DSCHRIFT VOOR STATISTIEK, EN OPERATIONEEL ONDERZOEK - DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE HERCHE OPERATIONNELLE - ORBEL
←
→
Transcription du contenu de la page
Si votre navigateur ne rend pas la page correctement, lisez s'il vous plaît le contenu de la page ci-dessous
DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE HERCHE OPERATIONNELLE DSCHRIFT VOOR STATISTIEK, EN OPERATIONEEL ONDERZOEK
The Belgian Journal of Statistics, Computer Science and Operations Research appears 4 times a year and is published with the support of the Ministry of National Education and Culture, and following societies: SOGESCI - B.V.W.B.: Société Belge pour |’Application des Méthodes Scientifiques de Gestion, Belgische Vereniging voor Toepassing van Wetenschappelijke Metho- des in het Bedrijfsbeheer, 53, rue de la Concorde, B-1050 Brussels. EDITORIAL BOARD: J.P. BRANS, M. DESPONTIN, R. SNEYERS, Ph. VINCKE SUBSCRIPTION FOR ONE YEAR (4 issues) BELGIUM : 600 BF ; OTHER COUNTRIES : 700 BF. SOGESCI - B.V.W.B., 53, rue de la Concorde, B-1050 Brussels, Belgium La Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Opérationnelle parait 4 fois par an et est publiée avec l’appui du Ministére de |’Education Nationale et de la Culture et des sociétés suivantes : SOGESCI - B.V.W.B.: Société Belge pour l'Application des Méthodes Scientifiques de Gestion, 53, rue de la Concorde, 1050 Bruxelles. COMITE DE REDACTION : J.P. BRANS, M. DESPONTIN, R. SNEYERS, Ph. VINCKE ABONNEMENT ANNUEL (4 numéros) BELGIQUE: 600 FB; ETRANGER: 700 FB. SOGESCI - B.V.W.B., 53, rue de la Concorde, 1050 Bruxelles. Het Belgisch Tijdschrift voor Statistiek, Informatica en Operationeel Onderzoek verschijnt 4 maal per jaar en wordt met de steun van het Ministerie van Nationale Opvoeding en Kultuur en volgende verenigingen uitgegeven : SOGESCI - B.V.W.B.: Belgische Vereniging voor Toepassing van Wetenschappe- lijkke Methodes in het Bedrijfsbeheer, Eendrachtstraat 53, 1050 Brussel. REDACTIERAAD : J.P. BRANS, M. DESPONTIN, R. SNEYERS, Ph. VINCKE. JAARABONNEMENT (4 nummers) BELGIE : 600 BF; BUITENLAND : 700 BF. SOGESCI - B.V.W.B., Eendrachtstraat 53, 1050 Brussel.
REVUE BELGE DE STATISTIQUE, D'INFORMATIQUE ET DE
RECHERCHE OPERATIONNELLE
BELGISCH TIJDSCHRIFT VOOR STATISTIEK, INFORMATICA
EN OPERATIONEEL ONDERZOEK
Vol. 24 n° 4 Vol. 24 nr 4
SOMMAIRE - INHOUD
BROECKX F., J. BERTELS : Linear programming with an infinite
DE VYLDER F., M. GOOVAERTS number of inequalityconstraints,
solving an insurance problem
MORAY Myriam : Le taux d'actualisation social en univers certain 19
et incertain
BAETS Walter : Liquidity budgetting in a public enterprise by 51
means of regressionanalysis
CAUWENBERGHS M. : Projectmanagement - Een overzicht van sofware- 72
pakketten
NOTE : Ce numéro ne comprendra pas de tutorial paper étant donné
la publication d'articles présentés au Congrés ORBEL II.
NOTA : Dit nummer bevat geen tutorial paper om de publicatie van
bijdragen tot het ORBEL II Congres toe te laten.[ rromtaL Paver |
The Belgian Journal of Statistics, Computer Science and Operations Research
Pursues two objectives, the one of scientific, the other of didacticel nature.
On the scientific level it is intended for scholars willing to publish their
results which can be either theoretical or applied in economics, industry or
management.
On the didactical level each issue will contain a “tutorial paper” devoted
to a specific theme. It will be written in order to be comprehensible for non-
specialists also.
In pursueing this double goal, the editors hope the reader will have the
opportunity of enriching his knowledge in an efficient way and that the formule will
encourage and increase the contacts between theoreticians and prectitioners.
La Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Opérationnelle
poursuit deux objectifs, l'un d'ordre scientifique, l'autre d’ordre dicactique.
Sur le plan scientifique elle s'adresse aux chercheurs désireux de feire
Peraitre les résultats de travaux soit & caractére théorique, soit orientés vers les
applications économiques, industrielles ov de gestion.
Sur le plan didactique, chaque numéro de la revue contiendra un "tutoriel
Peper” consacré & un théme particulier et rédigé de facon & étre compréhensible
par les non-spécialistes du domaine.
—n poursuivant ce Gouble but les éditeurs espérent que le lecteur trouvere
l'occasion d’enrichir efficacement ses connaissances et que la formule sera de
nature & promouvoir les contacts entre théoriciens et praticiens.
Het Belgisch Tijdschrift voor Statistiek, Informatica en Opsrationeel
Oncerzoek beoogt twee doelstellingen, enerzijds van wetenschaopelijke en ander
van dicactische aard.
Dp wetenschappelijk vlak richt het zich tot de vorsers Gie hun onderzoeks-
resultaten wensen kenbaar te maken. Deze kunnen zowel theoretische onderwerpen
als toepessingen in de economie, de nijverheid of het beheer behancelen.
Op dicactisch vlak zal elk nummer een “tutorial paper" bevetten cie ean een
bepsald thema zel gewijd zijn. thet zal opgesteld worden om tevens leesbear te
zijn voor personen die niet in het comein gespecialiseerc zijn.
Door dit dubbel doel na te streven hopen de uvitgevers cat de lezer de
gelegenheic krijgt zijn kennis op doeltreffende wijze te verrijken en cet de
formele de kontakten tussen theoretici en practici zal stimuleren.Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Opérationnelle, Vol.24, n° .4
Belgisch Tijdschrift voor Statistiek, Informatica en Operationeel Onderzoek, Vol.24,Nr 4.
LINEAR PROGRAMMING WITH AN INFINITE NUMBER OF INEQUALITY-
CONSTRAINTS, SOLVING AN INSURANCE PROBLEM
F. BROECKX F. DE VYLDER
Universiteit Antwerpen (RUCA) Université Catholique de Louvain
J. BERTELS M. GOOVAERTS
Agfa-Gevaert N.V. K.U. Leuven
Abs tract
We consider the problem of the numerical determination of the maximum and
minimum of the stop-loss premium E(X-t) 5 where t is a fixed retention limit
under various constraints on the distribution of the risk X. A solution is
proposed and illustrated by means of a practical insurance problem. The problem
at hand is transformed into a Linear Program with an infinite number of inequality
constraints. This problem is approximated by a L.P. with a finite number of
inequalities.
1. Introduction
De Vylder and Goovaerts (1982) consider programs of the type
sup (f(x-t) ,aF(x)/1(F)) (1)
Fe }
where } is a given set of distribution functions and I(F) a finite number of
integral equality constraints of the type ffdF=z (f and z fixed). If n is the
number of constraints in I(F), such a program is often equivalent to e dual program
of the type
n-1 n-1
inf( £ ¥u2gty, 2 y;f; (0) +y,? £0), (8eJ)), (2)
i= i=
where the infimum is over all y = (yy o+++9¥, Joe satisfying the constraints
indicated after the slash. Mostly the set J is infinite and then there are thus
an infinite number of linear constraints on y.
De Vylder (1982) indicates how the dual can be solved analytically. But
the method, general in theory, can only be worked out in practice if n< 3.
In this paper we illustrate how, for any n, the dual can be treated
numerically. The very simple idea is to replace J by a large finite subset of J
and then to solve the so obtained usual linear program by one of the well-known
3methods, say the revised simplex method. ‘The validity of this approximation
results from the unique theorem proved in this paper.
Needless to say that the method also works in case of primal minimization
problems and corresponding dual maximization problems.
General method for sokving the original problem
Let fyoeeeo fy be functions on &. Let j be a convex set of probability distribu-
tions on ®. For any z' = (2yseeeot yg lea| we consider the primal maximization
problen,
P(z') = sup (sfaP | sf,aF = 2, (451,.+.sn-1), sar=1) (3)
Fe }
and the primal minimization problem
p(z') = inf (sfar | sfyaF = 2; (i=1,.-.,n-1, sa¥=1) (4)
Fe }
Unless stated otherwise, the integrals are over @. All involved integrals
are supposed to be finite.
Of course, the constraint saF = 1 is redundant, because we assumed from
the start that j; is a family of probability distributions. In view of the
formation of the dual problems, it is nevertheless interesting to repeat that
constraint. We call the subset p= {H, le el} of }, an integral basis of tif
each Fe} can be displayed as a mixture.
F(x) = sH,(x)aw(o) (5)
I
of functions in é.
The set } may have several integral bases g. Most interesting are the
bases with a small number of elements. In the sequel we assume that ® is a fixed
integral basis of } and we call the distributions in 8, the basic distributions.
The functions r (is1,...,n) are defined on I, by
fle) = sey(eda8 (x), (et) (6)
It is readily seen that the dual of problem P(z') is the problem
n=1 n=] 4 a \
att) = int ("T ysoyty, |B yitj(0My,> 2,(6)(0e0))/ (1)
a \iel 1=1
where y = (Yyo++09¥,)+
The dual of problem p(z') can be displayed astet tek =o A
a(z') = sup/ yr yjzsty, 2 yyfy(@)ty, < £,(0), (eZ) (8)
n\ i=1 ist
YeR
As is shown by De Vylder (subm.) we have : if P< », then P = Q(a.e.) and if
p> -@, then p = q(a.e.).
In order to obtain a numerical solution to the problems (7) and (8),
both problems are approximated by the two following L.P.'s respectively :
yn-1 port « a
tyeint | 2 2st, | se eata'es in? £,(05))
Q,(2!) » (9)
ys \
(j=1,---5k)
where 8 jel (j = 1,.--5k)
/n-1 m-1 4 ~
sh = sup 1D
i yaa, | ¥47,(@;)+y, < £(05) > (10)
a,(2')
n\i=1 i=l
yeh
(j=1,.-+5k)
It is shown analytically in Goovaerts, Haezendonck and De Vylder (1982) that
Lim Q,(2') = Q(2")
ko
Lim a,(2') a(2")
koe
In order to get numerical results it is sufficient to solve the problems
(9) and (10) for sufficiently large values of k. In what follows we will
examine numerically the rate of convergence when k increases. The numerical
calculations have been performed on an IBM 3032 computer with a 052/MVS Operating
System, connected with a DEC 20-60 computer. The L.P.'s (9) and (10) have
been solved by the MPSX system.
Numerical ikkustrations of the method
3.1. The case of numerical bounds on stop-loss premiums in case of known mean and
variance of the risk variable.
In case of a stop-loss treaty the insurer takes over that part of the
risk that exceeds a given amount Yy: We now suppose that the stop-loss treaty
is modified in such a way that the liability of the reinsurer is limited to
Yo Vy in case the claim amount exceeds the amount Yo: Hence, the risk of the
reinsurer can be cast into the form{ 0 x Sy,
X = f Xx - yy ¥, Yp> F(a) = 0, F(b) = 1. (with a = 100, b =
1000)
Me suppose that B(x) = 2, (=555), E(x") = 2, (=356000), hence o°(x) = 47975).
For the present application the problems (7) and (8) can be solved
analytically as has been shown by De Vylder, De Pril and Goova
erts (1982). The
results are displayed in appendix A. We have to consider the problem (7) and
(8) with 21 = 555, 2 = 356000, n = 3, (0) =6,
f5(8) = 0°,
f3(0) = max { min(@-y,, Yo-¥,), 0} , I =[ 100, 1000] or a = 100 and b =
1000.
Both problems (7) and (8) are approximated by the problems (9)
and (10) respec-
tively. The following results are obtained for different values
of k:
(z") y4 y. 2 k value analytical result
(from app. A)
4so | 650 15 157.22 163.53
60 162.97
450 550 15 86.32 88.70
300 400 15 100. 100.
400 800 15, 210.83 211.66
350 800 15 251.53 252.03
300 800 15, 292.22 292.63
500 800 15 139.79 1ho 41
700 900 15 55.98 55.45
700 800 15 40.32 | Wh be
60 43.44On the other hand we obtained :
a, (2! ) vy Yo k value analytical result
(from app. A)
700 900 | 15 { oO. 0
600 800 15 19.36 15.28
60 16.33
500 800 15 56.29 48.67
| 60 50.68
350 600 15 116 .96 115.70
hoo 600 15 66.96 66.74
as 490 15 15.07 9.06
60 9.06
350 | 700 | 15 146 9b 146.16
400 150 | 15 106.62 106.24
| 400 800 45 116.29 116.00
3.2. The case of bounds on the stop-loss premium for a set of distributions concen-
trated on[0,b].
Let b be a fixed positive number. We denote by 7! the set of all
probability distributions concentrated on[0,b] . A basis of } is the set
a! = (H! '0According to (6) we have to consider
ch : file) =e (0 < 9< db)
a 21 = 2 (0 < 9a |
10 20 4O 80 160
a | 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00
ci, 5.20 5.22 5.23 5.23 5.23
C5 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00
Clos 5.20 5.22 5.23 5.23 5.23
k
| 10 20 bo 80 160
case | | | |
c| | 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1
Cl,
|
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Ci,
1
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Sing
1 || 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
+ The case of bounds on the stop-loss premium for a set of
unimodal distributions
on[0,b] with mode m.
Let m (= 1 in the numerical application) be a fixed mode in[0
,b] . We
denote by 2 the family of all unimodal probability distribu
tions concentrated
on[0,bd] with mode at m. A basis of e is the set a - {He | 0Of course :
(0-+) He
fF (0) = 2 6-m
(03.4. The case of bounds on the stop-loss premium for the set of mixtures of
exponentials on[ 0, » ]
Let 6 3 ={Plo< 6 < b }where
Hx) = (1 - eX /(041 )) 1 (o<NN *
. 10 20 ho 80 160
case |
oe 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
c3, 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Cts 2.55 1.30 0.67 0.36 0.36
3 ||
Clog 2-55 1.30 0.67 0.36 0.36
BO The case of bounds on the stop-loss premium for the set of mixtures of
Pareto distributions on[1, ~ ]
Let c (= 1.05 in the numerical illustrations) be a number larger
than 1 and gp = ( 1 |o’
Values for qy(2")
k
SN 10 20 ho 80 160
case
t
ot
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
ch 2.718 2.718 0.010 | 0.010 0.010
13Appendix A
P(z') = Sup ( fmax {min (6-¥ 4 o¥o-¥4) > 0 jar | soar =m, so aF=n,, saF=1)
Fe j
where } denotes the set of distributions on the interval[ a,b] , and
2 2 a 2
so =m, —m, s\=s + (x-y)
Value of the problem | Atoms
Conditions
agm< Yo i
P : (ara) (oty,-m-a)-s" |
(m-a)(ys-m) < s°82 2y,-Yn 2
2yQ-b
References
BUHLMAN H. : Ein anderer Beweis fiir die Stop-Loss-Un
gleichung in der Arbeit
Gagliardi/Straub. Mitt.der Ver. Schw.Vers.Math.,
p. 284-285 (197h)
BOWERS Jr. N.L. : An upper bound on the stop-loss net
premium. Transactions
of the Society of Actuaries 21, p. 211-216
(1969).
DE VYLDER F. : Best upper bounds for integrals wit
h respect to measures
allowed to vary under conical and integr
al constraints. Insurance Mathematics
and Economics V1, Nr 2. p. 109-130, (1982)
.
DE VYLDER F., GOOVAERTS M. : Upper and lower bounds on stop-l
oss premiums
in case of known expectation and varian
ce of the risk variable. Mitt. der
Ver. Schw. Vers. Math. (1982).
DE VYLDER F., GOOVAERTS M. : Analytical best upper bounds for
stop-loss
premiums. Insurance Mathematics and Economics V1, Nr
3, p. 197-212 (1982).
DE VYLDER F., GOOVAERTS M., DE PRIL
N. : Bounds on modified stop-loss premiu
ms
in case of known mean and variance of the
risk variable, Astin Bulletin (1982).
EKELAND I., TEMAM R. : Convex Analysis and Variational Proble
ms. North-
Holland Publishing Company (1976).
GABLIARDI B, STRAUB E. : Ein obere Grenze
fir Stop-Loss-Praémien. Mitt. Ver.
Schw. Math. 74, p. 215-221 (1974).
GOOVAERTS M., DE VYLDER F. : Upper bounds on stop-loss premiums
under
constraints on claim size distribution as
derived from representation theorems
for distribution functions. Scandinavian Actuarial Journal 1980, p. 141
-148
(1980).
GOOVAERTS M., HAEZENDONCK J., DE VYLDER
F. : Numerical best bounds on stop-
loss premiums. Insurance Mathematics and Economics (1982).
HEILMAN W.R. : Improved methods for calculating and
estimating maximal stop-
loss premiums. Blatter Deutschen Ges. Vers. Math., p. 21-49 (1981)
.
EFIOFFE A.D., TIHOMOROV V.M. : Theory of extremal Problems. North-Holland
Publishing Company (1979).
Taylor G.C. : Upper bounds on stop-loss premiums under constraints on claim
size distribution. Scandinavian Actuarial Journal 1977, p. 94-105 (1977).
VERBEEK H. : A stop-loss inequality for compound Poisson processes with a
unimodal claimsize distribution. The ASTIN Bulletin 9, 247-256 (1977).
Acknowledgement : We are obliged to Mr. J. De Kerf, head of the Agfa-Gevaert
N.V. Computer centre, for providing the computer facilities as well as for
giving several important comments.
18Revue Belge de Statistique, d'Informatique et de Recherche Cpérationnelle, Yol.24, n° .4
Balgtsch Tijdschrift voor Statisttek, Informatica en Operattoneel Onderzoek, Yol.o4, Nr a+
LE TAUX D'ACTUALISATION SOCIAL EN UNIVERS
CERTAIN ET INCERTAIN
Myriam MORAY
Université Libre de Bruxelles,
Centre d'Economie Mathématique et d'Econométrie.
Abstract: The paper discusses the problem raised by the estimation of the social
discount rate. It presents a critical review of the literature by drawing upon
arguments from financial theory. We start with a simple model which is progressi-
vely generalized by lifting some of the restricting hypotheses. Building upon
existing results, we present an approach to compute the social discount rate for
an open economy with several consumers and producers, on n periods, with unem-
ployment and under uncertainty. In particular, we propose a method to estimate
a specific risk premium for a public investment.
1. Introduction
L'estimation du taux d’actualisation social (TAS) a été et reste un sujet
trés controversé. Ce taux est la rentabilité minimale que la collectivité attend
d'un -investissement public.
Ce texte présente des résultats de recherches du Programme national R-D Energie
(Services du Premier Ministre - Programmation de la Politique Scientifique}. La
responsabilité scientifique est assumée par son auteur .
19Un investissement public utilise des capitaux qui ne sont plus disponi-
bles pour le secteur privé. Si la rentabilité que peut générer le secteur privé
a partir de ces capitaux est p, la collectivité ne devrait accepter le transfert
de ces ressources vers un investissement public que si celui-ci génére au moins
p. Ce taux p ast le TAS, c’est-a-dire le coit d’opportunité du capital pour la
société.
C'est ce taux qui doit étre utilisé dans le calcul de la valeur actualisée
nette (VAN) d'un investissement public. L'utilisation de la VAN positive donnera
alors un critére de décision d'investissement public qui permettra d'atteindre
l’optimum social 4 partir de décisions décentralisées.
Nous commehcerons par expliquer les problémes que souléve la question du
calcul du TAS. Ensuite, nous proposerons une synthése critique des réponses qui
y ont été apportées dans la littérature, en empruntant notamment des arguments
A la théorie financiére. Nous compléterons cette synthése en développant 1’ana-
lyse du TAS en avenir incertain et en établissant une méthode d’estimation de la
prime de risque pour un investissement public.
Pour la clarté de cette synthése, nous partirons d'un modéle simplifié,
qui nous servira de référence, et nous léverons successivement les hypothéses
contraignantes. Par ailleurs, nous n'aborderons pas ici la trés large probléma-
tique des externalités et des analyses "coiits-bénéfices”.
2. Présentation du modete
Les controverses concernant le taux d'actualisation social se situent 4
deux niveaux. Le premier a pour origine la multiplicité des taux d'intérét obser-
vables dans le secteur privé. Le deuxiéme a trait au risque relatif que présente
un investissement entrepris par le secteur public plutét que par le secteur privé.
20Nous présenterons successivement ces deux problémes.
2.1. Mubtiplicité des taux d'intérét
Dans un univers of l'avenir est connu avec certitude, of les marchés des
capitaux sont parfaits et of il n'y a pas de distorsions, le cofit d'opportunité
du capital est le m&éme pour tous. Par conséquent, le TAS est unique et directement
observable: c'est le taux du marché.
Supposons maintenant qu'il y ait des distorsions dans cette économie sous
la forme de taxes (non uniformes). Le codt d'opportunité du capital cesse alors
d’étre unique.
Tllustrons cette situation. Pour la simplicité, considérons deux types de
contribuables dans cette économie
(1) une entreprise privée qui paie 50% d'impéts sur les bénéfices;
(2) un particulier qui ne paie pas d'impéts.
Supposons par ailleurs que la rentabilité des obligations d'Etat soit de 10%.
Dans cet exemple, on détermine facilement le coft d’opportunité du capi-
tal pour l’entreprise privée. Elle doit fournir & ses actionnaires une rentabilité
aprés impét de 10%. Or, pour elle, une rentabilité de 10% aprés impét représente
20% avant impét. Donc, le coit d'opportunité du capital de cette entreprise est
de 20%, tandis que celui qui refléte les préférences temporelles du particulier
n’est que de 10%.
Cette constatation amena BAUMOL (1968) & écrire 4 propos du TAS que
"given our institutional arrangements, there is an avoidable indeterminancy in
the choice of that rate. The figure which is optimal from the point of view of
allocation of ressources between the private and the public sector is necessarily
higher than that which accords with the public's subjective time preference. As a
result (...) we find ourselves forced to hunt for a solution in the dark jungles.
21of the second best”.
A 1'époque ot BAUMOL écrivit ces mots, la controverse concernant deux
candidats-TAS était latente. Le premier était le taux social de préférence tempo-
relle ou taux d’intérét a la consommation (r). De nombreux auteurs l'ont assimilé
au taux d’intérét aprés impét de 1’épargne privée. Le second était le taux de
rentabilité brut des investissements privés, appelé aussi taux d’intérét des in-
vestissements (R). Ces deux taux sont de niveau fort différents: r est générale-
ment beaucoup plus faible que R.
BAUMOL a eu le mérite de mettre en évidence qu'en présence de taxes, il
n'y a pas de fondements théoriques pour défendre exclusivement l'un ou l'autre
candidat-TAS et que. d&és lors, il est nécessaire de chercher une solution de
"second best".
2.2. Prime de risque des investissements publics
D’éminents économistes considérent qu'un investissement public est moins
risqué qu'un investissement privé, voire non risqué (SAMUELSON (1964), VICKREY
(1964), ARROW et LIND (1970), ARROW et KURZ (1970)), tandis que d'autres écono-
mistes, non moins éminents, estiment qu'un méme investissement est aussi risqué
qu'il soit entrepris par le secteur public ou le secteur privé (BAUMOL (1968),
HIRSHLEIFER (1966a), HIRSHLEIFER et SHAPIRO (1969), DIAMOND (1967), SANDMO (19725),
voire plus risqué (BAILEY et JENSEN (1971)).
Nous commencerons par présenter les différents points de vue de ces éco-
évidence les hypothéses
nomistes. Ensuite, nous les interprétercns et mettrons en
qui les sous-tendent.
Pour juger les arguments de ces économistes, quelques éléments de la théo-
rie financiére sont nécessaires. Pour le détenteur d'un actif isolé, le risque peut
@tre mesuré par la variance de la rentabilité attendue. Cependant, l'existence d'un
22marché des capitaux permet une diversifigation des actifs détenus. Dans la mesure
ol ces actifs ne sont pas parfaitement corrélés, la diversification permet d'élimi-
ner une part du risque. La part du risque qui ne peut &tre éliminée par une diver-
sification est appelée "risque systématique”.
L'argument de SAMUELSON (1964) en faveur du taux sans risque comme TAS
est le méme que celui de VICKREY (1964): le marché des capitaux est imparfait
dans la mesure of l'ensemble des actifs de la société présenterait une diversifi-
cation parfaite mais & laquelle les particuliers ne pourraient pas accéder.
D’aprés eux, cette diversification parfaite permettrait a tout investissement
public d'étre non risqué. Ils en concluent que le TAS devrait étre égal au taux
sur le marché des obligations sans risque.
ARROW et LIND (1970) aboutissent A la méme conclusion par un raisonnement
un peu différent. Pour eux, le risque total supporté par le secteur public est
réparti entre tant d'individus que chaque risque individuel deviendrait négli-
geable. C'est le "pooling argument”.
HIRSHLEIFER et SHAPIRO (1969) font remarquer que "the pooling argument
rests ultimately for support. upon market imperfections which
hinder the trading
that would otherwise tend to eliminate private risks not reflective of social
risk”.
BAUMOL, HIRSHLEIFER et SHAPIRO ainsi que SANDMO s'opposent aux points
de vue de SAMUELSON, VICKREY, ARROW et LIND et estiment, comme 1’écrit SANOMO
(1972) que dans une économie of il y a un marché boursier, "there are perfect
opportunities for pooling of risks in the private sector and the market risk
margins represent a social evaluation of the risk associated with each type of
investment (...). Thus, in this economy, the rule governing public investment
should be: imitate private investment”.
BAILEY et JENSEN (1971) exposent eux des raisons pour lesquelles
23"efficient allocation of risk bearing is usually more difficult for government
projects than it is for private ones”. Une de celles-ci étant que "the benefits
and costs of government projects belong to particular private households and firms
whom the project affects; it is their portfolio risk, not that of the portfolio
of government projects, that matters (...). Thus Samuelson not withstanding, it
is precisely "regional dams" and not "atomic bomb treaties” that are more likely
to need "strong discounting for risk” when undertaken in the public sector. In
contrast, if there were perfect risk market (and we assert that the present
equity markets seem quite efficient) and if the regional dam project were under-
taken in the private sector, its (zero variance} claims would sell with no risk
discount".
L'issue du débat repose clairement sur des éléments d'ordre empirique et
non analytique, puisque comme 1’écrit SANDMO (1972) "a close examination of the
set of arguments reveals that they are really based on entirely different assump-
tions concerning the relationship between private and public investment with
respect to risk”. HIRSHLEIFER et SHAPIRO (1969) font le méme type de remarques.
Considérons & présent les hypothéses sous-jacentes aux différents points
de vue exposés ci-dessus.
SAMUELSON, comme VICKREY, fait une double hypothése. La premiére consiste
a dire que le secteur public, et lui seul, a accés 4 une diversification parfaite.
Le deuxiéme suppose que la totalité du risque peut étre éliminée par cette diver-
sification. Pour le secteur public il n'existerait donc pas de risque systématique.
ARROW et LIND estiment eux, que les investissements publics et privés
ainsi que les investissements publics entre eux sont parfaitement non corrélés.
Dés lors, un investissement public a une contribution nulle au portefeuille d'actifs
de la société. Ils estiment done aussi qu’il n'y a pas de risque systématique pour
les investissements publics. Il est alors normal de considérer que le TAS correct
est le taux sans risque.
24SANDMO, HIRSHLEIFER et SHAPIRO sont en Oppositi
on avec les trois hypo-
théses ci-dessus. Pour eux, l’opportunité de dive
rsification, qui est parfaite
pour tous, ne peut éliminer tout le risque. Il subs
iste donc généralement un
risque systématique. Ils considérent de plus que, pour tout investis
sement public,
il est possible de trouver une entreprise dont la rent
abilité serait trés corrélée
avec celle de cet investissement. Si on admet que cett
e entreprise présente un
risque, il faut donc aussi admettre qu'un risque existe
pour 1’investissement
public. Pour présenter la situation théoriquement, ils
utilisent le concept de
Classes de risque de MODIGLIANI et MILLER (1958) de tell
e sorte qu'on puisse
comparer la rentabilité de tout type d’investissement
public avec celle d’inves-
tissements privés appartenant & la méme classe de
risque.
Il nous semble que les hypothéses de SANDMO, HIRSHLEI
FER et SHAPIRO s'adap-
tent le mieux aux réalités des économies mixtes d'Europe
occidentale ot productions
privées et publiques coexistent fréquemment dans un méme
secteur d'activité. Elles
sont aussi compatibles avec la théorie financiére
moderne selon laquelle 1'opportu-
nité de diversification est parfaite pour tous mais
la totalité du risque n'est
généralement pas diversifiable.
Tl est cependant possible d'aboutir aux conclusions de
SANDMO, HIRSHLEIFER
et SHAPIRO tout en restreignant l'hypothése de non-corr
élation entre les renta-
bilités de 1’investissement public et d'une entrepri
se privée, nécessaire pour
utiliser le concept de risque de MODIGLIANI et MILLE
R. En effet, on peut définir
des classes de risque au sens du CAPM (Capital Asset
Pricing Model). Deux actifs
appartiendront & la méme classe de risque si la corrélat
ion de leur rentabilité
attendue avec celle du portefeuille de l'ensemble des
actifs de l'économie est la
méme. Si la rentabilité attendue de l'investissement publ
ic présente une corréla-
tion avec celle du portefeuille de marché, alors cet inve
stissement présente
un risque et il faut tenir compte d'une prime de risque dans
le calcul du TAS.
253. Caleuk du TAS en avenir certain
3.1. Caleuk du TAS en prtsence de taxes
HARBERGER (1968), le premier, proposa une solution au probléme de "second
best” mis en évidence par BAUMOL. Il calcula le coft d’opportunité social des capi-
taux consacrés aux investissements publics (p) comme une moyenne des différents
cofits d’opportunité marginaux sectoriels, pondérée par la contribution relative
de chacun de ces secteurs aux fonds investis par le secteur public.
HARBERGER proposa également un mode de calcul de ces coefficients de pon-
dération. L’idée est qu'une augmentation des emprunts de 1'Etat affecte le taux
d’intérét (4) qui, en équilibre néo-classique, détermine l’allocation des ressour-
ces entre consommation et investissements. Cet emprunt de 1'Etat prive les inves-
tissements privés et la consommation privée de ressources dans des proportions
qui sont fonction de 1’élasticité au taux d'intérét de la demande d'investissement
et de l’offre d'épargne. Formellement:
oI/oi ac/oi 1)
p= ———R + ———_
OI/di + 3C/di oI/ai + OC/di
of P est le taux d’actualisation social
I est l'investissement privé
C est la consommation privée
i est le taux d’intérét du marché des obligations d'Etat
rest le taux d’intérét net de l'épargne privée
R est le taux de rentabilité brut des investissements privés.
SANDMO et DREZE (1971) obtiennent ce méme résultat 4 partir d'un modéle
formel. Il s'agit d’un modéle en avenir certain et sur deux périodes. On consi-
dére une économie fermée ot il y a un bien et un consommateur, un producteur
privé et un producteur public. Les ressouces initiales en période 1 (M) sontdétenues par le consommateur. Elles sont disponibles pour la consommation en
période 1 (c!), l'investissement privé CY) et l'investissement public (Z) de
telle sorte que:
Cley+zam (2)
En l'absence de taxes, la consommation en période 2 (C?) est la somme
des outputs des secteurs privé et public. La fonction de production du secteur
privé étant f(Y) et celle du secteur public étant g(Z), on a:
c? = #(Y) + g(Z)- (3)
ot f’ et g' >O et f™ et g”En période 2, les ressources du consommateur proviennent
(1) du rendement net de ses investissements privés. Le bénéfice du producteur
est de f(Y) - Y et est taxé au taux t. Le bénéfice net, f(Y) - t(F(Y) - Y),
est totalement distribué.
(2) du rendement de son prét a 1'Etat: b(1 +r).
(3) d'un forfait & payer par 1'Etat au consommateur qui représente le surplus
de la production de 1’Etat: a.
On a donc
ct» f(y) - t(#(Y) - Y) + b(1 +r) + a. 7)
Grace & (6) et (7), on obtient:
c2= f(y) - t(f(Y) - Y) + (M-C-Y) Wer) ta (8)
Dés lors, substituant dans la fonction d'utilité (4), la maximisation par rapport
a ct et Y conduit aux conditions du premier ordre:
uy =4+r (3)
f(y) = 1+ r/ (1 - t) (10)
Le systéme décrivant 1'équilibre du secteur privé est ainsi complet si
on ajoute la contrainte de ressources (2) qui, utilisant (6), peut étre écrite
sous la forme
Z.= ba (11)
—En ce qui concerne le secteur public, ayant fixé t, il déterihine a et Z
de maniére & atteindre, pour 1’économie, un optimum sous la contrainte de budget
en deuxiéme période:
2(Z) + t(f(y) - Y) = b(1 + r) + a. 412)
28Finalement, le niveau d'investissement public doit étre déterminé par une équa-
tion de la forme
gi(Z) = 1+ 9,
ot P est précisément le taux d’actualisation optimal du point de vue de l'effica-
cité 4 utiliser pour les décisions d'investissements publics. Il s’agit du TAS
que nous voulons déterminer. On constate aisément qu’en l'absence de taxes (t=0),
la productivité marginale du capital est égale au taux marginal de préférence
temporelle et que la condition d’optimalité (5) est satisfaite pourper.
En l’absence de taxes, on obtient ainsi une solution de ‘first best”. En présence
de taxes, de plus amples calculs sont nécessaires.
Substituons (8) dans (4) et exprimons l'utilité des consommateurs de la
maniére suivante:
U = ufc’, f(y) - t¢f(y) - ¥) + (M- ch -¥) (141) + a} 14)
Le secteur public doit choisir a et Z de mani@re & maximiser cette fonction sous
sa contrainte de budget (12) qui, en substituant (11) dans (2) et en remplagant,
peut s'écrire:
g(M- Cl - y) + t(f(Y) - Y) = (+r) (M-Ch-y) +a (15)
Tl faut donc déterminer a et Z de maniére & maximiser (14) sous la contrainte (15).
Le Lagrangien correspondant s'écrit:
b= u{ct, fey) - t¢F(y) - ¥) + (Mm -cl- y) (4+ 17) +
a}
~ Mg(m- ch - y) + t¢F(Y) - ¥2- (1 +r) (M-ch-y)- al (18)
La résolution conduit a:
ac} + (1+ 7)
ea 1 +r) Ay ry oy
ore
4 ae F 1+ a7)
(5, +
rou or
29Cette expression se présente sous la méme forme que celle proposée par HARBERGER
si l'on remplace R par r/(1 - t) et si l'on considére que i = r.
La formule (17) peut s'écrire simplement sous la forme
1+p Ex (1+r) + 1 - x) 1+ 7/4 - t)) (18)
1
oun = I00R et1- x= ayer représentent les impacts
act/or + 8Y/or ocl/ar + dY/ar
respectivement sur la consommation et l'investissement d'une augmentation du
taux d’intérét.
Les ressources étant limitées (M = constante), une augmentation unitaire
de Z provoque un "crowding out” de x au niveau de la consommation privée et de
= 0.
(1 - x) au niveau des investissements privés, de telle sorte que dc} + dy + dZ
Ces glissements ont respectivement un coat d'opportunité de r et de r/(1 - t).
e
Ceci confirme que le cofit d’opportunité d'un investissement public se présent
(18)).
comme une moyenne pondérée des cofits d'opportunité du secteur privé (cf.
probléme
ARROW (1966) et, plus tard, KAY (1972) ont également abordé ce
ue
et arrivent A des conclusions différentes. D'aprés eux, le TAS vaut r puisq
tion will
ARROW écrit "the optimal policy for taxation and public capital forma
the
be that which equates the marginal productivity of public investment to
), deux
consumption rate of interest”. En fait, comme le signale DREZE (1974
divergences
hypothéses relatives au marché des capitaux sont 4 l'origine de ces
point que
D'une part, ARROW et KAY supposent que ce marché est imparfait au
que la con-
la consommation est indépendante du taux d'intérét. Ils en déduisent
re part,
sommation privée s'exprime comme une fraction constante du revenu. D'aut
conséquence,
ils considérent que 1'Etat se finance exclusivement par l'impdt et, en
, si on
qu'il n'emprunte pas. Cette derniére hypothése est cruciale. En effet
considére l'autre branche extréme de l'alternative, of il n'y a pas de taxes
mais une épargne forcée en faveur de l'Etat, les conclusions sont totalement
30différentes. Dans ce cas, le TAS est égal & la productivité marginale des inves-
tissements privés. En effet, dans le cadre d'hypothéses de ARROW et de KAY et
avec ce type de financement, tout franc supplémentaire de capital public prive
le secteur privé de exactement un franc.
Sous 1'hypothése d’un financement mixte, le TAS devient une moyenne pon-
dérée par la part des financements par taxes et emprunts dans le financement to-
tal.
Une différence essentielle apparait donc entre les deux types de modéles.
Le modéle d’ARROW et KAY donne un TAS qui est directement fonction du mode de
financement, tandis que le TAS de SANDMO et OREZE en est indépendant.
Un choix entre les deux mod@les peut étre effectué sur base d'un constat
relatif & l'effet des emprunts de 1’Etat sur le taux d’intérét. De plus, lorsqu’un
tel effet est observé, il convient de tester l'impact d'un accroissement du taux
d'intérét sur la propension des consommateurs 4 substituer une consommation pré-
sente A une consommation future. Dans le cas belge, les modéles macroéconomiques
("Breughel” du DULBEA et "Maribel” du Bureau du Plan) montrent que, sauf en pré-
sence d'un contréle sévére du marché des capitaux qui n’a lieu que dans des cir-
constances rares (périodes d'aprés-guerre par exemple), les emprunts de 1'Etat
affectent le taux d’intérét.
En ce qui concerne 1'influence du taux d’intérét sur la consommation, en
Belgique, elle semble faible ("Breughel") ou inexistante ("Maribel"). Par contre,
ces modéles montrent que des taux d’intérét élevés découragent la construction.
Or les taux des préts hypothécaires sont proches de ceux des obligations d'Etat.
Si des taux élevés n'ont pour seul effet que de décourager la construction,
le TAS devrait étre une moyenne pondérée du taux des emprunts hypothécaires et de
la productivité marginale du capital privé.
31Le modéle présenté ci-dessus repose sur plusieurs hypothéses. Ainsi, il
comporte un consommateur et un producteur, deux périodes. Il concerne une éco-
nomie fermée. Il ignore i'influence du marché du travail. Enfin, il s'énonce en
univers certain.
Dans la suite, nous léverons successivement chacune de ces hypothéses.
Nous nous attacherons 4 isoler 1'impact de chacune d'entre elles sur les conclu-
sions obtenues.
3.2. Caleuk du TAS avec n producteurs et n consommateurs
L’ approche est paralléle 4 celle suivie en section 3.1 (SANDMO et DREZE,
1971, annexe). On considére, pour faciliter la notation qu'a chaque consommateur
i correspond une entreprise i. Les contraintes de ressources agrégées de 1'écono-
mie sont:
ch+ey+zZ=mM (25)
caw Ss #,(¥,) + 2fZ) fats 2ecceen x 3")
i
La fonction d'utilité du consommateur i s'écrit
U, ‘ Ujlc},
L ch).
pz '
(4")
Par définition:
Dar
i.e, 222,
Cis B Cy ces BY,
2 Y. ,
(s')
i dt i
La contrainte du consommateur i en premiére période est
1
Co+Y, +b, ==M '
4 i (6")
et l'expression de sa consommation future est
cy2 FV) = tlh (¥4) Li Y) #601 tor) & ay: .
7")
Aprés des calculs semblables & ceux présentés en section 3.1, on obtient:
32M+
ac}
1) ‘or wu, a
r, av
cer or
g'(Z) = —————______________ = 4+ 9. tz"
(ae), BY
or WU, a
la similitude parfaite des expressions (17) et (17') entraine que le calcu
l du
TAS pour n consommateurs et n producteurs ne présente aucune
difficulté nouvelle.
3.3. Calouk du TAS sur n périodes
Une généralisation 4 n périodes a été proposée par DREZE (1974). Nous
n'en présentons ici que l'interprétation des résultats.
La formule (17) s'exprime de maniére équivalente comme suit:
ay act ry 8Y
M™ +9) Gr : 3D + (1+ qEe. ,ac?
or 2 By (18)
ac? =-
puisque Gay act
(1 +r) or
Cette expression s'interpréte comme une condition nécessaire et suffisante
pour qu'une augmentation du taux d’intérét r soit profitable. En effet, en premi-
ére période, une variation de r libérera des ressources du secteur privé au profit
du secteur public pour un montant de:
ay
Gr
, act
or°u"
Ceci provoque une diminution de la consommation future de
+ oy
4-t° dr
due 4 l'absence d'investissement privé ainsi qu'une augmentation de la consomma-
tion future de
U1 +p) dy + or
Ge oc?U
due & l'investissement public dont la productivité marginale est p. La somme
de ces deux effets doit étre au moins égale 4 l'augmentation de consommation
332
future ce Wy qui compense exactement la diminution de consommation de premiére
période.
La généralisation de l'expression (18) a n périodes s'écrit:
1, dv? act chy ay?
+p) Ga + ald @ + 7) an?
ac?
>(2p,+¢ D5 He
act, tt
tm m+ 4y-1
or) (13)
or’'u je or''U seo
ot r’ est le taux d'intérét en période 1
ot est la productivité marginale des investissements publics en période i
cd est la consommation en période j.
Comparons &4 présent les expressions (18) et (19). Il a été établi (HICKS, 1939,
appendice au chapitre II) que
n a a|
z a, T +r) #0. (30)
j= iss
Tl s'ensuit que:
n acd n-41
= (yn)
i
T +r)
or'uU
_ 3c
get 1 rt)1) .= SG
J22 isj (20")
I (+r)
in2
ac? D acd, Jt mn ae 1
rt.
ey
or “U + s OS)
523 or’ 'U 525
En particulier, pour n 2, nous avons
act ‘ 2
Rp + rh) + x = 0.
de sorte que, moyennant le remplacement de P par r dans le second membre du terme
de droite de (19), nous obtenons, pour n-= 2, l'inégalité (18). La différence
entre les conditions (18) et (19) se limite donc uniquement au fait que dans (18)
on utilise le taux rt et dans (19) le taux oe. Ceci s’explique de la maniére
suivante : un consommateur acceptera de transposer sa consommation de la période
34i A la période i+1 au prix tert, Mais cette privation en période i permet des
investissemants publics générant aot. En conséquence, priver la consommation
de période 2 d’un montant de
n Jo j-4
oc dont
E (ea), I (t+ vr)
523 or’ U i=?
permet, grace aux investissements publics, d’obtenir un flux de consommation de
oC) J =
Gey $= 35 sous nx
L’expression (18) représente de ce fait le méme type de condition néces-
saire et suffisante d'efficacité d'une augmentation de Z que (18}. De plus, si
les termes de (18) peuvent étre mesurés facilement, il n'en va pas de méme pour
les a, de (19).et il convient de trouver une approximation du membre de droite
de {19).Le raisonnement mentionné ci-dessus suggére naturellement de substituer
rt a pl Cette solution a, par ailleurs, le mérite de la simplicité. Le membre
de droite de (19) s'écrit alors, grace & (20'):
ac?
-U +r) Bay -
Cette approximation surestime le membre de droite de (19) puisque p doit
étre supérieur & r pour vérifier (19). Elle rend ainsi la condition d'efficacité
plus stricte.
En conclusion, la condition (18) est une approximation biaisée de (19)
mais qui, du point de vue pratique, peut étre considérée comme une approximation
raisonnable.
3.4. Calcuk du TAS en économie ouverte
Nous reprenons le modéle de SANDMO et DREZE. Il s'agit du modéle présenté
35dans la section 3.1, complété par la possibilité d'achat par des investisseurs
étrangers d'obligations émises par l'Etat. Soit m le montant de ces préts de 1'ex-
térieur, ona
m= m(r) avec m'(r) > 0. (21)
La contrainte de ressources agrégées en premiére période devient
cl+ey+z=mMem. (22)
Les contraintes de budget des consommateurs demeurent:
ch+Y+be=m (23)
c? = #(Y) - t(f(Y) - Y) +b +r) +a. (24)
La contrainte de budget de 1'Etat devient
g(Z) + t(#(Y) - Y) = (1 + 17) (b + m(r)) + a. (25)
De (22) et (23), 11 vient:
Z= mr) +b=m(r) +m-ch-y. (28)
En substituant (26) dans (25), on a
g(m(r) + mM - cl - y) + tlf(y) - Y) (27)
= (er) (mr) +m-ch- yo +a
et le Lagrangien devient
t= ufct, ety) - tty) - ¥) © (M- ch-y) +r) +a}
~ Magtm(r) + m- ch - ¥) + tCF(Y) - ¥) - (1+ 4) (mir) - m-ch-y) - a}.
1
En différentiant par rapport & Z et en utilisant les égalités
te =41+ret
'(Y) = 1+ 25. on obtient2m ;
- Cc ch. Y) . Mg(Z) ; ac) ay
_ Se Fg: OY
u?(m (m'(r) get Ot a) ap
act , (28)
+ +r) a - (1+ r) m(r) - Z} = 0.
bg
En différentiant par rapport & a, on obtient
i act - 1} = 0.
U? 2 = M{-g'(Z) + + rd) se (29)
1
Considérons le systéme composé des équations (28) et (29). Comme x. 0 pour
da
U = constante, i1 vient:
act r, 8Y a ;
: +r) GE lyt +7 oe (+r (1 + 29) m'(r)
g'(Z) = 7
3c oY :
Gy ‘37m (r)
(30)
z1+0
Dans cette expression apparait , l’élasticité de l'offre étrangére de capitaux:
, is
emt) ay (© 0).
Le TAS g'(Z) s'exprime & nouveau sous forme de moyenne pondérée ot inter-
viennent les taux d’actualisation utilisés par les consommateurs et les entreprises
privées mais également le taux d'intérét sur les préts étrangers, pondéré par la
dérivée de la fonction d'offre étrangére de capitaux.
Les trois facteurs de pondération étant de méme signe, (1 + 0) se situera
i 4
entre (1 +r) et 1+ qe ter tee
Pour déterminer le TAS numériquement, en présence de préts de 1'étranger,
1
il faut donc des estimations empiriques des paramétres x , = et m'(r).
3.5. Calcuk du TAS en présence de chémage
Jusqu'ici, nous avons ignoré le marché du travail. Cependant les marchés
du capital et du travail sont susceptibles de s’influencer mutuellement. En
37effet, une augmentation du taux d’intérét réduira généralement les investissements
du secteur privé, ce qui affectera la demande de travail de ce secteur.
MARCHAND, MINTZ et PESTIEAU (1982 et 1983) ont étudiié les problémes re-
latifs aux coits du capital et du travail utilisés par une entreprise publique
en présence de déséquilibre. Etant donné les conditions actuelles de l'emploi
en Belgique, une analyse détaillée des résultats concernant le cofit social du
capital en présence de chémage s'avére indispensable.
Reprenons le cadre d’hypothéses du modéle de la section 3.1. Nous y in-
cluons un marché du travail sur lequel l'offre est excédentaire et le salaire
(w) est rigide.
La fonction d'utilité que maximise le consommateur comporte 4 présent
un troisiéme argument, 1, la quantité de travail offerte:
U=uCl, ct, C7) avec x = uetravail et la rémunération du capital investi. Il est
soumis & une contrainte
de production:
y? = Feyt, 1) (35)
dans laquelle intervient la quantité de travail a
L'hypothése de rigidité du salaire w permet d'exprimer les fonctions
d’offre:
Y? « y7(r)
et de demande:
Yl = ylep)
1, #1 (5)
Pp Pp
du secteur privé.
L'optimisation du bien-étre social exige que le producteur public
maxi-
mise son profit:
M = 2? - wi - pz. (36)
g g
Les colts marginaux du travail W et du capital p peuvent s'él
oigner sensiblement de
ceux en vigueur dans le secteur privé wet r.
Les quantités zs 2 et =. désignent respectivement le capital
investi
l’output et la demande de travail du secteur public.
On en déduit les fonctions d'offre :
2? = 27(R, W)
et de demande:
39Z = Z (R, W)
1 = 1 (R, W).
g g
lité,
Reprenons & présent le probléme du consommateur. Sa fonction d'uti
donnée par (31) peut aussi étre exprimée sous la forme
uti, cy, C4) = Vir, R, W, ade
Les contraintes imposées s'6noncent alors :
me=citr, a, 1) + Z'(R, W) + Y*r) ty) (38)
yer) + Z7(R, W) = C?(r, a, L) (vy) (39)
L= 1 (r) +1 (R, W) Cy?) (40
Bp &
ot ¥°, y! et Y? sont les multiplicateurs de Lagrange.
du
La solution de ce probléme d'optimisation fournit les expressions
ge :
TAS: R et du codt marginal du travail, W, en présence de chdma
ue, 2 acty ayty-1 o (41)
RertMw+Pl at Ge tg)
°
Wew- Morse (42)
act'_ = ae
ot or
ac? toa
ac? (mM - C!) représente l'effet de substitution pour le consommateur,
dE My?
eta= 31 =u ._4 31 :
est le multiplicateur d'emploi
a1
2 « al
B - Be? 1’
_
vomploi otof IL ar ¢ aE or ) aL BY) 1
ac 1
Pot
loi total
Le multiplicateur d’emploi,a , indique dans quelle mesure l'emp
augmente quand le secteur public crée un emploi.
, pour
Le signe du multiplicateur oa n'est pas déterminé a priori. Ainsi
dispari-
a > 0, la création d'un emploi dans le secteur public s'accompagne de la
tion de plus d'un emploi dans le secteur privé.
40Pour a > 0, ona:
p> resi a1/orniveaux:
L'incertitude peut intervenir dans le calcul du TAS & trois
(1) au niveau du secteur privé:
en fonction
le codt d'opportunité peut varier au sein méme du secteur privé
peuvent aussi ré-
du risque propre & chaque industrie. De telles variations
sulter de différences entre taux marginaux de taxation.
(2) au niveau du secteur public:
quantification
Dans la section 2.2, nous avons souligné la pertinence d'une
du risque relatif au secteur public.
(3) au niveau intersectoriel:
ement de l'investis~
La contribution de chacun des secteurs du privé au financ
sement public est généralement inconnue.
4.1. Dégfenence de coiit d'opportunité dans Les secteurs du privé
codt d'opportunité du
Jusqu'ici, nous avons toujours considéré que le
ité, il n'en est rien.
capital des investissements privés était unique. En réal
fonction de son risque et
Chaque investissement a un coit d'opportunité qui est
d’une entreprise 4 une autre.
de plus le taux de taxation peut largement varier
s de remplacer le coiit d'op-
Tenant compte de ces deux observations, nous proposon
portunité unique des entreprises privées r/(1 - t) par (r+ Pav - ty)
ot P, est la prime de risque des entreprises du secteur i,
1
du secteur i.
t, est le taux de taxation marginal des entreprises
maniére suivante:
Ceci nous permet de généraliser la formule (17) de la
(43)
ur i au taux
ot a1, /or est fonction de l'élasticité des investissements du secte
d'intérét.
424.2. Caleuk du TAS avec prime de risque
Dans la formule (43), nous calculons le TAS comme une moyenne pondérée
des cofits d'’opportunité des différents secteurs qui souffriraient d'un "crowding
out” suite & un investissement public. Comme le fait remarquer KOEUNE (1978), en
avenir incertain, cect suppose que le projet d’investissement public présente un
risque équivalent 4 la combinaison de risques de ces secteurs. Pour lever cette
hypothése, il faudra calculer 1’équivalent certain de la formule (43), et ensui-
te déterminer et y ajouter la prime de risque d'un investissement public spéci-
fique.
L'équivalent certain de (43) peut s'écrire :
oc
umolnmo
£ Gut ‘
1+p (44)
ac
SPu *
Nous proposéns d’estimer la prime de risque d'un investissement public & partir
du modéle d’équilibre des actifs financiers (Capital Asset Pricing Model : CAPM).
Le CAPM relie la rentabilité attendue d'un actif E(R) & son risque sys-
tématique ou non diversifiable 8 par la relation linéaire
E(R) = i+ B (ECR) - i) (45)
ot i est le taux d'intérét sans risque,
ECR) - i est la prime de risque unitaire du marché,
8B est le risque systématique de l’actif, mesuré par le rapport de la covariance
de la rentabilité de l’actif avec la rentabilité du portefeuille de marché sur la
variance de la rentabilité du portefeuille de marché :
8 = cov (R, R_J/ var(R_).
m m
43Vous pouvez aussi lire
