obligations d'Etat

   rest le taux d’intérét net de l'épargne privée

   R est le taux de rentabilité brut des investissements privés.

        SANDMO et DREZE (1971) obtiennent ce méme résultat 4 partir d'un modéle

formel. Il s'agit d’un modéle en avenir certain et sur deux périodes. On consi-

dére une économie fermée ot il y a un bien et un consommateur, un producteur

privé et un producteur public. Les ressouces initiales en période 1   (M) sont
détenues par le consommateur. Elles sont disponibles pour la consommation en

période 1 (c!), l'investissement privé CY) et l'investissement public (Z) de

telle sorte que:

         Cley+zam                                                               (2)

         En l'absence de taxes, la consommation en période 2 (C?) est la somme

des outputs des secteurs privé et public. La fonction de production du secteur

privé étant f(Y) et celle du secteur public étant g(Z), on a:

         c? = #(Y) + g(Z)-                                                      (3)

ot f’ et g' >O     et f™ et g”
En période 2,   les ressources du consommateur proviennent

     (1) du rendement net de ses investissements privés. Le bénéfice du producteur

         est de f(Y) - Y et est taxé au taux t. Le bénéfice net, f(Y) - t(F(Y) - Y),

         est totalement distribué.

     (2) du rendement de son prét a 1'Etat: b(1 +r).

     (3) d'un forfait & payer par 1'Etat au consommateur qui représente le surplus

         de la production de 1’Etat: a.

             On a donc

             ct» f(y) - t(#(Y) - Y) + b(1 +r) + a.                                7)

     Grace & (6) et (7), on obtient:

             c2= f(y) - t(f(Y) - Y) + (M-C-Y) Wer) ta                             (8)

     Dés lors, substituant dans la fonction d'utilité (4), la maximisation par rapport

     a ct et Y conduit aux conditions du premier ordre:

             uy =4+r                                                               (3)

             f(y) = 1+ r/ (1 - t)                                                 (10)

             Le systéme décrivant 1'équilibre du secteur privé est ainsi complet si

     on ajoute la contrainte de ressources (2) qui, utilisant (6), peut étre écrite

     sous la forme

             Z.= ba                                                               (11)

             —En ce qui concerne le secteur public, ayant fixé t, il déterihine a et Z

     de maniére & atteindre, pour 1’économie, un optimum sous la contrainte de budget

     en deuxiéme période:

             2(Z) + t(f(y) - Y) = b(1 + r) + a.                                   412)

28
Finalement,   le niveau d'investissement public doit étre déterminé par une équa-

tion de la forme

        gi(Z) = 1+ 9,

ot P est précisément le taux d’actualisation optimal du point de vue de l'effica-

cité 4 utiliser pour les décisions d'investissements publics. Il s’agit du TAS

que nous voulons déterminer. On constate aisément qu’en l'absence de taxes (t=0),

la productivité marginale du capital est égale au taux marginal de préférence

temporelle et que la condition d’optimalité (5) est satisfaite pourper.

En l’absence de taxes, on obtient ainsi une solution de ‘first best”. En présence

de taxes, de plus amples calculs sont nécessaires.

        Substituons (8) dans (4) et exprimons l'utilité des consommateurs de la

maniére suivante:

        U = ufc’, f(y) - t¢f(y) - ¥) + (M- ch -¥) (141) + a}                 14)
Le secteur public doit choisir a et Z de mani@re & maximiser cette fonction sous

sa contrainte de budget (12) qui, en substituant (11) dans (2) et en remplagant,

peut s'écrire:

        g(M- Cl - y) + t(f(Y) - Y) = (+r) (M-Ch-y) +a                        (15)

Tl faut donc déterminer a et Z de maniére & maximiser (14) sous la contrainte (15).

Le Lagrangien correspondant s'écrit:

        b= u{ct, fey) - t¢F(y) - ¥) + (Mm -cl- y) (4+ 17) +
                                                            a}
           ~ Mg(m- ch - y) + t¢F(Y) - ¥2- (1 +r) (M-ch-y)- al                (18)

La résolution conduit a:

                     ac} + (1+ 7)
            ea 1 +r) Ay         ry oy
                                   ore
        4                   ae                F 1+                          a7)
                           (5, +
                           rou   or

                                                                                    29
Cette expression se présente sous la méme forme que celle proposée par HARBERGER

     si l'on remplace R par r/(1 - t) et si l'on considére que i = r.

             La formule (17) peut s'écrire simplement sous la forme

             1+p Ex (1+r) + 1 - x) 1+ 7/4 - t))                                    (18)

                  1
     oun = I00R et1- x=                    ayer        représentent les impacts
            act/or + 8Y/or            ocl/ar + dY/ar
     respectivement sur la consommation et l'investissement d'une augmentation du

     taux d’intérét.

             Les ressources étant limitées (M = constante), une augmentation unitaire

     de Z provoque un "crowding out” de x au niveau de la consommation privée et de

                                                                                    = 0.
     (1 - x) au niveau des investissements privés, de telle sorte que dc} + dy + dZ

     Ces glissements ont respectivement un coat d'opportunité de r et de r/(1 - t).

                                                                                    e
     Ceci confirme que le cofit d’opportunité d'un investissement public se présent

                                                                                  (18)).
     comme une moyenne pondérée des cofits d'opportunité du secteur privé (cf.

                                                                            probléme
             ARROW (1966) et, plus tard, KAY (1972) ont également abordé ce

                                                                                 ue
     et arrivent A des conclusions différentes. D'aprés eux, le TAS vaut r puisq

                                                                           tion will
     ARROW écrit "the optimal policy for taxation and public capital forma

                                                                             the
     be that which equates the marginal productivity of public investment to

                                                                          ), deux
     consumption rate of interest”. En fait, comme le signale DREZE (1974

                                                                         divergences
     hypothéses relatives au marché des capitaux sont 4 l'origine de ces

                                                                       point que
     D'une part, ARROW et KAY supposent que ce marché est imparfait au

                                                                          que la con-
     la consommation est indépendante du taux d'intérét. Ils en déduisent

                                                                              re part,
     sommation privée s'exprime comme une fraction constante du revenu. D'aut

                                                                            conséquence,
     ils considérent que 1'Etat se finance exclusivement par l'impdt et, en

                                                                           , si on
     qu'il n'emprunte pas. Cette derniére hypothése est cruciale. En effet

     considére l'autre branche extréme de l'alternative, of il n'y a pas de taxes

     mais une épargne forcée en faveur de l'Etat,   les conclusions sont totalement

30
différentes. Dans ce cas,   le TAS est égal & la productivité marginale des inves-

tissements privés. En effet, dans le cadre d'hypothéses de ARROW et de KAY et

avec ce type de financement,   tout franc supplémentaire de capital public prive

le secteur privé de exactement un franc.

        Sous 1'hypothése d’un financement mixte,   le TAS devient une moyenne pon-

dérée par la part des financements par taxes et emprunts dans le financement to-

tal.

        Une différence essentielle apparait donc entre les deux types de modéles.

Le modéle d’ARROW et KAY donne un TAS qui est directement fonction du mode de

financement, tandis que le TAS de SANDMO et OREZE en est indépendant.

        Un choix entre les deux mod@les peut étre effectué sur base d'un constat

relatif & l'effet des emprunts de 1’Etat sur le taux d’intérét. De plus,   lorsqu’un

tel effet est observé, il convient de tester l'impact d'un accroissement du taux

d'intérét sur la propension des consommateurs 4 substituer une consommation pré-

sente A une consommation future. Dans le cas belge,   les modéles macroéconomiques

("Breughel” du DULBEA et "Maribel” du Bureau du Plan) montrent que, sauf en pré-

sence d'un contréle sévére du marché des capitaux qui n’a lieu que dans des cir-

constances rares (périodes d'aprés-guerre par exemple),   les emprunts de 1'Etat

affectent le taux d’intérét.

        En ce qui concerne 1'influence du taux d’intérét sur la consommation, en

Belgique, elle semble faible ("Breughel") ou inexistante ("Maribel"). Par contre,

ces modéles montrent que des taux d’intérét élevés découragent la construction.

Or les taux des préts hypothécaires sont proches de ceux des obligations d'Etat.

        Si des taux élevés n'ont pour seul effet que de décourager la construction,

le TAS devrait étre une moyenne pondérée du taux des emprunts hypothécaires et de

la productivité marginale du capital privé.

                                                                                     31
Le modéle présenté ci-dessus repose sur plusieurs hypothéses. Ainsi, il

     comporte un consommateur et un producteur, deux périodes. Il concerne une éco-

     nomie fermée. Il ignore i'influence du marché du travail. Enfin, il s'énonce en

     univers certain.

             Dans la suite, nous léverons successivement chacune de ces hypothéses.

     Nous nous attacherons 4 isoler 1'impact de chacune d'entre elles sur les conclu-

     sions obtenues.

     3.2. Caleuk du TAS avec n producteurs et n consommateurs

             L’ approche est paralléle 4 celle suivie en section 3.1   (SANDMO et DREZE,

     1971, annexe). On considére, pour faciliter la notation qu'a chaque consommateur

     i correspond une entreprise i. Les contraintes de ressources agrégées de 1'écono-

     mie sont:

             ch+ey+zZ=mM                                                           (25)
             caw Ss #,(¥,) + 2fZ)           fats 2ecceen x                         3")
                    i
     La fonction d'utilité du consommateur i s'écrit

             U, ‘ Ujlc},
                       L ch).
                          pz                                                         '
                                                                                   (4")
     Par définition:

             Dar
                   i.e,     222,
                     Cis B Cy ces BY,
                                      2 Y.                                           ,
                                                                                   (s')
             i           dt             i

     La contrainte du consommateur i en premiére période est

              1
             Co+Y, +b,        ==M                                                    '
                         4          i                                              (6")

     et l'expression de sa consommation future est

             cy2    FV) = tlh (¥4) Li Y) #601 tor) & ay:                             .
                                                                                   7")

     Aprés des calculs semblables & ceux présentés en section 3.1, on obtient:

32
M+
                              ac}
                       1) ‘or wu,         a
                                              r,   av
                                              cer or
         g'(Z) = —————______________ = 4+ 9.                                tz"
                         (ae), BY
                             or WU,   a

 la similitude parfaite des expressions (17) et (17') entraine que le calcu
                                                                            l du
 TAS pour n consommateurs et n producteurs ne présente aucune
                                                              difficulté nouvelle.

 3.3. Calouk du TAS sur n périodes

         Une généralisation 4 n périodes a été proposée par DREZE (1974). Nous

n'en présentons ici que l'interprétation des résultats.

        La formule (17) s'exprime de maniére équivalente comme suit:

                  ay   act    ry 8Y
        M™ +9) Gr : 3D + (1+ qEe.      ,ac?
                                  or 2 By                                   (18)

         ac? =-
puisque Gay            act
                (1 +r) or

        Cette expression s'interpréte comme une condition nécessaire et suffisante

pour qu'une augmentation du taux d’intérét r soit profitable. En effet, en premi-

ére période, une variation de r libérera des ressources du secteur privé au profit

du secteur public pour un montant de:

        ay
        Gr
           , act
             or°u"

Ceci provoque une diminution de la consommation future de

        + oy
          4-t° dr

due 4 l'absence d'investissement privé ainsi qu'une augmentation de la consomma-

tion future de

        U1 +p)    dy + or
                 Ge    oc?U

due & l'investissement public dont la productivité marginale est p. La somme

de ces deux effets doit étre au moins égale 4 l'augmentation de consommation

                                                                                   33
2
     future ce Wy qui compense exactement la diminution de consommation de premiére

     période.

                La généralisation de l'expression (18) a n périodes s'écrit:

                         1,       dv?       act           chy   ay?
                +p) Ga + ald @ + 7) an?

                   ac?
                 >(2p,+¢  D5 He
                             act, tt
                                   tm m+  4y-1
                                         or)                                                       (13)
                   or’'u je or''U seo

     ot r’ est le taux d'intérét en période 1
        ot est la productivité marginale des investissements publics en période i

        cd est la        consommation en période j.

     Comparons &4 présent les expressions (18) et (19). Il a été établi (HICKS, 1939,

     appendice au chapitre II) que

                 n            a        a|
                 z a, T +r) #0.                                                                    (30)
                j=    iss
     Tl s'ensuit que:

                                              n    acd  n-41
                                              =   (yn)
                                                             i
                                                         T +r)
                                                   or'uU
                _ 3c
                 get 1 rt)1) .= SG
                                J22 isj                                                           (20")
                                                    I    (+r)
                                                   in2
                                             ac?      D acd, Jt  mn ae   1
                                                                       rt.
                                             ey
                                             or “U +  s  OS)
                                                     523 or’ 'U 525

     En particulier, pour n                  2, nous avons

                act                ‘         2
                Rp + rh) + x = 0.

     de sorte que, moyennant le remplacement de P par r dans le second membre du terme

     de droite de (19), nous obtenons, pour n-= 2,                    l'inégalité (18). La différence

     entre les conditions (18) et (19) se limite donc uniquement au fait que dans (18)

     on utilise le taux rt et dans (19) le taux oe. Ceci s’explique de la maniére

     suivante : un consommateur acceptera de transposer sa consommation de la période

34
i A la période i+1 au prix tert, Mais cette privation en période i permet des

investissemants publics générant aot. En conséquence, priver la consommation

de période 2 d’un montant de

          n     Jo j-4
             oc            dont
          E (ea),   I (t+ vr)
         523 or’ U i=?

permet, grace aux investissements publics, d’obtenir un flux de consommation de

         oC) J           =
        Gey            $= 35   sous nx

        L’expression (18) représente de ce fait le méme type de condition néces-

saire et suffisante d'efficacité d'une augmentation de Z que (18}. De plus, si

les termes de (18) peuvent étre mesurés facilement, il n'en va pas de méme pour

les a, de (19).et il convient de trouver une approximation du membre de droite

de {19).Le raisonnement mentionné ci-dessus suggére naturellement de substituer

rt a pl Cette solution a, par ailleurs, le mérite de la simplicité. Le membre

de droite de (19) s'écrit alors, grace & (20'):

                ac?
        -U +r) Bay  -

        Cette approximation surestime le membre de droite de (19) puisque p doit

étre supérieur & r pour vérifier (19). Elle rend ainsi la condition d'efficacité

plus stricte.

        En conclusion, la condition (18) est une approximation biaisée de (19)

mais qui, du point de vue pratique, peut étre considérée comme une approximation

raisonnable.

3.4. Calcuk du TAS en économie ouverte

       Nous reprenons le modéle de SANDMO et DREZE. Il s'agit du modéle présenté

                                                                                   35
dans la section 3.1, complété par la possibilité d'achat par des investisseurs

étrangers d'obligations émises par l'Etat. Soit m le montant de ces préts de 1'ex-

térieur, ona

        m= m(r) avec m'(r) > 0.                                            (21)

La contrainte de ressources agrégées en premiére période devient

        cl+ey+z=mMem.                                                      (22)

Les contraintes de budget des consommateurs demeurent:

        ch+Y+be=m                                                          (23)
        c? = #(Y) - t(f(Y) - Y) +b +r) +a.                                 (24)

La contrainte de budget de 1'Etat devient

        g(Z) + t(#(Y) - Y) = (1 + 17) (b + m(r)) + a.                      (25)

De (22) et (23), 11 vient:

        Z= mr) +b=m(r) +m-ch-y.                                            (28)

En substituant (26) dans (25), on a

        g(m(r) + mM - cl - y) + tlf(y) - Y)                                (27)
        = (er) (mr) +m-ch- yo +a

et le Lagrangien devient

        t= ufct, ety) - tty) - ¥) © (M- ch-y) +r) +a}
         ~ Magtm(r) + m- ch - ¥) + tCF(Y) - ¥) - (1+ 4) (mir) - m-ch-y) - a}.

                                                               1
En différentiant par rapport & Z et en utilisant les égalités
                                                              te =41+ret

'(Y) = 1+ 25. on obtient
2m                     ;
                - Cc ch. Y) . Mg(Z)   ;      ac) ay
                                           _ Se           Fg: OY
        u?(m                        (m'(r)        get Ot a) ap

                    act           ,                                                    (28)
              + +r) a   - (1+ r) m(r) - Z} = 0.
                     bg

En différentiant par rapport & a, on obtient

                    i                         act - 1} = 0.
        U? 2 = M{-g'(Z) + + rd) se                                                     (29)

                                                                                 1
Considérons le systéme composé des équations (28) et (29). Comme x. 0 pour
                                                                 da
U = constante, i1 vient:

                          act                      r,   8Y             a     ;
          :          +r) GE lyt +7 oe                         (+r (1 + 29) m'(r)
        g'(Z) =                           7
                                     3c           oY     :
                                     Gy ‘37m (r)
                                                                                       (30)
                    z1+0

Dans cette expression apparait        ,       l’élasticité de l'offre étrangére de capitaux:

                ,      is
        emt) ay             (© 0).

        Le TAS g'(Z) s'exprime & nouveau sous forme de moyenne pondérée ot inter-

viennent les taux d’actualisation utilisés par les consommateurs et les entreprises

privées mais également le taux d'intérét sur les préts étrangers, pondéré par la

dérivée de la fonction d'offre        étrangére de capitaux.

         Les trois facteurs de pondération étant de méme signe,             (1 + 0) se situera

                   i        4
entre (1 +r) et 1+ qe ter tee

         Pour déterminer le TAS numériquement, en présence de préts de 1'étranger,
                                                                      1
 il faut donc des estimations empiriques des paramétres x , = et m'(r).

 3.5. Calcuk du TAS en présence de chémage

         Jusqu'ici, nous avons ignoré le marché du travail. Cependant les marchés

du capital et du travail sont susceptibles de s’influencer mutuellement. En

                                                                                                 37
effet, une augmentation du taux d’intérét réduira généralement les investissements

     du secteur privé, ce qui affectera la demande de travail de ce secteur.

             MARCHAND, MINTZ et PESTIEAU (1982 et 1983) ont étudiié les problémes re-

     latifs aux coits du capital et du travail utilisés par une entreprise publique

     en présence de déséquilibre. Etant donné les conditions actuelles de l'emploi

     en Belgique, une analyse détaillée des résultats concernant le cofit social du

     capital en présence de chémage s'avére indispensable.

             Reprenons le cadre d’hypothéses du modéle de la section 3.1. Nous y in-

     cluons un marché du travail sur lequel l'offre est excédentaire et le salaire

     (w) est rigide.

             La fonction d'utilité que maximise le consommateur comporte 4 présent

     un troisiéme argument, 1, la quantité de travail offerte:

             U=uCl, ct, C7)                     avec x = ue
travail et la rémunération du capital investi. Il est
                                                       soumis & une contrainte

 de production:

             y? = Feyt, 1)                                                     (35)

 dans laquelle intervient la quantité de travail a

            L'hypothése de rigidité du salaire w permet d'exprimer les fonctions

 d’offre:

            Y? « y7(r)

et de demande:

            Yl = ylep)
            1,        #1 (5)
                 Pp      Pp

du secteur privé.

        L'optimisation du bien-étre social exige que le producteur public
                                                                          maxi-

mise son profit:

        M             = 2? - wi       - pz.                                   (36)
             g                    g
Les colts marginaux du travail W et du capital p peuvent s'él
                                                              oigner sensiblement de
ceux en vigueur dans le secteur privé wet r.

        Les quantités zs 2 et =. désignent respectivement le capital
                                                                     investi
l’output et la demande de travail du secteur public.

        On en déduit les fonctions d'offre :

        2? = 27(R, W)

et de demande:

                                                                                     39
Z       = Z (R, W)

              1       = 1 (R, W).
                  g      g

                                                                                 lité,
              Reprenons & présent le probléme du consommateur. Sa fonction d'uti

     donnée par (31) peut aussi étre exprimée sous la forme

              uti, cy, C4) = Vir, R, W, ade

     Les contraintes imposées s'6noncent alors :

              me=citr, a, 1) + Z'(R, W) + Y*r)                              ty)                   (38)

              yer) + Z7(R, W) = C?(r, a, L)                                (vy)                   (39)

              L= 1 (r) +1 (R, W)                                            Cy?)                  (40
                        Bp           &

     ot ¥°, y! et Y? sont les multiplicateurs de Lagrange.

                                                                                du
              La solution de ce probléme d'optimisation fournit les expressions

                                                                    ge :
     TAS: R et du codt marginal du travail, W, en présence de chdma

                       ue,                     2   acty   ayty-1 o                                (41)
               RertMw+Pl at Ge tg)
                                           °
              Wew- Morse                                                                          (42)
        act'_ = ae
     ot or
                ac?     toa
                             ac?    (mM - C!) représente l'effet de substitution pour le consommateur,

        dE My?

     eta= 31 =u ._4            31                   :
                                         est le multiplicateur   d'emploi
                                                                               a1
                                                                               2  « al
                                                                                    B  - Be? 1’
                                                                                                _
                                                                  vomploi otof IL ar ¢ aE or ) aL BY) 1
                                                                                                        ac 1

                  Pot
                                                                              loi total
              Le multiplicateur d’emploi,a , indique dans quelle mesure l'emp

     augmente quand le secteur public crée un emploi.

                                                                                 , pour
               Le signe du multiplicateur oa n'est pas déterminé a priori. Ainsi

                                                                                dispari-
     a > 0,   la création d'un emploi dans le secteur public s'accompagne de la

     tion de plus d'un emploi dans le secteur privé.

40
Pour a > 0, ona:

        p> resi a1/or
niveaux:
                  L'incertitude peut intervenir dans le calcul du TAS & trois

     (1) au niveau du secteur privé:
                                                                         en fonction
         le codt d'opportunité peut varier au sein méme du secteur privé

                                                                   peuvent aussi ré-
         du risque propre & chaque industrie. De telles variations

         sulter de différences entre taux marginaux de taxation.

     (2) au niveau du secteur public:
                                                                      quantification
         Dans la section 2.2, nous avons souligné la pertinence d'une

         du risque relatif au secteur public.

     (3) au niveau intersectoriel:
                                                                   ement de l'investis~
         La contribution de chacun des secteurs du privé au financ

         sement public est généralement inconnue.

     4.1. Dégfenence de coiit d'opportunité dans Les secteurs du privé

                                                                  codt d'opportunité du
                  Jusqu'ici, nous avons toujours considéré que le

                                                              ité, il n'en est rien.
     capital des investissements privés était unique. En réal

                                                           fonction de son risque et
     Chaque investissement a un coit d'opportunité qui est

                                                       d’une entreprise 4 une autre.
     de plus le taux de taxation peut largement varier
                                                           s de remplacer le coiit d'op-
     Tenant compte de ces deux observations, nous proposon

     portunité unique des entreprises privées        r/(1 - t) par (r+ Pav - ty)

     ot P,       est la prime de risque des entreprises du secteur i,
             1
                                                            du secteur i.
        t, est le taux de taxation marginal des entreprises

                                                                         maniére suivante:
                   Ceci nous permet de généraliser la formule (17) de la

                                                                                         (43)

                                                                          ur i au taux
     ot a1, /or est fonction de l'élasticité des investissements du secte

      d'intérét.

42
4.2. Caleuk du TAS avec prime de risque

         Dans la formule (43), nous calculons le TAS comme une moyenne pondérée

des cofits d'’opportunité des différents secteurs qui souffriraient d'un "crowding

out” suite & un investissement public. Comme le fait remarquer KOEUNE (1978), en

avenir incertain, cect suppose que le projet d’investissement public présente un

risque équivalent 4 la combinaison de risques de ces secteurs. Pour lever cette

hypothése, il faudra calculer 1’équivalent certain de la formule (43), et ensui-

te déterminer et y ajouter la prime de risque d'un investissement public spéci-

fique.

         L'équivalent certain de (43) peut s'écrire :

                   oc
                           umolnmo

                 £ Gut ‘
         1+p                                                                 (44)
                    ac
                   SPu *

Nous proposéns d’estimer la prime de risque d'un investissement public & partir

du modéle d’équilibre des actifs financiers (Capital Asset Pricing Model : CAPM).

         Le CAPM relie la rentabilité attendue d'un actif E(R) & son risque sys-

tématique ou non diversifiable 8 par la relation linéaire

         E(R) = i+ B (ECR) - i)                                             (45)

ot i est le taux d'intérét sans risque,

   ECR) - i est la prime de risque unitaire du marché,

   8B est le risque systématique de l’actif, mesuré par le rapport de la covariance

de la rentabilité de l’actif avec la rentabilité du portefeuille de marché sur la

variance de la rentabilité du portefeuille de marché :

         8 = cov (R, R_J/ var(R_).
                      m              m

                                                                                      43
Vous pouvez aussi lire